Fysikk 2 Høst 2020

Elektrisk feltstyrke er kraft per ladning, $E={\displaystyle \frac{F}{q}}$, så enheten er $\mathrm{N}/\mathrm{C}$. Den kan også skrives $\mathrm{V}/\mathrm{m}$, siden $E={\displaystyle \frac{U}{d}}$ i et homogent felt, men verken $\mathrm{Vm}$, $\mathrm{m}/\mathrm{V}$ eller $\mathrm{NC}$ er enheter for feltstyrke.

A stemmer, begge lengdene har absolutt usikkerhet $2\mathrm{m}\mathrm{m}$. B stemmer, den relative usikkerheten er ${\displaystyle \frac{2}{10}}=20$ % for $l_1$ og ${\displaystyle \frac{2}{15}}\approx 13$ % for $l_2$. Ved både sum og differanse legges de absolutte usikkerhetene sammen: $l_1+l_2=(25\pm 4)\mathrm{m}\mathrm{m}$ og $l_1-l_2=(-5\pm 4)\mathrm{m}\mathrm{m}$. C stemmer altså, mens D er feil – usikkerhetene nuller ikke ut hverandre når vi trekker fra.

Loddet er i ro, så de vannrette komponentene av snordragene er like store, og de loddrette komponentene har til sammen samme størrelse som tyngden. Den korte venstre snora er brattest, dvs. den danner minst vinkel med loddlinjen: ${\alpha }_{\mathrm{V}}<{\alpha }_{\mathrm{H}}$. Likevekt vannrett gir $S_{\mathrm{V}}\sin {\alpha }_{\mathrm{V}}=S_{\mathrm{H}}\sin {\alpha }_{\mathrm{H}}$, og siden $\sin {\alpha }_{\mathrm{V}}<\sin {\alpha }_{\mathrm{H}}$, må $S_{\mathrm{V}}>S_{\mathrm{H}}$. Snordraget er altså størst på venstre side, og påstand 1 er feil. Venstre snor har både størst snordrag og størst $\cos \alpha$, så $S_{\mathrm{V}}\cos {\alpha }_{\mathrm{V}}>S_{\mathrm{H}}\cos {\alpha }_{\mathrm{H}}$: de loddrette komponentene er ikke like store, og påstand 2 er også feil.

Den eneste vannrette kraften er fjærkraften $F=-kx$, så Newtons 2. lov gir $a=-{\displaystyle \frac{k}{m}}x$. Akselerasjonen er proporsjonal med utslaget og alltid rettet mot likevektsstillingen: grafen er en rett linje gjennom origo med negativt stigningstall. Det spiller ingen rolle at loddet først ble presset mot venstre – sammenhengen mellom $a$ og $x$ er den samme hele veien.

Toppen av loopen og bakketoppen ligger i samme høyde, så vogna har samme fart $v$ begge steder (bevaring av mekanisk energi). Øverst i loopen peker både tyngden og normalkraften mot sentrum: $mg+N_0={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$. På bakketoppen peker tyngden mot sentrum og normalkraften ut fra sentrum: $mg-N={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=mg+N_0$, som gir $N=-N_0\le 0$. Underlaget kan bare skyve, ikke trekke, så farten er stor nok til at vogna letter: normalkraften er $N=0$ når vogna passerer bakketoppen.

Uten friksjon er kraftsummen på klossen $mg\sin \alpha$ nedover langs skråplanet både på vei opp, i snupunktet og på vei ned. Akselerasjonen $a=g\sin \alpha$ er derfor konstant og ulik null hele tiden, så C og D er feil. Bevegelsen ned er et speilbilde av bevegelsen opp: klossen tilbakelegger samme strekning med samme akselerasjon, fra fart null i toppen, og bruker like lang tid begge veier.

Idet gaven slippes, har den samme fart som sleden, rettet langs tangenten til banen. Etter at den er sluppet, virker bare tyngdekraften (vi ser bort fra luftmotstand), og den er loddrett. Sett ovenfra fortsetter gaven derfor i en rett linje langs tangenten i slippunktet – den følger ikke svingen. Tangenten i A peker rett mot venstre over huset ved siden av, og tangenten i C peker nedover langs gata. Tangenten i B peker på skrå ned mot venstre, rett mot pipa.

Astronauten og hammeren utgjør et isolert system. Kreftene mellom dem under kastet er indre krefter som er like store og motsatt rettet (Newtons 3. lov), så den totale bevegelsesmengden er bevart. Kinetisk energi er derimot ikke bevart: astronauten gjør et arbeid med musklene, og kjemisk energi i kroppen omdannes til kinetisk energi. Den totale kinetiske energien øker.

Are tar feil: gravitasjonsfeltet skyldes månens masse, $g=\gamma {\displaystyle \frac{M_{\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{m}}^2}}\approx \mathrm{1,6}\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$, og har ingenting med atmosfæren å gjøre. Bente har rett: feltstyrken på overflaten er vektorsummen av feltet fra månen og feltet fra jorda. På siden som vender mot jorda, peker jordas felt motsatt vei av månens felt, mens på siden som vender vekk fra jorda, peker begge feltene samme vei (mot jorda). Jordas felt ved månen er bare omtrent $3\cdot {10}^{-3}\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$, så forskjellen er ørliten.

Gravitasjonskraften er sentripetalkraften: $\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$, som gir $T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{\gamma M}}{r}^3$ (Keplers 3. lov). Omløpstiden er altså proporsjonal med $r^{3/2}$, og

Gravitasjonskraften på raketten er $F=\gamma {\displaystyle \frac{mM}{r^2}}$ og peker mot jorda. Når raketten flyttes utover fra $r_1$ til $r_2$, gjør gravitasjonskraften et negativt arbeid, og endringen i potensiell energi er minus dette arbeidet:

A og B har feil kraftlov (${\displaystyle \frac{1}{r}}$ i stedet for ${\displaystyle \frac{1}{r^2}}$), og A og C har feil nedre grense – integralet skal gå over strekningen raketten faktisk flytter seg.

Mellom partiklene peker feltet fra den positive ladningen bort fra den (mot høyre), og feltet fra den negative ladningen peker mot den (også mot høyre). Feltene forsterker hverandre, så $E$ har samme retning langs hele strekningen og blir aldri null. Hvert bidrag er $k_{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{|q|}{r^2}}$, så feltstyrken er minst midt mellom partiklene og vokser kraftig nær hver av dem, symmetrisk om $x=0$. Graf B passer for to like ladninger, der feltene motvirker hverandre og $E=0$ midt mellom.

Kraften på lederen er $F=IlB$, så

Magnetfeltet går fra nordpolen mot sydpolen, altså mot venstre i figuren, og lederen går fra P (foran) til Q (bak). Med høyrehåndsregelen for $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$ (fingrene i strømretningen, bøy dem mot $\overrightarrow{B}$, tommelen viser kraften) gir strøm fra P til Q en kraft oppover. Kraften er nedover, så strømmen går fra Q til P.

Inne i en spole er magnetfeltet tilnærmet homogent og parallelt med spoleaksen, så C og D, med sirkulære feltlinjer inne i vindingene, er feil. For å finne retningen må vi se hvordan vindingene er viklet. Der ledningen krysser seg selv øverst, ligger venstre halvdel av hver vinding foran. Strømmen går opp langs venstre tilførselsledning, over toppen og bakover, ned på baksiden og fram igjen under spolen – på forsiden av vindingene går strømmen altså oppover. Høyrehåndsregelen (tommelen i strømretningen, fingrene viser feltet) gir da et felt som peker mot venstre bak disse ledningsbitene, dvs. inne i spolen. Det er figur B.

Etter Lenz’ lov går induksjonsstrømmen slik at den motvirker endringen i magnetisk fluks. Når stanga dras mot høyre, øker arealet av krets 1, og fluksen oppover gjennom kretsen øker. Induksjonsstrømmen må da lage et felt nedover inne i krets 1, og det gir strøm med klokka sett ovenfra. Arealet av krets 2 minker, fluksen oppover minker, og induksjonsstrømmen lager et felt oppover: strøm mot klokka sett ovenfra. Det henger sammen: begge kretsene har strømmen gjennom stanga i samme retning, og da går strømmen rundt hver sin krets motsatt vei.

Vi dekomponerer farten i $v\cos \theta$ langs feltet og $v_{⟂}=v\sin \theta$ vinkelrett på feltet. Den magnetiske kraften virker bare vinkelrett på feltet og gir en sirkelbevegelse i planet vinkelrett på $\overrightarrow{B}$: $e{v}_{⟂}B={\displaystyle \frac{m{v}_{⟂}^2}{r}}$, altså $r={\displaystyle \frac{mv\sin \theta }{eB}}$. Fartskomponenten langs feltet påvirkes ikke, så elektronet beveger seg samtidig jevnt langs feltlinjene. Sirkelbevegelse og jevn bevegelse langs aksen gir til sammen en skruebane.

Grafene gjentar seg hvert $\mathrm{0,020}\mathrm{s}$ (f.eks. topper ved $\mathrm{0,005}\mathrm{s}$ og $\mathrm{0,025}\mathrm{s}$), så $f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,020}\mathrm{s}}}=50\mathrm{H}\mathrm{z}$. Toppspenningen er omtrent $230\mathrm{V}$ over primærspolen og omtrent $58\mathrm{V}$ over sekundærspolen, altså en fjerdedel. Spenningene er proporsjonale med vindingstallene, ${\displaystyle \frac{U_{\mathrm{s}}}{U_{\mathrm{p}}}}={\displaystyle \frac{N_{\mathrm{s}}}{N_{\mathrm{p}}}}$, så $N_{\mathrm{s}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 1000=250$.

Nøytronet er et baryon med baryontall $1$. På høyre side er ${\pi }^{-}$ et meson og ${\mathrm{e}}^{+}$ og ${\bar{\nu }}_{\mathrm{e}}$ leptoner, så baryontallet etter reaksjonen er $0$ – lov 1 er brutt. Leptontallet er $0$ før reaksjonen. Positronet og elektronantinøytrinoet er begge antileptoner med leptontall $-1$, så leptontallet etter er $-2$ – lov 2 er også brutt. (Ladningen er bevart, $0=-1+1+0$, men det hjelper ikke.)

Det andre postulatet i den spesielle relativitetsteorien sier at lys i vakuum har farten $c$ i alle treghetssystemer, uavhengig av hvordan lyskilden og observatøren beveger seg. Romfareren måler derfor $c$. Å legge sammen farter som i klassisk mekanikk ($c+\mathrm{0,3}c=\mathrm{1,3}c$) gjelder ikke for lys.

Begge lyspulsene sendes ut fra og kommer tilbake til samme punkt i romskipet. I romskipet skjer altså start og retur på samme sted, så $t_1$ og $t_2$ er egentider. Sett fra jorda har romskipet flyttet seg mellom start og retur, så hendelsene skjer på ulike steder, og jorda måler tidsdilaterte tider $T={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$ for begge pulsene. Dermed er $t_1<T_1$ og $t_2<T_2$ – det gjelder uansett om lyset går på tvers av eller langs bevegelsesretningen.

Lyset består av fotoner med energi $hf$, og hvert foton kan frigjøre høyst ett elektron. Høyere intensitet ved samme frekvens betyr flere fotoner per tidsenhet og dermed flere frigjorte elektroner per tidsenhet, så påstand 1 er riktig. Den største kinetiske energien til elektronene er $E_{\mathrm{k}}=hf-W$, som bare avhenger av frekvensen og løsrivingsarbeidet, ikke av intensiteten. Påstand 2 er derfor feil.

De Broglie-bølgelengden er $\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$. Bølgelengden er omvendt proporsjonal med farten: den er svært stor når elektronet så vidt har begynt å bevege seg, og avtar mot null når farten øker. Grafen er en hyperbel, som i C.

Uskarphetsrelasjonen for energi og tid er $\mathrm{\Delta }E\cdot \mathrm{\Delta }t\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}$. Her er $\mathrm{\Delta }t$ tiden atomet befinner seg i tilstanden, $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-12}\mathrm{s}$ – usikkerheten $\pm \mathrm{0,1}\cdot {10}^{-12}\mathrm{s}$ gjelder bare selve tidsmålingen. Den minste uskarpheten i energien blir

Signalet gjentar seg hvert $\mathrm{0,001}\mathrm{s}$ (nullgjennomganger oppover ved $0$, $\mathrm{0,001}\mathrm{s}$ og $\mathrm{0,002}\mathrm{s}$), så frekvensen er $f={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}}=1000\mathrm{H}\mathrm{z}$. Samplingsfrekvensen $4000\mathrm{H}\mathrm{z}$ er større enn det dobbelte av signalfrekvensen, $2000\mathrm{H}\mathrm{z}$, så Nyquist-kravet er oppfylt. Det rekonstruerte signalet får da samme frekvens som originalen, $1000\mathrm{H}\mathrm{z}$. Samplingsfrekvensen sier hvor ofte vi måler, ikke hvilken frekvens signalet har.

Kula påvirkes av tre krefter:

• tyngden $\overrightarrow{G}$, loddrett nedover, med størrelse $G=mg$
• snordraget $\overrightarrow{S}$, langs tråden mot opphengspunktet
• den elektriske kraften ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}$ fra feltet mellom platene. Feltet peker fra den positive mot den negative plata, og kula er positivt ladd, så kraften er vannrett mot høyre, med størrelse $F_{\mathrm{e}}=qE$.

Feltet mellom platene er homogent med feltstyrke $E={\displaystyle \frac{U}{d}}$, så $F_{\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{qU}{d}}$. Kula er i ro, så kraftsummen er null. Vi dekomponerer snordraget i en vannrett og en loddrett komponent:

Vi deler den øverste likningen på den nederste:

Uttrykket for $\tan v$ inneholder ikke lengden av tråden. Feltet mellom platene er homogent, så den elektriske kraften er den samme uansett hvor kula henger. Vinkelen $v$ blir derfor den samme når tråden blir lengre (så lenge kula ikke kommer borti plata).

Grafen viser at kraften øker lineært fra $0$ til $40\mathrm{N}$ når fjæra presses sammen $\mathrm{0,10}\mathrm{m}$. Arbeidet er arealet under grafen, som er en trekant:

Det er det samme som $W={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2$ med fjærstivheten $k={\displaystyle \frac{40\mathrm{N}}{\mathrm{0,10}\mathrm{m}}}=400\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

Vi ser bort fra friksjon. Når fjæra frigjøres, blir den elastiske energien på $\mathrm{2,0}\mathrm{J}$ omdannet til kinetisk energi hos kula:

Kula og klossen henger sammen etter støtet, så støtet er fullstendig uelastisk, og kinetisk energi er ikke bevart. Det virker ingen ytre krefter i bevegelsesretningen, så bevegelsesmengden er bevart:

Et eksempel er at lys fra stjerner bøyes av når det passerer nær sola.

• Den generelle relativitetsteorien sier at masse krummer tid og rom, og at også lys følger denne krumningen. Ifølge ekvivalensprinsippet vil en lysstråle se ut til å krumme seg i en akselerert heis, og da må lys også krumme seg i et gravitasjonsfelt.
• Teorien forutsa at lys fra en stjerne som passerer like ved kanten av sola, bøyes av omtrent $\mathrm{1,75}$ buesekunder – dobbelt så mye som en beregning bygd på newtonsk mekanikk gir.
• Stjerner som ligger nær sola på himmelen, kan bare observeres under en total solformørkelse. Under solformørkelsen i 1919 fotograferte Arthur Eddington og medarbeiderne hans stjernene rundt sola og sammenlignet posisjonene med bilder av den samme stjernehimmelen tatt om natta, da sola var et helt annet sted på himmelen.
• Stjernene nær sola så ut til å være forskjøvet utover fra sola, med omtrent den vinkelen den generelle relativitetsteorien forutsa. Dette var en av de første bekreftelsene av teorien.

Andre observasjoner som også støtter teorien, er gravitasjonslinser, at klokker går saktere dypere nede i et gravitasjonsfelt (må korrigeres for i GPS-systemet), og gravitasjonsbølgene som ble målt for første gang i 2015.

Compton sendte røntgenstråling med kjent bølgelengde $\lambda$ mot et stoff med løst bundne elektroner (grafitt), som kan regnes som frie elektroner i ro. Med en detektor som kunne flyttes rundt målet, målte han bølgelengden ${\lambda }^{\prime }$ til strålingen som ble spredt i ulike vinkler $\theta$.

• Resultat: Den spredte strålingen hadde lengre bølgelengde enn den innkommende, og økningen var større jo større spredningsvinkelen var: $\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }^{\prime }-\lambda ={\displaystyle \frac{h}{m_{\mathrm{e}}c}}(1-\cos \theta )$.
• Tolkning: Etter bølgemodellen skulle elektronene svinge i takt med strålingen og sende ut stråling med samme bølgelengde. Resultatet kan bare forklares hvis strålingen består av fotoner med energi $E=hf$ og bevegelsesmengde $p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}$, som støter mot elektronene som partikler. Fotonet gir fra seg en del av energien og bevegelsesmengden sin til elektronet og får dermed lavere frekvens og lengre bølgelengde. Bevaring av energi og bevegelsesmengde i støtet gir nettopp formelen over.

Forsøket viste at lys har partikkelegenskaper: fotoner har bevegelsesmengde og kan støte mot elektroner som partikler.

Uten luftmotstand er tyngdekraften den eneste kraften på ballen. Den virker loddrett, så i horisontal retning er akselerasjonen null og farten konstant:

Tiden ballen bruker på $40\mathrm{m}$ horisontalt, er

Loddrett har ballen startfarten $v_{0y}=v_0\sin 31°=\mathrm{11,85}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ og akselerasjonen $-g$. Vi setter inn den uavrundede tiden fra a, $t=\mathrm{2,029}\mathrm{s}$:

Ballen er $\mathrm{3,84}\mathrm{m}-\mathrm{3,1}\mathrm{m}=\underline{\underline{\mathrm{0,74}\mathrm{m}}}$ over overliggeren når den passerer målet.

Svaret er følsomt for avrunding: regner vi med $t=\mathrm{2,0}\mathrm{s}$, får vi $y=\mathrm{4,07}\mathrm{m}$, altså ca. $\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ over overliggeren. Derfor bruker vi den uavrundede tiden.

Loddrett fart ved målet er $v_y=v_{0y}-gt=\mathrm{11,85}\mathrm{m}/\mathrm{s}-\mathrm{9,81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{2,029}\mathrm{s}=-\mathrm{8,06}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, så ballen er allerede på vei ned. Står spilleren lenger unna, er ballen lavere når den når målet. Den største avstanden svarer til at ballen er nøyaktig $\mathrm{3,1}\mathrm{m}$ over bakken på vei ned:

Andregradsformelen gir $t=\mathrm{0,30}\mathrm{s}$ (på vei opp) og $t=\mathrm{2,116}\mathrm{s}$ (på vei ned). Vi bruker det siste tidspunktet:

Den største avstanden mellom avsparket og målet er $\underline{\underline{x=42\mathrm{m}}}$.

Figuren er sett ovenfra. Lederen står rett nord for kompasset. Uten strøm peker nåla mot nord. Med strøm dreier den røde enden mot høyre, altså mot øst. Da har feltet fra lederen en komponent mot øst der kompasset ligger, rett sør for lederen.

Magnetfeltlinjene rundt en rett leder er sirkler. Peker feltet mot øst på sørsiden av lederen, går feltlinjene mot klokka sett ovenfra. Høyrehåndsregelen (fingrene langs feltlinjene, tommelen i strømretningen) gir da en strøm som peker opp mot oss som ser ovenfra. Strømmen går altså oppover i lederen, opp fra bordet.

Metode 1. Feltet fra en lang rett leder er

Metode 2. Feltet fra lederen peker mot øst og står vinkelrett på horisontalkomponenten $B_{\text{jord}}$ av jordmagnetfeltet, som peker mot nord. Kompassnåla peker langs det samlede feltet, som danner vinkelen $\theta$ med nord:

Metode 1 gir $\underline{\underline{B=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}}}$ og metode 2 gir $\underline{\underline{B=\mathrm{5,6}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}}}$.

Vi regner ut feltet for den målte vinkelen og for ytterpunktene $24°$ og $28°$:

Avviket er $\mathrm{0,65}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}$ nedover og $\mathrm{0,68}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}$ oppover. Vi runder av til én usikker desimal:

Etter metode 2 ligger feltet mellom $\mathrm{6,9}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}$ og $\mathrm{8,2}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}$. Verdien $\mathrm{8,4}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}$ ligger like over dette intervallet, så de to resultatene stemmer ikke overens innenfor usikkerheten. Avviket er likevel lite: for å få $\mathrm{8,4}\cdot {10}^{-6}\mathrm{T}$ med metode 2 måtte vinkelen vært $\mathrm{28,6}°$, bare $\mathrm{0,6}°$ utenfor usikkerheten.

Grafen viser at feltet fra kompassutslaget ligger under Biot-Savart-kurven for nesten alle avstander, og at det relative avviket blir stort ved store $r$. Mulige grunner:

• Lederen er ikke uendelig lang. $B=k_{\mathrm{m}}{\displaystyle \frac{I}{r}}$ gjelder en lang rett leder. Den loddrette lederen på bildet er bare noen desimeter lang, og en kort leder gir svakere felt. Jo større $r$ er i forhold til lengden av lederen, desto større blir forskjellen. Det passer med at avviket vokser med avstanden.
• Tilførselsledningene lager også felt. Strømmen går inn og ut gjennom ledningene øverst og ned til multimeteret. Disse delene av kretsen gir egne felt som delvis kan motvirke feltet fra den loddrette lederen.
• Det lokale jordmagnetfeltet er ikke $\mathrm{1,54}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}$. Jern og stål i nærheten, som stativfoten, bordet, bygningen og multimeteret, endrer feltet der kompasset ligger.
• Oppstillingen er ikke perfekt. Står lederen ikke nøyaktig nord for kompasset, er feltet fra lederen ikke vinkelrett på jordmagnetfeltet, og $B=B_{\text{jord}}\tan \theta$ gjelder ikke.
• Måleusikkerhet. Ved store $r$ er utslaget bare noen få grader, så $\pm 2°$ gir stor relativ usikkerhet. Nåla kan også henge litt på grunn av friksjon. Ved små $r$ er nåla lang i forhold til avstanden, feltet varierer langs nåla, og det er uklart hvor $r$ skal måles fra. Strømmen kan dessuten variere litt under forsøket.

Det virker to krefter på klossen:

• Tyngdekraften $\overrightarrow{G}=m\overrightarrow{g}$, rett nedover.
• Normalkraften $\overrightarrow{N}$ fra banen, vinkelrett på underlaget. Klossen ligger på utsiden av sirkelen, så normalkraften peker radielt utover, bort fra sentrum S.

Banen er friksjonsfri, så det er ingen friksjonskraft. De stiplede pilene viser komponentene av $\overrightarrow{G}$ som brukes i c.

Normalkraften står hele tiden vinkelrett på fartsretningen og gjør ikke arbeid, og det er ingen friksjon. Bare tyngdekraften gjør arbeid, så den mekaniske energien er bevart.

Toppen av banen ligger høyden $r$ over S. Når linjen til klossen danner vinkelen $\theta$ med vertikalen, er klossen $r\cos \theta$ over S. Klossen har da falt høyden

Klossen starter fra ro, så tapt potensiell energi blir kinetisk energi:

Vinkelrett på underlaget betyder langs radien. Vi velger positiv retning inn mot S og dekomponerer tyngdekraften langs radien og langs banen. Radien danner vinkelen $\theta$ med vertikalen, så vinkelen mellom $\overrightarrow{G}$ og retningen mot S er også $\theta$:

• Komponenten av $\overrightarrow{G}$ inn mot S er $mg\cos \theta$.
• Komponenten langs banen er $mg\sin \theta$. Den står parallelt med underlaget og teller ikke med her.

Normalkraften peker bort fra S og teller negativt. Summen av kreftene vinkelrett på underlaget blir

Så lenge klossen følger banen, går den i sirkel med radius $r$. Summen av kreftene inn mot sentrum må da være $ma=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$. Vi setter inn resultatene fra b og c:

Vi løser for $N$:

Underlaget kan bare skyve på klossen, ikke trekke i den, så $N\ge 0$ så lenge klossen har kontakt. Klossen mister kontakten når normalkraften blir null:

Kvartsirkelen er fullført ved $\theta =90°$. For $\theta >\mathrm{48,2}°$ krever sirkelbevegelsen større kraft mot sentrum, $2mg(1-\cos \theta )$, enn tyngdekraften kan gi, $mg\cos \theta$. Da måtte $N$ vært negativ, noe som er umulig. Klossen mister derfor kontakten med banen ved $\underline{\underline{\theta =48°}}$, lenge før den har fullført kvartsirkelen. Resultatet er uavhengig av både massen og radien.