R1 Høst 2009

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2009 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, logaritmeuttrykk, vektorer og grenseverdi R1 H09	—
2	Vivianis setning og bevis med areal	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Sykdomstest og betinget sannsynlighet med Bayes	—
4	Partikkel med eksponential posisjonsvektor og fart	—
4	Tangentpunkt på sirkel og konstant vinkel CSB	—
5	Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, logaritmeuttrykk, vektorer og grenseverdi R1 H09

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen $\quad f(x) = 5e^{3x}$

Deriver funksjonen $\quad g(x) = x^3 \cdot \ln(2x)$

Likningen $2x^3 - 10x^2 - 2x + 10 = 0$ har tre løsninger. Vis at $x_1 = 1$ er en løsning og finn de to andre.

Skriv så enkelt som mulig $\quad \lg(a^2 b) - \lg\!\left(\dfrac{1}{ab}\right)$

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon.

Graf av stykkevis funksjon

Bestem $x$ -verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er kontinuerlig. Begrunn svaret ditt.

Bestem $x$ -verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er deriverbar. Begrunn svaret ditt.

Bestem grenseverdien $\quad \displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 - x}{x + 1}$

Et kvadrat $OABC$ med side $a$ er plassert i et koordinatsystem. Hjørnet $O$ er i origo, og $A$ ligger på førsteaksen. Se figuren til høyre.

Kvadrat OABC i koordinatsystem

Bestem koordinatene til punktene $A$ , $B$ og $C$ uttrykt ved $a$ .

Vis at diagonalene i kvadratet står vinkelrett på hverandre.

Vi har punktene $A(1,\, 2)$ , $B(2,\, 4)$ og $C(6,\, 2)$ .

En linje $l$ går gjennom $A$ og $B$ . Bestem en parameterframstilling for $l$ .

En linje $m$ går gjennom $C$ og er parallell med vektoren $\begin{bmatrix} -2, & 1 \end{bmatrix}$ . Finn skjæringspunktet mellom $l$ og $m$ ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Grenseverdi, Vektorer, Kontinuitet, Parameterframstilling

Oppgave 1-2 : Vivianis setning og bevis med areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den italienske matematikeren Vincenzo Viviani (1622–1703) har fått følgende setning i geometrien oppkalt etter seg:

Et punkt $P$ plasseres vilkårlig inne i en likesidet trekant $ABC$ . Da er summen av avstandene fra $P$ til hver av trekantens sider lik høyden i trekanten.

Tegn en figur, sett på aktuelle symboler (bokstaver) og formuler Vivianis setning med matematiske symboler.

Skriv arealet av trekanten på to forskjellige måter, og bruk dette til å bevise Vivianis setning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Bevis, Areal, Trekant

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Sykdomstest og betinget sannsynlighet med Bayes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi bruker en test for å undersøke om en person har en bestemt sykdom.

Vi definerer hendelsene:

$T$ : Testen tyder på at personen har sykdommen.

$S$ : Personen har faktisk sykdommen.

Vi har $P(T \mid S) = 0{,}96$ og $P(T \mid \overline{S}) = 0{,}05$ . Forklar hva disse sannsynlighetene forteller oss. Bestem $P(\overline{T} \mid S)$ .

Vi antar at 3 % av befolkningen har denne sykdommen. En tilfeldig valgt person skal testes.

Bestem $P(T)$ .

Dersom testen tyder på at personen har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at denne personen faktisk har sykdommen?

Dersom testen tyder på at personen ikke har sykdommen, hva er da sannsynligheten for at personen likevel faktisk har sykdommen?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Betinget sannsynlighet, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Partikkel med eksponential posisjonsvektor og fart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Posisjonen til en partikkel etter $t$ sekunder er gitt ved

\vec{r}(t) = \begin{bmatrix} 4t - 3t \cdot e^{-t}, & 5t \cdot e^{-t} \end{bmatrix} \quad \text{der} \quad t \geq 0

Enheten langs aksene er meter. Andrekoordinaten er høyden over bakken.

Hva er posisjonen til partikkelen etter ett sekund? Tegn grafen til $\vec{r}$ .

Finn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren ved regning.

Bestem farten (absoluttverdien av fartsvektoren) etter to sekunder.

Finn ved regning når partikkelen er i det høyeste punktet.

Bestem vinkelen mellom posisjonsvektoren og fartsvektoren i det høyeste punktet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Parameterframstilling

Oppgave 2-4 : Tangentpunkt på sirkel og konstant vinkel CSB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy.

Vi har en sirkel med sentrum i $S$ og et punkt $M$ utenfor sirkelen. Hver av sidene i trekanten $CMB$ ligger på en tangent til sirkelen.

Tangentene gjennom $M$ og $D$ og gjennom $M$ og $E$ ligger fast. Tangenten gjennom $B$ og $C$ kan varieres. Denne tangenten tangerer sirkelen i punktet $A$ . $A$ ligger på den korteste buen mellom $D$ og $E$ . Se figuren nedenfor.

Sirkel med tangenter og punkt A på buen

I denne oppgaven skal du undersøke om denne sammenhengen gjelder:

For alle mulige plasseringer av tangeringspunktet $A$ er $\angle CSB$ konstant.

Bruk dynamisk programvare eller passer og linjal til å konstruere en figur som stemmer med beskrivelsen ovenfor. Flytt punktet $A$ , og observer hver gang størrelsen til $\angle CSB$ . Hvor godt stemmer sammenhengen ovenfor med dine observasjoner?

Forklar at:

trekantene $SDB$ og $SAB$ er kongruente (like)

trekantene $SEC$ og $SAC$ er kongruente (like)

\angle CSB = \dfrac{1}{2} \cdot \angle ESD

Bruk resultatene i b) til å forklare at $\angle CSB$ er konstant.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Konstruksjon

Oppgave 2-5 : Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje med stigningstall $a$ går gjennom punktet $(2,\, 1)$ . Linjen skal synke mot høyre.

Linje gjennom (2,1) med skjæringspunkter A og B

Vis at ligningen til linjen kan skrives som $y = ax - 2a + 1 \quad , \quad \text{der } a < 0$

Vi kaller skjæringspunktet med $x$ -aksen for $A$ og skjæringspunktet med $y$ -aksen for $B$ . Vi lar $F(a)$ være arealet av trekanten $OAB$ . $O$ er origo. Skissene nedenfor viser trekantene for $a = -5$ , $a = -2$ , $a = -0{,}5$ og $a = -0{,}1$ .

Trekanter OAB for ulike verdier av a

I denne oppgaven skal du finne ut hvilken $a$ -verdi som gjør arealet minst.

Vis at $F(a) = -\dfrac{(2a-1)^2}{2a}$

Tegn grafen til $F$ . Velg $a$ -verdier i intervallet $\left[-5,\, -\dfrac{1}{10}\right]$ . Bruk grafen til å finne det minste arealet og det tilhørende stigningstallet til linjen.

Vis ved regning at $F'(a) = \dfrac{(2a-1) \cdot (-2a-1)}{2a^2}$

Tegn fortegnslinjen til $F'(a)$ og bruk den til å finne det minste arealet. Hva er ligningen til linjen når arealet er minst?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Optimering, Areal, Lineære funksjoner, Fortegnslinje

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2009

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, logaritmeuttrykk, vektorer og grenseverdi R1 H09

Oppgave 1-2 : Vivianis setning og bevis med areal

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Sykdomstest og betinget sannsynlighet med Bayes

Oppgave 2-4 : Partikkel med eksponential posisjonsvektor og fart

Oppgave 2-4 : Tangentpunkt på sirkel og konstant vinkel CSB

Oppgave 2-5 : Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave