S2 Vår 2016

$f(x) = e^{-2x}$

Vi bruker kjerneregelen med den indre funksjonen $u = -2x$, så $u' = -2$.

$g(x) = \dfrac{x-3}{x-4}$

Vi bruker kvotientregelen $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ med $u = x-3$ og $v = x-4$.

$h(x) = x(x-3)^6$

Vi bruker produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ med $u = x$ og $v = (x-3)^6$.

For $v' = (x-3)^6$ bruker vi kjerneregelen: $v' = 6(x-3)^5$.

Vi faktoriserer ut $(x-3)^5$:

Stokkene i haugen utgjør en aritmetisk rekke med første ledd $a_1 = 16$ og siste ledd $a_n = 30$.

Vi bruker sumformelen for en aritmetisk rekke:

Vi må først finne antall ledd $n$. Siden det er én stokk mer i hver rad nedover, er differansen $d = 1$. Da er

Summen blir:

Det er 345 stokker i haugen.

Vi bruker formelen for det $n$-te leddet i en aritmetisk tallfølge:

Vi setter opp to likninger fra de oppgitte verdiene:

Trekker den første fra den andre:

Setter $d = 3$ inn i den første likningen:

Dermed er:

En rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots$ er geometrisk dersom forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, det vil si at $\frac{a_{k+1}}{a_k} = k$ for en konstant $k$ og alle $k$.

En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom to påfølgende ledd er konstant, det vil si at $a_{k+1} - a_k = d$ for en konstant $d$ og alle $k$.

Rekken $10 + 5 + \frac{5}{2} + \ldots$ er geometrisk. Vi ser at leddene halveres for hvert steg, så kvotienten er $\frac{1}{2}$.

Et ledd i en geometrisk rekke kan skrives som $a_k = C \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k$ for en konstant $C$.

Vi bruker at $a_2 = 5$:

Altså er

Vi setter $b_k = \ln a_k = \ln \frac{20}{2^k}$.

Vi beregner differansen $b_{k+1} - b_k$:

Siden $b_{k+1} - b_k = -\ln 2$ er konstant (uavhengig av $k$), er rekken $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n$ aritmetisk med differanse

Vi deriverer $f(x) = \ln(x^2 + 4)$ ved hjelp av kjerneregelen:

Nevneren $x^2 + 4 > 0$ for alle $x$, så fortegnet til $f'(x)$ bestemmes av telleren $2x$ alene.

• $f'(x) > 0$ når $x > 0 \Rightarrow f$ stiger for $x > 0$
• $f'(x) < 0$ når $x < 0 \Rightarrow f$ synker for $x < 0$

Vi drøfter egenskapene til $f$ og sammenligner med grafene.

Symmetri: $f(-x) = \ln((-x)^2+4) = \ln(x^2+4) = f(x)$, så $f$ er en partallsfunksjon (symmetrisk om $y$-aksen). Den riktige grafen må derfor ha bunnpunktet sitt på $y$-aksen (i $x = 0$) og være symmetrisk. Det utelukker grafer som er symmetriske om et punkt til side for $y$-aksen.

Bunnpunkt: Fra a) har $f$ et bunnpunkt ved $x = 0$. $f(0) = \ln(4) \approx 1{,}39 > 0$. Grafen ligger altså over $x$-aksen. Det utelukker graf B (bunnpunkt på $x$-aksen).

Vendepunkter: Vi deriverer $f'(x)$ for å finne krumningsendringer:

Nevneren er alltid positiv, så $f''(x) = 0$ når $8 - 2x^2 = 0$, det vil si $x^2 = 4$, altså $x = \pm 2$.

• $f''(x) > 0$ for $-2 < x < 2$: grafen er konveks (smiler)
• $f''(x) < 0$ for $|x| > 2$: grafen er konkav (surmuler)

Grafen har altså vendepunkter ved $x = -2$ og $x = 2$, og er konveks i midten og konkav i «halene». Dette utelukker graf D (ren konveks form uten vendepunkter) og graf A (har maksimum, ikke minimum).

Konklusjon: Grafen til $f$ er graf C.

Summen av alle sannsynligheter må være 1:

Forventningsverdien er

Variansen er

Standardavviket er

Hele arealet under kurven er $1$. De to skraverte haleområdene har begge areal $0{,}106$, så det hvite midtområdet har areal

Fordi normalfordelingskurven er symmetrisk og de to haleområdene er like store, ligger symmetriaksen midt mellom $x = 22$ og $x = 42$:

Fra oppgaven vet vi at $P(X < 22) = 0{,}106$.

Vi standardiserer: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} = \dfrac{X - 32}{\sigma}$.

Fra normalfordelingstabellen finner vi $z$-verdien som gir $P(Z < z) = 0{,}106$. Tabellen gir $P(Z < -1{,}25) \approx 0{,}1056 \approx 0{,}106$, så $z = -1{,}25$.

Grenseverdien $x = 22$ svarer til $z = -1{,}25$:

Vi setter $x$ = antall år etter 2000 og antall artikler i millioner. Datapunktene fra tabellen er:

Lineær regresjonsmodell:

Lineær regresjon på datapunktene gir:

For 2020 ($x = 20$):

Dette stemmer med journalistens påstand om ca. 7 millioner i 2020. Journalisten som spår 7 millioner, kan altså ha brukt en lineær modell.

Logistisk regresjonsmodell:

Logistisk regresjon gir en modell på formen $g(x) = \dfrac{L}{1 + A \cdot e^{-kx}}$, med tilnærmede parameterverdier:

Når $x \to \infty$ nærmer $g(x)$ seg grenseverdien $L \approx 4\,008\,254 \approx 4{,}0$ millioner. Dette stemmer med journalistens påstand om at antallet vil stabilisere seg på rundt 4 millioner. Journalisten som spår stabilisering, kan ha brukt en logistisk modell.

Antall artikler vokser raskest der $g'(x)$ har sitt største verdi (toppunkt). Vi tegner grafen til

og avleser maksimum med graftegner. Toppunktet ligger ved $x \approx 7{,}87$.

Ifølge modellen vokste antall Wikipedia-artikler raskest i år 2007.

Vi beregner det bestemte integralet:

Ved analysens fundamentalteorem er dette lik $g(15) - g(0)$. Vi bruker graftegner til å beregne integralet numerisk:

Praktisk tolkning: Integralet av $g'(x)$ over $[0, 15]$ gir den samlede endringen i antall Wikipedia-artikler fra $x = 0$ (år 2000) til $x = 15$ (år 2015). Svaret $\approx 3{,}96$ millioner betyr at antall tilgjengelige Wikipedia-artikler økte med ca. 3,96 millioner i perioden 2000–2015.

Vi har tre betingelser for $K(x) = ax^2 + bx + c$:

Vi løser likningssystemet med CAS:

Dermed er

Vi deriverer:

Vi deriverer inntektsfunksjonen:

Ved $x = 100$:

$I'(100) \approx 31{,}87$ betyr at den 101. enheten gir ca. 31,87 kr ekstra i inntekt. $K'(100) = 41$ betyr at den 101. enheten koster 41 kr ekstra å produsere.

Siden grensekostnaden er høyere enn grenseinntekten ved $x = 100$, vil overskuddet minke dersom bedriften øker produksjonen utover 100 enheter. Bedriften bør derfor produsere færre enn 100 enheter per dag.

Overskuddet er

Overskuddet er størst når $O'(x) = 0$:

Vi løser med CAS og får $x \approx 86$.

Vi kan kontrollere at dette er et maksimum siden $O''(86) < 0$.

Bedriften bør produsere og selge 86 enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig.

$X$ er antallet blant 1000 tilfeldig valgte personer som ville ha stemt på partiet. Dersom sannsynligheten for at én person stemmer på partiet er $p$, og alle er uavhengige, er $X$ binomisk fordelt: $X \sim B(1000;\, 0{,}308)$.

Vi kan anta at $X$ er tilnærmet normalfordelt fordi $n = 1000$ er stor. En tommelfingerregel er at normalfordeling er en god tilnærming når $np > 5$ og $n(1-p) > 5$:

Begge betingelsene er oppfylt, så vi kan bruke normalfordelingen som tilnærming.

Forventningsverdien til $X \sim B(n;\, p)$ er $\mu = np$:

Standardavviket er $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$:

Vi setter opp en hypotesetest med signifikansnivå $\alpha = 0{,}05$.

Hypoteser:

Dette er en ensidig test siden vi kun er interessert i om oppslutningen har økt.

Observert verdi: $x = 334$

$p$-verdi (binomisk):

Vi beregner sannsynligheten for å observere 334 eller flere, gitt at $H_0$ er sann:

Konklusjon:

Siden $p$-verdien $0{,}041 < 0{,}05$, forkaster vi $H_0$ på 5 %-nivå.

Det er statistisk grunnlag for å si at oppslutningen om partiet har økt siden valget i 2015.