R1 Høst 2010

LK06 8 oppgaver 68 poeng 5 timer

0 av 8 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2010 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon, polynomdivisjon, vektorfunksjon og grenseverdi	—
2	Tangentlengde og sekantstykke i sirkel	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 44 poeng
3	Drøfting av 4x² ganger e i minus x	—
4	Punkt i kvadrat og areal av to trekanter	—
5	Trekant med parallell midtlinje og glidende hjørne	—
6	Maur på terningoverflate korteste vei	—
6	Innskrevet vinkel i regulær sekskant teatersal	—
7	Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, polynomdivisjon, vektorfunksjon og grenseverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2x \cdot e^x

g(x) = 3\sqrt{x^2 - 1}

Vis at $x = 1$ er en løsning av likningen $2x^3 - 6x^2 - 2x + 6 = 0$

Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene.

Vi har gitt vektorfunksjonen

\vec{r}(t) = \left[ 6t,\; -5t^2 + 45 \right]

Tegn grafen til vektorfunksjonen når $t \in \left[0,\, 3\right]$

Bestem $\vec{v}(1)$ . Tegn fartsvektoren inn på grafen.

Bestem akselerasjonsvektoren. Kommenter svaret ditt.

En gjeng består av seks gutter og fire jenter. Vi trekker tilfeldig ut to av dem.

Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut én gutt og én jente?

I $\triangle ABC$ er $AB = 10{,}0 \text{ cm}$ , $\angle A = 75°$ og $\angle C = 90°$ . Konstruer trekanten.

Bestem grenseverdiene dersom de eksisterer:

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4}{x - 2}

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 20
Temaer: Derivasjon, Polynomdivisjon, Vektorer, Grenseverdi, Sannsynlighet, Konstruksjon

Oppgave 1-2 : Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sirkel med tangent fra ekstern punkt

Figuren ovenfor viser en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ . Fra et punkt $A$ utenfor sirkelen trekker vi en linje som tangerer sirkelen i punktet $T$ . Linjen som går gjennom $A$ og $S$ skjærer sirkelen i $B$ og $C$ .

Vi setter $AT = x$ og $AB = y$

Bruk Pytagoras’ læresetning i $\triangle SAT$ til å vise:

x^2 = y \cdot (y + 2r)

Vi setter $\angle SCT = 30°$ . Finn $y = AB$ uttrykt ved $r$ i dette tilfellet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sirkel, Trigonometri, Geometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 44 poeng

Oppgave 2-3 : Drøfting av 4x² ganger e i minus x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 4x^2 \cdot e^{-x}

Vis ved regning at $f'(x) = 8x \cdot e^{-x} - 4x^2 \cdot e^{-x}$ . Tegn grafen til $f'$ .

Bruk grafen til $f'$ til å finne eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvadrat ABCD med punkt P inne i kvadratet

Firkanten $ABCD$ er et kvadrat med side $a$ . Punktet $P$ er plassert vilkårlig inne i kvadratet. Høyden i $\triangle ABP$ kaller vi $h$ .

Finn arealene av $\triangle ABP$ og $\triangle PCD$ uttrykt ved $a$ og $h$ .

Finn et uttrykk for summen av arealene til $\triangle ABP$ og $\triangle PCD$ . Beskriv hva du har funnet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Areal, Geometri, Argumentasjon

Oppgave 2-5 : Trekant med parallell midtlinje og glidende hjørne

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(-1,\, 0)$ , $B(7,\, -2)$ og $C(3,\, 6)$ er hjørner i en trekant.

Bestem koordinatene til vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ . Finn $\angle A$ i $\triangle ABC$ ved regning.

Punktet $D$ ligger på $AB$ slik at $\overrightarrow{AD} = \dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AB}$ .

Punktet $E$ ligger på $AC$ slik at $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AC}$ . Se figur 1.

Trekant ABC med midtlinjepunkter D og E, figur 1

Vis at $\overrightarrow{DE} = [-3,\; 6]$ . Forklar at $\overrightarrow{DE} \parallel \overrightarrow{BC}$ .

Vi lar nå hjørnet $A$ ha koordinatene $(t,\, 0)$ . Ved å variere verdien til parameteren $t$ kan vi få $A$ til å «gli» fram og tilbake på x-aksen. Figur 2 viser hvordan trekanten ser ut når $t = 13$ .

Trekant ABC med glidende hjørne A=(t,0), her t=13, figur 2

Forklar at $\overrightarrow{DE}$ har samme lengde for alle verdier av $t$ .

Bestem ved regning verdier for $t$ slik at $\angle A = 90°$ .

Finn ved regning, eller ved hjelp av dynamisk programvare, andre verdier for $t$ slik at $\triangle ABC$ blir rettvinklet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 11
Temaer: Vektorer, Geometri, Parallelle vektorer, Trigonometri

Oppgave 2-6 : Maur på terningoverflate korteste vei

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Terning med side 2 og punkt P på kanten EF

Figuren ovenfor viser en terning med side lik 2.

Bestem ved regning lengden av linjestykket $AG$ .

Punktet $P$ ligger på sidekanten $EF$ . Vi setter $PF = x$ .

En maur går fra $A$ til $P$ og videre til $G$ på overflaten av terningen (se figuren).

Forklar at mauren tilbakelegger strekningen $s$ gitt ved

s(x) = \sqrt{2^2 + (2-x)^2} + \sqrt{x^2 + 2^2}

Bruk kalkulator eller et program på datamaskinen til å finne den korteste strekningen mauren kan gå for å komme fra $A$ til $G$ .

En elev kommer med følgende påstand: «Hvis jeg svinger opp lokket $EFGH$ om $EF$ , så ser jeg med en gang at $s_{\min} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ .»

Tegn en figur og forklar hvordan eleven har resonnert og regnet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Romgeometri, Geometri

Oppgave 2-6 : Innskrevet vinkel i regulær sekskant teatersal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

Regulær sekskant ABCDEF som teatersal med sete S og vinkel α

En teatersal er formet som en regulær sekskant $ABCDEF$ med side 16 m. Scenekanten er siden $AB$ i sekskanten. Et sete er plassert i punktet $S$ . $\angle ASB = \alpha$ .

Finn lengden til $BD$ ved regning.

Forklar at $\alpha = 30°$ når setet er plassert i hjørnene $C$ , $D$ , $E$ eller $F$ .

Ikke alle er enige om hvor de beste setene i salen er.

Noen mener at det beste setet er der hvor $\alpha = 90°$ . Vis ved hjelp av konstruksjon hvor de beste setene er plassert hvis dette er det eneste kravet.

Vis ved hjelp av en skisse, på frihånd eller med digitalt verktøy, hvor vi kan plassere $S$ slik at $\alpha = 45°$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Sirkel, Trigonometri, Geometri, Konstruksjon

Oppgave 2-7 : Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvartsirkel med tangent i P som skjærer koordinataksene i A og B

Figuren ovenfor viser en kvartsirkel med radius 3 og sentrum i origo. En tangent i punktet $P$ skjærer koordinataksene i $A$ og $B$ .

Kvartsirkelen er grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \sqrt{9 - x^2}, \qquad x \in \langle 0,\, 3 \rangle

Punktet $P$ har førstekoordinat $a$ . Det kan vises at likningen for tangenten er

y = \frac{-a}{\sqrt{9 - a^2}} \cdot x + \frac{9}{\sqrt{9 - a^2}}

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $a$ .

Vis at arealet $F$ av trekanten $OAB$ er

F(a) = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{a\sqrt{9 - a^2}}

Tegn en skisse av grafen til $F$ . Bruk skissen til å finne det minste arealet av $\triangle OAB$ med tilhørende verdi av $a$ .

Bestem $F'(a)$ og bruk denne til å finne den eksakte verdien for $a$ som gjør at arealet av trekanten blir minst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Derivasjon, Optimering, Sirkel, Tangent, Areal

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2010

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, polynomdivisjon, vektorfunksjon og grenseverdi

Oppgave 1-2 : Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 44 poeng

Oppgave 2-3 : Drøfting av 4x² ganger e i minus x

Oppgave 2-4 : Punkt i kvadrat og areal av to trekanter

Oppgave 2-5 : Trekant med parallell midtlinje og glidende hjørne

Oppgave 2-6 : Maur på terningoverflate korteste vei

Oppgave 2-6 : Innskrevet vinkel i regulær sekskant teatersal

Oppgave 2-7 : Tangent til kvartsirkel og minste trekantareal OAB

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave