S2 Høst 2017

S2 Høst 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner S2 H17	KI
2	Polynomdivisjon med rest	KI
3	Likningssystem med tre ukjente S2 H17	KI
4	Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17	KI
5	Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd	KI
6	Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17	KI
7	Funksjonsdrøfting av (x-2)e^x	KI
8	Lotteri med forventning og normaltilnærming	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 3 oppgaver · 24 poeng
1	Lønnsmodell med integral og rekke	KI
2	Boliglån med endret terminbeløp	KI
3	Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2x^2 - 4x^3

g(x) = x^2 e^x

h(x) = \ln(x^3 + 3x + 1)

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = 4x - 12x^2}}$

$\underline{\underline{g'(x) = (2x + x^2)e^x}}$

$\underline{\underline{h'(x) = \dfrac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x + 1}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f(x) = 2x^2 - 4x^3$ ledd for ledd ved å bruke potensregelen $\left(x^n\right)' = n x^{n-1}$ :

f'(x) = 2 \cdot 2x - 4 \cdot 3x^2 = \textcolor{seagreen}{\underline{\underline{4x - 12x^2}}}

Vi deriverer $g(x) = x^2 e^x$ med produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ , der $u = x^2$ og $v = e^x$ :

u' = 2x, \qquad v' = e^x

g'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = \textcolor{seagreen}{\underline{\underline{(2x + x^2)e^x}}}

Vi deriverer $h(x) = \ln(x^3 + 3x + 1)$ med kjerneregelen. Huskeregel: $\bigl(\ln(u)\bigr)' = \dfrac{u'}{u}$ .

Her er $u = x^3 + 3x + 1$ , og $u' = 3x^2 + 3$ .

h'(x) = \frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x + 1} = \textcolor{seagreen}{\underline{\underline{\frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x + 1}}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon med rest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utfør divisjonen

(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5)

Bestem $t$ slik at divisjonen nedenfor går opp.

(x^3 + t x^2 + 5x - 2t) : (x + 1)

Fasit

$\underline{\underline{x^2 - 4}}$ , faktorisert: $\underline{\underline{(x-5)(x-2)(x+2)}}$

$\underline{\underline{t = -6}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utfører polynomdivisjonen $(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5)$ .

\begin{aligned} (x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5) &= x^2 \quad \text{siden } x^3 : x = x^2 \\ x^2 \cdot (x - 5) &= x^3 - 5x^2 \end{aligned}

Vi trekker fra og fortsetter:

\begin{aligned} &x^3 - 5x^2 - 4x + 20 \\ -\; &(x^3 - 5x^2) \\ \hline &\phantom{x^3 - 5x^2} - 4x + 20 \end{aligned}

-4x + 20 : (x - 5) = -4 \quad \text{siden } -4x : x = -4

-4 \cdot (x - 5) = -4x + 20

Resten er $0$ , og vi får:

(x^3 - 5x^2 - 4x + 20) : (x - 5) = \underline{\underline{x^2 - 4}}

Vi kan faktorisere videre siden $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ :

x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = \underline{\underline{(x-5)(x-2)(x+2)}}

Vi skal bestemme $t$ slik at $(x^3 + tx^2 + 5x - 2t) : (x + 1)$ går opp, dvs. at resten blir null.

Divisjonen $(x^3 + tx^2 + 5x - 2t) : (x + 1)$ går opp hvis og bare hvis $x = -1$ er et nullpunkt for telleren. Vi setter inn $x = -1$ :

(-1)^3 + t \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 2t = 0

-1 + t - 5 - 2t = 0

-6 - t = 0

t = -6

Kontroll: Med $t = -6$ blir polynomet $x^3 - 6x^2 + 5x + 12$ .

(-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 12 = -1 - 6 - 5 + 12 = 0 \checkmark

\underline{\underline{t = -6}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon

Oppgave 1-3 : Likningssystem med tre ukjente S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

\begin{cases} x + y + 2z = -3 \\ x + 3y + z = 2 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}

LøsningsforslagKI-generert

Vi nummererer likningene:

\begin{cases} x + y + 2z = -3 & \quad (1)\\ x + 3y + z = 2 & \quad (2)\\ 2x + y + z = 2 & \quad (3) \end{cases}

Trinn 1: Eliminer $x$ fra likning (2) og (3)

$(2) - (1)$ :

2y - z = 5 \quad (4)

$(3) - 2 \cdot (1)$ :

(2x + y + z) - 2(x + y + 2z) = 2 - 2 \cdot (-3)

-y - 3z = 8 \quad (5)

Trinn 2: Løs systemet med to ukjente

Vi har nå:

\begin{cases} 2y - z = 5 & (4) \\ -y - 3z = 8 & (5) \end{cases}

$(4) + 2 \cdot (5)$ :

(2y - z) + 2(-y - 3z) = 5 + 16

-7z = 21

z = -3

Setter $z = -3$ inn i $(4)$ :

2y - (-3) = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1

Trinn 3: Finn $x$

Setter $y = 1$ og $z = -3$ inn i $(1)$ :

x + 1 + 2 \cdot (-3) = -3 \implies x - 5 = -3 \implies x = 2

Svar: $\underline{\underline{x = 2, \quad y = 1, \quad z = -3}}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem

Oppgave 1-4 : Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\ln\left(\frac{e^2}{2}\right) + 2\ln 2 - \ln\left(\frac{2}{e^4}\right)

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logaritmereglene $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ og $\ln e = 1$ .

Først forenkler vi hvert ledd for seg:

\ln\left(\frac{e^2}{2}\right) = \ln e^2 - \ln 2 = 2\ln e - \ln 2 = 2 - \ln 2

2\ln 2

\ln\left(\frac{2}{e^4}\right) = \ln 2 - \ln e^4 = \ln 2 - 4\ln e = \ln 2 - 4

Nå setter vi det inn i det opprinnelige uttrykket:

\ln\left(\frac{e^2}{2}\right) + 2\ln 2 - \ln\left(\frac{2}{e^4}\right)

= \left(2 - \ln 2\right) + 2\ln 2 - \left(\ln 2 - 4\right)

= 2 - \ln 2 + 2\ln 2 - \ln 2 + 4

= 6 + (-\ln 2 + 2\ln 2 - \ln 2)

= 6 + 0 = \underline{\underline{6}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-5 : Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk rekke er gitt ved $3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 119$

Bestem en formel for ledd nummer $n$ i denne rekken.

Bestem summen av rekken.

Fasit

$\underline{\underline{a_n = 4n - 1}}$

$\underline{\underline{S_{30} = 1830}}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $3 + 7 + 11 + \cdots + 119$ er aritmetisk med første ledd $a_1 = 3$ og differanse $d = 4$ .

Formelen for ledd nummer $n$ i en aritmetisk rekke er

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Vi setter inn $a_1 = 3$ og $d = 4$ :

a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1

Ledd nummer $n$ er $\underline{\underline{a_n = 4n - 1}}$ .

Vi finner antall ledd ved å løse $a_n = 119$ :

4n - 1 = 119

4n = 120

n = 30

Rekken har 30 ledd. Summen av en aritmetisk rekke er

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

Vi setter inn $n = 30$ , $a_1 = 3$ og $a_{30} = 119$ :

S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (3 + 119) = 15 \cdot 122 = \textbf{\underline{\underline{1830}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker

Oppgave 1-6 : Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Totalkostnaden $K$ i kroner for å produsere en vare er gitt ved

K(x) = x^2 + 50x + 6400

Her er $x$ antall produserte enheter per uke.

Bestem grensekostnaden når det produseres $50$ enheter. Hva forteller dette svaret oss?

Bestem den produksjonsmengden $x$ som gir lavest kostnad per produserte enhet.

Fasit

$\underline{\underline{K'(50) = 150 \, \mathrm{kr}}}$ — kostnaden øker med ca. 150 kr når produksjonen økes fra 50 til 51 enheter.

Lavest enhetskostnad ved $\underline{\underline{x = 80}}$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K(x) = x^2 + 50x + 6400$ :

K'(x) = 2x + 50

Grensekostnaden når det produseres 50 enheter:

K'(50) = 2 \cdot 50 + 50 = 100 + 50 = \mathbf{150}

Tolkning: Når produksjonen økes fra 50 til 51 enheter per uke, øker totalkostnaden med ca. $\underline{\underline{150 \, \mathrm{kr}}}$ . Det vil si at den 51. enheten koster ca. 150 kr å produsere.

Enhetskostnaden er kostnad per produsert enhet:

E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{x^2 + 50x + 6400}{x} = x + 50 + \frac{6400}{x}

Vi deriverer og setter $E'(x) = 0$ :

E'(x) = 1 - \frac{6400}{x^2} = 0

\frac{6400}{x^2} = 1

x^2 = 6400

x = 80 \quad (x > 0)

Vi sjekker at dette er et minimum ved fortegnsskjema for $E'(x)$ :

For $x < 80$ : $x^2 < 6400$ , så $E'(x) = 1 - \frac{6400}{x^2} < 0$ (synkende)
For $x > 80$ : $x^2 > 6400$ , så $E'(x) = 1 - \frac{6400}{x^2} > 0$ (stigende)

$E(x)$ har et minimum i $x = 80$ .

Lavest kostnad per enhet oppnås ved å produsere $\underline{\underline{x = 80}}$ enheter per uke.

(Enhetskostnaden blir da $E(80) = 80 + 50 + \frac{6400}{80} = 80 + 50 + 80 = 210 \, \mathrm{kr/enhet}$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering

Oppgave 1-7 : Funksjonsdrøfting av (x-2)e^x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x-2)e^x

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ .

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$\underline{\underline{x = 2}}$ , nullpunkt $(2,\, 0)$

Bunnpunkt $\underline{\underline{(1,\, -e)}}$ . Ingen toppunkt.

Vendepunkt $\underline{\underline{(0,\, -2)}}$ .

Se skisse under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $f(x) = 0$ :

(x-2)e^x = 0

Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , må faktoren $(x-2)$ være lik null:

x - 2 = 0 \implies \textbf{x = 2}

Nullpunkt: $(2,\, 0)$ .

Vi deriverer med produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ , der $u = x-2$ og $v = e^x$ :

f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = e^x\left(1 + x - 2\right) = (x-1)e^x

Vi løser $f'(x) = 0$ :

(x-1)e^x = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1

Fortegnsanalyse av $f'(x) = (x-1)e^x$ :

	$x < 1$	$x = 1$	$x > 1$
$x - 1$	$-$	$0$	$+$
$e^x$	$+$	$+$	$+$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f$	avtar	min	vokser

$f$ har et bunnpunkt i $x = 1$ .

f(1) = (1-2)e^1 = -e

Bunnpunkt: $\underline{\underline{(1,\, -e)}}$ . Ingen toppunkt.

Vi deriverer $f'(x) = (x-1)e^x$ på nytt med produktregelen:

f''(x) = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = e^x\left(1 + x - 1\right) = x \cdot e^x

Vi løser $f''(x) = 0$ :

x \cdot e^x = 0 \implies x = 0

Fortegnsanalyse av $f''(x) = x \cdot e^x$ :

	$x < 0$	$x = 0$	$x > 0$
$x$	$-$	$0$	$+$
$e^x$	$+$	$+$	$+$
$f''(x)$	$-$	$0$	$+$

$f''$ skifter fortegn i $x = 0$ , så det er et vendepunkt her.

f(0) = (0-2)e^0 = -2

Vendepunkt: $\underline{\underline{(0,\, -2)}}$ .

Vi bruker resultatene fra a)–c) til å skissere grafen:

For $x \to -\infty$ : $f(x) = (x-2)e^x \to 0^-$ (grafen nærmer seg $x$ -aksen nedenfra)
Vendepunkt $(0, -2)$ — kurven skifter fra konkav til konveks
Bunnpunkt $(1, -e \approx -2{,}72)$
Nullpunkt $(2, 0)$ — grafen krysser $x$ -aksen
For $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$ (vokser raskt)

Skisse av f

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-8 : Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et lotteri gjelder følgende:

Hvert lodd koster $10$ kroner.
Halvparten av loddene gir en gevinst på $10$ kroner.
$10\ \%$ av loddene gir en gevinst på $50$ kroner.
Resten av loddene gir ingen gevinst.

Den stokastiske variabelen $X$ er nettogevinsten (gevinst minus loddpris) på et tilfeldig lodd.

Vis at $E(X)=0$ og $\text{Var}(X)=200$ .

La $S$ være den stokastiske variabelen $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}$ som gir nettogevinsten ved kjøp av $50$ lodd.

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vis at $E(S)=0$ og $\text{SD}(S)=100$ .

Anja ønsker å kjøpe seg en jakke til $650$ kroner, men har bare $500$ kroner. Hun vurderer derfor å kjøpe lodd for alle pengene.

Bestem sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken dersom hun satser alle pengene i lotteriet. Du kan få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Fasit

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 0}}$ og $\underline{\underline{\text{Var}(X) = 200}}$

Sentralgrenseteoremet: sum av mange uavhengige, identisk fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.

$\underline{\underline{\text{E}(S) = 0}}$ og $\underline{\underline{\text{SD}(S) = 100}}$

$\underline{\underline{P(S \geq 150) \approx 6{,}7\,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp sannsynlighetsfordelingen for $X$ (nettogevinst = gevinst $-$ loddpris):

$x$	$-10$	$0$	$40$
$P(X = x)$	$0{,}4$	$0{,}5$	$0{,}1$

Forklaringen: 40 % av loddene gir ingen gevinst ( $0 - 10 = -10$ ), 50 % gir tilbake det de betalte ( $10 - 10 = 0$ ), og 10 % gir en gevinst på 50 kr ( $50 - 10 = 40$ ).

Vi regner ut $\text{E}(X)$ :

\text{E}(X) = (-10) \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}5 + 40 \cdot 0{,}1 = -4 + 0 + 4 = \underline{\underline{0}}

Vi regner ut $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = (-10)^2 \cdot 0{,}4 + 0^2 \cdot 0{,}5 + 40^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}4 + 0 + 1600 \cdot 0{,}1 = 40 + 160 = 200

Dermed er

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 200 - 0^2 = \underline{\underline{200}}

$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}$ er summen av 50 uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler (alle $X_i$ har samme fordeling som $X$ ).

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av tilstrekkelig mange uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt, uavhengig av den opprinnelige fordelingen til $X$ . Med $n = 50$ er dette tilstrekkelig mange, og vi kan dermed si at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vi bruker regnereglene for forventning og varians for summer av uavhengige stokastiske variabler:

\text{E}(S) = \text{E}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}) = 50 \cdot \text{E}(X) = 50 \cdot 0 = \underline{\underline{0}}

\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}) = 50 \cdot \text{Var}(X) = 50 \cdot 200 = 10\,000

\text{SD}(S) = \sqrt{\text{Var}(S)} = \sqrt{10\,000} = \underline{\underline{100}}

Anja har $500 \, \mathrm{kr}$ og bruker dem alle på lodd (50 lodd à 10 kr). Hun trenger $650 \, \mathrm{kr}$ til jakken, så hun trenger en nettogevinst på minst

650 - 500 = 150 \, \mathrm{kr}

Vi skal altså finne $P(S \geq 150)$ .

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 0$ og $\sigma = 100$ . Vi standardiserer:

z = \frac{150 - 0}{100} = 1{,}5

Fra normalfordelingstabellen leser vi av $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ , det vil si $P(Z \leq 1{,}5) = 0{,}9332$ .

P(S \geq 150) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = \underline{\underline{0{,}0668 \approx 6{,}7\,\%}}

Sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken, er omtrent $6{,}7\,\%$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Forventningsverdi, Varians, Normalfordeling

Oppgave 2-1 : Lønnsmodell med integral og rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Julie har fått seg ny jobb. Funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^x

er en god modell for årslønnen (i kroner) til Julie $x$ år etter at hun startet i jobben.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $0 \le x \le 35$ .

Når vil årslønnen hennes passere $800\,000$ kroner?

Bruk CAS til å bestemme hvor mange år det går før lønnsøkningen per år passerer $50\,000$ kroner.

Julie regner med å jobbe i bedriften i $30$ år.

Bestem en tilnærmingsverdi for hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å regne ut et integral.

Bestem hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å summere leddene i en rekke.

Fasit

Se graf nedenfor.

$\underline{\underline{x \approx 14{,}2 \text{~år}}}$ — årslønnen passerer 800 000 kr i løpet av det 15. året.

$\underline{\underline{x \approx 18{,}8 \text{~år}}}$ — lønnsøkningen per år passerer 50 000 kr i løpet av det 19. året.

$\underline{\underline{\int_0^{30} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 27\,234\,525 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{S \approx 26\,575\,539 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker graftegner og tegner $f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^x$ for $0 \le x \le 35$ .

Graf av f(x) = 400 000 · 1,05^x med den horisontale linjen y = 800 000

Grafen viser f(x) = 400 000 · 1,05^x (blå kurve). Den horisontale linjen Grense800k: y = 800000 (grønn) er tegnet inn for å hjelpe med deloppgave b.

Vi løser likningen $f(x) = 800\,000$ i CAS (se linje 2 i utklippet nedenfor).

CAS-utklipp med alle beregninger

CAS gir $x \approx 14{,}21$ . Vi kan også utlede dette for hånd:

400\,000 \cdot 1{,}05^x = 800\,000

1{,}05^x = 2

x = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21

Skjæringspunktet SkjaeringB = (14.21, 800000) er markert i grafen.

Julies årslønn passerer 800 000 kr etter ca. 14,2 år, det vil si i løpet av det 15. arbeidsåret.

Lønnsøkningen fra år $x$ til år $x+1$ er

f(x+1) - f(x) = 400\,000 \cdot 1{,}05^{x+1} - 400\,000 \cdot 1{,}05^x = 400\,000 \cdot 1{,}05^x \cdot (1{,}05 - 1) = 20\,000 \cdot 1{,}05^x

Vi definerer Lønnsøkning(x) := f(x+1) - f(x) i CAS og løser likningen $\text{Lønnsøkning}(x) = 50\,000$ (linje 3–4 i CAS-utklippet).

CAS gir $x \approx 18{,}78$ . Vi kan også utlede det for hånd:

20\,000 \cdot 1{,}05^x = 50\,000

1{,}05^x = 2{,}5

x = \frac{\ln 2{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 18{,}78

Lønnsøkningen per år passerer 50 000 kr etter ca. 18,8 år, det vil si i løpet av det 19. arbeidsåret.

Vi beregner det bestemte integralet i CAS (linje 5 i utklippet):

\int_0^{30} 400\,000 \cdot 1{,}05^x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{400\,000 \cdot 1{,}05^x}{\ln 1{,}05} \right]_0^{30} = \frac{400\,000 \cdot (1{,}05^{30} - 1)}{\ln 1{,}05} \approx 27\,234\,525 \, \mathrm{kr}

Julies samlede lønn over 30 år er tilnærmet $\underline{\underline{27\,234\,525 \, \mathrm{kr} \approx 27{,}2 \, \text{mill. kr}}}$ beregnet ved integral.

Integralet forutsetter at lønnen vokser kontinuerlig, noe som er en tilnærming.

Julie mottar lønn for hvert av de 30 årene $x = 0, 1, 2, \ldots, 29$ . Den samlede lønnen er summen av en geometrisk rekke med $a_1 = f(0) = 400\,000$ , kvotient $k = 1{,}05$ og $n = 30$ ledd:

S = \sum_{x=0}^{29} 400\,000 \cdot 1{,}05^x = 400\,000 \cdot \frac{1{,}05^{30} - 1}{1{,}05 - 1}

CAS gir (linje 6 i utklippet):

S = 400\,000 \cdot \frac{1{,}05^{30} - 1}{0{,}05} \approx 26\,575\,539 \, \mathrm{kr}

Julies samlede lønn over 30 år er $\underline{\underline{26\,575\,539 \, \mathrm{kr} \approx 26{,}6 \, \text{mill. kr}}}$ beregnet som geometrisk rekke.

Legg merke til at integralet (ca. 27,2 mill.) gir et litt høyere svar enn rekken (ca. 26,6 mill.). Dette er fordi integralet behandler lønnen som et kontinuerlig beløp, mens rekken er den reelle diskrete utbetalingen. Integralet er altså en tilnærmingsverdi, mens rekken gir det eksakte svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Eksponentialfunksjon, Bestemt integral, Geometrisk rekke

Oppgave 2-2 : Boliglån med endret terminbeløp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Annette vurderer å ta opp et boliglån på $1\,500\,000$ kroner. Renten er $0{,}3\ \%$ per måned. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med $180$ månedlige terminer. Første innbetaling er én måned etter låneopptak.

Vis at terminbeløpet Annette må betale, er $10\,797$ kroner.

Annette regner med å ha litt trang økonomi de nærmeste årene. Banken tilbyr henne derfor en ordning der hun betaler $8000$ kroner per måned de første fem årene. Etter dette økes terminbeløpet slik at lånet er helt nedbetalt $15$ år etter at hun tok opp lånet.

Vis at Annette har $1\,270\,289$ kroner igjen av lånet etter de fem første årene dersom hun velger denne ordningen.

Bestem det månedlige terminbeløpet de siste $120$ terminene dersom Annette går inn for denne ordningen.

Annette liker ordningen med redusert terminbeløp de første fem årene, men synes det nye terminbeløpet i c) er litt for høyt. Hun ønsker å betale $11\,000$ kroner i terminbeløp etter de fem første årene.

Bruk CAS til å bestemme hvor mye dette vil forlenge tiden det tar å nedbetale lånet.

Fasit

$\underline{\underline{T \approx 10\,797 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{R \approx 1\,270\,289 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{T_2 \approx 12\,621 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{142 - 120 = 22 \text{ terminer (knapt 2 år) lenger}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker CAS (GeoGebra) til å løse oppgaven. Se skjermbilde nedenfor.

CAS-utregning for alle fire deloppgaver

Lånebeløpet $S = 1\,500\,000 \, \mathrm{kr}$ skal være lik nåverdien av alle $180$ terminbeløp $T$ diskontert med månedsrenten $i = 0{,}003$ :

\sum_{k=1}^{180} \frac{T}{1{,}003^k} = 1\,500\,000

I CAS (linje 1) løser vi likningen for $T$ :

T \approx 10\,797{,}05 \, \mathrm{kr}

Terminbeløpet er altså $\mathbf{\underline{\underline{10\,797 \, \mathrm{kr}}}}$ , som vist.

Etter $60$ terminer med $8\,000 \, \mathrm{kr}$ per termin er restgjelden lik det opprinnelige lånet oppdiskontert i $60$ måneder, minus fremverdien av innbetalingene:

R = 1\,500\,000 \cdot 1{,}003^{60} - 8\,000 \cdot \frac{1{,}003^{60} - 1}{0{,}003}

CAS (linje 2) gir:

R \approx 1\,270\,289{,}40 \, \mathrm{kr}

Restgjelden er altså $\mathbf{\underline{\underline{1\,270\,289 \, \mathrm{kr}}}}$ , som vist.

De resterende $120$ terminene skal betale ned restgjelden $R = 1\,270\,289 \, \mathrm{kr}$ . Vi setter opp nåverdilikningen for nytt terminbeløp $T_2$ :

\sum_{k=1}^{120} \frac{T_2}{1{,}003^k} = 1\,270\,289

CAS (linje 3) gir:

T_2 \approx 12\,621{,}0 \, \mathrm{kr}

Det månedlige terminbeløpet de siste $120$ terminene er $\mathbf{\underline{\underline{12\,621 \, \mathrm{kr}}}}$ .

Annette ønsker å betale $11\,000 \, \mathrm{kr}$ per termin på restgjelden $R = 1\,270\,289 \, \mathrm{kr}$ . Vi bruker CAS til å finne antall terminer $n$ :

\sum_{j=1}^{n} \frac{11\,000}{1{,}003^j} = 1\,270\,289

CAS (linje 4) gir:

n \approx 141{,}99 \approx 142 \text{ terminer}

Opprinnelig var det $120$ terminer igjen. Forlengelsen er:

142 - 120 = \mathbf{\underline{\underline{22 \text{ terminer}}}}

Det tar altså ca. $22$ måneder (knapt $2 \text{ år}$ ) lenger å nedbetale lånet med $11\,000 \, \mathrm{kr}$ per termin enn med det beregnede terminbeløpet på $12\,621 \, \mathrm{kr}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Annuitetslån, Geometrisk rekke, Rente

Oppgave 2-3 : Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en frøpose står det at spireevnen er $85\ \%$ . Det er $200$ frø i hver pose. La $X$ være antall frø som spirer, i en tilfeldig frøpose. Vi antar at $X$ er binomisk fordelt.

Bestem $P(X \le 175)$ .

Nora hadde mistanke om at spireevnen var lavere enn $85\ \%$ . Hun ville derfor utføre en hypotesetest. Hun ville teste nullhypotesen

H_0: p = 0{,}85

mot den alternative hypotesen

H_1: p < 0{,}85

Hun sådde derfor $200$ frø. Det viste seg at $160$ av frøene spirte.

Avgjør om Noras mistanke er berettiget, ved å utføre hypotesetesten. Bruk et signifikansnivå på $5\ \%$ .

Nora har ikke programvare til å utføre binomiske beregninger. Hun må derfor gjøre en hypotesetest med en normaltilpasning av $X$ .

Gå ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt. Bruk dette til å utføre hypotesetesten.

Fasit

$\underline{\underline{P(X \le 175) \approx 0{,}863}}$

p-verdi $= 0{,}034 < 0{,}05$ $\Rightarrow$ forkast $H_0$ . Noras mistanke er berettiget.

Med normaltilnærming (kontinuitetskorreksjon): p-verdi $\approx 0{,}030 < 0{,}05$ $\Rightarrow$ forkast $H_0$ . Samme konklusjon.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 200$ og $p = 0{,}85$ .

Vi bruker GeoGebra sannsynlighetskalkulator til å beregne

P(X \le 175)

\underline{\underline{P(X \le 175) \approx 0{,}863}}

Vi setter opp hypotesene:

H_0\colon p = 0{,}85 \qquad H_1\colon p < 0{,}85

Signifikansnivå: $\alpha = 5\ \%$ .

Nora observerte at $160$ av $200$ frø spirte. P-verdien er sannsynligheten for å få et like ekstremt eller mer ekstremt resultat, gitt at $H_0$ er sann:

\text{p-verdi} = P(X \le 160 \mid p = 0{,}85)

Vi beregner med GeoGebra sannsynlighetskalkulator:

\text{p-verdi} \approx 0{,}034

Siden $0{,}034 < 0{,}05$ forkaster vi $H_0$ .

$\underline{\underline{\text{Noras mistanke er berettiget — spireevnen er signifikant lavere enn } 85\ \%.}}$

Siden $n = 200$ er stort, kan vi tilnærme $X$ med en normalfordeling.

Under $H_0$ er $X$ tilnærmet normalfordelt med

\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}85 = 170

\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{200 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05

Vi standardiserer med kontinuitetskorreksjon (siden $X$ egentlig er diskret):

z = \frac{160{,}5 - \mu}{\sigma} = \frac{160{,}5 - 170}{5{,}05} \approx -1{,}88

Se linjene 1–5 i GeoGebra CAS nedenfor for beregningen av $\mu$ , $\sigma$ og $z$ -verdiene:

Med kontinuitetskorreksjon:

\text{p-verdi} = P(Z \le -1{,}88) \approx 0{,}030

Uten kontinuitetskorreksjon (standardiserer mot $160$ ):

z = \frac{160 - 170}{5{,}05} \approx -1{,}98 \qquad \Rightarrow \qquad P(Z \le -1{,}98) \approx 0{,}024

Begge gir p-verdi $< 0{,}05$ , og vi forkaster $H_0$ .

Alternativt via kritisk verdi: vi forkaster $H_0$ hvis observert verdi er lavere enn

\mu - 1{,}645 \cdot \sigma = 170 - 1{,}645 \cdot 5{,}05 \approx 161{,}7

Siden $160 < 161{,}7$ forkaster vi $H_0$ .

$\underline{\underline{\text{Konklusjon: Noras mistanke er berettiget — spireevnen er signifikant lavere enn } 85\ \%.}}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner S2 H17

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon med rest

Oppgave 1-3 : Likningssystem med tre ukjente S2 H17

Oppgave 1-4 : Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17

Oppgave 1-5 : Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd

Oppgave 1-6 : Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Oppgave 1-7 : Funksjonsdrøfting av (x-2)e^x

Oppgave 1-8 : Lotteri med forventning og normaltilnærming

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Lønnsmodell med integral og rekke

Oppgave 2-2 : Boliglån med endret terminbeløp

Oppgave 2-3 : Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave