1P Vår 2010

Vi gjør et overslag: Liv fyller om lag $\mathrm{41,5}\mathrm{L}$ og betaler om lag $510\mathrm{kr}$.

Dette stemmer godt overens med prisen for bensin (95) på skiltet, som er $\mathrm{12,28}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{L}$. Prisen for diesel (D) er $\mathrm{10,91}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{L}$, som er langt lavere.

$\underline{\underline{\text{Liv har en bensinbil (95)}}}$

Sondre betaler $5$ kroner per eple, og Rasmus betaler $6$ kroner per banan. Skal de betale like mye, må det totale beløpet være et tall som både $5$ og $6$ går opp i, altså et felles multiplum av $5$ og $6$.

Minste felles multiplum av $5$ og $6$ er $30$. Da må Sondre kjøpe $30:5=6$ epler, og Rasmus må kjøpe $30:6=5$ bananer.

En annen løsning er å bruke det dobbelte beløpet, $60$ kroner: da kjøper Sondre $60:5=12$ epler, og Rasmus kjøper $60:6=10$ bananer.

$\underline{\underline{\text{F.eks. 6 epler og 5 bananer (30 kr), eller 12 epler og 10 bananer (60 kr)}}}$

Lykkehjulet er delt slik: blått $={\displaystyle \frac{1}{2}}$, grønt $={\displaystyle \frac{1}{4}}$, og gult, rødt og lilla $={\displaystyle \frac{1}{8}}$ hver.

1)

Sannsynligheten for blått eller grønt finner vi ved å addere sannsynlighetene, siden feltene ikke kan inntreffe samtidig:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}}}$

2)

Lotte snurrer hjulet to ganger. Hun kan få gult først og grønt sist, eller grønt først og gult sist. Spinnene er uavhengige, så vi multipliserer sannsynlighetene for hver rekkefølge og legger sammen:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{16}}=\mathrm{0,0625}}}$

1)

Trekant $ADB$ er rettvinklet med kateter $AD=\mathrm{6,0}\mathrm{m}$ og $DB=\mathrm{8,0}\mathrm{m}$. Hypotenusen $AB$ finner vi med Pytagoras’ setning:

$\underline{\underline{AB=10\mathrm{m}}}$

2)

Siden $A$, $B$ og $C$ ligger på en rett linje, og $AD$ og $BE$ begge står vinkelrett på grunnlinjen, er trekant $ADB$ og trekant $BEC$ formlike. De tilsvarende sidene i de to trekantene står da i samme forhold:

Vi setter inn de kjente verdiene og løser for $BE$:

$\underline{\underline{BE=\mathrm{1,5}\mathrm{m}}}$

1)

Ved et annuitetslån er den totale summen av renter og avdrag (terminbeløpet) om lag den samme hvert år, mens fordelingen mellom renter og avdrag endrer seg: avdraget øker etter hvert som lånet nedbetales, og renten avtar. Ved et serielån er derimot avdraget konstant hvert år, mens terminbeløpet avtar fordi renten blir mindre.

I diagrammet er hver stolpe om lag like høy (ca. $15000\mathrm{kr}$) hele perioden, samtidig som avdragsdelen øker fra ca. $6500\mathrm{kr}$ til ca. $14500\mathrm{kr}$. Dette er kjennetegnet på et annuitetslån.

$\underline{\underline{\text{Tor har et annuitetslån}}}$

2)

Det første året er det totale beløpet om lag $15000\mathrm{kr}$, og avdraget er om lag $6500\mathrm{kr}$. Da er renten:

Renteandelen blir da:

$\underline{\underline{\text{Om lag }57\%\text{ av det første terminbeløpet er renter}}}$

Verdien avtar med $10\%$ hvert år, som gir vekstfaktoren $1-\mathrm{0,10}=\mathrm{0,9}$.

1)

Bilen er verdt $270000\mathrm{kr}$ i dag. Om ett år er verdien:

$\underline{\underline{243000\mathrm{kr}}}$

2)

For å finne verdien for ett år siden går vi baklengs i tid. Da må vi dele på vekstfaktoren i stedet for å gange:

$\underline{\underline{300000\mathrm{kr}}}$

Per: Kostnaden består av et fast beløp (uavhengig av bruk) pluss en kostnad som øker jevnt med antall minutter. Dette gir en rett linje som ikke går gjennom origo, siden det alltid må betales den faste kostnaden selv om man ringer 0 minutter.

Kari: Prisen er proporsjonal med antall kilo epler — dobbelt så mange kilo gir dobbelt så høy pris. Dette gir en rett linje gjennom origo: kjøper hun 0 kg, betaler hun 0 kr.

Grete: Jo flere personer som spleiser, jo mindre må hver enkelt betale. Totalprisen er konstant og deles på antall personer, så kostnaden per person avtar raskt først og flater deretter ut — en fallende kurve som aldri når 0.

En størrelse $y$ er proporsjonal med $x$ dersom $y=k\cdot x$ for en konstant $k$ — grafen er da en rett linje gjennom origo, og forholdet ${\displaystyle \frac{y}{x}}$ er konstant.

En størrelse $y$ er omvendt proporsjonal med $x$ dersom $y={\displaystyle \frac{k}{x}}$ for en konstant $k$ — da er produktet $x\cdot y$ konstant, og grafen er en fallende kurve.

• Kari sitt utsagn beskriver proporsjonale størrelser: prisen er lik antall kilo multiplisert med en fast literpris, altså $\text{pris}=k\cdot \text{kg}$.
• Grete sitt utsagn beskriver omvendt proporsjonale størrelser: kostnad per person multiplisert med antall personer er alltid lik den faste, totale gaveprisen, altså $\text{kostnad per person}\cdot \text{antall personer}=k$.
• Per sitt utsagn beskriver verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale størrelser, siden det er et konstantledd (den faste månedskostnaden) i tillegg til den delen som er proporsjonal med antall minutter.

$\underline{\underline{\text{Kari: proporsjonale størrelser}\text{Grete: omvendt proporsjonale størrelser}}}$

Ola får låne $80\%$ av det huset koster i Husbanken. Vi regner ut $80\%$ av $2300000$ kr:

Det totale beløpet Ola må låne, er huskostnaden minus egenkapitalen på $150000$ kr:

Resten må han låne i den private banken:

Ola får altså låne $\underline{\underline{1840000\mathrm{kr}}}$ i Husbanken og må låne $\underline{\underline{310000\mathrm{kr}}}$ i den private banken.

Renten i Husbanken er $4\%$ av $1840000$ kr:

Renten i den private banken er $6\%$ av $310000$ kr:

Til sammen må Ola betale:

Skattefradraget er $28\%$ av de samlede rentekostnadene på $92200$ kr:

Renteutgiftene etter skattefradraget blir da:

Ola sitter altså igjen med en reell renteutgift på $66384\mathrm{kr}$ det første året, etter at skattefradraget er trukket fra.

Vi bruker personen på bildet som målestokk, siden vi vet at han er $184\mathrm{cm}=\mathrm{1,84}\mathrm{m}$ høy. Ved å se på hvor mange ganger personens høyde går opp i tankens høyde, kan vi anslå hvor høy tanken er.

Fra bakken og opp til toppen av veggen (der rekkverket starter) ser personen ut til å gå opp omtrent $6$ ganger. Det gir en høyde på

Siden dette er et overslag basert på et bilde, kan svar mellom omtrent $10$ og $12\mathrm{m}$ også godtas.

$\underline{\underline{h\approx 11\mathrm{m}}}$

Tanken er formet som en sylinder. Omkretsen til den sirkelrunde bunnen (og toppen) er $O=48\mathrm{m}$. Vi finner radien ved å bruke formelen for omkretsen av en sirkel, $O=2\pi r$:

Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$. Med $r\approx \mathrm{7,6}\mathrm{m}$ og $h\approx 11\mathrm{m}$ fra a) får vi

Siden dette bygger på et overslag for høyden, runder vi av:

$\underline{\underline{V\approx 2000{\mathrm{m}}^3}}$

Tanken skal males utvendig på sideflaten (den buede veggen) og på taket (toppflaten). Vi regner ikke med bunnflaten, siden den står på bakken.

Sideflaten (mantelflaten) til en sylinder har areal lik omkrets ganger høyde:

Toppflaten er en sirkel med areal

Totalt areal som skal males:

Det går med $1$ liter maling per $10{\mathrm{m}}^2$, så antall liter blir

$\underline{\underline{\approx 71\text{liter maling}}}$

Totalt antall personer i aldersgruppen 30–39 år finner vi nederst til høyre i tabellen, der raden «Totalt» og kolonnen «Totalt» møtes.

Det bor $\underline{\underline{2468}}$ personer i denne aldersgruppen i kommunen.

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person bare har fullført grunnskole. Fra tabellen ser vi at $419$ personer har grunnskole som høyeste utdanning, av totalt $2468$ personer.

Nå ser vi bare på menn, siden vi har møtt en tilfeldig valgt mann. Det er totalt $1400$ menn i aldersgruppen. Av disse har $493$ menn universitets- eller høyskoleutdanning, så antall menn som ikke har slik utdanning er

Sannsynligheten for at mannen ikke har fullført universitets- eller høyskoleutdanning blir da

Vi trekker én kvinne og én mann uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for at begge hendelser inntreffer samtidig finner vi ved å multiplisere enkeltsannsynlighetene.

Sannsynligheten for at kvinnen bare har grunnskole:

Sannsynligheten for at mannen bare har grunnskole:

Siden de to valgene er uavhengige av hverandre, multipliserer vi sannsynlighetene:

Arne sykler med en jevn fart på $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$. Etter $45$ minutter, altså ${\displaystyle \frac{45}{60}}=\mathrm{0,75}$ timer, har han syklet:

Funksjonsuttrykket for Frode er $y=12x+5$, der $x$ er tiden i timer og $y$ er avstanden fra Trondheim sentrum i km.

Konstantleddet er verdien av $y$ når $x=0$, altså ved start:

Frode starter altså $\underline{\underline{5\mathrm{km}}}$ fra Trondheim sentrum.

Stigningstallet i uttrykket er $12$. Det forteller hvor mange km $y$ øker per time, altså hvor fort Frode sykler. Farten til Frode er dermed $\underline{\underline{12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}}}$.

Fra Trondheim sentrum til Melhus er det ca. $20$ km.

Arne starter i Trondheim sentrum og må sykle hele strekningen på $20$ km med fart $18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$. Tiden han bruker, er:

Frode starter $5$ km fra Trondheim sentrum, altså har han igjen:

Med fart $12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$ bruker Frode:

Siden $1$ time og $7$ minutter er kortere enn $1$ time og $15$ minutter, er $\underline{\underline{\text{Arne først framme i Melhus}}}$.

Vi leser av diagrammet at kurven for hushaldsavfall har indeksverdi ca. $\mathrm{1,65}$ i 2008.

Siden 1997 er referanseåret med indeks $\mathrm{1,00}$, betyr en indeks på $\mathrm{1,65}$ at avfallsmengden i 2008 er $\mathrm{1,65}$ ganger så stor som i 1997. Det tilsvarer en økning på:

Vi leser av diagrammet at kurven for hushaldsavfall har indeksverdi ca. $\mathrm{1,2}$ i 2001.

Det betyr at avfallsmengden i 2001 var ca. $\mathrm{1,2}$ ganger avfallsmengden i 1997, som var $1900000$ tonn:

Diagrammet viser en indeks, ikke absolutte tall. Indeks $1997=1$ betyr at begge kurvene er satt til å starte i verdien $\mathrm{1,0}$ i 1997 — det er derfor de begynner samme sted. Dette forteller ingenting om hvor store mengdene faktisk er i tonn eller kroner i 1997; det er bare et startpunkt hver kurve måles i forhold til.

Til Stian: Diagrammet viser ikke at vi kaster mer enn vi bruker. Vi kan ikke sammenligne kurvene direkte i mengde, fordi de er indeksert hver for seg ut fra sin egen verdi i 1997. Vi vet for eksempel ikke hvor mange kroner konsumet i 1997 tilsvarte, og kan derfor ikke sammenligne det med avfallsmengden i tonn.

Til Jørgen: Begge kurvene starter på $\mathrm{1,0}$ i 1997 fordi 1997 er valgt som referanseår for indeksen. Alle senere år sammenlignes med nivået i 1997, som per definisjon får indeksverdien $1$.

Til Stians siste spørsmål: At hushaldsavfall-kurven stiger brattere enn konsum-kurven, betyr at avfallsmengden har økt relativt mer (i prosent) enn konsumet i perioden 1997–2008 — altså at avfallet har vokst raskere enn forbruket, prosentvis sett. Det sier fortsatt ikke noe om hvor store de absolutte mengdene er i forhold til hverandre.

Vi skal tegne grafen til

og finne toppunktet, siden det er der overskuddet er størst.

Vi legger inn funksjonen $O(x)$ i GeoGebra og bruker kommandoen Extremum(O, 0, 110) til å finne toppunktet på grafen.

Toppunktet på grafen er $T=(55,20250)$.

Bedriften må produsere og selge $55$ enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Det største overskuddet blir da $20250$ kroner per dag.

For at bedriften ikke skal gå med underskudd, må overskuddet være større enn eller lik null, altså $O(x)\ge 0$.

Vi finner nullpunktene til grafen med kommandoen Root(O) (se grafen i a)). Nullpunktene er

Siden grafen til $O$ er en parabel som vender grenene nedover, ligger grafen over eller på x-aksen mellom de to nullpunktene. Bedriften går altså ikke med underskudd når produksjonen $x$ ligger mellom $10$ og $100$ enheter per dag.

Svar: Bedriften må produsere og selge minst $10$ og høyst $100$ enheter per dag for å unngå underskudd.

Vi bruker formelen for vinkelsummen i en mangekant med $n$ hjørner:

Tikant (10-kant). Vinkelsummen er $S=(10-2)\cdot 180°=1440°$. Siden tikanten er regulær (alle vinkler like store), er hver vinkel

Femkant (5-kant). Vinkelsummen er $S=(5-2)\cdot 180°=540°$, og hver vinkel i en regulær femkant er

Stjernen og romben er ikke regulære mangekanter, så vi må bruke figuren til å se hvordan de ulike delfigurene møtes i et hjørne. Rundt ethvert punkt i mønsteret må vinklene til figurene som møtes der, summere seg til $360°$ (en hel omdreining).

Ved tikantens hjørne ser vi av figuren at tikanten møtes av to femkanter. Dette stemmer med det vi allerede har regnet ut:

Ved romben ser vi av mønsteret at den spisse vinkelen i romben møtes av tre femkanter i samme punkt:

En romb er et parallellogram, så nabovinklene er supplementvinkler (summerer til $180°$). Den andre vinkelen i romben blir dermed

Romben har altså vinklene $36°$ og $144°$ (to og to like, som i en hvilken som helst romb).

Ved stjernens innbøyde hjørne (mellom to spisser) ser vi av mønsteret at bare én femkant møter stjernen:

Stjernen har 10 hjørner (5 spisse og 5 innbøyde), og siden vinkelsum-formelen gjelder for alle mangekanter (også ikke-konvekse), er vinkelsummen i stjernen

Med 5 like spisse vinkler og 5 like innbøyde vinkler på $252°$ får vi

Den spisse vinkelen i stjernen er altså $\underline{\underline{36°}}$.

For å utvide mønsteret med flere tikanter, må vi lete etter et hjørne i mønsteret der figurene som allerede er der, etterlater en åpning på nøyaktig $144°$ — det er jo dette som er vinkelen i en tikant.

Vi vet at et hjørne der to femkanter møtes, gir en sum på

Da gjenstår det $360°-216°=144°$ i åpningen. Dette er nøyaktig samme situasjon som i sentrum av mønsteret, der den opprinnelige tikanten er satt inn mellom to femkanter.

Konklusjon: Overalt langs ytterkanten av mønsteret der to femkanter møtes i et hjørne uten at noe fyller ut resten av vinkelen, kan man sette inn en ny tikant. Da vil tikanten passe perfekt sammen med de to femkantene ($144°+108°+108°=360°$), på samme måte som den midterste tikanten gjør i det opprinnelige mønsteret.