R2 Høst 2018

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2018 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver funksjonene R2 H18	—
2	Bestem integralene R2 H18	—
3	Geometrisk rekke med eksponentialledd	—
4	Areal mellom sinus og cosinus	—
5	Bøye i bølger trigonometrisk modell	—
6	Retningsdiagram og differensiallikning	—
7	Tetraedervolum med vektorer og parameter	—
8	Induksjonsbevis for sum av kuber R2 H18	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Areal mellom grafer uavhengig av parameter	—
2	Kuleflate i bevegelse langs linje	—
3	CO2-utslipp og geometrisk reduksjon	—
4	Vanntank med differensiallikning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 H18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 6\cos(2x - 1)

g(x) = \cos^2 x + \sin^2 x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 H18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (2x^2 - 3x)\,\mathrm{d}x

\int 4x \cdot \cos(x^2 + 2)\,\mathrm{d}x

\int \frac{4}{x^2 - 4}\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Integrasjon ved substitusjon, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-3 : Geometrisk rekke med eksponentialledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-2x} + \mathrm{e}^{-3x} + \cdots

For hvilke verdier av $x$ konvergerer denne rekken?

Bestem $x$ slik at rekken konvergerer mot $3$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-4 : Areal mellom sinus og cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

\begin{align} f(x) &= \sin x, \quad 0 \le x \le 2\pi \\ g(x) &= \cos x, \quad 0 \le x \le 2\pi \end{align}

Lag en skisse av grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.

Bestem eventuelle skjæringspunkt mellom grafene til $f$ og $g$ .

Grafene til $f$ og $g$ avgrenser et område.

Bestem arealet av dette området.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Bestemt integral, Graf

Oppgave 1-5 : Bøye i bølger trigonometrisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bøye sett ved tre ulike tidspunkt, med høyeste punkt, likevektslinjen og laveste punkt markert. Avstanden fra høyeste til laveste punkt er 2,4 m.

En bøye beveger seg opp og ned med bølgene. I løpet av $4 \mathrm{~s}$ vil bøyen bevege seg $2{,}4 \mathrm{~m}$ i vertikal retning fra det høyeste punktet til det laveste punktet.

La $f(t)$ være høyden til bøyen (i meter) over likevektslinjen ved tidspunktet $t$ (målt i sekunder). Anta at bøyen er på sitt høyeste punkt når $t = 0$ .

Vi går ut fra at $f(t)$ kan skrives på formen

f(t) = A\sin(ct + \varphi)

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Når er bøyen $0{,}6 \mathrm{~m}$ over likevektslinjen i løpet av de $10$ første sekundene?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Modellering, Likninger

Oppgave 1-6 : Retningsdiagram og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Retningsdiagrammet på figuren tilhører én av differensiallikningene nedenfor.

\begin{align} 1)\quad & y' = x + y \\ 2)\quad & y' = \frac{x}{y} \\ 3)\quad & y' = x \cdot y \end{align}

Retningsdiagram i et koordinatsystem med x- og y-akse fra -3 til 3.

Avgjør hvilke to av de tre differensiallikningene som ikke kan ha et slikt retningsdiagram.

Løs differensiallikningen du mener retningsdiagrammet tilhører.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Utforskning

Oppgave 1-7 : Tetraedervolum med vektorer og parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(-1, 1, 1)$ , $B(1, -1, 0)$ og $C(-1, 0, 2)$

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Vis at $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet gitt ved

3x + 2y + 2z - 1 = 0

Gitt punktet $D(s^2 - 1, 3s + 1, 10)$ , der $s$ er et reelt tall.

Bestem volumet av tetraederet $ABCD$ uttrykt ved $s$ .

Bestem det minste volumet tetraederet kan ha.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for sum av kuber R2 H18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise at påstanden $P(n)$ er sann for alle $n \in \mathbb{N}$

P(n): \quad 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Areal mellom grafer uavhengig av parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

\begin{align} f(x) &= x^4 - 4x - 1 \\ g(x) &= 4x^3 - 6x^2 - 1 \end{align}

Tegn grafene til $f$ og $g$ i et koordinatsystem.

De to grafene avgrenser et område $M$ i planet.

Bestem arealet av $M$ .

Funksjonene $F$ og $G$ er gitt ved

\begin{align} F(x) &= x^4 - 4r^3 \cdot x - 1 \\ G(x) &= 4r \cdot x^3 - 6r^2 \cdot x^2 - r^4 \end{align}

Grafene til $F$ og $G$ avgrenser et område $N$ i planet.

Bruk CAS til å vise at arealet av $N$ er uavhengig av $r$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Bestemt integral, Graf, Cas

Oppgave 2-2 : Kuleflate i bevegelse langs linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sentrum i en kuleflate $K_1$ med radius $2$ beveger seg langs en rett linje. Ved tidspunktet $t$ vil sentrum i $K_1$ ha koordinatene $(2t, 1, 3)$ .

Bestem en likning for $K_1$ uttrykt ved $t$ .

Ved hvilke tidspunkt vil $K_1$ tangere $yz$ -planet?

En annen kuleflate $K_2$ med radius $r$ er gitt ved likningen

K_2: \quad x^2 + y^2 + z^2 = r^2

Ved hvilke tidspunkt vil de to kuleflatene $K_1$ og $K_2$ tangere hverandre dersom $r = 2$ ?

Bestem eksakt den minste verdien til $r$ som gjør at de to kulene tangerer hverandre.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Kule, Romgeometri, Parameterframstilling, Likninger

Oppgave 2-3 : CO2-utslipp og geometrisk reduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift slipper ut $20\,000$ tonn $\text{CO}_2$ i 2018. De har et mål om å redusere de årlige utslippene med $15 \text{\%}$ hvert år fra og med 2019.

Hvor mye $\text{CO}_2$ vil bedriften slippe ut til sammen i løpet av de ti årene 2018–2027 dersom de klarer å nå målet?

En annen bedrift slipper ut $30\,000$ tonn $\text{CO}_2$ i 2018.

Hvor mange prosent må denne bedriften redusere utslippene med per år for at bedriftene til sammen skal slippe ut like mye i løpet av årene 2018–2027?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Modellering, Likninger

Oppgave 2-4 : Vanntank med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en tank renner det inn vann med konstant fart. Samtidig renner det ut vann gjennom et hull i bunnen av tanken. Vannmengden som renner ut per minutt, er til enhver tid proporsjonal med vannmengden i tanken. La $y(t)$ liter være vannmengden i tanken etter $t$ minutter. Da er $y$ løsningen av differensiallikningen

y' = 3{,}2 - 0{,}14y, \quad y(0) = 200

Forklar hva tallene $3{,}2$ og $0{,}14$ og $200$ står for.

Løs differensiallikningen.

Hvor mye vann er det i tanken etter $20 \mathrm{~min}$ ?

I en annen tank renner det inn $1{,}5 \mathrm{~L}$ vann per minutt. Også i denne tanken renner det ut vann gjennom et hull i bunnen. Vannmengden som renner ut, er proporsjonal med vannmengden i tanken. Når $t = 0$ , er det $0 \mathrm{~L}$ i denne tanken. Etter lang tid vil vannmengden i tanken stabilisere seg på $10 \mathrm{~L}$ .

Hvor mye vann er det i denne tanken etter $20 \mathrm{~min}$ ?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2018

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 H18

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 H18

Oppgave 1-3 : Geometrisk rekke med eksponentialledd

Oppgave 1-4 : Areal mellom sinus og cosinus

Oppgave 1-5 : Bøye i bølger trigonometrisk modell

Oppgave 1-6 : Retningsdiagram og differensiallikning

Oppgave 1-7 : Tetraedervolum med vektorer og parameter

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for sum av kuber R2 H18

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Areal mellom grafer uavhengig av parameter

Oppgave 2-2 : Kuleflate i bevegelse langs linje

Oppgave 2-3 : CO2-utslipp og geometrisk reduksjon

Oppgave 2-4 : Vanntank med differensiallikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave