S2 Høst 2017

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 2 x^{2} - 4 x^{3}

g (x) = x^{2} e^{x}

h (x) = \ln (x^{3} + 3 x + 1)

Fasit

$f^{'} (x) = 4 x - 12 x^{2}$

$g^{'} (x) = (2 x + x^{2}) e^{x}$

$h^{'} (x) = \frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x + 1}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 2 x^{2} - 4 x^{3}$ ledd for ledd ved å bruke potensregelen ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ :

f^{'} (x) = 2 \cdot 2 x - 4 \cdot 3 x^{2} = 4 x - 12 x^{2}

Vi deriverer $g (x) = x^{2} e^{x}$ med produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , der $u = x^{2}$ og $v = e^{x}$ :

u^{'} = 2 x, v^{'} = e^{x}

g^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} (2 x + x^{2}) = (2 x + x^{2}) e^{x}

Vi deriverer $h (x) = \ln (x^{3} + 3 x + 1)$ med kjerneregelen. Huskeregel: $(\ln (u))^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ .

Her er $u = x^{3} + 3 x + 1$ , og $u^{'} = 3 x^{2} + 3$ .

h^{'} (x) = \frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x + 1} = \frac{3 x^{2} + 3}{x^{3} + 3 x + 1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomdivisjon med rest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utfør divisjonen

(x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20) : (x - 5)

Bestem $t$ slik at divisjonen nedenfor går opp.

(x^{3} + t x^{2} + 5 x - 2 t) : (x + 1)

Fasit

$x^{2} - 4$ , faktorisert: $(x - 5) (x - 2) (x + 2)$

$t = - 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utfører polynomdivisjonen $(x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20) : (x - 5)$ .

\begin{matrix} (x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 & ) : (x - 5) = x^{2} - 4 \\ x^{3} - 5 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 4 x + 20 \\ - 4 x + 20 \\ 0 \end{matrix}

Resten er $0$ , og vi får:

(x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20) : (x - 5) = x^{2} - 4

Vi kan faktorisere videre siden $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ :

x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 = (x - 5) (x - 2) (x + 2)

Vi skal bestemme $t$ slik at $(x^{3} + t x^{2} + 5 x - 2 t) : (x + 1)$ går opp, dvs. at resten blir null.

Divisjonen $(x^{3} + t x^{2} + 5 x - 2 t) : (x + 1)$ går opp hvis og bare hvis $x = - 1$ er et nullpunkt for telleren. Vi setter inn $x = - 1$ :

{(- 1)}^{3} + t \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) - 2 t = 0

- 1 + t - 5 - 2 t = 0

- 6 - t = 0

t = - 6

Kontroll: Med $t = - 6$ blir polynomet $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12$ .

{(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 12 = - 1 - 6 - 5 + 12 = 0 ✓

t = - 6

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Likningssystem med tre ukjente S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

{\begin{matrix} x + y + 2 z = - 3 \\ x + 3 y + z = 2 \\ 2 x + y + z = 2 \end{matrix}

Fasit

$x = 2, y = 1, z = - 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi nummererer likningene:

{\begin{matrix} x + y + 2 z = - 3 & (1) \\ x + 3 y + z = 2 & (2) \\ 2 x + y + z = 2 & (3) \end{matrix}

Trinn 1: Eliminer $x$ fra likning (2) og (3)

$(2) - (1)$ :

2 y - z = 5 (4)

$(3) - 2 \cdot (1)$ :

(2 x + y + z) - 2 (x + y + 2 z) = 2 - 2 \cdot (- 3)

- y - 3 z = 8 (5)

Trinn 2: Løs systemet med to ukjente

Vi har nå:

{\begin{matrix} 2 y - z = 5 & (4) \\ - y - 3 z = 8 & (5) \end{matrix}

$(4) + 2 \cdot (5)$ :

(2 y - z) + 2 (- y - 3 z) = 5 + 16

- 7 z = 21

z = - 3

Setter $z = - 3$ inn i $(4)$ :

2 y - (- 3) = 5 ⟹ 2 y = 2 ⟹ y = 1

Trinn 3: Finn $x$

Setter $y = 1$ og $z = - 3$ inn i $(1)$ :

x + 1 + 2 \cdot (- 3) = - 3 ⟹ x - 5 = - 3 ⟹ x = 2

Svar: $x = 2, y = 1, z = - 3$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\ln (\frac{e^{2}}{2}) + 2 \ln 2 - \ln (\frac{2}{e^{4}})

Fasit

$6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logaritmereglene $\ln (a / b) = \ln a - \ln b$ , $\ln (a^{n}) = n \ln a$ og $\ln e = 1$ .

Først forenkler vi hvert ledd for seg:

\ln (\frac{e^{2}}{2}) = \ln e^{2} - \ln 2 = 2 \ln e - \ln 2 = 2 - \ln 2

2 \ln 2

\ln (\frac{2}{e^{4}}) = \ln 2 - \ln e^{4} = \ln 2 - 4 \ln e = \ln 2 - 4

Nå setter vi det inn i det opprinnelige uttrykket:

\ln (\frac{e^{2}}{2}) + 2 \ln 2 - \ln (\frac{2}{e^{4}})

= (2 - \ln 2) + 2 \ln 2 - (\ln 2 - 4)

= 2 - \ln 2 + 2 \ln 2 - \ln 2 + 4

= 6 + (- \ln 2 + 2 \ln 2 - \ln 2)

= 6 + 0 = 6

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk rekke er gitt ved $3 + 7 + 11 + 15 + \dots + 119$

Bestem en formel for ledd nummer $n$ i denne rekken.

Bestem summen av rekken.

Fasit

$a_{n} = 4 n - 1$

$S_{30} = 1830$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $3 + 7 + 11 + \dots + 119$ er aritmetisk med første ledd $a_{1} = 3$ og differanse $d = 4$ .

Formelen for ledd nummer $n$ i en aritmetisk rekke er

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $d = 4$ :

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4 n - 4 = 4 n - 1

Ledd nummer $n$ er $a_{n} = 4 n - 1$ .

Vi finner antall ledd ved å løse $a_{n} = 119$ :

4 n - 1 = 119

4 n = 120

n = 30

Rekken har 30 ledd. Summen av en aritmetisk rekke er

S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})

Vi setter inn $n = 30$ , $a_{1} = 3$ og $a_{30} = 119$ :

S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (3 + 119) = 15 \cdot 122 = 1830

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Totalkostnaden $K$ i kroner for å produsere en vare er gitt ved

K (x) = x^{2} + 50 x + 6400

Her er $x$ antall produserte enheter per uke.

Bestem grensekostnaden når det produseres $50$ enheter. Hva forteller dette svaret oss?

Bestem den produksjonsmengden $x$ som gir lavest kostnad per produserte enhet.

Fasit

$K^{'} (50) = 150 kr$ — kostnaden øker med ca. 150 kr når produksjonen økes fra 50 til 51 enheter.

Lavest enhetskostnad ved $x = 80$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K (x) = x^{2} + 50 x + 6400$ :

K^{'} (x) = 2 x + 50

Grensekostnaden når det produseres 50 enheter:

K^{'} (50) = 2 \cdot 50 + 50 = 100 + 50 = 𝟏𝟓𝟎

Tolkning: Når produksjonen økes fra 50 til 51 enheter per uke, øker totalkostnaden med ca. $150 kr$ . Det vil si at den 51. enheten koster ca. 150 kr å produsere.

Enhetskostnaden er kostnad per produsert enhet:

E (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{x^{2} + 50 x + 6400}{x} = x + 50 + \frac{6400}{x}

Vi deriverer og setter $E^{'} (x) = 0$ :

E^{'} (x) = 1 - \frac{6400}{x^{2}} = 0

\frac{6400}{x^{2}} = 1

x^{2} = 6400

x = 80 (x > 0)

Vi sjekker at dette er et minimum ved fortegnsskjema for $E^{'} (x)$ :

For $x < 80$ : $x^{2} < 6400$ , så $E^{'} (x) = 1 - \frac{6400}{x^{2}} < 0$ (synkende)
For $x > 80$ : $x^{2} > 6400$ , så $E^{'} (x) = 1 - \frac{6400}{x^{2}} > 0$ (stigende)

$E (x)$ har et minimum i $x = 80$ .

Lavest kostnad per enhet oppnås ved å produsere $x = 80$ enheter per uke.

(Enhetskostnaden blir da $E (80) = 80 + 50 + \frac{6400}{80} = 80 + 50 + 80 = 210 k r / e n h e t$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Funksjonsdrøfting av (x-2)eˣ

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = (x - 2) e^{x}

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ .

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$x = 2$ , nullpunkt $(2, 0)$

Bunnpunkt $(1, - e)$ . Ingen toppunkt.

Vendepunkt $(0, - 2)$ .

Se skisse under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $f (x) = 0$ :

(x - 2) e^{x} = 0

Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , må faktoren $(x - 2)$ være lik null:

x - 2 = 0 ⟹ 𝐱 = 𝟐

Nullpunkt: $(2, 0)$ .

Vi deriverer med produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , der $u = x - 2$ og $v = e^{x}$ :

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 2) \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x - 2) = (x - 1) e^{x}

Vi løser $f^{'} (x) = 0$ :

(x - 1) e^{x} = 0 ⟹ x - 1 = 0 ⟹ x = 1

Fortegnsanalyse av $f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f$ har et bunnpunkt i $x = 1$ .

f (1) = (1 - 2) e^{1} = - e

Bunnpunkt: $(1, - e)$ . Ingen toppunkt.

Vi deriverer $f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}$ på nytt med produktregelen:

f^{''} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 1) \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x - 1) = x \cdot e^{x}

Vi løser $f^{''} (x) = 0$ :

x \cdot e^{x} = 0 ⟹ x = 0

Fortegnsanalyse av $f^{''} (x) = x \cdot e^{x}$ :

Fortegnslinje for f''(x)

$f^{''}$ skifter fortegn i $x = 0$ , så det er et vendepunkt her.

f (0) = (0 - 2) e^{0} = - 2

Vendepunkt: $(0, - 2)$ .

Vi bruker resultatene fra a)–c) til å skissere grafen:

For $x \to - \infty$ : $f (x) = (x - 2) e^{x} \to 0^{-}$ (grafen nærmer seg $x$ -aksen nedenfra)
Vendepunkt $(0, - 2)$ — kurven skifter fra konkav til konveks
Bunnpunkt $(1, - e \approx - 2,72)$
Nullpunkt $(2, 0)$ — grafen krysser $x$ -aksen
For $x \to + \infty$ : $f (x) \to + \infty$ (vokser raskt)

Skisse av f

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et lotteri gjelder følgende:

Hvert lodd koster $10$ kroner.
Halvparten av loddene gir en gevinst på $10$ kroner.
$10 %$ av loddene gir en gevinst på $50$ kroner.
Resten av loddene gir ingen gevinst.

Den stokastiske variabelen $X$ er nettogevinsten (gevinst minus loddpris) på et tilfeldig lodd.

Vis at $E (X) = 0$ og $Var (X) = 200$ .

La $S$ være den stokastiske variabelen $S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}$ som gir nettogevinsten ved kjøp av $50$ lodd.

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vis at $E (S) = 0$ og $SD (S) = 100$ .

Anja ønsker å kjøpe seg en jakke til $650$ kroner, men har bare $500$ kroner. Hun vurderer derfor å kjøpe lodd for alle pengene.

Bestem sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken dersom hun satser alle pengene i lotteriet. Du kan få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Fasit

$E (X) = 0$ og $Var (X) = 200$

Sentralgrenseteoremet: sum av mange uavhengige, identisk fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.

$E (S) = 0$ og $SD (S) = 100$

$P (S \geq 150) \approx 6,7 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp sannsynlighetsfordelingen for $X$ (nettogevinst = gevinst $-$ loddpris):

$x$	$- 10$	$0$	$40$
$P (X = x)$	$0,4$	$0,5$	$0,1$

Forklaringen: 40 % av loddene gir ingen gevinst ( $0 - 10 = - 10$ ), 50 % gir tilbake det de betalte ( $10 - 10 = 0$ ), og 10 % gir en gevinst på 50 kr ( $50 - 10 = 40$ ).

Vi regner ut $E (X)$ :

E (X) = (- 10) \cdot 0,4 + 0 \cdot 0,5 + 40 \cdot 0,1 = - 4 + 0 + 4 = 0

Vi regner ut $E (X^{2})$ :

E (X^{2}) = {(- 10)}^{2} \cdot 0,4 + 0^{2} \cdot 0,5 + 40^{2} \cdot 0,1 = 100 \cdot 0,4 + 0 + 1600 \cdot 0,1 = 40 + 160 = 200

Dermed er

Var (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2} = 200 - 0^{2} = 200

$S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}$ er summen av 50 uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler (alle $X_{i}$ har samme fordeling som $X$ ).

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av tilstrekkelig mange uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt, uavhengig av den opprinnelige fordelingen til $X$ . Med $n = 50$ er dette tilstrekkelig mange, og vi kan dermed si at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vi bruker regnereglene for forventning og varians for summer av uavhengige stokastiske variabler:

E (S) = E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}) = 50 \cdot E (X) = 50 \cdot 0 = 0

Var (S) = Var (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}) = 50 \cdot Var (X) = 50 \cdot 200 = 10 000

SD (S) = \sqrt{Var (S)} = \sqrt{10 000} = 100

Anja har $500 kr$ og bruker dem alle på lodd (50 lodd à 10 kr). Hun trenger $650 kr$ til jakken, så hun trenger en nettogevinst på minst

650 - 500 = 150 kr

Vi skal altså finne $P (S \geq 150)$ .

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 0$ og $σ = 100$ . Vi standardiserer:

z = \frac{150 - 0}{100} = 1,5

Fra normalfordelingstabellen leser vi av $Φ (1,5) = 0,9332$ , det vil si $P (Z \leq 1,5) = 0,9332$ .

P (S \geq 150) = 1 - Φ (1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668 \approx 6,7 %

Sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken, er omtrent $6,7 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Normalfordeling
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Lønnsmodell med integral og rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Julie har fått seg ny jobb. Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 400 000 \cdot {1,05}^{x}

er en god modell for årslønnen (i kroner) til Julie $x$ år etter at hun startet i jobben.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 35$ .

Kalkulator

Når vil årslønnen hennes passere $800 000$ kroner?

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvor mange år det går før lønnsøkningen per år passerer $50 000$ kroner.

Julie regner med å jobbe i bedriften i $30$ år.

Kalkulator

Bestem en tilnærmingsverdi for hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å regne ut et integral.

Kalkulator

Bestem hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å summere leddene i en rekke.

Fasit

Se graf nedenfor.

$x \approx 14,2 år$ — årslønnen passerer 800 000 kr i løpet av det 15. året.

$x \approx 18,8 år$ — lønnsøkningen per år passerer 50 000 kr i løpet av det 19. året.

$\int_{0}^{30} f (x) d x \approx 27 234 525 kr$

$S \approx 26 575 539 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker graftegner og tegner $f (x) = 400 000 \cdot {1,05}^{x}$ for $0 \leq x \leq 35$ .

Graf av f(x) = 400 000 · 1,05^x med den horisontale linjen y = 800 000

Grafen viser f(x) = 400 000 · 1,05^x (blå kurve). Den horisontale linjen Grense800k: y = 800000 (grønn) er tegnet inn for å hjelpe med deloppgave b.

Vi løser likningen $f (x) = 800 000$ i CAS (se linje 2 i utklippet nedenfor).

CAS-utklipp med alle beregninger

CAS gir $x \approx 14,21$ . Vi kan også utlede dette for hånd:

400 000 \cdot {1,05}^{x} = 800 000

{1,05}^{x} = 2

x = \frac{\ln 2}{\ln 1,05} \approx 14,21

Skjæringspunktet SkjaeringB = (14.21, 800000) er markert i grafen.

Julies årslønn passerer 800 000 kr etter ca. 14,2 år, det vil si i løpet av det 15. arbeidsåret.

Lønnsøkningen fra år $x$ til år $x + 1$ er

f (x + 1) - f (x) = 400 000 \cdot {1,05}^{x + 1} - 400 000 \cdot {1,05}^{x} = 400 000 \cdot {1,05}^{x} \cdot (1,05 - 1) = 20 000 \cdot {1,05}^{x}

Vi definerer Lønnsøkning(x) := f(x+1) - f(x) i CAS og løser likningen $Lønnsøkning (x) = 50 000$ (linje 3–4 i CAS-utklippet).

CAS gir $x \approx 18,78$ . Vi kan også utlede det for hånd:

20 000 \cdot {1,05}^{x} = 50 000

{1,05}^{x} = 2,5

x = \frac{\ln 2,5}{\ln 1,05} \approx 18,78

Lønnsøkningen per år passerer 50 000 kr etter ca. 18,8 år, det vil si i løpet av det 19. arbeidsåret.

Vi beregner det bestemte integralet i CAS (linje 5 i utklippet):

\int_{0}^{30} 400 000 \cdot {1,05}^{x} d x = {[\frac{400 000 \cdot {1,05}^{x}}{\ln 1,05}]}_{0}^{30} = \frac{400 000 \cdot ({1,05}^{30} - 1)}{\ln 1,05} \approx 27 234 525 kr

Julies samlede lønn over 30 år er tilnærmet $27 234 525 kr \approx 27,2 mill. kr$ beregnet ved integral.

Integralet forutsetter at lønnen vokser kontinuerlig, noe som er en tilnærming.

Julie mottar lønn for hvert av de 30 årene $x = 0, 1, 2, \dots, 29$ . Den samlede lønnen er summen av en geometrisk rekke med $a_{1} = f (0) = 400 000$ , kvotient $k = 1,05$ og $n = 30$ ledd:

S = \sum_{x = 0}^{29} 400 000 \cdot {1,05}^{x} = 400 000 \cdot \frac{{1,05}^{30} - 1}{1,05 - 1}

CAS gir (linje 6 i utklippet):

S = 400 000 \cdot \frac{{1,05}^{30} - 1}{0,05} \approx 26 575 539 kr

Julies samlede lønn over 30 år er $26 575 539 kr \approx 26,6 mill. kr$ beregnet som geometrisk rekke.

Legg merke til at integralet (ca. 27,2 mill.) gir et litt høyere svar enn rekken (ca. 26,6 mill.). Dette er fordi integralet behandler lønnen som et kontinuerlig beløp, mens rekken er den reelle diskrete utbetalingen. Integralet er altså en tilnærmingsverdi, mens rekken gir det eksakte svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Eksponentialfunksjon, Bestemt integral, Geometrisk rekke
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Boliglån med endret terminbeløp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Annette vurderer å ta opp et boliglån på $1 500 000$ kroner. Renten er $0,3 %$ per måned. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med $180$ månedlige terminer. Første innbetaling er én måned etter låneopptak.

Kalkulator

Vis at terminbeløpet Annette må betale, er $10 797$ kroner.

Annette regner med å ha litt trang økonomi de nærmeste årene. Banken tilbyr henne derfor en ordning der hun betaler $8000$ kroner per måned de første fem årene. Etter dette økes terminbeløpet slik at lånet er helt nedbetalt $15$ år etter at hun tok opp lånet.

Kalkulator

Vis at Annette har $1 270 289$ kroner igjen av lånet etter de fem første årene dersom hun velger denne ordningen.

Kalkulator

Bestem det månedlige terminbeløpet de siste $120$ terminene dersom Annette går inn for denne ordningen.

Annette liker ordningen med redusert terminbeløp de første fem årene, men synes det nye terminbeløpet i c) er litt for høyt. Hun ønsker å betale $11 000$ kroner i terminbeløp etter de fem første årene.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvor mye dette vil forlenge tiden det tar å nedbetale lånet.

Fasit

$T \approx 10 797 kr$

$R \approx 1 270 289 kr$

$T_{2} \approx 12 621 kr$

$142 - 120 = 22 terminer (knapt 2 år) lenger$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker CAS (GeoGebra) til å løse oppgaven. Se skjermbilde nedenfor.

CAS-utregning for alle fire deloppgaver

Lånebeløpet $S = 1 500 000 kr$ skal være lik nåverdien av alle $180$ terminbeløp $T$ diskontert med månedsrenten $i = 0,003$ :

\sum_{k = 1}^{180} \frac{T}{{1,003}^{k}} = 1 500 000

I CAS (linje 1) løser vi likningen for $T$ :

T \approx 10 797,05 kr

Terminbeløpet er altså $𝟏𝟎 𝟕𝟗𝟕 kr$ , som vist.

Etter $60$ terminer med $8 000 kr$ per termin er restgjelden lik det opprinnelige lånet oppdiskontert i $60$ måneder, minus fremverdien av innbetalingene:

R = 1 500 000 \cdot {1,003}^{60} - 8 000 \cdot \frac{{1,003}^{60} - 1}{0,003}

CAS (linje 2) gir:

R \approx 1 270 289,40 kr

Restgjelden er altså $𝟏 𝟐𝟕𝟎 𝟐𝟖𝟗 kr$ , som vist.

De resterende $120$ terminene skal betale ned restgjelden $R = 1 270 289 kr$ . Vi setter opp nåverdilikningen for nytt terminbeløp $T_{2}$ :

\sum_{k = 1}^{120} \frac{T_{2}}{{1,003}^{k}} = 1 270 289

CAS (linje 3) gir:

T_{2} \approx 12 621,0 kr

Det månedlige terminbeløpet de siste $120$ terminene er $𝟏𝟐 𝟔𝟐𝟏 kr$ .

Annette ønsker å betale $11 000 kr$ per termin på restgjelden $R = 1 270 289 kr$ . Vi bruker CAS til å finne antall terminer $n$ :

\sum_{j = 1}^{n} \frac{11 000}{{1,003}^{j}} = 1 270 289

CAS (linje 4) gir:

n \approx 141,99 \approx 142 terminer

Opprinnelig var det $120$ terminer igjen. Forlengelsen er:

142 - 120 = 𝟐𝟐 terminer

Det tar altså ca. $22$ måneder (knapt $2 år$ ) lenger å nedbetale lånet med $11 000 kr$ per termin enn med det beregnede terminbeløpet på $12 621 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Annuitetslån, Geometrisk rekke, Rente
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en frøpose står det at spireevnen er $85 %$ . Det er $200$ frø i hver pose. La $X$ være antall frø som spirer, i en tilfeldig frøpose. Vi antar at $X$ er binomisk fordelt.

Oppsett for hånd

Bestem $P (X \leq 175)$ .

Nora hadde mistanke om at spireevnen var lavere enn $85 %$ . Hun ville derfor utføre en hypotesetest. Hun ville teste nullhypotesen

H_{0} : p = 0,85

mot den alternative hypotesen

H_{1} : p < 0,85

Hun sådde derfor $200$ frø. Det viste seg at $160$ av frøene spirte.

Oppsett for hånd

Avgjør om Noras mistanke er berettiget, ved å utføre hypotesetesten. Bruk et signifikansnivå på $5 %$ .

Nora har ikke programvare til å utføre binomiske beregninger. Hun må derfor gjøre en hypotesetest med en normaltilpasning av $X$ .

Kalkulator

Gå ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt. Bruk dette til å utføre hypotesetesten.

Fasit

$P (X \leq 175) \approx 0,863$

p-verdi $= 0,034 < 0,05$ $\Rightarrow$ forkast $H_{0}$ . Noras mistanke er berettiget.

Med normaltilnærming (kontinuitetskorreksjon): p-verdi $\approx 0,030 < 0,05$ $\Rightarrow$ forkast $H_{0}$ . Samme konklusjon.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 200$ og $p = 0,85$ .

Vi bruker GeoGebra sannsynlighetskalkulator til å beregne

P (X \leq 175)

P (X \leq 175) \approx 0,863

Vi setter opp hypotesene:

H_{0} : p = 0,85 H_{1} : p < 0,85

Signifikansnivå: $α = 5 %$ .

Nora observerte at $160$ av $200$ frø spirte. P-verdien er sannsynligheten for å få et like ekstremt eller mer ekstremt resultat, gitt at $H_{0}$ er sann:

p-verdi = P (X \leq 160 | p = 0,85)

Vi beregner med GeoGebra sannsynlighetskalkulator:

p-verdi \approx 0,034

Siden $0,034 < 0,05$ forkaster vi $H_{0}$ .

$Noras mistanke er berettiget — spireevnen er signifikant lavere enn 85 % .$

Siden $n = 200$ er stort, kan vi tilnærme $X$ med en normalfordeling.

Under $H_{0}$ er $X$ tilnærmet normalfordelt med

μ = n \cdot p = 200 \cdot 0,85 = 170

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{200 \cdot 0,85 \cdot 0,15} = \sqrt{25,5} \approx 5,05

Vi standardiserer med kontinuitetskorreksjon (siden $X$ egentlig er diskret):

z = \frac{160,5 - μ}{σ} = \frac{160,5 - 170}{5,05} \approx - 1,88

Se linjene 1–5 i GeoGebra CAS nedenfor for beregningen av $μ$ , $σ$ og $z$ -verdiene:

Med kontinuitetskorreksjon:

p-verdi = P (Z \leq - 1,88) \approx 0,030

Uten kontinuitetskorreksjon (standardiserer mot $160$ ):

z = \frac{160 - 170}{5,05} \approx - 1,98 \Rightarrow P (Z \leq - 1,98) \approx 0,024

Begge gir p-verdi $< 0,05$ , og vi forkaster $H_{0}$ .

Alternativt via kritisk verdi: vi forkaster $H_{0}$ hvis observert verdi er lavere enn

μ - 1,645 \cdot σ = 170 - 1,645 \cdot 5,05 \approx 161,7

Siden $160 < 161,7$ forkaster vi $H_{0}$ .

$Konklusjon: Noras mistanke er berettiget — spireevnen er signifikant lavere enn 85 % .$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynomdivisjon med rest

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Likningssystem med tre ukjente S2 H17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Funksjonsdrøfting av (x-2)eˣ

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Lotteri med forventning og normaltilnærming

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Lønnsmodell med integral og rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Boliglån med endret terminbeløp

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre funksjoner S2 H17

Oppgave 1-2·Polynomdivisjon med rest

Oppgave 1-3·Likningssystem med tre ukjente S2 H17

Oppgave 1-4·Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17

Oppgave 1-5·Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd

Oppgave 1-6·Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Oppgave 1-7·Funksjonsdrøfting av (x-2)eˣ

Oppgave 1-8·Lotteri med forventning og normaltilnærming

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Lønnsmodell med integral og rekke

Oppgave 2-2·Boliglån med endret terminbeløp

Oppgave 2-3·Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H17

Oppgave 1-2Polynomdivisjon med rest

Oppgave 1-3Likningssystem med tre ukjente S2 H17

Oppgave 1-4Skriv enkelt med e og logaritmer S2 H17

Oppgave 1-5Aritmetisk rekke med 119 som siste ledd

Oppgave 1-6Grensekostnad og lavest enhetskostnad S2 H17

Oppgave 1-7Funksjonsdrøfting av (x-2)eˣ

Oppgave 1-8Lotteri med forventning og normaltilnærming

Oppgave 2-1Lønnsmodell med integral og rekke

Oppgave 2-2Boliglån med endret terminbeløp

Oppgave 2-3Hypotesetest for spireevne med normaltilnærming