R2 Vår 2017

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver funksjonene R2 V17	—
2	Bestem integralene R2 V17	—
3	Topp- og bunnpunkt og skisse av sinusfunksjon	—
4	Differensiallikning ved separasjon	—
5	Volum av avkortet kjegle	—
6	Kuleflate og tangentplan R2 V17	—
7	Uendelig geometrisk rekke med logaritme	—
8	Induksjonsbevis R2 V17	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 24 poeng
1	Polynomfunksjon med vendepunkter	—
2	Minste areal av trekant	—
3	Volum av omdreiningslegeme med parameter	—
4	To geometriske rekker	—
5	Medisindosering med differensiallikning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3\sin x + \cos x

g(x) = x^2 \cos 2x

$h(x) = \dfrac{2\cos x}{1+\sin x}$ . Skriv svaret så enkelt som mulig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Trigonometri, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int \left( x^2 - \dfrac{2}{x} \right)\,\mathrm{d}x

\int x\cos(2x^2)\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-3 : Topp- og bunnpunkt og skisse av sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin(2x) - 1, \qquad x \in \langle 0,\, 2\pi\rangle

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem nullpunktene til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Graf

Oppgave 1-4 : Differensiallikning ved separasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Differensiallikningen $y' = x \cdot y$ er gitt.

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

Bestem den spesielle løsningen når $y(2) = 5$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Oppgave 1-5 : Volum av avkortet kjegle

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren til venstre nedenfor viser et linjestykke $\ell$ tegnet i et koordinatsystem. Vi dreier linjestykket $360\degree$ om $x$ -aksen. Vi får da en avkortet kjegle som vist på figuren til høyre nedenfor.

Linjestykke og avkortet kjegle

Bestem volumet av den avkortede kjeglen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Volum

Oppgave 1-6 : Kuleflate og tangentplan R2 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kule har sentrum i $S(1,\, 3,\, 5)$ . Punktet $P(4,\, -1,\, 5)$ ligger på kuleflaten.

Bestem en likning for kuleflaten.

Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten i punktet $P$ .

Vis at $3x - 4y = 16$ er en likning for planet $\alpha$ .

En annen kule har sentrum i $Q(2,\, 0,\, 7)$ . Planet $\alpha$ tangerer også denne kuleflaten.

Bestem likningen til den nye kuleflaten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kule, Plan, Romgeometri, Vektorer

Oppgave 1-7 : Uendelig geometrisk rekke med logaritme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = 1 + \ln x + (\ln x)^2 + (\ln x)^3 + \ldots

Bestem konvergensområdet til rekken.

Bestem et enklere uttrykk for $S(x)$ når rekken konvergerer.

Bestem $x$ slik at summen av rekken blir $3$ .

For hvilke verdier av $r$ har likningen $S(x) = r$ løsning?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Logaritmer

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis R2 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis ved hjelp av induksjon at

P(n): \quad \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \ldots + \frac{n-1}{n!} = \frac{n!-1}{n!}, \qquad n \in \{2,\, 3,\, 4,\, \ldots\}

Du får bruk for at $n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\, \cdots\, \cdot(n-1)\cdot n$ og at $(n+1)! = n!\cdot(n+1)$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Polynomfunksjon med vendepunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^4 + 7x^3 + 15x^2 + 9x

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Grafen til $f$ har to vendepunkter, $A$ og $B$ . Linjen gjennom $A$ og $B$ har likningen $y = g(x)$ .

Bestem uttrykket $g(x)$ .

Linjen skjærer grafen til $f$ også i to andre punkter: $C(a,\, f(a))$ og $D(b,\, f(b))$ .

Bestem integralet $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$ . Gi en geometrisk tolkning av svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral, Graf

Oppgave 2-2 : Minste areal av trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(3,\, 2,\, t)$ , $B(4,\, -3,\, 3)$ og $C(8,\, 3,\, 5)$ der $t \in \mathbb{R}$ .

Bruk CAS til å vise at arealet av $\triangle ABC$ kan uttrykkes som

f(t) = \sqrt{13(t^2 - 8t + 30)}

Bestem det minste arealet som $\triangle ABC$ kan ha.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Areal, Cas, Optimering

Oppgave 2-3 : Volum av omdreiningslegeme med parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin\left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) + d, \qquad 1 \le x \le 2 \text{ og } d \in \mathbb{R}

Grafen til $f$ roteres $360\degree$ om $x$ -aksen.

Bruk CAS til å bestemme mulige verdier for $d$ slik at volumet av omdreiningslegemet blir $6\pi$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Trigonometri, Cas, Volum

Oppgave 2-4 : To geometriske rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S = a + a\cdot k + a\cdot k^2 + \ldots, \qquad a \neq 0,\ k \in \mathbb{R}

En annen uendelig geometrisk rekke er gitt ved

T = a + a\cdot 2k + a\cdot 4k^2 + \ldots, \qquad a \neq 0,\ k \in \mathbb{R}

Bruk CAS til å bestemme $a$ og $k$ når du får vite at $S = 6$ og $T = 12$ .

Undersøk om det er mulig å finne en verdi for $k$ slik at $S = -2T$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Cas

Oppgave 2-5 : Medisindosering med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En pasient får tilført en medisin kontinuerlig. Dosen er $3{,}0 \mathrm{~mg}$ per time. Samtidig blir en del av medisinen skilt ut av kroppen. Vi antar at det skjer ved at kroppen skiller ut $30 \text{ \%}$ av den totale medisinmengden per time. Pasienten har ikke noe medisin i kroppen ved oppstarten av behandlingen.

Vi lar $y(t)$ mg være den totale medisinmengden i kroppen ved tiden $t$ , målt i timer, etter at behandlingen startet.

Forklar at situasjonen ovenfor gir differensiallikningen

y' = -0{,}30y + 3{,}0, \qquad y(0) = 0

Bruk CAS til å løse differensiallikningen i oppgave a).

Hvor mye medisin har pasienten i kroppen når behandlingen har pågått i lang tid?

En annen pasient får samme dose av medisinen. Da behandlingen startet, hadde hun en ukjent mengde, $y_0$ mg, av medisinen i kroppen. Seks timer etter at behandlingen startet, hadde hun $9{,}17 \mathrm{~mg}$ av medisinen i kroppen. Gå ut fra at medisinen også hos denne pasienten skilles ut med $30 \text{ \%}$ per time.

Bestem $y_0$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Cas, Grenseverdi

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2017

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 V17

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 V17

Oppgave 1-3 : Topp- og bunnpunkt og skisse av sinusfunksjon

Oppgave 1-4 : Differensiallikning ved separasjon

Oppgave 1-5 : Volum av avkortet kjegle

Oppgave 1-6 : Kuleflate og tangentplan R2 V17

Oppgave 1-7 : Uendelig geometrisk rekke med logaritme

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis R2 V17

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Polynomfunksjon med vendepunkter

Oppgave 2-2 : Minste areal av trekant

Oppgave 2-3 : Volum av omdreiningslegeme med parameter

Oppgave 2-4 : To geometriske rekker

Oppgave 2-5 : Medisindosering med differensiallikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave