1P Høst 2010

Vi runder av lengdene til hvert bord til nærmeste halvmeter, slik at vi kan legge dem sammen i hodet:

Summen av de avrundede lengdene blir

Vi runder også av prisen $\mathrm{8,95}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}$ til $9\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{m}$. Da blir overslaget

Andersen må altså betale omtrent $\underline{\underline{185\mathrm{kr}}}$.

1) Oppslutningen økte fra $10\%$ til $16\%$. Økningen i prosentpoeng er differansen mellom de to prosenttallene:

2) Den prosentvise økningen regnes derimot ut fra hvor stor økningen er i forhold til det opprinnelige tallet:

Den lengste siden skal være $9\mathrm{cm}$, og forholdet mellom lengste og korteste side skal være $3:2$. Da må den korteste siden være

Rektangelet tegnes slik: bruk linjal og tegn først den ene siden $9\mathrm{cm}$ lang. Tegn deretter to linjer vinkelrett på denne, én fra hvert endepunkt, hver $6\mathrm{cm}$ lange. Til slutt knyttes de to endepunktene sammen med en fjerde side som blir parallell med og like lang som den første ($9\mathrm{cm}$). Kontroller med vinkelhake/geodriver at alle fire hjørnene er rette vinkler.

Rektangel: $\underline{\underline{9\mathrm{cm}\times 6\mathrm{cm}}}$

Størrelsene er proporsjonale dersom prisen per egg er den samme uansett hvor mange egg vi kjøper. Vi regner ut prisen per egg for hvert av de fire alternativene på plakaten:

Prisen per egg synker jo flere egg vi kjøper ($\mathrm{1,75}\to \mathrm{1,75}\to \mathrm{1,60}\to \mathrm{1,50}$ kr/egg), altså er den ikke konstant.

$\underline{\underline{\text{Antall egg og pris er ikke proporsjonale}}}$ — det lønner seg å kjøpe mange egg om gangen.

Vi setter opp likningen ut fra regelen «inntrinn pluss to opptrinn er omtrent $630\mathrm{mm}$», der inntrinnet er $340\mathrm{mm}$ og opptrinnet er den ukjente $x$:

Vi løser likningen steg for steg:

Opptrinnet bør altså være $\underline{\underline{145\mathrm{mm}}}$.

Reallønnen til Sondre i 2008 var $1000000\mathrm{kr}$, altså det han faktisk kunne kjøpe for pengene sine i 2008-priser. For at han skal ha samme kjøpekraft i 2009, må den nominelle lønnen økes i takt med konsumprisindeksen (KPI) fra 2008 til 2009:

Vi setter inn tallene fra tabellen (${\text{KPI}}_{2008}=\mathrm{123,1}$ og ${\text{KPI}}_{2009}=\mathrm{125,7}$):

Sondre måtte altså ha en nominell lønn på omtrent $\underline{\underline{1021000\mathrm{kr}}}$ i 2009 for å beholde samme kjøpekraft som i 2008.

Vi ser på uttrykkene til de tre funksjonene. Lineær vekst betyr at funksjonen er på formen $y=ax+b$ (en rett linje, konstant vekst per skritt):

• $f(x)=5x^2+100$ er en andregradsfunksjon (kvadratisk vekst).
• $g(x)=100\cdot 5^x$ er en eksponentialfunksjon (eksponentiell vekst).
• $h(x)=5x+100$ er på formen $ax+b$ — dette er en lineær funksjon.

$\underline{\underline{h(x)=5x+100}}$ beskriver lineær vekst.

Praktisk eksempel: Et abonnement koster $100\mathrm{kr}$ i fast startpris, pluss $5\mathrm{kr}$ for hver måned $x$ man abonnerer. Da blir totalprisen $h(x)=5x+100$ kroner.

Trommelen har diameter $50\mathrm{cm}$. Vi gjør et overslag av omkretsen med $\pi \approx 3$:

Kabelen går $40$ ganger rundt trommelen, så et grovt overslag av total kabellengde blir

Dette overslaget ligger like under de $61\mathrm{m}$ Rune trenger, men vi har brukt $\pi \approx 3$, som gir et for lavt overslag. Bruker vi den mer nøyaktige verdien $\pi \approx \mathrm{3,14}$, blir omkretsen $\approx 157\mathrm{cm}$, og total lengde blir

Dette er mer enn de $61\mathrm{m}$ Rune trenger.

$\underline{\underline{\text{Ja, det er (så vidt) nok kabel på trommelen}}}$ — men det er knapt, så Rune bør sjekke nøye før han starter arbeidet.

I grafen starter den røde kurven (far) i $t=0\mathrm{s}$, mens den blå kurven (Jens) starter rundt $t=\mathrm{2,5}\text{–}3\mathrm{s}$ — det stemmer med at far fikk starte tre sekunder før Jens.

De to kurvene krysser hverandre ved omtrent $t\approx \mathrm{12,5}\mathrm{s}$ og $y\approx 68\mathrm{m}$. Fram til krysningspunktet ligger far foran Jens i strekning, men etter krysningspunktet er den blå kurven (Jens) brattere, og Jens tar igjen og passerer far.

Begge fullfører $100\mathrm{m}$: far bruker omtrent $\mathrm{17,5}\mathrm{s}$ (fra $t=0$ til $t\approx \mathrm{17,5}$), mens Jens bruker omtrent $\mathrm{16,5}-3=\mathrm{13,5}\mathrm{s}$ på løpet sitt (fra han startet ved $t\approx 3$ til han er i mål ved $t\approx \mathrm{16,5}$).

$\underline{\underline{\text{Jens er atskillig raskere enn far}}}$ — selv om Jens startet tre sekunder senere, er han likevel i mål omtrent ett sekund før far.

1) Det er $18$ twistbiter som Per liker, av totalt $30$ biter i posen. Sannsynligheten for å trekke en bit Per liker, er «gunstige delt på mulige»:

2) Sannsynligheten for at Ola liker en tilfeldig trukket bit er $\mathrm{0,4}$. Siden det er $30$ biter i posen totalt, finner vi antall biter Ola liker ved å multiplisere:

Kassen tegnes i ettpunktsperspektiv slik:

1. Tegn framsiden av kassen (den siden som vender mest mot deg) som et vanlig, flatt rektangel med riktige mål.
2. Sett et forsvinningspunkt (FP) på et sted i bildet — siden vi ser kassen skrått ovenfra, plasseres forsvinningspunktet lavt i bildet, under kassen (på “horisontlinjen” som her ligger under det vi tegner).
3. Tegn tynne hjelpelinjer (perspektivlinjer) fra hvert av de fire hjørnene på framsiden og inn mot forsvinningspunktet.
4. Marker et punkt på hver perspektivlinje som bestemmer hvor dypt kassen skal være, og tegn baksiden av kassen som et rektangel parallelt med framsiden, med hjørnene i disse punktene.
5. Trekk streker som forbinder tilsvarende hjørner på framsiden og baksiden — dette blir sidekantene og gir kassen dybde.
6. Visk ut de delene av perspektivlinjene som stikker utenfor selve kassen, men la gjerne forsvinningspunktet og litt av linjene inn mot det stå igjen som viser hvordan kassen er konstruert.

$\underline{\underline{\text{Kasse tegnet i ettpunktsperspektiv med forsvinningspunkt og perspektivlinjer}}}$

Pakken inneholder 13 kjøretimer og koster 16 900 kr. Anne hadde 21 kjøretimer, altså

ekstra timer utover pakken. Disse koster 550 kr per time, så tillegget blir

Totalprisen for Anne blir dermed

Anne betalte $\underline{\underline{21300\mathrm{kr}}}$ for kjøreopplæringen.

La $x$ være antall ekstra kjøretimer utover pakken. Totalprisen er da pakkeprisen pluss $550$ kr per ekstra time:

Vi løser likningen:

Jon hadde altså $22$ timer utover de $13$ som ligger i pakken:

Jon hadde $\underline{\underline{35\text{ kjøretimer}}}$.

Vi finner den prosentvise økningen ved å sammenligne prisen i 2009 med prisen i 2001.

Prisen økte fra $\mathrm{9,30}\mathrm{kr}$ i 2001 til $\mathrm{11,91}\mathrm{kr}$ i 2009. Økningen i kroner er

Den prosentvise økningen finner vi ved å dele økningen på prisen i 2001, og gange med $100\%$:

Bensinprisen økte altså med $\underline{\underline{\approx \mathrm{28,1}\%}}$ fra 2001 til 2009.

Dersom bensinprisen hadde fulgt konsumprisindeksen (KPI), skulle den ha økt med samme vekstfaktor som KPI gjorde fra 2001 til 2009.

Vekstfaktoren til KPI finner vi ved å dele KPI-verdien i 2009 på KPI-verdien i 2001:

Vi ganger denne vekstfaktoren med prisen i 2001 for å finne hva prisen skulle ha vært i 2009 dersom den fulgte KPI:

Dersom bensinprisen hadde utviklet seg på samme måte som KPI, ville den vært $\underline{\underline{\approx \mathrm{10,75}\mathrm{kr}}}$ i 2009.

Journalisten sammenligner den faktiske bensinprisen i 2009 med den KPI-justerte prisen fra b), altså hva prisen “burde” vært dersom den bare hadde fulgt den generelle prisveksten i samfunnet.

Den faktiske prisen i 2009 var $\mathrm{11,91}\mathrm{kr}$, mens den KPI-justerte prisen var $\approx \mathrm{10,75}\mathrm{kr}$. Differansen mellom disse er

Vi finner hvor mange prosent dette utgjør av den KPI-justerte prisen:

Dette betyr at bensinprisen i 2009 var omtrent $\mathrm{10,8}\%$ høyere enn det den KPI-justerte prisen skulle tilsi. Med avrunding stemmer dette godt med journalistens påstand om at bensinen var ca. $\underline{\underline{11\%}}$ dyrere i 2009 enn i 2001, når vi tar hensyn til den generelle prisstigningen (KPI).

Osten har form som en sylinder med diameter $\mathrm{34,0}$ cm, altså radius

og høyde $h=\mathrm{4,0}$ cm. Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$:

Volumet av osten er $\underline{\underline{V\approx 3632\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$.

Skorpen ligger som et $2$ mm $=\mathrm{0,2}$ cm tykt sjikt langs sideflaten av sylinderen. Den indre osten (uten skorpe) er da en sylinder med samme høyde, men med radius $\mathrm{0,2}$ cm mindre:

Volumet av den indre osten blir

Volumet av skorpen er differansen mellom det totale volumet og volumet uten skorpe:

Andelen av osten som er skorpe:

Skorpen utgjør altså $\underline{\underline{\approx \mathrm{2,3}\%}}$ av hele osten.

Osten veier $\mathrm{3,0}$ kg $=3000$ g totalt. Gunnar kjøper $250$ g, som er en brøkdel av hele osten:

Siden ostestykket er formet som en sirkelsektor av den runde osten, utgjør samme brøkdel av de $360°$ i en hel sirkel vinkelen til sektoren:

Sirkelsektoren er $\underline{\underline{30°}}$.

Vi bruker opplysningene til å fylle ut tabellen.

Det er $240$ medlemmer totalt. $45\%$ av dem er kvinner:

Av mennene ønsker $63$ ballbinge, altså ønsker $132-63=69$ menn ikke ballbinge. Til sammen ønsker $110$ av alle medlemmene ikke ballbinge, som gir $110-69=41$ kvinner som ikke ønsker ballbinge, og dermed $108-41=67$ kvinner som ønsker ballbinge.

Til sammen ønsker $63+67=130$ medlemmer ballbinge.

Av de $240$ medlemmene ønsker $130$ ballbinge:

Vi vet at det trukne medlemmet ønsker ballbinge, og skal finne sannsynligheten for at dette medlemmet er mann. Av de $130$ som ønsker ballbinge, er $63$ menn:

La $n$ være antall nye medlemmer som alle ønsker ballbinge, og som vil bli vervet. Da blir det totale antallet som ønsker ballbinge lik $130+n$, og det totale antallet medlemmer blir $240+n$. Kravet er at andelen som ønsker ballbinge, skal være minst $75\%$:

Fotballgruppa må derfor verve minst $\underline{\underline{200}}$ nye medlemmer som ønsker ballbinge, for at kravet fra styret skal innfris.

Aud holder fluene isolert i to måneder, altså omtrent $60$ dager. Vi bør derfor tegne grafen til $f$ for

Grafen til $f(t)=-\mathrm{0,007}{t}^3+\mathrm{0,5}{t}^2-3t+20$ på dette intervallet, tegnet i GeoGebra:

Ved starten av eksperimentet er $t=0$:

Dette stemmer med punktet $A=(0,20)$ på grafen.

Ved slutten av eksperimentet er $t=60$:

Dette stemmer med punktet $B=(60,128)$ på grafen.

Det var altså $\underline{\underline{20\text{ fluer}}}$ i kassen ved starten av eksperimentet, og $\underline{\underline{128\text{ fluer}}}$ ved slutten.

1) Den deriverte $f^{\prime }(t)=-\mathrm{0,021}{t}^2+t-3$ har nullpunkter $t\approx \mathrm{3,22}$ og $t\approx \mathrm{44,40}$. Dette ser vi igjen på grafen som bunnpunktet (Min1) og toppunktet (Max1). Funksjonen avtar fra $t=0$ til $t\approx \mathrm{3,2}$, vokser fra $t\approx \mathrm{3,2}$ til $t\approx \mathrm{44,4}$, og avtar igjen fram til $t=60$.

Siden hele intervallet $⟨\mathrm{3,2},\mathrm{44,4}⟩$ ligger innenfor eksperimentets varighet ($0\le t\le 60$), er dette tidsrommet der antall fluer faktisk økte:

2) I dette tidsrommet var det $f(\mathrm{3,22})\approx \mathrm{15,3}$ fluer ved starten og $f(\mathrm{44,40})\approx \mathrm{259,8}$ fluer ved slutten (avlest på grafen som Min1 og Max1). Antall dager i tidsrommet er

Den gjennomsnittlige økningen per dag blir da

Antall fluer i kassen økte altså i gjennomsnitt med $\underline{\underline{\approx \mathrm{5,9}\text{ fluer per dag}}}$ i dette tidsrommet.

Vi leser av to punkter på den rette linja i grafen, for eksempel der linja krysser $y$-aksen og der den er ved $x=500$:

Skjæringen med $y$-aksen gir den faste månedsprisen, siden dette er kostnaden når ringetiden er $0$ minutter:

Stigningstallet til linja gir prisen per minutt:

Vi setter opp et uttrykk for de månedlige kostnadene til hvert abonnement, med $x$ som ringetid i minutter.

Abonnement A har ingen fast pris, bare $\mathrm{1,59}$ kr per minutt:

Abonnement B har fast pris $100$ kr, med de $100$ første minuttene inkludert i prisen. Deretter koster det $\mathrm{1,19}$ kr per minutt. Dette gir en delt forskrift:

Abonnement C har fast pris $250$ kr og $\mathrm{0,49}$ kr per minutt:

Grafene til de tre funksjonene for $x$ fra $0$ til $500$ minutter er tegnet nedenfor.

Et abonnement lønner seg i det intervallet der det har lavest kostnad. Vi finner skjæringspunktene mellom grafene.

A og B er like når $A(x)=100$ (så lenge $x\le 100$, siden $B(x)=100$ der):

For $x<\mathrm{62,9}$ er $A(x)<100=B(x)$, så A er billigst. For $x>\mathrm{62,9}$ (og opp til $x=100$) er $A(x)>B(x)$, så B er billigst der. Siden A stiger brattere enn B også for $x>100$, forblir B billigere enn A for alle $x>\mathrm{62,9}$.

B og C er like for $x>100$:

Kostnaden i skjæringspunktet er $C(\mathrm{384,3})=250+\mathrm{0,49}\cdot \mathrm{384,3}\approx \mathrm{438,30}\mathrm{kr}$.

For $x<\mathrm{384,3}$ er B billigst (som vist ovenfor og på grafen), og for $x>\mathrm{384,3}$ er C billigst.

Vi kan da konkludere:

Vi velger to andre kvadrater enn Trines, og gjør de samme beregningene: kvadratets areal er side $\cdot$ side, rektangelets sider er $10\%$ mer og $10\%$ mindre enn kvadratets side, og forholdet er ${\displaystyle \frac{\text{areal rektangel}}{\text{areal kvadrat}}}$.

Kvadrat med side $5$ cm:

Rektangelets sider blir $5\cdot \mathrm{1,1}=\mathrm{5,5}$ og $5\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{4,5}$:

Kvadrat med side $10$ cm:

Rektangelets sider blir $10\cdot \mathrm{1,1}=11$ og $10\cdot \mathrm{0,9}=9$:

Den utfylte tabellen blir:

For et kvadrat med side $a$ er arealet

Rektangelets sider er $10\%$ mer og $10\%$ mindre enn $a$, altså $\mathrm{1,1}a$ og $\mathrm{0,9}a$:

Forholdet mellom arealene blir dermed

Resultatet er uavhengig av $a$. Uansett hvor stort kvadratet er, blir arealet av rektangelet alltid $1\%$ mindre enn arealet av kvadratet. Det er fordi den ene siden økes med $10\%$ og den andre reduseres med $10\%$ av samme utgangsverdi $a$ – økningen og reduksjonen “veier” ikke likt når de multipliseres sammen, siden $\mathrm{1,1}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,99}\ne 1$.

Muren skulle opprinnelig være et kvadrat med side $x$. Øyvind reduserte høyden med $10\%$ til $\mathrm{0,9}x$ og økte lengden med $10\%$ til $\mathrm{1,1}x$. Vi bruker resultatet fra b): arealet av den nye sideflaten blir $\mathrm{0,99}\cdot x^2$, og dette er oppgitt til $\mathrm{8,91}{\mathrm{m}}^2$:

Da blir lengden og høyden til muren:

Kontroll: $\mathrm{3,3}\cdot \mathrm{2,7}=\mathrm{8,91}{\mathrm{m}}^2$, som stemmer med det oppgitte arealet.

Muren ble $\underline{\underline{\mathrm{3,3}\mathrm{m}}}$ lang og $\underline{\underline{\mathrm{2,7}\mathrm{m}}}$ høy.