S2 Høst 2018

S2 Høst 2018 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner	KI
2	Konvergente geometriske rekker	KI
3	Aritmetisk rekke og innsamlingsløp	KI
4	Faktorisering og forkorting av brøk	KI
5	Optimal pris for størst inntekt	KI
6	Bestem tredjegradspolynom fra opplysninger	KI
7	Terningspill med forventning og normaltilnærming	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad	KI
2	Modellering av skadedyr med logistisk funksjon	KI
3	Gjennomsnittsskåre og hypotesetest	KI
4	Medisindosering som geometrisk rekke	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = e^{2x}

g(x) = \dfrac{x^4 - 1}{x^2}

h(x) = x^3 \cdot \ln x

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = 2e^{2x}}}$

$\underline{\underline{g'(x) = 2x + \dfrac{2}{x^3}}}$

$\underline{\underline{h'(x) = x^2(3\ln x + 1)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker kjerneregelen. Den ytre funksjonen er $e^u$ og den indre er $u = 2x$ :

f'(x) = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = \textcolor{seagreen}{2e^{2x}}

Vi forenkler uttrykket før vi deriverer ved å dele hvert ledd på $x^2$ :

g(x) = \frac{x^4 - 1}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} - \frac{1}{x^2} = x^2 - x^{-2}

Nå deriverer vi ledd for ledd:

g'(x) = 2x - (-2)x^{-3} = 2x + 2x^{-3} = \textcolor{seagreen}{2x + \frac{2}{x^3}}

Vi bruker produktregelen $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ med $u = x^3$ og $v = \ln x$ :

h'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2 = \textcolor{seagreen}{x^2(3\ln x + 1)}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon

Oppgave 1-2 : Konvergente geometriske rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avgjør om de geometriske rekkene er konvergente. Bestem i så fall summen.

54 + 18 + 6 + 2 + \cdots

4 - 8 + 16 - 32 + \cdots

Fasit

$s = \mathbf{81}$

Divergerer (ingen sum)

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner kvotienten:

k = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}

Siden $|k| = \frac{1}{3} < 1$ , er rekken konvergent.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er $s = \dfrac{a_1}{1-k}$ :

s = \frac{54}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{54}{\frac{2}{3}} = 54 \cdot \frac{3}{2} = \mathbf{\underline{\underline{81}}}

Vi finner kvotienten:

k = \frac{-8}{4} = -2

Siden $|k| = 2 > 1$ , er rekken divergent og har ingen endelig sum.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke og innsamlingsløp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Russen ved en skole vil arrangere et løp til inntekt for et godt formål. De løper rundt et lite vann. Lise har gjort avtale med en bedrift. Bedriften vil gi 10 kroner for den første runden hun løper. For hver ny runde vil de øke beløpet med 5 kroner. Det vil si at de vil gi

10 kroner for runde 1
15 kroner for runde 2
20 kroner for runde 3
og så videre

Hvor mange runder må Lise løpe dersom hun skal tjene 100 kroner på den siste runden?

Hvor mye må bedriften gi totalt dersom Lise løper 25 runder?

Fasit

$n = 19$ runder

$S_{25} = 1750 \, \mathrm{kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Beløpet per runde er en aritmetisk følge med $a_1 = 10$ og differanse $d = 5$ :

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 10 + (n-1) \cdot 5 = 5n + 5

Vi setter $a_n = 100$ og løser for $n$ :

\begin{aligned} 5n + 5 &= 100 \\ 5n &= 95 \\ n &= 19 \end{aligned}

Lise må løpe $\underline{\underline{19 \text{ runder}}}$ for å tjene 100 kroner på den siste runden.

Vi finner først beløpet for runde 25:

a_{25} = 5 \cdot 25 + 5 = 130 \, \mathrm{kr}

Summen av en aritmetisk rekke er:

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

S_{25} = \frac{10 + 130}{2} \cdot 25 = \frac{140}{2} \cdot 25 = 70 \cdot 25 = 1750 \, \mathrm{kr}

Bedriften må gi totalt $\underline{\underline{1750 \, \mathrm{kr}}}$ dersom Lise løper 25 runder.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger

Oppgave 1-4 : Faktorisering og forkorting av brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4

Vis at $(x - 1)$ er en faktor i $f(x)$ .

Faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer.

Vi har gitt brøken

\frac{x^3 - 5x^2 + 8x + d}{x^2 - 4}

For hvilke verdier av $d$ kan brøken forkortes?

Fasit

$f(1) = 0$ , så $(x-1)$ er en faktor i $f(x)$ (faktorteoremet).

$\underline{\underline{f(x) = (x-1)(x-2)^2}}$

$\underline{\underline{d = -4}}$ eller $\underline{\underline{d = 44}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorteoremet: $(x-1)$ er en faktor i $f(x)$ hvis og bare hvis $f(1) = 0$ .

f(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Siden $f(1) = 0$ , er $(x-1)$ en faktor i $f(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $f(x) \div (x-1)$ :

x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x-1) \cdot q(x)

\begin{array}{r} x^2 - 4x + 4 \\ x - 1 \enclose{longdiv}{x^3 - 5x^2 + 8x - 4} \\ \underline{-(x^3 - x^2)} \\ -4x^2 + 8x - 4 \\ \underline{-(-4x^2 + 4x)} \\ 4x - 4 \\ \underline{-(4x - 4)} \\ 0 \end{array}

Vi får $f(x) = (x-1)(x^2 - 4x + 4)$ .

Andregradsfaktoren faktoriseres videre:

x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2

Dermed er

\underline{\underline{f(x) = (x-1)(x-2)^2}}

Vi har brøken

\frac{x^3 - 5x^2 + 8x + d}{x^2 - 4}

Nevneren er $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ .

Brøken kan forkortes når telleren $g(x) = x^3 - 5x^2 + 8x + d$ har $(x-2)$ eller $(x+2)$ som faktor, det vil si når $g(2) = 0$ eller $g(-2) = 0$ .

Tilfelle 1: $g(2) = 0$

g(2) = 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 + d = 8 - 20 + 16 + d = 4 + d = 0

d = -4

Tilfelle 2: $g(-2) = 0$

g(-2) = (-2)^3 - 5 \cdot (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + d = -8 - 20 - 16 + d = -44 + d = 0

d = 44

Brøken kan forkortes når $\underline{\underline{d = -4}}$ eller $\underline{\underline{d = 44}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-5 : Optimal pris for størst inntekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Dersom prisen på en bestemt vare er $p$ kroner per enhet, vil etterspørselen $q$ være gitt ved

q(p) = 500 \cdot e^{-0{,}04p}

Inntekten $I$ (i kroner) er

I(p) = p \cdot q(p)

Bestem den prisen som gir størst inntekt.

Vi kan også bestemme prisen $p$ som en funksjon av $q$ .

Vis at

p(q) = -25 \cdot \ln\left(\frac{q}{500}\right)

Bestem $p'(25)$ . Hva forteller dette svaret oss?

Fasit

$p = 25 \text{ kr}$

Vist ved å løse $q = 500e^{-0{,}04p}$ for $p$

$p'(25) = -1$ . Ved etterspørsel $q = 25$ synker prisen med ca. 1 kr per ekstra enhet etterspurt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $I(p) = p \cdot q(p) = 500p \cdot e^{-0{,}04p}$ .

Vi deriverer $I(p) = 500p \cdot e^{-0{,}04p}$ med produktregelen:

\begin{aligned} I'(p) &= 500 \cdot e^{-0{,}04p} + 500p \cdot \left(-0{,}04\right) \cdot e^{-0{,}04p} \\ &= 500 \cdot e^{-0{,}04p} \cdot \left(1 - 0{,}04p\right) \end{aligned}

Vi setter $I'(p) = 0$ . Siden $500 \cdot e^{-0{,}04p} > 0$ for alle $p$ , må

1 - 0{,}04p = 0 \implies p = \frac{1}{0{,}04} = 25

Vi sjekker fortegnskiftet: $I'(p) > 0$ for $p < 25$ og $I'(p) < 0$ for $p > 25$ , så dette er et maksimum.

Prisen som gir størst inntekt er $\underline{\underline{p = 25 \text{ kr}}}$ .

Vi starter med $q = 500e^{-0{,}04p}$ og løser for $p$ :

\begin{aligned} q &= 500 \cdot e^{-0{,}04p} \\ \frac{q}{500} &= e^{-0{,}04p} \\ \ln\!\left(\frac{q}{500}\right) &= -0{,}04p \\ p &= \frac{\ln\!\left(\dfrac{q}{500}\right)}{-0{,}04} = -25 \cdot \ln\!\left(\frac{q}{500}\right) \end{aligned}

Dermed er $\underline{\underline{p(q) = -25 \cdot \ln\!\left(\dfrac{q}{500}\right)}}$ .

Vi deriverer $p(q) = -25 \cdot \ln\!\left(\dfrac{q}{500}\right) = -25 \cdot \left(\ln q - \ln 500\right)$ :

p'(q) = -25 \cdot \frac{1}{q} = -\frac{25}{q}

Ved $q = 25$ :

p'(25) = -\frac{25}{25} = \mathbf{\underline{\underline{-1}}}

Tolkning: Når etterspørselen er 25 enheter, vil én ekstra etterspurt enhet føre til at prisen synker med ca. 1 kr.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Optimering, Etterspørsel

Oppgave 1-6 : Bestem tredjegradspolynom fra opplysninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et tredjegradspolynom kan skrives på formen

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

der $a$ , $b$ , $c$ og $d$ er konstanter.

Om funksjonen $f$ får du vite at

$x = 1$ og $x = -2$ er nullpunkter til funksjonen
$x = 1$ er et ekstremalpunkt
grafen til $f$ skjærer $y$ -aksen i $y = 2$

Forklar at opplysningene ovenfor gir likningssystemet

\begin{aligned} a + b + c + d &= 0 \\ -8a + 4b - 2c + d &= 0 \\ 3a + 2b + c &= 0 \\ d &= 2 \end{aligned}

Bestem et uttrykk for $f(x)$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ , og den deriverte er

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

De fire opplysningene gir hver sin likning:

$x = 1$ er nullpunkt betyr at $f(1) = 0$ :

a \cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c \cdot 1 + d = 0 \implies a + b + c + d = 0

$x = -2$ er nullpunkt betyr at $f(-2) = 0$ :

a \cdot (-2)^3 + b \cdot (-2)^2 + c \cdot (-2) + d = 0 \implies -8a + 4b - 2c + d = 0

$x = 1$ er ekstremalpunkt betyr at $f'(1) = 0$ (tangenten er horisontal i et ekstremalpunkt):

3a \cdot 1^2 + 2b \cdot 1 + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0

Grafen skjærer $y$ -aksen i $y = 2$ betyr at $f(0) = 2$ :

a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d = 2 \implies d = 2

De fire likningene til sammen gir likningssystemet

\begin{aligned} a + b + c + d &= 0 \\ -8a + 4b - 2c + d &= 0 \\ 3a + 2b + c &= 0 \\ d &= 2 \end{aligned}

Fra ligning 4 vet vi at $d = 2$ .

Setter $d = 2$ inn i ligning 1:

a + b + c + 2 = 0 \implies a + b + c = -2 \quad (*)

Setter $d = 2$ inn i ligning 2:

-8a + 4b - 2c + 2 = 0 \implies -8a + 4b - 2c = -2 \implies -4a + 2b - c = -1 \quad (**)

Fra ligning 3:

3a + 2b + c = 0 \quad (***)

Adderer $(*)$ og $(***)$ :

\begin{aligned} (a + b + c) + (3a + 2b + c) &= -2 + 0 \\ 4a + 3b + 2c &= -2 \quad (I) \end{aligned}

Adderer $(**)$ og $(***)$ :

\begin{aligned} (-4a + 2b - c) + (3a + 2b + c) &= -1 + 0 \\ -a + 4b &= -1 \quad (II) \end{aligned}

Fra $(*)$ : $c = -2 - a - b$ . Setter inn i $(I)$ :

\begin{aligned} 4a + 3b + 2(-2 - a - b) &= -2 \\ 4a + 3b - 4 - 2a - 2b &= -2 \\ 2a + b &= 2 \quad (III) \end{aligned}

Fra $(II)$ : $-a + 4b = -1 \implies a = 4b + 1$ . Setter inn i $(III)$ :

\begin{aligned} 2(4b + 1) + b &= 2 \\ 8b + 2 + b &= 2 \\ 9b &= 0 \\ b &= 0 \end{aligned}

Dermed $a = 4 \cdot 0 + 1 = 1$ , og fra $(*)$ : $c = -2 - 1 - 0 = -3$ .

Vi har funnet $a = 1$ , $b = 0$ , $c = -3$ , $d = 2$ , altså

\boxed{f(x) = \textbf{x}^3 - 3x + 2}

Kontroll:

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ ✓
$f(-2) = -8 + 0 + 6 + 2 = 0$ ✓
$f'(x) = 3x^2 - 3$ , $f'(1) = 3 - 3 = 0$ ✓
$f(0) = 2$ ✓

\mathbf{f(x) = \underline{\underline{x^3 - 3x + 2}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Derivasjon, Funksjoner

Oppgave 1-7 : Terningspill med forventning og normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

Du skal arrangere et spill der spilleren kaster en terning. Gevinsten er bestemt av antall øyne terningen viser.

Ett eller to øyne gir 0 kroner i gevinst.
Tre eller fire øyne gir 20 kroner i gevinst.
Fem øyne gir 60 kroner i gevinst.
Seks øyne gir 200 kroner i gevinst.

La $X$ være gevinsten spilleren får når terningen kastes én gang.

Lag en tabell som viser sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ . Vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = 70$ .

Hva må prisen per spill være for at du som arrangør i det lange løp skal få et gjennomsnittlig overskudd på 10 kr per spill?

Vi antar at du heretter arrangerer spillet med et forventet gjennomsnittlig overskudd på 10 kr per spill. En spiller deltar i 100 spill. La $Y_i$ være nettogevinsten i spill nummer $i$ . Den totale nettogevinsten er da gitt ved

S = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{100}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vis at $\text{E}(S) = -1000$ og $\text{SD}(S) = 700$ .

Bestem sannsynligheten for at spilleren går i overskudd med de 100 spillene.

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 50 \, \mathrm{kr}}}$ , $\text{SD}(X) = 70 \, \mathrm{kr}$

$\underline{\underline{60 \, \mathrm{kr}}}$ per spill

Sentralgrenseteoremet: summen av mange uavhengige, likt fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.

$\underline{\underline{\text{E}(S) = -1000 \, \mathrm{kr}}}$ , $\underline{\underline{\text{SD}(S) = 700 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{P(S > 0) \approx 7{,}7 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være gevinsten ved ett kast. Vi finner sannsynligheten for hvert utfall:

1 eller 2 øyne: sannsynlighet $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , gevinst 0 kr
3 eller 4 øyne: sannsynlighet $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , gevinst 20 kr
5 øyne: sannsynlighet $\frac{1}{6}$ , gevinst 60 kr
6 øyne: sannsynlighet $\frac{1}{6}$ , gevinst 200 kr

$x$	$0$	$20$	$60$	$200$
$P(X = x)$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

Vi beregner forventningsverdien:

\text{E}(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 20 \cdot \frac{1}{3} + 60 \cdot \frac{1}{6} + 200 \cdot \frac{1}{6}

= \frac{20}{3} + 10 + \frac{200}{6} = \frac{40}{6} + \frac{60}{6} + \frac{200}{6} = \frac{300}{6} = \mathbf{50}

$\text{E}(X) = 50 \, \mathrm{kr}$

For standardavviket beregner vi først $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 20^2 \cdot \frac{1}{3} + 60^2 \cdot \frac{1}{6} + 200^2 \cdot \frac{1}{6}

= \frac{400}{3} + \frac{3600}{6} + \frac{40000}{6} = \frac{800}{6} + \frac{3600}{6} + \frac{40000}{6} = \frac{44400}{6} = 7400

Variansen blir:

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 7400 - 50^2 = 7400 - 2500 = 4900

Standardavviket:

\text{SD}(X) = \sqrt{4900} = \mathbf{70}

Arrangørens overskudd per spill er $P - X$ , der $P$ er prisen per spill. Forventet overskudd er:

\text{E}(P - X) = P - \text{E}(X) = P - 50

For at det forventede overskuddet skal være minst 10 kr:

P - 50 \geq 10 \implies P \geq 60

Prisen må være $60 \, \mathrm{kr}$ per spill.

La $Y_i = X_i - 60$ være nettogevinsten for spilleren i spill $i$ . De 100 spillene er uavhengige og $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{100}$ er identisk fordelte.

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen $S = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{100}$ av mange uavhengige, identisk fordelte variabler være tilnærmet normalfordelt, uansett hvilken fordeling de enkelte $Y_i$ har.

Siden $Y_i = X_i - 60$ og $\text{E}(X) = 50$ :

\text{E}(Y_i) = \text{E}(X_i) - 60 = 50 - 60 = -10

Forventningsverdien til summen:

\text{E}(S) = 100 \cdot \text{E}(Y_i) = 100 \cdot (-10) = \mathbf{-1000}

Siden $Y_i = X_i - 60$ er en translasjon av $X_i$ , er standardavviket det samme:

\text{SD}(Y_i) = \text{SD}(X_i) = 70

For summen av 100 uavhengige variabler:

\text{SD}(S) = \sqrt{100} \cdot \text{SD}(Y_i) = 10 \cdot 70 = \mathbf{700}

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = -1000$ og $\sigma = 700$ .

Spilleren går i overskudd når $S > 0$ . Vi standardiserer:

z = \frac{0 - (-1000)}{700} = \frac{1000}{700} \approx 1{,}43

P(S > 0) = P\!\left(Z > 1{,}43\right) = 1 - \Phi(1{,}43)

Fra tabellen over standard normalfordeling: $\Phi(1{,}43) \approx 0{,}9236$

P(S > 0) \approx 1 - 0{,}9236 = 0{,}0764 \approx \mathbf{7{,}7 \,\%}

Sannsynligheten for at spilleren går i overskudd er omtrent $7{,}7 \,\%$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Sannsynlighet, Forventningsverdi, Normalfordeling

Oppgave 2-1 : Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Totalkostnaden $K$ (i kroner) ved produksjon av en vare er gitt ved

K(x) = 0{,}025x^2 + 80x + 4000, \quad 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per uke. Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved

I(x) = -0{,}015x^2 + 150x, \quad 0 < x < 2000

Bestem funksjonsuttrykket for overskuddsfunksjonen $O$ . Bruk graftegner til å tegne grafen til overskuddsfunksjonen for $0 < x < 2000$ .

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Bruk CAS til å bestemme den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Fasit

$O(x) = -0{,}04x^2 + 70x - 4000$

$\underline{\underline{x = 875}}$ enheter gir størst overskudd $\underline{\underline{O(875) = 26\,625 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{x = 400}}$ enheter gir lavest enhetskostnad $\underline{\underline{E(400) = 100 \, \mathrm{kr/enhet}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddsfunksjonen er differansen mellom inntekt og kostnad:

O(x) = I(x) - K(x) = \left(-0{,}015x^2 + 150x\right) - \left(0{,}025x^2 + 80x + 4000\right)

\underline{\underline{O(x) = -0{,}04x^2 + 70x - 4000}}

Grafen er tegnet med graftegner for $0 < x < 2000$ :

Graf for overskuddsfunksjonen O(x)

Se O i utklippet. Toppunktet B = (875, 26625) viser størst overskudd, og nullpunktet A ≈ (59, 0) viser der overskuddet begynner å være positivt.

Vi finner toppunktet ved å derivere og sette $O'(x) = 0$ :

O'(x) = -0{,}08x + 70 = 0 \implies x = \frac{70}{0{,}08} = 875

O(875) = -0{,}04 \cdot 875^2 + 70 \cdot 875 - 4000 = 26\,625

Produksjonsmengden $\underline{\underline{x = 875}}$ enheter per uke gir størst overskudd på $\underline{\underline{26\,625 \, \mathrm{kr}}}$ .

Enhetskostnaden (kostnad per produsert enhet) er:

E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}025x^2 + 80x + 4000}{x} = 0{,}025x + 80 + \frac{4000}{x}

Vi bruker CAS til å finne minimum:

CAS-utregning for enhetskostnad

CAS gir $x = 400$ (positiv løsning) og $E(400) = 100$ .

Produksjonsmengden $\underline{\underline{x = 400}}$ enheter per uke gir lavest kostnad per enhet: $\underline{\underline{100 \, \mathrm{kr/enhet}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon

Oppgave 2-2 : Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et forskerteam utfører en rekke forsøk der de lar skadedyr invadere ulike typer bolighus. For ett av disse husene er antall dyr etter $t$ dager gitt i tabellen nedenfor.

$t$ (dager)	10	20	30	40	50	60
Antall skadedyr	35	130	245	289	297	300

Lag en funksjon $g$ som beskriver sammenhengen mellom tiden $t$ og antall skadedyr i dette huset.

For en annen hustype er funksjonen $f$ gitt ved

f(t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6, \quad \text{der } t \geq 10

en god modell for antall skadedyr i huset. Her er $t$ antall dager etter at huset ble invadert.

Når øker antall skadedyr raskest ifølge modellen $f$ ? Hvor stor er vekstfarten da?

En huseier oppdaget skadedyr i huset sitt. Skadedyrkontrollen fant ut at det var rundt 200 skadedyr i huset. Kontrolløren mener at modellen $f$ ovenfor vil passe godt for å bestemme antall skadedyr i dette huset.

Hvor lenge hadde det vært skadedyr i huset da det ble kontrollert?

Fasit

$\underline{\underline{g(t) = \dfrac{300}{1 + 44{,}3 \cdot e^{-0{,}176t}}}}$

Raskest vekst etter $\underline{\underline{t \approx 24{,}4 \text{ dager}}}$ , vekstfart $\underline{\underline{9 \text{ skadedyr per dag}}}$

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $\underline{\underline{36 \text{ dager}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon (RegLogistisk):

g(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-bt}}

GeoGebra gir parametrene $N \approx 300$ , $a \approx 44{,}3$ og $b \approx 0{,}176$ , slik at

\underline{\underline{g(t) = \frac{300}{1 + 44{,}3 \cdot e^{-0{,}176t}}}}

Se g (blå kurve) i grafen under.

Graf med g(t) og f(t)

Vi finner vendepunktet til $f$ ved hjelp av CAS (Vendepunkt(f)):

f(t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6

CAS-utregning

CAS gir vendepunktet $\approx (24{,}42,\ 114)$ .

Alternativt: Den logistiske delen $\dfrac{240}{1+39e^{-0{,}15t}}$ har vendepunkt der nevnerleddet er lik 1, dvs. $39 \cdot e^{-0{,}15t} = 1$ , som gir

t = \frac{\ln 39}{0{,}15} \approx 24{,}4 \text{ dager}

Vekstfarten ved vendepunktet leses av fra CAS ( $f'(24{,}42) \approx 9$ ), eller beregnes som

f'_{\max} = \frac{N \cdot r}{4} = \frac{240 \cdot 0{,}15}{4} = \mathbf{9 \text{ skadedyr per dag}}

Antall skadedyr øker raskest etter $\underline{\underline{t \approx 24{,}4 \text{ dager}}}$ , og vekstfarten er da $\underline{\underline{9 \text{ skadedyr per dag}}}$ .

Skadedyrkontrollen fant ca. 200 dyr. Vi løser $f(t) = 200$ med CAS (Løs(f(t) = 200, t)):

\frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6 = 200

CAS gir $t \approx 36{,}43$ , og fra grafen over ser vi at $f$ skjærer linjen $y = 200$ i punktet $A = (36{,}43,\ 200)$ .

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $\underline{\underline{36 \text{ dager}}}$ da det ble kontrollert.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Logistisk vekst, Derivasjon

Oppgave 2-3 : Gjennomsnittsskåre og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en stor videregående skole skal 100 tilfeldig valgte elever ta en matematikktest. Fra tidligere vet vi at poengskåren $X$ til en tilfeldig valgt elev ved denne skolen er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 50 poeng og standardavvik 8 poeng. Vi antar at ferdighetene til ulike elever er uavhengige av hverandre.

La $\bar{X}$ være gjennomsnittsskåren til 100 tilfeldig valgte elever.

Begrunn at $\text{E}(\bar{X}) = 50$ og $\text{SD}(\bar{X}) = 0{,}8$ .

Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittsskåren til de 100 elevene blir mellom 49 og 51 poeng?

Skolen hadde en mistanke om at elevene et år var flinkere enn normalt. Det viste seg at gjennomsnittsskåren til de 100 tilfeldig valgte elevene som tok testen, ble 51,5 poeng.

Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$\text{E}(\bar{X}) = \underline{\underline{50}}$ , $\text{SD}(\bar{X}) = \underline{\underline{0{,}8}}$

$P(49 < \bar{X} < 51) \approx \underline{\underline{0{,}789}}$

$p\text{-verdi} \approx 0{,}030 < 0{,}05$ — forkast $H_0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $n = 100$ uavhengige elever, og poengskåren $X$ til én tilfeldig elev er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 50$ og $\sigma = 8$ .

La $\bar{X} = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}}{100}$ være gjennomsnittsskåren.

Forventningsverdi:

\text{E}(\bar{X}) = \text{E}\!\left(\frac{X_1 + \cdots + X_{100}}{100}\right) = \frac{1}{100} \cdot \bigl(\text{E}(X_1) + \cdots + \text{E}(X_{100})\bigr) = \frac{1}{100} \cdot 100 \cdot 50 = \underline{\underline{50}}

Dette følger av regneregelen $\text{E}(aX) = a \cdot \text{E}(X)$ og $\text{E}(X_1 + \cdots + X_n) = n \cdot \text{E}(X)$ når variablene er identisk fordelte.

Standardavvik:

Siden variablene er uavhengige, gjelder $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{100}) = 100 \cdot \text{Var}(X) = 100 \cdot 8^2 = 6400$ .

\text{SD}(\bar{X}) = \frac{\text{SD}(X)}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = \underline{\underline{0{,}8}}

Siden $X$ er tilnærmet normalfordelt, er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med $\mu_{\bar{X}} = 50$ og $\sigma_{\bar{X}} = 0{,}8$ .

Vi standardiserer grensene:

z_1 = \frac{49 - 50}{0{,}8} = -1{,}25 \qquad z_2 = \frac{51 - 50}{0{,}8} = 1{,}25

P(49 < \bar{X} < 51) = P(-1{,}25 < Z < 1{,}25) = \Phi(1{,}25) - \Phi(-1{,}25)

Vi beregner i GeoGebra CAS:

Fra CAS (rad 1–3): $z_1 = -1{,}25$ , $z_2 = 1{,}25$ og $P_b \approx 0{,}7887$ .

P(49 < \bar{X} < 51) \approx \underline{\underline{0{,}789}}

Det er altså omtrent $78{,}9\,\%$ sannsynlighet for at gjennomsnittsskåren havner mellom 49 og 51 poeng.

Hypoteser:

H_0\colon \mu = 50 \qquad H_1\colon \mu > 50

$H_0$ er at elevene presterer som normalt (gjennomsnitt 50 poeng). $H_1$ er at elevene var flinkere enn normalt. Vi bruker ensidig test siden mistanken går i én retning (flinkere).

Testobservator:

Observert gjennomsnitt: $\bar{x} = 51{,}5$ .

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{51{,}5 - 50}{0{,}8} = \frac{1{,}5}{0{,}8} = 1{,}875

P-verdi:

p\text{-verdi} = P(\bar{X} \geq 51{,}5 \mid H_0) = P(Z \geq 1{,}875) = 1 - \Phi(1{,}875)

Fra CAS (rad 4–5): $z_3 = 1{,}875$ og $p\text{-verdi} \approx 0{,}0304$ .

Konklusjon:

Siden $p\text{-verdi} \approx 0{,}030 < 0{,}05$ , forkaster vi $H_0$ på $5\,\%$ signifikansnivå.

Det er statistisk grunnlag for mistanken om at elevene var flinkere enn normalt dette året.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Medisindosering som geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mads har en kronisk sykdom og er avhengig av medisiner. Hver dag tar han én tablett som inneholder 2,4 mg virkestoff. I løpet av et døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten.

Hvor mye av det virksomme stoffet har han i kroppen like etter at han har tatt den sjuende tabletten?

Hvor mye virkestoff vil Mads maksimalt ha i kroppen i det lange løp hvis han fortsetter medisineringen?

Det viser seg at Mads ikke tåler mer enn 5,5 mg av det virksomme stoffet i kroppen. Han må derfor la det gå lengre tid mellom hver gang han tar tablettene.

Hvor mange timer må det minst gå mellom hver gang Mads tar en tablett?

Fasit

$\underline{\underline{S_7 \approx 8{,}32 \, \mathrm{mg}}}$

$\underline{\underline{S = 9{,}6 \, \mathrm{mg}}}$

Det må gå minst $\underline{\underline{t \approx 47{,}8 \, \mathrm{timer}}}$ mellom hver tablett.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse alle tre deloppgavene. Se utklippet under.

CAS-utregning for alle tre deloppgaver

Tablettene tas én per døgn (hvert 24. time), og kroppen bryter ned 25 % per døgn, slik at faktoren mellom leddene er $k = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ . Like etter den 7. tabletten er mengden virkestoff summen av bidragene fra alle 7 tabletter:

S_7 = 2{,}4 + 2{,}4 \cdot 0{,}75 + 2{,}4 \cdot 0{,}75^2 + \cdots + 2{,}4 \cdot 0{,}75^6

Dette er en geometrisk rekke med førsteled $a_1 = 2{,}4$ , kvotient $k = 0{,}75$ og 7 ledd. Vi bruker sumformelen:

S_7 = a_1 \cdot \frac{1 - k^7}{1 - k} = 2{,}4 \cdot \frac{1 - 0{,}75^7}{1 - 0{,}75} \approx \underline{\underline{8{,}32 \, \mathrm{mg}}}

(Se linje 3: S_7 := 8.31855 i CAS-utklippet.)

Når Mads tar tabletter i det uendelige dannes en uendelig geometrisk rekke. Siden $|k| = 0{,}75 < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{2{,}4}{1 - 0{,}75} = \frac{2{,}4}{0{,}25} = \underline{\underline{9{,}6 \, \mathrm{mg}}}

(Se linje 4: S_uendelig := 9.6 i CAS-utklippet.)

Hvis Mads tar tabletter med $t$ timers mellomrom i stedet for 24 timer, er nedbrytningsfaktoren per intervall:

r = 0{,}75^{t/24}

I det lange løp samler kroppen opp en mengde som konvergerer mot grenseverdien:

S_\infty = \frac{2{,}4}{1 - r} = \frac{2{,}4}{1 - 0{,}75^{t/24}}

Vi krever at denne ikke overstiger 5,5 mg:

\frac{2{,}4}{1 - 0{,}75^{t/24}} \leq 5{,}5

Vi setter likheten og løser for $t$ med CAS (linje 5):

\frac{2{,}4}{1 - 0{,}75^{t/24}} = 5{,}5 \implies t \approx 47{,}83 \, \mathrm{timer}

Det må altså gå minst $\underline{\underline{t \approx 47{,}8 \, \mathrm{timer}}}$ (knapt 48 timer) mellom hver tablett for at mengden virkestoff i kroppen ikke skal overstige 5,5 mg.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Eksponentialfunksjon

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner

Oppgave 1-2 : Konvergente geometriske rekker

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke og innsamlingsløp

Oppgave 1-4 : Faktorisering og forkorting av brøk

Oppgave 1-5 : Optimal pris for størst inntekt

Oppgave 1-6 : Bestem tredjegradspolynom fra opplysninger

Oppgave 1-7 : Terningspill med forventning og normaltilnærming

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad

Oppgave 2-2 : Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Oppgave 2-3 : Gjennomsnittsskåre og hypotesetest

Oppgave 2-4 : Medisindosering som geometrisk rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave