Fysikk 2 Vår 2020

Gravitasjonsfeltstyrken er gravitasjonskraften per masse, $g={\displaystyle \frac{F}{m}}$, med enhet $\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$. Siden $1\mathrm{N}=1\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, er $\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}=\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Enheten $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ hører til fjærkonstanten, og $\mathrm{J}/\mathrm{m}=\mathrm{N}$ er en enhet for kraft, ikke for feltstyrke.

Spenningene forholder seg som vindingstallene:

Vindingstallene er eksakte tall, så antallet gjeldende siffer bestemmes av spenningen $\mathrm{0,220}\mathrm{k}\mathrm{V}$, som har tre gjeldende siffer. Svaret skal derfor oppgis som $\mathrm{55,0}\mathrm{V}$. Alternativ A har bare to gjeldende siffer, og C og D har brukt omsetningsforholdet feil vei (sekundærspolen har færre vindinger, så spenningen blir lavere).

Etter samplingsteoremet må samplingsfrekvensen være minst dobbelt så stor som den høyeste frekvensen i signalet:

Alternativ C bruker den laveste frekvensen, og da vil de høyeste frekvensene i signalet ikke bli gjengitt riktig.

Normalkraften heller mot høyre, så sentrum i svingen ligger til høyre. Uten friksjon er det den horisontale komponenten av $\overrightarrow{N}$ som alene gir sentripetalkraften ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$. Når farten øker og radien er den samme, må kraftsummen inn mot sentrum bli større. Den ekstra kraften må komme fra friksjon langs underlaget nedover mot høyre, altså inn mot sentrum.

Denne friksjonskraften har også en komponent loddrett nedover. Siden bilen ikke akselererer loddrett, må den loddrette komponenten av $\overrightarrow{N}$ balansere både $G$ og friksjonens loddrette komponent. Med doseringsvinkelen $\alpha$ og friksjonen $R$ er $N\cos \alpha =G+R\sin \alpha$. Derfor må $N$ øke.

Uten friksjon og luftmotstand virker bare tyngden $\overrightarrow{G}$ (loddrett ned) og normalkraften $\overrightarrow{N}$, som alltid står vinkelrett på underlaget.

• A: På toppen krummer banen nedover, så kraftsummen skal peke ned mot sentrum: $G>N$. Riktig tegnet.
• B: Banen heller bratt, men normalkraften er tegnet loddrett. Den skulle stått vinkelrett på banen. Feil.
• C: I bunnen skal kraftsummen peke opp mot sentrum: $N>G$. Riktig tegnet.
• D: Normalkraften står vinkelrett på den skrå banen. Riktig tegnet.

I det øverste punktet virker tyngden $mg$ og snorkraften $S$, og begge peker nedover mot sentrum. Akselerasjonen $4g$ peker også mot sentrum. Newtons 2. lov gir

Alternativ D får man om man trekker fra tyngden i stedet for å legge den til, slik det ville vært i det nederste punktet.

Etter Hookes lov, $F=kx$, er forlengelsen proporsjonal med kraften i fjæra. Én fjær med loddet gir forlengelsen $l_0$.

• Figur 2 (parallell): De to fjærene deler tyngden, så hver fjær holder $\frac{1}{2}mg$ og forlenges $\frac{1}{2}{l}_0$. Loddet henger $\frac{1}{2}{l}_0$ ned.
• Figur 3 (serie): Fjærene er masseløse, så begge fjærene holder hele tyngden $mg$ og forlenges $l_0$ hver. Samlet forlengelse blir $2l_0$.

Under støtet virker det ingen ytre krefter i bevegelsesretningen, så den samlede bevegelsesmengden er bevart. Fra grafen:

Den horisontale farten er konstant, $v_x=\mathrm{3,0}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Loddrett starter ballen fra ro og faller $\mathrm{0,45}\mathrm{m}$:

Vinkelen med horisontalen er gitt ved $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{v_y}{v_x}}=1$, altså $\alpha =45°$.

Den potensielle energien er $E_{\text{p}}=-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r}}$. Den er negativ og blir større (nærmere null) jo lenger unna planeten satellitten er, så den er størst i Y. Den mekaniske energien $E_{\text{p}}+E_{\text{k}}$ er bevart i banen, så den kinetiske energien er størst der den potensielle er minst, altså i X. Satellitten går fortest nærmest planeten.

Feltet peker ut av papirplanet. Partikkelen kommer inn med fart mot venstre og bøyes nedover, så den magnetiske kraften peker nedover der den kommer inn. For en positiv ladning gir høyrehåndsregelen ($\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$) en kraft oppover. Kraften er motsatt, så ladningen er negativ.

Den magnetiske kraften er sentripetalkraften:

Uttrykket ${\displaystyle \frac{2qB}{m}}$ har enheten $1/\mathrm{s}$ og kan ikke være en fart.

Magnetfeltet fra hver leder går i sirkler rundt lederen (høyrehåndsregelen: tommelen i strømretningen, fingrene viser feltretningen). I P står feltet fra hver leder vinkelrett på linja fra lederen til P, og de to bidragene er like store fordi strømmene og avstandene er like. Summen peker rett ned bare når de loddrette komponentene begge peker ned og de vannrette opphever hverandre.

• $L_1$ inn i papirplanet: feltet går med klokka rundt $L_1$ og peker ned mot høyre i P.
• $L_2$ ut av papirplanet: feltet går mot klokka rundt $L_2$ og peker ned mot venstre i P.

Summen peker loddrett ned. Med samme strømretning i begge lederne (A og D) ville summen blitt vannrett. Med C ville den pekt rett opp.

Utenfor en magnet går feltlinjene ut fra nordpolen og inn mot sørpolen. Vi ser på polen som vender mot midtpunktet for hver magnet:

• Øverst vender N mot midtpunktet: feltet peker bort fra N, altså nedover.
• Nederst vender S mot midtpunktet: feltet peker mot S, altså nedover.
• Til venstre vender N mot midtpunktet: feltet peker bort fra N, altså mot høyre.
• Til høyre vender S mot midtpunktet: feltet peker mot S, altså mot høyre.

Magnetene er identiske og står like langt unna, så det samlede feltet peker skrått ned mot høyre. Det er bare pila i B som har denne retningen.

Elektronnøytrinoet er uladd og påvirkes ikke av magnetfeltet, så det går rett fram i bane 2. Feltet peker inn i papirplanet og farten er mot høyre. For en positiv ladning gir høyrehåndsregelen ($\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$) en kraft oppover, så protonet bøyes opp i bane 1. Elektronet har negativ ladning, får kraft nedover og følger bane 3.

Fluksen er $\mathrm{\Phi }=BA$ når sløyfa står normalt på feltet. Til å begynne med er ${\mathrm{\Phi }}_1=B{s}^2$. Etter en halv omdreining går feltet gjennom sløyfa fra motsatt side, så ${\mathrm{\Phi }}_2=-B{s}^2$. Den gjennomsnittlige induserte emsen er

Alternativ C er svaret for en dreining på $90°$, der fluksen går fra $B{s}^2$ til null.

Den induserte emsen er $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=B{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }A}{\mathrm{\Delta }t}}$, der $A$ er arealet av lederen inne i feltet. Når en leder beveger seg vinkelrett på feltgrensen med farten $v$, øker arealet med $vL$ per tid. Her er $L$ lengden av feltgrensen som ligger innenfor rektangelet, så $\epsilon =vBL$. Lederne er identiske og har samme resistans, så den største strømmen går i lederen med størst $L$.

• C beveger seg parallelt med feltgrensen. Arealet i feltet endres ikke, så det går ingen strøm.
• A kommer inn med kortsiden først: $L$ er lik kortsiden.
• D kommer inn med langsiden først: $L$ er lik langsiden.
• B står skrått, og feltgrensen går gjennom to motstående hjørner. Da er $L$ lik diagonalen i rektangelet, som er lengre enn langsiden.

B har altså den største induserte emsen og strømmen i det øyeblikket figuren viser.

Den lange streken i batterisymbolet er plusspolen. Strømmen går fra plusspolen gjennom kretsen: opp langs venstre side, mot høyre langs toppen og ned langs høyre side. Det er med klokka, og da peker magnetfeltet inni sløyfa inn i papirplanet.

• Før bryteren åpnes: Strømmen er konstant, så fluksen gjennom kobberringen er konstant. Uten fluksendring induseres det ingen strøm.
• Like etter at bryteren er åpnet: Strømmen og fluksen inn i papirplanet avtar. Etter Lenz’ regel motvirker den induserte strømmen endringen og lager et felt inn i papirplanet inni ringen. Da går den induserte strømmen med klokka.

Både ladning og leptontall er bevart i reaksjonen.

• Ladning: $+1=0+1+q_{\mathrm{X}}$ gir $q_{\mathrm{X}}=0$. Det utelukker ${\mu }^{-}$ og ${\mathrm{e}}^{-}$.
• Leptontall: Positronet er et antilepton med leptontall $-1$. Da er $0=0+(-1)+L_{\mathrm{X}}$, så $L_{\mathrm{X}}=+1$.

X er altså et uladd lepton, et elektronnøytrino ${\nu }_{\mathrm{e}}$. Antinøytrinoet ${\bar{\nu }}_{\mathrm{e}}$ har leptontall $-1$ og dannes sammen med et elektron i ${\beta }^{-}$-desintegrasjon.

Fotonet må minst ha nok energi til å lage hvileenergien til begge partiklene. Elektronet og positronet har samme masse $m_{\mathrm{e}}$:

Alternativ A gir bare nok energi til én partikkel. Med $\gamma$ i D ville partiklene også fått kinetisk energi, og det er ikke den minste frekvensen.

I røntgenrøret akselereres elektroner gjennom spenningen $U$, så hvert elektron får den kinetiske energien $eU$. Når elektronene bremses i metallet, sendes det ut røntgenfotoner (bremsestråling). Et foton kan høyst få hele energien til ett elektron, så $h{f}_{\text{maks}}=eU$.

Det er elektroner, ikke fotoner, som treffer metallet (A). Løsrivingsarbeid hører til fotoelektrisk effekt (C). Det elektromagnetiske spekteret har ingen øvre frekvensgrense (D).

Ett foton gir all sin energi til ett elektron. Elektroner frigjøres bare hvis fotonenergien er større enn løsrivingsarbeidet, $hf={\displaystyle \frac{hc}{\lambda }}>W$. Her er fotonenergien for liten. Kortere bølgelengde gir større fotonenergi, og da kan den overstige $W$.

Høyere intensitet (B) gir flere fotoner, men hvert foton har like lite energi. Metall med høyere løsrivingsarbeid (A) gjør det verre, og innfallsvinkelen (C) endrer ikke fotonenergien.

Interferens, for eksempel i dobbeltspalteforsøk og gitter, kan bare forklares ved at lyset oppfører seg som bølger. Einstein forklarte fotoelektrisk effekt ved at lyset består av fotoner med energi $hf$ som hvert gir energien til ett elektron. I comptonspredning støter et foton med bevegelsesmengde $p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}$ mot et elektron som en partikkel. Lys har altså både bølge- og partikkelegenskaper (bølge–partikkel-dualitet), og begge har rett.

Sammenfiltrede fotoner beskrives av én felles kvantetilstand, så polarisasjonen til hvert enkelt foton er ikke bestemt før det måles. Når foton A går gjennom (eller blir stoppet av) sitt filter, er utfallet for foton B knyttet til dette resultatet, uansett hvor langt fra hverandre fotonene er. For et fotonpar der polarisasjonene er sammenfiltret slik at de er like, og filtrene står i samme retning, får for eksempel begge fotonene alltid samme utfall. Sannsynligheten for at B går gjennom, er derfor avhengig av om A gikk gjennom.

B beskriver to uavhengige fotoner, altså nettopp det sammenfiltring ikke er. Korrelasjonen gjelder polarisasjonen, ikke bølgelengden (D), og den er ikke en omvendt proporsjonalitet mellom sannsynlighetene (C).

Et treghetssystem er et referansesystem som ikke akselererer, slik at Newtons 1. lov gjelder.

• Aron: Pendelen henger skrått med konstant vinkel. Da har snorkraften en vannrett komponent som ikke balanseres av andre krefter, så kula og bilen har en vannrett akselerasjon. Bilen er ikke et treghetssystem. At kula er i ro i forhold til bilen, sier ingenting om dette.
• Nora: Pendelen henger loddrett. Snorkraften og tyngden balanserer hverandre, og det er ingen vannrett akselerasjon. Bilen beveger seg med konstant fart rettlinjet og er et treghetssystem.

Bare Nora har rett.

Klossen påvirkes av tre krefter:

• tyngden $\overrightarrow{G}$, loddrett nedover, med $G=mg=10\mathrm{N}$
• normalkraften $\overrightarrow{N}$, vinkelrett ut fra skråplanet
• friksjonen $\overrightarrow{R}$, langs skråplanet og motsatt fartsretningen, altså nedover skråplanet når klossen er på vei opp

Vinkelrett på skråplanet er det ingen akselerasjon, så $N=G\cos 30°$. Langs skråplanet virker komponenten $G\sin 30°=10\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{5,0}\mathrm{N}$ nedover skråplanet i begge retninger. Friksjonen virker alltid mot bevegelsen.

På vei opp peker både tyngdekomponenten og friksjonen nedover skråplanet. Vi velger positiv retning nedover skråplanet. Newtons 2. lov gir

På vei ned peker friksjonen oppover skråplanet, mot tyngdekomponenten:

Akselerasjonen peker nedover skråplanet i begge tilfellene: $\underline{\underline{a_{\text{opp}}=\mathrm{8,0}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}}$ (klossen bremses) og $\underline{\underline{a_{\text{ned}}=\mathrm{2,0}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}}$ (klossen får større fart).

Det elektriske feltet fra en positiv ladning peker radielt bort fra ladningen, og feltene fra de to kulene legges sammen som vektorer.

• Punkt A ligger midt mellom kulene. Feltene fra kulene er like store og peker i motsatt retning, så det samlede feltet er null. Feltet i A har ingen retning.
• Punkt B ligger like langt fra begge kulene, rett under A. Feltet fra hver kule peker skrått nedover bort fra kula. De vannrette komponentene opphever hverandre, mens de loddrette peker samme vei. Det samlede feltet i B peker loddrett nedover.

Hver kule er i ro og påvirkes av tyngden $mg$, snordraget $S$ langs snora og den elektriske kraften $F_{\mathrm{e}}$ vannrett bort fra den andre kula. Snora danner vinkelen $\theta$ med vertikalen:

Deler vi den andre likningen på den første, får vi $F_{\mathrm{e}}=mg\tan \theta$. Coulombs lov med avstanden $r$ mellom kulene gir

Heisenbergs uskarphetsrelasjoner:

Den første sier at vi ikke samtidig kan kjenne posisjonen og bevegelsesmengden (i samme retning) til en partikkel med vilkårlig nøyaktighet. Den andre knytter usikkerheten i energien til tiden tilstanden varer.

Eksempel: Elektroner sendes gjennom en smal spalte med bredde $\mathrm{\Delta }x$. I spalten er posisjonen på tvers av bevegelsesretningen bestemt med usikkerheten $\mathrm{\Delta }x$. Da må bevegelsesmengden på tvers ha en usikkerhet $\mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi \mathrm{\Delta }x}}$, og elektronene spres ut bak spalten. Jo smalere spalte, jo større spredning.

Andre eksempler er at et elektron ikke kan være innestengt i en atomkjerne uten å få svært stor bevegelsesmengde, og at spektrallinjer fra eksiterte tilstander med kort levetid har en naturlig bredde.

Støtet skjer så raskt at kula ikke flytter seg merkbart mens det pågår, og snorkraften og tyngden er loddrette. Den vannrette bevegelsesmengden er derfor bevart. Prosjektilet blir sittende fast, så de to legemene får felles fart $V$ like etter støtet:

Støtet er fullstendig uelastisk, så mekanisk energi er ikke bevart under støtet. Etter støtet gjør snorkraften ikke arbeid, fordi den står normalt på bevegelsen. Da er mekanisk energi bevart mens kula svinger opp:

Når kula er svært tung sammenlignet med prosjektilet, er $m+M\approx M$, og

Innsatt med $M=\mathrm{0,200}\mathrm{k}\mathrm{g}$, $m=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-3}\mathrm{k}\mathrm{g}$, $v=100\mathrm{m}/\mathrm{s}$ og $g=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$:

I et produkt eller en kvotient legges de relative usikkerhetene sammen, og en størrelse opphøyd i andre potens gir dobbel relativ usikkerhet:

Den absolutte usikkerheten er $\mathrm{\Delta }h=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{5,0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{1,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$, så

Tilnærmingen $m+M\approx M$ gir $h\approx \mathrm{4,9}\mathrm{c}\mathrm{m}$ i stedet for $\mathrm{5,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$, som er godt innenfor usikkerheten.

Det elektriske feltet peker fra den positive mot den negative plata, altså oppover på figuren. Elektronet har negativ ladning, så den elektriske kraften ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}=q\overrightarrow{E}$ peker motsatt vei av feltet, nedover mot den positive plata.

Elektronet går rettlinjet med konstant fart, så kraftsummen er null (tyngden er neglisjerbar). Den magnetiske kraften må derfor være like stor som den elektriske kraften og peke oppover.

Elektronet beveger seg mot venstre. Det svarer til en positiv strøm mot høyre. Med høyrehåndsregelen for kraft på en strøm: strøm mot høyre og kraft oppover krever at magnetfeltet peker inn i arket.

Kreftene er like store:

En $\alpha$-partikkel er en heliumkjerne med ladningen $q=2e$. Feltene er de samme og farten er den samme, så begge kreftene blir dobbelt så store som for elektronet:

Begge kreftene er $\underline{\underline{\mathrm{1,9}\cdot {10}^{-14}\mathrm{N}}}$.

$\alpha$-partikkelen er positiv. Den elektriske kraften peker da langs feltet, oppover mot den negative plata. Den magnetiske kraften snur også retning i forhold til elektronet og peker nedover.

Kreftene er like store og motsatt rettet, så kraftsummen er null (tyngden er fortsatt neglisjerbar). Ja, $\alpha$-partikkelen går rettlinjet gjennom området.

Generelt går en partikkel rettlinjet når $qE=qvB$, altså når $v=E/B$. Betingelsen er uavhengig av både ladning og masse, så oppsettet fungerer som et fartsfilter.

Elektronet bøyes av mot den positive plata. Da er den elektriske kraften større enn den magnetiske kraften, så elektronet må ha lavere fart enn $\mathrm{3,0}\cdot {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ når det kommer inn.

• Elektrisk kraft: Feltet mellom platene er homogent, så $F_{\mathrm{e}}=eE$ er like stor og har samme retning (mot den positive plata) hele veien fra A til B.
• Magnetisk kraft: Elektronet beveger seg mot den positive plata, altså i samme retning som den elektriske kraften. Den elektriske kraften gjør da positivt arbeid, så farten øker. Den magnetiske kraften gjør ikke arbeid, fordi den alltid er vinkelrett på farten. Siden $F_{\mathrm{B}}=evB$, øker den magnetiske kraften fra A til B. Retningen dreier også: kraften er hele tiden vinkelrett på banen, så når banen bøyer nedover mot venstre, får kraften en komponent mot venstre i tillegg til komponenten oppover.

Vogna ruller uten friksjon, og snora er masseløs. Mekanisk energi er derfor bevart for systemet vogn + lodd. Når vogna har flyttet seg $s=\mathrm{0,16}\mathrm{m}$, har loddet sunket like langt. Den potensielle energien loddet har mistet, er blitt kinetisk energi for både vogna og loddet, som har samme fart:

Når den fremre, vertikale siden av lederen (lengde $h$) er inne i feltet, øker fluksen gjennom sløyfa. Det induseres en ems:

Den induserte strømmen blir

Strømmen i den fremre siden gir en magnetisk kraft. Ifølge Lenz’ regel virker den mot bevegelsen:

Den delen av over- og undersiden som er inne i feltet, fører strøm i motsatte retninger. Kreftene på dem er vertikale og opphever hverandre.

Loddet trekker systemet framover med tyngden

Den magnetiske kraften er like stor som tyngden av loddet (forskjellen skyldes avrunding). Kraftsummen på systemet vogn + lodd er null, så ifølge Newtons 1. lov er farten konstant.

Vi kan også regne ut farten som gir likevekt, ${\displaystyle \frac{B^2{h}^{2}v}{R}}=mg$:

Det er akkurat den farten vogna har når den kommer inn i feltet. Likevekten er også stabil. Hvis farten øker litt, blir bremsekraften større enn $mg$, og vogna bremses ned igjen. Hvis farten minker, skjer det motsatte.

Hvis feltet snur, snur også endringen i fluksen, og dermed også den induserte ems-en og strømmen. Kraften $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$ skifter fortegn både fordi strømmen snur og fordi feltet snur. Kraften får dermed samme retning som før, bakover mot bevegelsen. Størrelsen er også den samme, siden $F={\displaystyle \frac{B^2{h}^{2}v}{R}}$ bare avhenger av $B^2$.

Dette er Lenz’ regel: den induserte strømmen har alltid en retning som motvirker det som skaper den, her bevegelsen inn i feltet. Det gjelder uansett hvilken vei feltet peker.

Både lederen og feltet er $\mathrm{8,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ lange, så bevegelsen har to faser med magnetisk bremsekraft:

• Inn i feltet: De første $\mathrm{8,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ er bare den fremre siden inne i feltet, og fluksen øker.
• Ut av feltet: Akkurat når den fremre siden går ut av feltet, går den bakre siden inn. De neste $\mathrm{8,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ minker fluksen. Den bakre siden gir en like stor ems, strømmen går motsatt vei rundt sløyfa, og kraften virker fortsatt mot bevegelsen med samme størrelse ${\displaystyle \frac{B^2{h}^{2}v}{R}}$.

Kraften er like stor som $mg$ hele veien, så vogna har konstant fart over $\mathrm{0,16}\mathrm{m}$. Deretter er lederen helt ute av feltet, og vogna akselererer igjen.

Det eneste som virker på stjerna, er gravitasjonskraften fra det sorte hullet. Den er sentripetalkraften i sirkelbevegelsen:

En runde er $2\pi r$ lang, så $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$:

Med $\gamma M=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2\cdot \mathrm{1,3}\cdot {10}^{40}\mathrm{k}\mathrm{g}=\mathrm{8,67}\cdot {10}^{29}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ blir

der $T$ er i sekunder og $r$ i meter. Massen til stjerna går ut, så rundetiden avhenger bare av massen til hullet og baneradien.

Banefarten er $v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\gamma M}{r}}}$, så stjerna går fortere jo nærmere hullet den er. Vi må regne relativistisk når farten er en merkbar andel av lysfarten. En vanlig tommelfingerregel er $v>\mathrm{0,1}c$. Da er ${\gamma }_{\text{rel}}=1/\sqrt{1-{\mathrm{0,1}}^2}=\mathrm{1,005}$, altså et avvik på omtrent en halv prosent fra klassisk regning.

Svaret avhenger av hvilken grense vi velger. Med en strengere grense, for eksempel $v=\mathrm{0,05}c$, blir radien fire ganger så stor. Til sammenligning er radien til hendelseshorisonten $2\gamma M/c^2=\mathrm{1,9}\cdot {10}^{13}\mathrm{m}$, omtrent 50 ganger mindre.

Stjerna er så langt unna at vi ser bort fra andre krefter enn gravitasjonen fra hullet. Siden $M\gg m$, kan vi også se bort fra bevegelsen til hullet. Mekanisk energi er bevart, med $E_{\mathrm{p}}=-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r}}$. Stjerna starter i ro i avstanden $r_0$ og har farten $v$ i avstanden $r_0/2$: