S2 Vår 2017

S2 Vår 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt	KI
2	Likningssystem med tre ukjente S2 V17	KI
3	Aritmetisk rekke differanse og sum 84	KI
4	Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk	KI
5	Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde	KI
6	Kjøttmeisunger og normalfordelt sum	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger	KI
2	Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak	KI
3	Levetid for batterier og hypotesetest	KI
4	Logistisk modell for smittsom sykdom	KI

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Deriver funksjonene

f(x) = x^2 - \dfrac{2}{x}

g(x) = \ln(x^2 + 1)

h(x) = x^2 \mathrm{e}^x

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = 2x + \dfrac{2}{x^2}}}$

$\underline{\underline{g'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}}}$

$\underline{\underline{h'(x) = xe^x(x+2)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f(x) = x^2 - \dfrac{2}{x}$ ved å bruke potensregler:

f(x) = x^2 - 2x^{-1}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen $(kx^n)' = knx^{n-1}$ :

f'(x) = 2x - 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = 2x + 2x^{-2} = \underline{\underline{2x + \frac{2}{x^2}}}

Vi bruker kjerneregelen. Lar $u = x^2 + 1$ være kjernen, slik at $g(x) = \ln(u)$ .

Vi vet at $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , og vi finner $u' = 2x$ .

g'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{2x}{x^2 + 1} = \underline{\underline{\frac{2x}{x^2+1}}}

Vi bruker produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ .

Setter $u = x^2$ og $v = e^x$ , slik at $u' = 2x$ og $v' = e^x$ .

h'(x) = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x

Vi faktoriserer ut $xe^x$ :

h'(x) = xe^x(2 + x) = \underline{\underline{xe^x(x+2)}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon

Oppgave 1-2 : Likningssystem med tre ukjente S2 V17

\begin{aligned} x + y - z &= 0 \\ 2x + y - z &= 2 \\ 4x + y - 2z &= 1 \end{aligned}

Løs likningssystemet.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på likningssystemet og leter etter en smart rekkefølge for eliminasjon.

Steg 1: Finn $x$ ved å trekke likning I fra likning II.

\text{II} - \text{I}: \quad (2x + y - z) - (x + y - z) = 2 - 0

x = 2

Steg 2: Sett $x = 2$ inn i likning II og III for å få et system med to ukjente.

Fra likning II:

2 \cdot 2 + y - z = 2 \implies y - z = -2 \quad \text{(IV)}

Fra likning III:

4 \cdot 2 + y - 2z = 1 \implies y - 2z = -7 \quad \text{(V)}

Steg 3: Finn $z$ ved å trekke likning V fra likning IV.

\text{IV} - \text{V}: \quad (y - z) - (y - 2z) = -2 - (-7)

z = 5

Steg 4: Finn $y$ ved å sette $z = 5$ inn i likning IV.

y - 5 = -2 \implies y = 3

Kontroll i likning I, II og III:

2 + 3 - 5 = 0 \checkmark, \quad 4 + 3 - 5 = 2 \checkmark, \quad 8 + 3 - 10 = 1 \checkmark

$x = 2$ , $y = 3$ , $z = 5$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke differanse og sum 84

I en aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ er $a_1 = 3$ og $a_6 = 18$ .

Bestem differansen $d$ , og bestem en formel for $a_n$ uttrykt ved $n$ .

Vis at summen av de $n$ første leddene kan skrives som

S_n = \frac{3}{2} n(n+1)

Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli 84?

Fasit

$d = 3$ , $\underline{\underline{a_n = 3n}}$

Se løsningsforslag.

$\underline{\underline{n = 7}}$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ . Vi setter inn $a_1 = 3$ og $a_6 = 18$ :

18 = 3 + (6-1) \cdot d

18 = 3 + 5d

5d = 15

d = 3

Differansen er $\underline{\underline{d = 3}}$ . Formelen for det $n$ -te leddet blir:

a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3 + 3n - 3 = \underline{\underline{3n}}

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

Vi setter inn $a_1 = 3$ og $a_n = 3n$ :

S_n = \frac{(3 + 3n) \cdot n}{2} = \frac{3(1 + n) \cdot n}{2} = \frac{3}{2} n(n+1)

Dette er det vi skulle vise.

Vi setter $S_n = 84$ og bruker formelen fra b):

\frac{3}{2} n(n+1) = 84

n(n+1) = 56

n^2 + n - 56 = 0

Vi bruker andregradsformelen med $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -56$ :

n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}

Dette gir $n = \dfrac{-1 + 15}{2} = 7$ eller $n = \dfrac{-1 - 15}{2} = -8$ .

Siden $n$ må være et positivt heltall, er svaret $\underline{\underline{n = 7}}$ .

Vi må ha med 7 ledd for at summen skal bli 84.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker

Oppgave 1-4 : Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6

Vi ser at $f(1) = 0$ . Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at

f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)

Løs ulikheten $f(x) \le 0$ .

Forkort brøken mest mulig

\frac{x^3 + 4x^2 + x - 6}{2x^2 - 2}

Bruk blant annet det du viste i oppgave a), til å løse likningen

\mathrm{e}^{3x} + 4\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^x - 6 = 0

Fasit

$f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)$ (vist ved polynomdivisjon)

$\underline{\underline{x \leq -3 \text{ eller } -2 \leq x \leq 1}}$

$\underline{\underline{\dfrac{(x+2)(x+3)}{2(x+1)}}}$

$\underline{\underline{x = 0}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi får oppgitt at $f(1) = 0$ , som betyr at $x = 1$ er et nullpunkt. Da er $(x - 1)$ en faktor i $f(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $f(x) : (x - 1)$ :

\left(x^3 + 4x^2 + x - 6\right) : (x - 1) = x^2 + 5x + 6

Vi faktoriserer $x^2 + 5x + 6$ ved å finne to tall som gir produktet $6$ og summen $5$ : tallene er $2$ og $3$ .

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Dermed er

\underline{\underline{f(x) = (x-1)(x+2)(x+3)}}

Vi løser $f(x) \leq 0$ ved hjelp av en fortegnslinje. Nullpunktene er $x = -3$ , $x = -2$ og $x = 1$ .

Vi setter opp fortegnslinjen og merker faktorenes fortegn i hvert intervall:

Intervall	$(x-1)$	$(x+2)$	$(x+3)$	$f(x)$
$x < -3$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x = -3$	$-$	$-$	$0$	$0$
$-3 < x < -2$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x = -2$	$-$	$0$	$+$	$0$
$-2 < x < 1$	$-$	$+$	$+$	$-$
$x = 1$	$0$	$+$	$+$	$0$
$x > 1$	$+$	$+$	$+$	$+$

$f(x) \leq 0$ der $f(x)$ er negativ eller lik null:

\underline{\underline{x \leq -3 \quad \text{eller} \quad -2 \leq x \leq 1}}

Vi faktoriserer telleren ved å bruke resultatet fra a):

x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x+2)(x+3)

Vi faktoriserer nevneren:

2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x+1)(x-1)

Vi forkorter brøken ved å stryke faktoren $(x - 1)$ (som forutsetter $x \neq 1$ ):

\frac{x^3 + 4x^2 + x - 6}{2x^2 - 2} = \frac{(x-1)(x+2)(x+3)}{2(x+1)(x-1)} = \underline{\underline{\frac{(x+2)(x+3)}{2(x+1)}}}

Vi skriver om likningen ved å legge merke til at $e^{3x} = (e^x)^3$ , $e^{2x} = (e^x)^2$ og $e^x = e^x$ . Vi setter $y = e^x$ :

\begin{aligned} e^{3x} + 4e^{2x} + e^x - 6 &= 0 \\ (e^x)^3 + 4(e^x)^2 + e^x - 6 &= 0 \\ y^3 + 4y^2 + y - 6 &= 0 \end{aligned}

Fra a) vet vi at $y^3 + 4y^2 + y - 6 = (y-1)(y+2)(y+3)$ , så likningen har løsningene $y = 1$ , $y = -2$ og $y = -3$ .

Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , er kun $y = 1$ en gyldig løsning ( $e^x$ kan ikke være $-2$ eller $-3$ ).

Fra $e^x = 1$ får vi:

x = \ln 1 = \underline{\underline{0}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Polynomdivisjon, Rasjonale funksjoner, Ulikheter

Oppgave 1-5 : Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Totalkostnaden i kroner ved produksjon av en vare er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 + 70x + 4000 \qquad , \qquad 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per uke.

Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved

I(x) = -0{,}05x^2 + 280x \qquad , \qquad 0 < x < 2000

Bestem $K'(500)$ og $I'(500)$ . Bruk svarene til å vurdere om bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

Bestem den vinningsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Bestem den kostnadsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Fasit

$K'(500) = 170$ , $I'(500) = 230$ . Bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

$\underline{\underline{x = 700}}$

$\underline{\underline{x = 200}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K(x)$ og $I(x)$ og setter inn $x = 500$ :

K'(x) = 0{,}2x + 70 \qquad \Rightarrow \qquad K'(500) = 0{,}2 \cdot 500 + 70 = 100 + 70 = \textcolor{seagreen}{170}

I'(x) = -0{,}1x + 280 \qquad \Rightarrow \qquad I'(500) = -0{,}1 \cdot 500 + 280 = -50 + 280 = \textcolor{steelblue}{230}

Siden $I'(500) = \textcolor{steelblue}{230} > \textcolor{seagreen}{170} = K'(500)$ , er grenseinntekten større enn grensekostnaden ved $x = 500$ . Det betyr at én ekstra produsert enhet øker inntekten mer enn kostnaden, og bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$ , og overskuddet er størst når $O'(x) = 0$ .

O'(x) = I'(x) - K'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)

Vi setter grenseinntekt lik grensekostnad:

-0{,}1x + 280 = 0{,}2x + 70

210 = 0{,}3x

x = \frac{210}{0{,}3} = 700

Den vinningsoptimale produksjonsmengden er $\underline{\underline{x = 700}}$ enheter per uke.

Kostnad per enhet (enhetskostnad) er

G(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}1x^2 + 70x + 4000}{x} = 0{,}1x + 70 + \frac{4000}{x}

Vi minimerer $G(x)$ ved å sette $G'(x) = 0$ :

G'(x) = 0{,}1 - \frac{4000}{x^2} = 0

\frac{4000}{x^2} = 0{,}1

x^2 = \frac{4000}{0{,}1} = 40\,000

x = 200 \qquad (x > 0)

Den kostnadsoptimale produksjonsmengden er $\underline{\underline{x = 200}}$ enheter per uke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad

Oppgave 1-6 : Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

La $X$ være antall unger som overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse med kjøttmeis. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	0	1	2	3	4
$P(X=k)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}3$	$0{,}1$

Bestem $P(X \ge 2)$ .

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ , og vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}$ .
Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?

Et år har biologilærer Peder overvåket 100 fuglekasser med kjøttmeis. Kassene er nummerert fra 1 til 100. La $X_i$ være antall kjøttmeisunger som overlever i kasse nummer $i$ . Vi antar at $X_i$ -ene er uavhengige. Det totale antallet kjøttmeisunger som overlever i de 100 kassene, er gitt ved den stokastiske variabelen

S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Bestem $\text{E}(S)$ og $\text{Var}(S)$ .

I resten av oppgaven går vi ut fra at $\text{E}(S) = 200$ og $\text{SD}(S) = 13$ . Du vil få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Bestem sannsynligheten for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever i kassene til Peder dette året.

Bestem $P(187 \le S \le 213)$ .

Fasit

$\underline{\underline{P(X \ge 2) = 0{,}7}}$

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 2}}$ , $\underline{\underline{\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}}}$

Sentralgrenseteoremet

$\underline{\underline{\text{E}(S) = 200}}$ , $\underline{\underline{\text{Var}(S) = 160}}$

$\underline{\underline{P(S \ge 226) \approx 2{,}28\,\%}}$

$\underline{\underline{P(187 \le S \le 213) \approx 0{,}6827}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi summerer sannsynlighetene for $X = 2$ , $X = 3$ og $X = 4$ :

P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}1 = \underline{\underline{0{,}7}}

Forventningsverdien beregnes ved formelen $\text{E}(X) = \sum k \cdot P(X=k)$ :

\text{E}(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}9 + 0{,}4 = \underline{\underline{2}}

For standardavviket bruker vi $\text{SD}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)}$ der $\text{Var}(X) = \sum (k - \mu)^2 \cdot P(X=k)$ :

\text{Var}(X) = (0-2)^2 \cdot 0{,}2 + (1-2)^2 \cdot 0{,}1 + (2-2)^2 \cdot 0{,}3 + (3-2)^2 \cdot 0{,}3 + (4-2)^2 \cdot 0{,}1

= 4 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}3 + 1 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}8 + 0{,}1 + 0 + 0{,}3 + 0{,}4 = 1{,}6

Dermed er $\text{SD}(X) = \sqrt{1{,}6}$ . Vist.

$\text{E}(X) = 2$ forteller oss at vi i gjennomsnitt kan forvente at 2 kjøttmeisunger overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse.

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av et stort antall uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt. Her er $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$ en sum av 100 uavhengige variabler med samme fordeling. Siden $n = 100$ er stort, er $S$ tilnærmet normalfordelt.

Siden $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ er uavhengige og identisk fordelte med $\text{E}(X_i) = 2$ og $\text{Var}(X_i) = 1{,}6$ , gir regnereglene for forventningsverdi og varians:

\text{E}(S) = \text{E}(X_1) + \text{E}(X_2) + \cdots + \text{E}(X_{100}) = 100 \cdot \text{E}(X) = 100 \cdot 2 = \underline{\underline{200}}

\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \cdots + \text{Var}(X_{100}) = 100 \cdot \text{Var}(X) = 100 \cdot 1{,}6 = \underline{\underline{160}}

Vi bruker at $S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 200$ og $\sigma = 13$ (oppgitt). Vi standardiserer med $Z = \dfrac{S - \mu}{\sigma}$ :

P(S \ge 226) = 1 - P(S < 226) = 1 - P\!\left(Z < \frac{226 - 200}{13}\right) = 1 - P(Z < 2)

Fra normalfordelingstabellen er $P(Z < 2) = 0{,}9772$ , så

P(S \ge 226) = 1 - 0{,}9772 = \underline{\underline{0{,}0228 \approx 2{,}28\,\%}}

Det er altså omtrent $2{,}3\,\%$ sannsynlighet for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever.

Vi standardiserer begge grensene:

P(187 \le S \le 213) = P(S \le 213) - P(S \le 187)

= P\!\left(Z \le \frac{213 - 200}{13}\right) - P\!\left(Z \le \frac{187 - 200}{13}\right) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1)

Fra normalfordelingstabellen er $P(Z \le 1) = 0{,}8413$ og $P(Z \le -1) = 1 - P(Z \le 1) = 0{,}1587$ :

P(187 \le S \le 213) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = \underline{\underline{0{,}6827 \approx 68{,}3\,\%}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Normalfordeling, Sentralgrenseteoremet

Oppgave 2-1 : Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

En bedrift produserer en vare. Bedriften selger alt den produserer. Overskuddet $O$ ved salg av $x$ enheter per uke er gitt ved

O(x) = ax^2 + bx + c

Når bedriften produserer 200 enheter per uke, blir overskuddet lik $0$ .
Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.
Når bedriften selger 600 enheter per uke, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.

Vis at disse opplysningene gir likningssystemet

\begin{aligned} 40\,000a + 200b + c &= 0 \\ 950a + b &= 0 \\ 1200a + b &= -5 \end{aligned}

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Hva er det største overskuddet bedriften kan få per uke?

Fasit

Se løsningsforslag.

$\underline{\underline{a = -0{,}02,\quad b = 19,\quad c = -3000}}$

$\underline{\underline{O(475) = 1512{,}5 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Hver av de tre opplysningene gir én likning i $a$ , $b$ og $c$ .

Opplysning 1: «Overskuddet er lik $0$ når bedriften produserer 200 enheter.»

O(200) = 0 \quad \Rightarrow \quad a \cdot 200^2 + b \cdot 200 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{seagreen}{40\,000a + 200b + c = 0}

Opplysning 2: «Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.»

Maksimum betyr at $O'(475) = 0$ . Siden $O'(x) = 2ax + b$ , får vi:

O'(475) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a \cdot 475 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{steelblue}{950a + b = 0}

Opplysning 3: «Når bedriften selger 600 enheter, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.»

Overskudd er definert som inntekt minus kostnad: $O(x) = I(x) - K(x)$ . Grenseinntekt og grensekostnad er henholdsvis $I'(x)$ og $K'(x)$ . Betingelsen $K'(600) = I'(600) + 5$ gir:

O'(600) = I'(600) - K'(600) = I'(600) - \bigl(I'(600) + 5\bigr) = -5

Altså:

O'(600) = -5 \quad \Rightarrow \quad 2a \cdot 600 + b = -5 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{tomato}{1200a + b = -5}

De tre opplysningene gir dermed likningssystemet

\begin{aligned} \textcolor{seagreen}{40\,000a + 200b + c} &\textcolor{seagreen}{= 0} \\ \textcolor{steelblue}{950a + b} &\textcolor{steelblue}{= 0} \\ \textcolor{tomato}{1200a + b} &\textcolor{tomato}{= -5} \end{aligned}

Vi skriver likningssystemet inn i CAS:

LøsLigningssystem({40000a + 200b + c = 0, 950a + b = 0, 1200a + b = -5}, {a, b, c})

CAS gir:

\underline{\underline{a = -0{,}02, \quad b = 19, \quad c = -3000}}

Overskuddsfunksjonen er altså $O(x) = -0{,}02x^2 + 19x - 3000$ .

Fra oppgave a) vet vi at maksimum inntreffer ved $x = 475$ . Vi setter inn:

O(475) = -0{,}02 \cdot 475^2 + 19 \cdot 475 - 3000 = -4512{,}5 + 9025 - 3000 = 1512{,}5

Det største overskuddet bedriften kan få per uke er $\underline{\underline{1512{,}5 \, \mathrm{kr}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Likningssystem, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad

Oppgave 2-2 : Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Ingrid inngår en pensjonsavtale der hun skal spare 20 000 kroner i året. Den første innbetalingen skjer 1. januar 2018. Den siste innbetalingen skjer 1. januar 2052. Hun får en fast rente på $3{,}00 \text{ \%}$ per år.

Bruk CAS til å vise at Ingrid vil ha 1 209 242 kroner på konto rett etter siste innbetaling.

Ingrid planlegger å ta ut et fast beløp hvert år. Det første uttaket vil hun gjøre 1. januar 2053 og det siste uttaket 1. januar 2067. Da skal kontoen være tom. Hun regner med en rente på $3{,}00 \text{ \%}$ per år.

Hvor mye kan hun ta ut per år?

Ingrid synes det er tilstrekkelig å ta ut 80 000 kroner i året fra og med 1. januar 2053.

Bruk CAS til å bestemme når kontoen vil være tom i dette tilfellet.

Fasit

$\underline{\underline{S = 1\,209\,242 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{u \approx 101\,294 \, \mathrm{kr}}}$

Kontoen tømmes i 2073

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $b = 20\,000$ (årlig innbetaling) og $r = 1{,}03$ (vekstfaktor). Første innbetaling skjer 1. januar 2018 og siste 1. januar 2052 — det er 35 innbetalinger totalt (fra 2018 til og med 2052).

Rett etter siste innbetaling har den første innbetalingen rukket å vokse i 34 år, den andre i 33 år, osv., og den siste er nettopp satt inn. Summen er:

S = b \cdot r^{34} + b \cdot r^{33} + \cdots + b \cdot r + b = b \sum_{i=0}^{34} r^i

I CAS skriver vi:

\texttt{b := 20000}

\texttt{r := 1{,}03}

\texttt{S := b * Sum(r\^{}i, i, 0, 34)}

\texttt{Avrund(S, 0)}

CAS gir $S = \mathbf{\underline{\underline{1\,209\,242 \, \mathrm{kr}}}}$

Rett etter siste innbetaling (1. januar 2052) har Ingrid $I = 1\,209\,242 \, \mathrm{kr}$ på konto. La $u$ være det ukjente faste årlige uttaket. Pengene fortsetter å vokse med $r = 1{,}03$ mellom hvert uttak.

Vi setter opp hva som er igjen på kontoen år for år etter første uttak:

År	Saldo
1. jan. 2052	$I$
1. jan. 2053 (etter uttak 1)	$I \cdot r - u$
1. jan. 2054 (etter uttak 2)	$I \cdot r^2 - u(r + 1)$
$\vdots$	$\vdots$
1. jan. 2067 (etter uttak 15)	$I \cdot r^{15} - u \displaystyle\sum_{i=0}^{14} r^i$

Kontoen skal være tom etter siste uttak i 2067, så vi løser:

I \cdot r^{15} - u \sum_{i=0}^{14} r^i = 0

I CAS:

\texttt{I := 1209242}

\texttt{Løs(I * r\^{}15 - u * Sum(r\^{}i, i, 0, 14) = 0, u)}

CAS gir $u \approx \mathbf{\underline{\underline{101\,294 \, \mathrm{kr}}}}$

Nå er $u = 80\,000 \, \mathrm{kr}$ per år. Vi bruker samme uttrykk for saldo etter $n$ uttak (fra og med 2053):

P_n = I \cdot r^{n} - u \sum_{i=0}^{n-1} r^i = 0

I CAS løser vi for $n$ :

\texttt{Løs(I * r\^{}n - 80000 * Sum(r\^{}i, i, 0, n-1) = 0, n)}

CAS gir $n \approx 20{,}44$ , altså er kontoen tom 20,44 år etter 1. januar 2053 — som tilsvarer omtrent midten av 2073.

Vi sjekker: etter 19 uttak (dvs. etter uttak i 2071) er det $\approx 111\,063 \, \mathrm{kr}$ igjen. Etter 20 uttak (2072) er det $\approx 34\,395 \, \mathrm{kr}$ igjen — nok til å ta ut hele uttaket i 2072, men ikke et fullt uttak i 2073. I 2073 tar Ingrid ut de resterende $34\,395 \, \mathrm{kr}$ og kontoen er tom.

Kontoen tømmes i $\mathbf{\underline{\underline{2073}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Sparing, Cas

Oppgave 2-3 : Levetid for batterier og hypotesetest

En bedrift produserer batterier til hodelykter. Bedriften påstår at levetiden for batteriene er 30 timer når hodelykten brukes med full lysstyrke.

Vi antar at levetiden for batteriene er normalfordelt med $\mu = 30$ timer og $\sigma = 3$ timer.

Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri har en levetid på mindre enn 27 timer.

Forbrukerrådet har mistanke om at forventet levetid er mindre enn 30 timer. Derfor blir ni tilfeldig valgte batterier testet. Levetida til batteriene viser seg å være 29, 31, 32, 27, 29, 25, 23, 30 og 26 timer.

Vi antar fortsatt at levetiden til batteriene er normalfordelt med $\sigma = 3$ timer.

Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å hevde at den forventede levetiden er mindre enn 30 timer. Bruk et signifikansnivå på $5 \text{ \%}$ .

Fasit

$\underline{\underline{P(X < 27) \approx 0{,}1587}}$

$p\text{-verdi} \approx 0{,}0228 < 0{,}05$ , så vi forkaster $H_0$ . Det er grunnlag for å hevde at forventet levetid er mindre enn 30 timer.

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være levetiden til et tilfeldig valgt batteri. $X$ er normalfordelt med $\mu = 30$ og $\sigma = 3$ .

Vi standardiserer og finner sannsynligheten:

P(X < 27) = P\!\left(Z < \frac{27 - 30}{3}\right) = P(Z < -1) \approx \underline{\underline{0{,}1587}}

from scipy.stats import norm
norm.cdf(27, loc=30, scale=3)  # → 0.1587

Vi setter opp hypotesene for en ensidig test:

H_0\colon \mu = 30 \qquad H_1\colon \mu < 30

Vi beregner gjennomsnittet av de ni målte levetidene:

\bar{y} = \frac{29+31+32+27+29+25+23+30+26}{9} = \frac{252}{9} = 28 \text{ timer}

Under $H_0$ er gjennomsnittet $\bar{Y}$ av $n = 9$ uavhengige observasjoner normalfordelt med

\mu_{\bar{Y}} = 30 \qquad \sigma_{\bar{Y}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1

$p$ -verdien er sannsynligheten for å observere et gjennomsnitt like lavt som eller lavere enn $\bar{y} = 28$ , gitt at $H_0$ er sann:

p\text{-verdi} = P(\bar{Y} < 28) = P\!\left(Z < \frac{28 - 30}{1}\right) = P(Z < -2) \approx 0{,}0228

from scipy.stats import norm
norm.cdf(28, loc=30, scale=1)  # → 0.0228

Siden $p\text{-verdi} \approx 0{,}0228 < \alpha = 0{,}05$ forkaster vi $H_0$ .

Konklusjon: På $5\,\%$ signifikansnivå er det grunnlag for å hevde at forventet levetid for batteriene er mindre enn 30 timer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest

Oppgave 2-4 : Logistisk modell for smittsom sykdom

I et område er det brutt ut en smittsom sykdom. Antall personer som blir smittet per uke, kan modelleres med en logistisk funksjon $g$ der

g(t) = \frac{N}{1 + ae^{-kt}}

Her er $N$ , $a$ og $k$ reelle tall, og $g(t)$ er antall personer som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Tabellen nedenfor viser $g(t)$ for noen verdier av $t$ .

$t$	0	5	12
$g(t)$	200	2000	9 000

Bruk regresjon til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ i uttrykket $g(t)$ .

Nærmere undersøkelser viser at

f(t) = \frac{10000}{1 + 50e^{-0{,}5t}}

er en god modell for antallet som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ . Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000.

Bruk CAS til å bestemme $\displaystyle\int_0^{12} f(t)\,dt$ . Hva forteller dette svaret oss?

Hvor mange uker vil det gå før det totale antallet personer som er smittet, overstiger 15 000?

Fasit

$N \approx 10\,095$ , $a \approx 49{,}5$ , $k \approx 0{,}50$

Antall smittede per uke er 7000 etter $\underline{\underline{t \approx 9{,}5 \text{ uker}}}$

$\underline{\underline{\int_0^{12} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 43\,700}}$ — totalt antall smittede fra uke 0 til uke 12

$\underline{\underline{T \approx 8{,}1 \text{ uker}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger de tre datapunktene $(0,\, 200)$ , $(5,\, 2000)$ og $(12,\, 9000)$ inn i regnearket i GeoGebra, markerer dem og velger Regresjonsanalyse → Logistisk regresjon.

GeoGebra gir:

g(t) = \frac{N}{1 + ae^{-kt}} \approx \frac{10\,095}{1 + 49{,}5 \cdot e^{-0{,}50t}}

$N \approx 10\,095$ , $a \approx 49{,}5$ , $k \approx 0{,}50$

(Oppgaveteksten opplyser at $f(t) = \dfrac{10\,000}{1 + 50e^{-0{,}5t}}$ er en god tilnærming, noe som stemmer godt med regresjonsresultatet.)

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra:

f(t) = 10000 / (1 + 50 * exp(-0.5 * t))

Deretter tegner vi linjen $y = 7000$ og finner skjæringspunktet med $f$ .

GeoGebra gir skjæringspunktet $(9{,}52,\; 7000)$ .

Antall smittede per uke er 7000 etter $\underline{\underline{t \approx 9{,}5 \text{ uker}}}$ .

I CAS skriver vi:

f(t) := 10000 / (1 + 50 * e^(-0.5 * t))
Integral(f, t, 0, 12)

CAS gir:

\int_0^{12} f(t)\,\mathrm{d}t \approx \underline{\underline{43\,700}}

Tolkning: Siden $f(t)$ angir antall nye smittede per uke og vi integrerer over $t \in [0, 12]$ uker, gir integralet det totale antallet personer som ble smittet fra uke 0 til uke 12. Det vil si at omtrent 43 700 personer ble smittet i løpet av de første 12 ukene.

Vi skal finne $T$ slik at totalt antall smittede overstiger 15 000, altså løse:

\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = 15\,000

I CAS (numerisk) skriver vi:

NLøs({Integral(f, 0, T) = 15000}, {T})

CAS gir $T \approx 8{,}12$ .

Det vil gå $\underline{\underline{\text{drøyt } 8 \text{ uker}}}$ før totalt 15 000 personer er smittet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Regresjon, Bestemt integral, Modellering

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Oppgave 1-2 : Likningssystem med tre ukjente S2 V17

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke differanse og sum 84

Oppgave 1-4 : Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Oppgave 1-5 : Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Oppgave 1-6 : Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

Oppgave 2-2 : Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Oppgave 2-3 : Levetid for batterier og hypotesetest

Oppgave 2-4 : Logistisk modell for smittsom sykdom

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave