1P Eksempeloppgave 2009

Vi runder av tallene før vi regner, slik at utregningen blir enkel å gjøre i hodet.

$210$ euro $\approx 200$ euro, og $\mathrm{8,33}$ kr $\approx 8$ kr per euro.

Mp3-spilleren koster omtrent $\underline{\underline{1600\mathrm{kr}}}$.

Vi runder av målene: $\mathrm{3,2}\mathrm{m}\approx 3\mathrm{m}$, $\mathrm{1,9}\mathrm{m}\approx 2\mathrm{m}$ og $45\mathrm{cm}=\mathrm{0,45}\mathrm{m}\approx \mathrm{0,5}\mathrm{m}$.

Tilhengeren rommer omtrent $\underline{\underline{3{\mathrm{m}}^3}}$.

Forholdet 1:4 betyr at blandingen består av $1+4=5$ like deler.

Ferdig blanding skal være 1 liter $=10$ dL, så hver del er

Da skal Siri bruke $1\cdot 2=2$ dL saft og $4\cdot 2=8$ dL vann.

Påstanden sier $\mathrm{2,5}$ dL saft og $\mathrm{7,5}$ dL vann. Det gir forholdet $\mathrm{2,5}:\mathrm{7,5}=1:3$, ikke $1:4$.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$. Riktig blanding er $2$ dL saft og $8$ dL vann.

Siden $s$ er proporsjonal med $t$, er $s=k\cdot t$ for en konstant $k$. Vi bruker det første tallparet $s=3$, $t=\mathrm{0,6}$ til å finne $k$:

Sammenhengen er altså $s=5t$. Vi bruker denne til å fylle ut resten av tabellen:

• $s=5$: $t={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$
• $s=9$: $t={\displaystyle \frac{9}{5}}=\mathrm{1,8}$
• $t=12$: $s=5\cdot 12=60$

I hjørnet møtes en likesidet trekant ($60°$) og to kvadrater ($90°+90°$). Til sammen dekker de

Vinkelen rundt et punkt er $360°$, så det som gjenstår i det åpne hjørnet er

Kari trenger derfor regulære mangekanter der vinklene til sammen blir $120°$:

• Én regulær sekskant har vinkelen $120°$, og fyller hjørnet helt alene.
• To likesidede trekanter har vinkler $60°+60°=120°$, og fyller også hjørnet helt.

Stolpen, bakken og tauet danner en rettvinklet trekant, med rett vinkel mellom stolpen (7 m) og bakken (5 m). Tauet er da hypotenusen. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Frode har et tau på 9 meter, og $9\mathrm{m}>\mathrm{8,6}\mathrm{m}$.

Ja, tauet er $\underline{\underline{\text{langt nok}}}$ — det er omtrent $\mathrm{0,4}$ meter til overs.

Linjen $l$ går gjennom punktene $(0,3)$ og $(2,0)$.

Konstantleddet er verdien der linjen skjærer $y$-aksen: $b=3$.

Stigningstallet finner vi ved å se hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker fra $0$ til $2$:

Likningen for linjen er $\underline{\underline{y=-\mathrm{1,5}x+3}}$.

For å finne forsvinningspunktet forlenger vi to linjer på bildet som i virkeligheten er parallelle (for eksempel overkanten av gjerdet på hver side av hjørnet), til de møtes i ett punkt. Dette punktet er forsvinningspunktet. Horisontlinja er den vannrette linja gjennom forsvinningspunktet.

På bildet stiger overkanten av gjerdet oppover mot begge sider jo lenger unna hjørnet den kommer, altså ligger forsvinningspunktet (og dermed horisontlinja) høyere i bildet enn toppen av gjerdet nærmest oss. Det betyr at kameraet/øyet befinner seg høyere enn gjerdet.

Mia ser $\underline{\underline{\text{ned}}}$ på gjerdet.

Trapeset har parallelle sider $6$ og $12$, og høyden er $6$. Arealet av et trapes er ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\cdot h$, der $a$ og $b$ er de parallelle sidene:

Den sammensatte figuren kan deles i to rektangler: et øvre rektangel som er $6$ bredt og $4$ høyt, og et nedre rektangel som er $10$ bredt og $3$ høyt (bredden $10$ kommer av at $6+4=10$).

Trekanten har grunnlinje $18$ og høyde $6$. Arealet av en trekant er ${\displaystyle \frac{g\cdot h}{2}}$:

Alle tre figurene har altså $\underline{\underline{\text{areal }54}}$.

Vi skal tegne et trapes med areal $54$ og høyde $9$. Vi bruker arealformelen for trapes og løser for summen av de parallelle sidene $a$ og $b$:

Vi kan velge fritt hvilke to tall som til sammen blir $12$, for eksempel $a=4$ og $b=8$. Kontroll:

Et trapes med parallelle sider $\underline{\underline{4\text{ og }8}}$ og høyde $\underline{\underline{9}}$ har da areal $54$ (andre par som summerer til $12$, f.eks. $5$ og $7$, fungerer like godt).

Vi bruker formelen for lengdepoeng med $k=120$, $m=\mathrm{1,8}$ og $h=130$:

Stilpoengene finner vi ved å stryke laveste og høyeste stilkarakter (18 og 19), og legge sammen de tre som er igjen:

Total poengsum blir dermed

Total poengsum for hoppet er $\underline{\underline{133\text{ poeng}}}$.

Vi finner først stilpoengene til Roar. Laveste (17) og høyeste (19) stilkarakter strykes, og vi legger sammen de tre som er igjen:

Lengdepoengene $P$ er da totalpoengsummen minus stilpoengene:

Nå setter vi $P=82$ inn i formelen $P=(h-120)\cdot \mathrm{1,8}+60$ og løser likningen for $h$:

Roar hoppet omtrent $\underline{\underline{\mathrm{132,2}\mathrm{m}}}$.

For å finne hvor mange stativer som kan produseres for $68000$ kroner, leser vi av skjæringspunktet mellom grafen til $K$ og den vannrette linjen $y=68000$ i grafen over. Skjæringspunktet ligger ved $x=400$.

$\underline{\underline{x=400\text{ stativer}}}$ kan produseres for $68000$ kroner.

For at fabrikken skal gå med overskudd, må inntekten $I(x)$ være større enn kostnaden $K(x)$, altså der grafen til $I$ ligger over grafen til $K$.

Av grafen leser vi av at de to grafene skjærer hverandre i punktene $(100,20000)$ og $(600,120000)$.

Mellom disse skjæringspunktene ligger grafen til $I$ over grafen til $K$, altså er inntekten større enn kostnaden.

Fabrikken bør derfor produsere mellom $100$ og $600$ CD-stativer per måned for å gå med overskudd:

$\underline{\underline{100<x<600}}$

Alminnelig inntekt er personinntekt minus fradrag:

Inntektsskatten er $28\%$ av alminnelig inntekt:

Trygdeavgiften er $\mathrm{7,8}\%$ av personinntekten:

Grunnlaget for toppskatt er personinntekt minus $400000$ kr:

Toppskatten er $9\%$ av dette grunnlaget:

Total skatt er summen av de tre skattene:

Nettolønnen er personinntekt minus skatt:

Vi har dermed vist at nettolønnen til Per i 2006 var $\underline{\underline{302264\mathrm{kr}}}$.

Personinntekten i 2007 er $\mathrm{5,5}\%$ høyere enn i 2006. Vekstfaktoren er $1+\mathrm{0,055}=\mathrm{1,055}$:

Vi gjentar utregningen fra a) med ny personinntekt $474750$ kr og samme fradrag $63800$ kr.

Alminnelig inntekt: $474750-63800=410950$ kr, inntektsskatt: $\mathrm{0,28}\cdot 410950=115066$ kr.

Trygdeavgift: $\mathrm{0,078}\cdot 474750=37\mathrm{030,5}$ kr.

Grunnlag for toppskatt: $474750-400000=74750$ kr, toppskatt: $\mathrm{0,09}\cdot 74750=6\mathrm{727,5}$ kr.

Total skatt:

Nettolønn:

Nettolønnen til Per i 2007 var $\underline{\underline{315926\mathrm{kr}}}$.

Vi finner den prosentvise endringen fra $302264$ kr til $315926$ kr:

Nettolønnen økte med omtrent $\underline{\underline{\mathrm{4,52}\%}}$ fra 2006 til 2007.

For å sammenligne hvor mye Per faktisk hadde å handle for (reallønnen), deler vi nettolønnen på konsumprisindeksen for samme år:

Siden $266379>256809$, hadde Per mer kjøpekraft i 2007 enn i 2006, selv om prisene også steg.

Per hadde $\underline{\underline{\text{mer}}}$ penger å handle for i 2007 enn i 2006.

Vi skal finne personinntekten $P$ i 2007 som gir samme reallønn som i 2006, altså $256809$ (fra d)).

Fra formelen ${\text{Reallønn}}_{2007}={\displaystyle \frac{{\text{Nettolønn}}_{2007}}{\mathrm{118,6}}}\cdot 100$ finner vi hvilken nettolønn i 2007 som gir denne reallønnen:

Vi trenger også en sammenheng mellom personinntekt $P$ og nettolønn, når $P>400000$ kr (som i 2006 og 2007) og fradraget fortsatt er $63800$ kr:

Nettolønnen blir da

Vi setter nettolønnen lik $304575$ kr og løser likningen for $P$:

Per måtte hatt en personinntekt på omtrent $\underline{\underline{454187\mathrm{kr}}}$ i 2007 for å ha like mye å handle for som i 2006.

Av de 30 elevene har 12 valgt kjemi, 21 har valgt matematikk, og 7 har valgt begge fagene. De som bare har valgt kjemi, er

og de som bare har valgt matematikk, er

Vi tegner et venndiagram med disse tallene i de tre delene av sirklene, og resten av rektangelet (klassen) utenfor sirklene:

Antall elever som har valgt minst ett av fagene er $5+7+14=26$. Da er antallet som ikke har valgt noen av fagene

Svar: $\underline{\underline{4\text{ elever har verken valgt matematikk eller kjemi}}}$

Antall elever som har valgt matematikk, men ikke kjemi, er $14$ (området i venndiagrammet som bare tilhører matematikk-sirkelen). Siden det er 30 elever i klassen totalt, er sannsynligheten

Svar: $\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,47}}}$

Vi velger to elever uten tilbakelegging blant de 30 elevene i klassen. 21 av dem har valgt matematikk.

Sannsynligheten for at den første valgte eleven har matematikk, er ${\displaystyle \frac{21}{30}}$. Gitt at den første hadde matematikk, er sannsynligheten for at den andre også har matematikk ${\displaystyle \frac{20}{29}}$, siden det da er 20 matematikkelever igjen av 29 gjenværende elever.

Svar: $\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,48}}}$

La $n$ være antall elever i klasse 1B. Av disse har 4 valgt matematikk. Vi velger to tilfeldige elever uten tilbakelegging, og sannsynligheten for at begge har matematikk, er gitt til $\mathrm{0,05}$:

Dette gir andregradslikningen

Vi løser med abc-formelen:

Dette gir $n=16$ eller $n=-15$. Siden $n$ er et antall elever, må $n$ være positivt.

Svar: $\underline{\underline{n=16\text{ elever}}}$

Volumet av en kule med radius $r$ er $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$.

Den store kulen har diameter $\mathrm{2,0}$ cm, altså radius $r=\mathrm{1,0}$ cm:

Den lille kulen har diameter $\mathrm{1,5}$ cm, altså radius $r=\mathrm{0,75}$ cm:

Volumet av en stor kule er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{4,19}{\mathrm{cm}}^3}}$, og volumet av en liten kule er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{1,77}{\mathrm{cm}}^3}}$.

Vi sammenligner hvor mye marsipan (volum) man får per krone for hver kuletype.

Store kuler koster 2 kr per stykk:

Små kuler koster 1 kr per stykk:

Siden $\mathrm{2,09}{\mathrm{cm}}^3\text{/kr}>\mathrm{1,77}{\mathrm{cm}}^3\text{/kr}$, får man mer marsipan for pengene ved å kjøpe store kuler.

Man får mest marsipan for pengene ved å $\underline{\underline{\text{kjøpe store kuler}}}$.

Sjokoladelaget dekker overflaten av hver kule. Overflaten av en kule med radius $r$ er $A=4\pi r^2$.

Overflaten av én stor kule ($r=\mathrm{1,0}$ cm):

Overflaten av én liten kule ($r=\mathrm{0,75}$ cm):

Samlet overflate i esken med 27 store kuler:

Samlet overflate i esken med 64 små kuler:

Siden $\mathrm{452,4}{\mathrm{cm}}^2>\mathrm{339,3}{\mathrm{cm}}^2$, er det mer sjokolade i esken med 64 små kuler, selv om den samlede marsipanmengden (volumet) faktisk er mindre i den esken.

Esken med $\underline{\underline{64\text{ små kuler}}}$ har mest sjokolade.

Vi tegner tre rette linjer $f$, $g$ og $h$ i et koordinatsystem og lar programvaren vise stigningstallet (linjens helning) til hver av dem direkte på figuren, som et lite trappetrinn ved siden av linjen:

Deretter bruker vi verktøyet «Vinkelrett linje» i GeoGebra til å tegne en linje som står vinkelrett på hver av linjene $f$, $g$ og $h$, gjennom et valgt punkt på linjen ($A$, $B$ og $C$). Programvaren regner selv ut stigningstallet til de nye linjene $f_2$, $g_2$ og $h_2$:

Figuren viser at de blå linjene virkelig står vinkelrett på de røde linjene i skjæringspunktene $A$, $B$ og $C$.

Vi multipliserer sammen stigningstallet til hver linje og stigningstallet til linjen som står vinkelrett på den:

I alle tre tilfellene blir produktet av stigningstallene lik $-1$, selv om linjene har helt forskjellige stigningstall. Dette gir grunnlag for følgende hypotese:

$\underline{\underline{\text{Når to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene deres alltid lik }-1.}}$

Sagt på en annen måte: har den ene linjen stigningstall $a$, må den andre linjen ha stigningstall $-{\displaystyle \frac{1}{a}}$ for at de skal stå vinkelrett på hverandre.