R1 Vår 2009

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2009 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, grenseverdi, vektorer og logaritmer	—
2	Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Konstruksjon, ln-likning og betinget sannsynlighet mobilproduksjon	—
4	Kubikkfunksjon med bunnpunkt, vendepunkt og tangenter	—
4	Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem	—
5	Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, grenseverdi, vektorer og logaritmer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f(x) = \left(x^2+1\right)^4

g(x) = x \cdot e^{2x}

Regn ut grenseverdien hvis den eksisterer

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{x - 2}

Trekk sammen

\frac{x-2}{x^2+2x} - \frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{4x}{x^2-4}

Gitt punktene $A(-2,\,-1)$ , $B(5,\,4)$ og $C(4,\,7)$ .

Bestem $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BC}$ .

Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre.

Gitt polynomfunksjonen $f(x) = 2x^3 + 8x^2 + 2x - 12$ .

Regn ut $f(1)$ . Faktoriser $f(x)$ .

Løs ulikheten $f(x) \leq 0$ .

Skriv så enkelt som mulig

\lg\!\left(\frac{1}{a^2}\right) + 3 \cdot \lg a

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi, Vektorer, Logaritmer, Rasjonale funksjoner, Faktorisering, Ulikheter

Oppgave 1-2 : Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du bevise Pytagoras’ setning. På figuren nedenfor har vi tegnet en trekant $ABC$ der $\angle C = 90°$ . Fotpunktet for høyden fra hjørnet $C$ til siden $AB$ kalles $D$ .

Trekant ABC med høyde CD til AB

Forklar at $\triangle ABC$ , $\triangle ACD$ og $\triangle CBD$ er formlike.

Bruk a) til å vise at $AC^2 = AB \cdot AD$ og at $BC^2 = AB \cdot DB$ .

Bruk b) til å bevise Pytagoras’ setning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Bevis, Geometri, Formlike trekanter

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Konstruksjon, ln-likning og betinget sannsynlighet mobilproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en trekant $ABC$ er $AB = 10 \text{ cm}$ , $AC = 7 \text{ cm}$ og $\angle C = 90°$ .

Bruk passer og linjal eller dynamisk programvare til å konstruere trekanten $ABC$ .

Konstruer den innskrevne sirkelen i trekanten.

Finn den eksakte løsningen til likningen ved regning

(\ln x)^2 + \ln x^2 = 3

En bedrift produserer mobiltelefoner. Avdeling A står for 70 % av produksjonen, og avdeling B står for de resterende 30 %. Det har vist seg at 5 % av produksjonen fra avdeling A har feil, mens 10 % av produksjonen fra B har feil.

Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt telefon har feil.

Hva er sannsynligheten for at en telefon som har feil, er produsert i avdeling A?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Konstruksjon, Logaritmefunksjoner, Betinget sannsynlighet, Sirkel

Oppgave 2-4 : Kubikkfunksjon med bunnpunkt, vendepunkt og tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = -x^3 + ax^2 + bx - 11$ .

Grafen til funksjonen $f$ har et bunnpunkt i $(-1,\,-16)$ .

Vis at $a = 3$ og $b = 9$ .

Finn $f'(x)$ , og bruk denne til å tegne fortegnslinja for $f'(x)$ . Bruk fortegnslinja til å finne ut hvor grafen stiger og hvor den synker. Hva blir koordinatene til eventuelle toppunkter på grafen til $f$ ?

Finn $f''(x)$ , og bruk denne til å tegne fortegnslinja for $f''(x)$ . Bruk fortegnslinja til å finne eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Finn likningene for tangentene med stigningstall 9.

Tegn grafen til $f$ . Bruk grafen og resultatene i d) til å avgjøre for hvilke verdier av $b$ likningen $f(x) = 9x + b$ har tre forskjellige løsninger.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Tangent, Fortegnslinje

Oppgave 2-4 : Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

I denne oppgaven skal du studere fjerdegradsfunksjoner som har to vendepunkter.

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{1}{12}\!\left(x^4 - 2x^3 - 12x^2\right)$ .

La $S$ og $T$ være de to vendepunktene, med $S$ lengst til venstre på grafen.

Tegn grafen til $f$ .

Finn $f''(x)$ og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene $S$ og $T$ .

Finn likningen for den rette linja gjennom punktene $S$ og $T$ . Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy.

Vi lar $Q$ være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut $\dfrac{ST}{TQ}$ .

En annen fjerdegradsfunksjon $g$ er gitt ved $g(x) = x^4 - 6x^2$ .

La $S_1$ og $T_1$ være de to vendepunktene, med $S_1$ lengst til venstre på grafen.

Du skal gjennomføre tilsvarende oppgaver som i a), b), c) og d):

Tegn grafen til $g$ .

Finn $g''(x)$ og tegn fortegnslinja for denne. Bestem koordinatene til vendepunktene $S_1$ og $T_1$ .

Finn likningen for den rette linja gjennom punktene $S_1$ og $T_1$ . Bestem koordinatene til de to andre skjæringspunktene mellom grafen til $g$ og linja. Bruk gjerne digitalt verktøy.

Vi lar $Q_1$ være skjæringspunktet lengst til høyre. Regn ut $\dfrac{S_1 T_1}{T_1 Q_1}$ . Kommenter resultatet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Utforskning

Oppgave 2-5 : Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vilkårlig trekant $OAB$ settes inn i et koordinatsystem med siden $OA$ langs $x$ -aksen. Koordinatene til hjørnene er $O(0,\,0)$ , $A(a,\,0)$ og $B(b,\,c)$ .

Medianene $OM_1$ , $AM_2$ og $BM_3$ skjærer hverandre i $S$ . Se figuren.

Trekant OAB med medianer og skjæringspunkt S

Vis at koordinatene til midtpunktene er

M_1\!\left(\frac{a+b}{2},\,\frac{c}{2}\right), \quad M_2\!\left(\frac{b}{2},\,\frac{c}{2}\right) \quad \text{og} \quad M_3\!\left(\frac{a}{2},\,0\right)

Forklar at det finnes tall $x$ og $y$ slik at

\overrightarrow{OS} = x \cdot \overrightarrow{OM_1} \quad \text{og} \quad \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{AM_2}

Vis at spørsmål b) gir oss likningssettet

x \cdot \frac{a+b}{2} = a + y \cdot \left(\frac{b}{2} - a\right) \quad \text{og} \quad x \cdot \frac{c}{2} = y \cdot \frac{c}{2}

Finn $x$ og $y$ .

Forklar at koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene er

S\!\left(\frac{a+b}{3},\,\frac{c}{3}\right)

Bestem forholdene

\frac{|\overrightarrow{OS}|}{|\overrightarrow{OM_1}|}, \quad \frac{|\overrightarrow{AS}|}{|\overrightarrow{AM_2}|} \quad \text{og} \quad \frac{|\overrightarrow{BS}|}{|\overrightarrow{BM_3}|}

Kommenter.

Bestem koordinatene til punktet $B$ i det tilfellet at $O(0,\,0)$ , $A(6,\,0)$ og $S(1,\,4)$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Bevis, Geometri

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2009

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, grenseverdi, vektorer og logaritmer

Oppgave 1-2 : Pytagoras bevis med høyde fra rett vinkel

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Konstruksjon, ln-likning og betinget sannsynlighet mobilproduksjon

Oppgave 2-4 : Kubikkfunksjon med bunnpunkt, vendepunkt og tangenter

Oppgave 2-4 : Fjerdegradsfunksjon med vendepunkter og linje gjennom dem

Oppgave 2-5 : Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave