S2 Vår 2016

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner (s2 v16)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = e^{- 2 x}

g (x) = \frac{x - 3}{x - 4}

h (x) = x {(x - 3)}^{6}

Fasit

$f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x}$

$g^{'} (x) = \frac{- 1}{{(x - 4)}^{2}}$

$h^{'} (x) = {(x - 3)}^{5} (7 x - 3)$

LøsningsforslagKI-generert

$f (x) = e^{- 2 x}$

Vi bruker kjerneregelen med den indre funksjonen $u = - 2 x$ , så $u^{'} = - 2$ .

f^{'} (x) = e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 2 e^{- 2 x}

$g (x) = \frac{x - 3}{x - 4}$

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med $u = x - 3$ og $v = x - 4$ .

g^{'} (x) = \frac{1 \cdot (x - 4) - (x - 3) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{x - 4 - x + 3}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{- 1}{{(x - 4)}^{2}}

$h (x) = x {(x - 3)}^{6}$

Vi bruker produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = x$ og $v = {(x - 3)}^{6}$ .

For $v^{'} = {(x - 3)}^{6}$ bruker vi kjerneregelen: $v^{'} = 6 {(x - 3)}^{5}$ .

h^{'} (x) = 1 \cdot {(x - 3)}^{6} + x \cdot 6 {(x - 3)}^{5}

Vi faktoriserer ut ${(x - 3)}^{5}$ :

h^{'} (x) = (x - 3)^{5} [(x - 3) + 6 x] = (x - 3)^{5} (7 x - 3)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomdrøfting med nullpunkter og kurve

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 32

Vis at $P (x)$ er delelig med $(x + 2)$ . Bestem nullpunktene til $P$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $P$ .

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $P$ .

Lag en skisse av grafen til $P$ .

Fasit

$P (x) = (x + 2) {(x - 4)}^{2}$ , nullpunkter $x = - 2$ og $x = 4$

Toppunkt $(0, 32)$ , bunnpunkt $(4, 0)$

Vendepunkt $(2, 16)$

Se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker om $(x + 2)$ er en faktor ved å bruke faktorteoremet: $P (- 2) = 0$ betyr at $(x + 2)$ er en faktor.

P (- 2) = {(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32 = - 8 - 24 + 32 = 0

Siden $P (- 2) = 0$ , er $P (x)$ delelig med $(x + 2)$ .

Vi utfører polynomdivisjon:

P (x) : (x + 2) = x^{2} - 8 x + 16

Vi kan kontrollere: $(x + 2) (x^{2} - 8 x + 16) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x + 2 x^{2} - 16 x + 32 = x^{3} - 6 x^{2} + 32$ ✓

Vi faktoriserer $x^{2} - 8 x + 16 = {(x - 4)}^{2}$ , så

P (x) = (x + 2) {(x - 4)}^{2}

Nullpunktene er der $P (x) = 0$ :

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$
${(x - 4)}^{2} = 0 \Rightarrow x = 4$

Nullpunktene er $x = - 2$ og $x = 4$ .

Vi deriverer:

P^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x = 3 x (x - 4)

Stasjonære punkter der $P^{'} (x) = 0$ :

3 x (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 eller x = 4

Vi bruker andrederivert for å klassifisere:

P^{''} (x) = 6 x - 12

$x = 0$ : $P^{''} (0) = - 12 < 0$ $\Rightarrow$ toppunkt. $P (0) = 32$ .

Toppunkt: $(0, 32)$

$x = 4$ : $P^{''} (4) = 24 - 12 = 12 > 0$ $\Rightarrow$ bunnpunkt. $P (4) = 64 - 96 + 32 = 0$ .

Bunnpunkt: $(4, 0)$

Vendepunkt der $P^{''} (x) = 0$ :

6 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2

Vi sjekker at $P^{''}$ skifter fortegn ved $x = 2$ (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

P (2) = 8 - 24 + 32 = 16

Vendepunkt: $(2, 16)$

Vi har følgende punkter å bygge skissen på:

Punkt	Koordinater	Type
Nullpunkt	$(- 2, 0)$	$P$ skjærer $x$ -aksen
Toppunkt	$(0, 32)$	Lokal topp
Vendepunkt	$(2, 16)$	Bøyningspunkt
Bunnpunkt/nullpunkt	$(4, 0)$	Lokal bunn, tangerer $x$ -aksen

Grafen stiger fra venstre, har toppunkt i $(0, 32)$ , synker gjennom vendepunktet $(2, 16)$ og tangerer $x$ -aksen i bunnpunktet $(4, 0)$ , før den stiger igjen mot høyre. $P (x) \to - \infty$ når $x \to - \infty$ og $P (x) \to + \infty$ når $x \to + \infty$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Polynomdivisjon, Funksjonsdrøfting, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Likningssystem fra kvitteringer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mathias har handlet litt mye på et konditori i det siste. Dessverre har han vært uheldig og fått revet av deler av kvitteringene, slik at han ikke lenger vet hvor mye de enkelte bakervarene koster. Se bildet nedenfor.

Bruk opplysningene på kvitteringene til å sette opp et likningssystem, og bruk dette til å bestemme prisen på skoleboller, boller og muffins.

Kvitteringer fra Haralds konditori

Bestem prisen på skoleboller, boller og muffins.

Fasit

Skolebolle: 17 kr, bolle: 15 kr, muffin: 24 kr.

LøsningsforslagKI-generert

La $s$ = pris på skolebolle, $b$ = pris på bolle og $m$ = pris på muffin (i kroner).

Fra kvitteringene setter vi opp likningssystemet:

\begin{matrix} 4 s + 4 b + 2 m & = 176 (1) \\ 2 s + 4 b + 2 m & = 142 (2) \\ 3 s + 5 b + 4 m & = 222 (3) \end{matrix}

Eliminerer $s$ :

$(1) - (2)$ :

2 s = 34 ⟹ s = 17

Finner $b$ og $m$ :

Setter $s = 17$ inn i $(2)$ :

2 \cdot 17 + 4 b + 2 m = 142 ⟹ 4 b + 2 m = 108 (4)

Setter $s = 17$ inn i $(3)$ :

3 \cdot 17 + 5 b + 4 m = 222 ⟹ 5 b + 4 m = 171 (5)

Ganger $(4)$ med $2$ : $8 b + 4 m = 216 (6)$

$(6) - (5)$ :

3 b = 45 ⟹ b = 15

Setter $b = 15$ inn i $(4)$ :

4 \cdot 15 + 2 m = 108 ⟹ 2 m = 48 ⟹ m = 24

Prøve:

$(1)$ : $4 \cdot 17 + 4 \cdot 15 + 2 \cdot 24 = 68 + 60 + 48 = 176$ ✓
$(2)$ : $2 \cdot 17 + 4 \cdot 15 + 2 \cdot 24 = 34 + 60 + 48 = 142$ ✓
$(3)$ : $3 \cdot 17 + 5 \cdot 15 + 4 \cdot 24 = 51 + 75 + 96 = 222$ ✓

Skolebolle koster 17 kr, bolle koster 15 kr og muffin koster 24 kr.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Tømmerstokker og aritmetisk tallfølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Noen tømmerstokker er stablet slik figuren viser. Det er 16 stokker i øverste rad og 30 i nederste. Bruk teorien for rekker til å bestemme hvor mange stokker det er i haugen.

Haug med tømmerstokker stablet i trapesform, 16 stokker øverst og 30 stokker nederst

I en aritmetisk tallfølge er $a_{4} = 11$ og $a_{7} = 20$ . Bestem $a_{40}$ .

Fasit

345 stokker

$a_{40} = 119$

LøsningsforslagKI-generert

Stokkene i haugen utgjør en aritmetisk rekke med første ledd $a_{1} = 16$ og siste ledd $a_{n} = 30$ .

Vi bruker sumformelen for en aritmetisk rekke:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Vi må først finne antall ledd $n$ . Siden det er én stokk mer i hver rad nedover, er differansen $d = 1$ . Da er

n = a_{n} - a_{1} + 1 = 30 - 16 + 1 = 15

Summen blir:

S_{15} = \frac{16 + 30}{2} \cdot 15 = \frac{46}{2} \cdot 15 = 23 \cdot 15 = 345

Det er 345 stokker i haugen.

Vi bruker formelen for det $n$ -te leddet i en aritmetisk tallfølge:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Vi setter opp to likninger fra de oppgitte verdiene:

a_{4} = a_{1} + 3 d = 11

a_{7} = a_{1} + 6 d = 20

Trekker den første fra den andre:

3 d = 20 - 11 = 9 ⟹ d = 3

Setter $d = 3$ inn i den første likningen:

a_{1} + 3 \cdot 3 = 11 ⟹ a_{1} = 11 - 9 = 2

Dermed er:

a_{40} = 2 + (40 - 1) \cdot 3 = 2 + 39 \cdot 3 = 2 + 117 = 119

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Geometrisk og aritmetisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hva vil det si at en rekke er geometrisk? Hva vil det si at en rekke er aritmetisk?

En geometrisk rekke er gitt ved

a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \dots

Skriv et uttrykk for $a_{k}$ .

Sett $b_{k} = \ln a_{k}$ . Vis at rekken $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n}$ er aritmetisk.
Bestem differansen $d = b_{k + 1} - b_{k}$ .

Fasit

En rekke er geometrisk dersom forholdet $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ er konstant for alle $k$ . En rekke er aritmetisk dersom differansen $a_{k + 1} - a_{k}$ er konstant for alle $k$ .

$a_{k} = \frac{20}{2^{k}}$

$d = - \ln 2$

LøsningsforslagKI-generert

En rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ er geometrisk dersom forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, det vil si at $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = k$ for en konstant $k$ og alle $k$ .

En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom to påfølgende ledd er konstant, det vil si at $a_{k + 1} - a_{k} = d$ for en konstant $d$ og alle $k$ .

Rekken $10 + 5 + \frac{5}{2} + \dots$ er geometrisk. Vi ser at leddene halveres for hvert steg, så kvotienten er $\frac{1}{2}$ .

Et ledd i en geometrisk rekke kan skrives som $a_{k} = C \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}$ for en konstant $C$ .

Vi bruker at $a_{2} = 5$ :

5 = C \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = C \cdot \frac{1}{4}

C = 20

Altså er

a_{k} = 20 \cdot {(\frac{1}{2})}^{k} = \frac{20}{2^{k}}

Vi setter $b_{k} = \ln a_{k} = \ln \frac{20}{2^{k}}$ .

Vi beregner differansen $b_{k + 1} - b_{k}$ :

b_{k + 1} - b_{k} = \ln \frac{20}{2^{k + 1}} - \ln \frac{20}{2^{k}} = \ln (\frac{20}{2^{k + 1}} \cdot \frac{2^{k}}{20}) = \ln \frac{2^{k}}{2^{k + 1}} = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2

Siden $b_{k + 1} - b_{k} = - \ln 2$ er konstant (uavhengig av $k$ ), er rekken $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n}$ aritmetisk med differanse

d = - \ln 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Logaritmefunksjon og grafidentifikasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \ln (x^{2} + 4), x \in ℝ

Avgjør hvor grafen til $f$ stiger, og hvor grafen til $f$ synker.

Nedenfor har vi tegnet fire grafer. Én av dem er grafen til $f$ . Gjør nødvendige drøftinger og beregninger for å bestemme hvilken av grafene som er grafen til $f$ .

$Fire grafer A, B, C og D – én av dem er grafen til f(x)=\ln(x^2+4)$

Fasit

$f$ stiger når $x > 0$ og synker når $x < 0$ .

Graf C

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = \ln (x^{2} + 4)$ ved hjelp av kjerneregelen:

f^{'} (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{'}}{x^{2} + 4} = \frac{2 x}{x^{2} + 4}

Nevneren $x^{2} + 4 > 0$ for alle $x$ , så fortegnet til $f^{'} (x)$ bestemmes av telleren $2 x$ alene.

$f^{'} (x) > 0$ når $x > 0 \Rightarrow f$ stiger for $x > 0$
$f^{'} (x) < 0$ når $x < 0 \Rightarrow f$ synker for $x < 0$

Vi drøfter egenskapene til $f$ og sammenligner med grafene.

Symmetri: $f (- x) = \ln ({(- x)}^{2} + 4) = \ln (x^{2} + 4) = f (x)$ , så $f$ er en partallsfunksjon (symmetrisk om $y$ -aksen). Den riktige grafen må derfor ha bunnpunktet sitt på $y$ -aksen (i $x = 0$ ) og være symmetrisk. Det utelukker grafer som er symmetriske om et punkt til side for $y$ -aksen.

Bunnpunkt: Fra a) har $f$ et bunnpunkt ved $x = 0$ . $f (0) = \ln (4) \approx 1,39 > 0$ . Grafen ligger altså over $x$ -aksen. Det utelukker graf B (bunnpunkt på $x$ -aksen).

Vendepunkter: Vi deriverer $f^{'} (x)$ for å finne krumningsendringer:

f^{''} (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) - 2 x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{2 x^{2} + 8 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}

Nevneren er alltid positiv, så $f^{''} (x) = 0$ når $8 - 2 x^{2} = 0$ , det vil si $x^{2} = 4$ , altså $x = \pm 2$ .

$f^{''} (x) > 0$ for $- 2 < x < 2$ : grafen er konveks (smiler)
$f^{''} (x) < 0$ for $| x | > 2$ : grafen er konkav (surmuler)

Grafen har altså vendepunkter ved $x = - 2$ og $x = 2$ , og er konveks i midten og konkav i «halene». Dette utelukker graf D (ren konveks form uten vendepunkter) og graf A (har maksimum, ikke minimum).

Konklusjon: Grafen til $f$ er graf C.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Funksjonsdrøfting, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Diskret sannsynlighetsfordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:

$x$	0	10	20
$P (X = x)$	$0,2$	$0,5$	$a$

Bestem $a$ .

Regn ut forventningsverdien $μ$ og standardavviket $σ$ til $X$ .

Fasit

$a = 0,3$

$μ = 11$ , $σ = 7$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter må være 1:

0,2 + 0,5 + a = 1

a = 0,3

Forventningsverdien er

μ = E (X) = \sum x \cdot P (X = x) = 0 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,5 + 20 \cdot 0,3 = 0 + 5 + 6 = 11

Variansen er

Var (X) = \sum {(x - μ)}^{2} \cdot P (X = x)

= {(0 - 11)}^{2} \cdot 0,2 + {(10 - 11)}^{2} \cdot 0,5 + {(20 - 11)}^{2} \cdot 0,3

= 121 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,5 + 81 \cdot 0,3

= 24,2 + 0,5 + 24,3 = 49

Standardavviket er

σ = \sqrt{Var (X)} = \sqrt{49} = 7

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Normalfordeling med skravert areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

Figuren nedenfor viser en grafisk fremstilling av en normalfordelt stokastisk variabel $X$ . De to skraverte områdene har begge areal lik $0,106$ .

Normalfordelingskurve med to skraverte haleområder ved x=22 og x=42

Bestem $P (22 < X < 42)$

Bestem forventningsverdien til $X$ .

Bestem standardavviket til $X$ .

Fasit

$P (22 < X < 42) = 0,788$

$μ = 32$

$σ = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Hele arealet under kurven er $1$ . De to skraverte haleområdene har begge areal $0,106$ , så det hvite midtområdet har areal

P (22 < X < 42) = 1 - 2 \cdot 0,106 = 1 - 0,212 = 0,788

Fordi normalfordelingskurven er symmetrisk og de to haleområdene er like store, ligger symmetriaksen midt mellom $x = 22$ og $x = 42$ :

μ = \frac{22 + 42}{2} = \frac{64}{2} = 32

Fra oppgaven vet vi at $P (X < 22) = 0,106$ .

Vi standardiserer: $Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X - 32}{σ}$ .

Fra normalfordelingstabellen finner vi $z$ -verdien som gir $P (Z < z) = 0,106$ . Tabellen gir $P (Z < - 1,25) \approx 0,1056 \approx 0,106$ , så $z = - 1,25$ .

Grenseverdien $x = 22$ svarer til $z = - 1,25$ :

\frac{22 - 32}{σ} = - 1,25

\frac{- 10}{σ} = - 1,25

σ = \frac{10}{1,25} = 8

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Wikipedia-artikler og logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser det totale antallet artikler som var tilgjengelige på Wikipedia noen utvalgte år.

År	2002	2004	2006	2008	2010	2012
Antall artikler	19 700	188 800	895 000	2 153 000	3 144 000	3 835 000

Basert på disse tallene påstår en journalist at i 2020 vil antallet tilgjengelige artikler være rundt 7 millioner. En annen journalist påstår at antall artikler vil stabilisere seg på rundt 4 millioner.

For hånd

Vurder hvilke matematiske modeller journalistene kan ha brukt for å komme fram til disse tallene.

En modell for antall tilgjengelige artikler er gitt ved en funksjon $g$ . Økningen av antall artikler (i millioner) per år er ifølge denne modellen

g^{'} (x) = \frac{576 e^{- 0,68 x}}{{(1 + 211 e^{- 0,68 x})}^{2}}

Her er $x$ antall år etter 2000.

Kalkulator

Bruk graftegner til å bestemme hvilket år antall artikler vokste raskest, ifølge denne modellen.

Oppsett for hånd

Bestem $\int_{0}^{15} g^{'} (x) d x$

Hva er den praktiske tolkningen av dette svaret?

Fasit

Lineær modell: $f (x) = 417 144 x - 1 214 093$ , gir $f (20) \approx 7 13$ mill. Logistisk modell: $g (x) = \frac{4 008 254}{1 + 211,4052 \cdot e^{- 0,6801 x}}$ , har grenseverdi $\approx 4,008$ mill.

$g^{'} (x)$ er størst for $x \approx 7,87$ , det vil si i år 2007.

$\int_{0}^{15} g^{'} (x) d x \approx 3,96$ mill. Tolkning: antall Wikipedia-artikler økte med ca. 3,96 millioner fra 2000 til 2015.

LøsningsforslagKI-generert

Lineær og logistisk modell for Wikipedia-artikler

Vi setter $x$ = antall år etter 2000 og antall artikler i millioner. Datapunktene fra tabellen er:

$x$	2	4	6	8	10	12
Artikler (mill)	0,0197	0,1888	0,8950	2,1530	3,1440	3,8350

Lineær regresjonsmodell:

Lineær regresjon på datapunktene gir:

f (x) = 417 144 x - 1 214 093

For 2020 ( $x = 20$ ):

f (20) = 417 144 \cdot 20 - 1 214 093 \approx 7 128 792 \approx 7,13 mill

Dette stemmer med journalistens påstand om ca. 7 millioner i 2020. Journalisten som spår 7 millioner, kan altså ha brukt en lineær modell.

Logistisk regresjonsmodell:

Logistisk regresjon gir en modell på formen $g (x) = \frac{L}{1 + A \cdot e^{- k x}}$ , med tilnærmede parameterverdier:

g (x) = \frac{4 008 254}{1 + 211,4052 \cdot e^{- 0,6801 x}}

Når $x \to \infty$ nærmer $g (x)$ seg grenseverdien $L \approx 4 008 254 \approx 4,0$ millioner. Dette stemmer med journalistens påstand om at antallet vil stabilisere seg på rundt 4 millioner. Journalisten som spår stabilisering, kan ha brukt en logistisk modell.

Antall artikler vokser raskest der $g^{'} (x)$ har sitt største verdi (toppunkt). Vi tegner grafen til

g^{'} (x) = \frac{576 e^{- 0,68 x}}{{(1 + 211 e^{- 0,68 x})}^{2}}

og avleser maksimum med graftegner. Toppunktet ligger ved $x \approx 7,87$ .

x \approx 7,87 ⟹ år = 2000 + 7,87 \approx 𝟐𝟎𝟎𝟕

Ifølge modellen vokste antall Wikipedia-artikler raskest i år 2007.

Vi beregner det bestemte integralet:

\int_{0}^{15} g^{'} (x) d x

Ved analysens fundamentalteorem er dette lik $g (15) - g (0)$ . Vi bruker graftegner til å beregne integralet numerisk:

\int_{0}^{15} g^{'} (x) d x \approx 3,96

Praktisk tolkning: Integralet av $g^{'} (x)$ over $[0, 15]$ gir den samlede endringen i antall Wikipedia-artikler fra $x = 0$ (år 2000) til $x = 15$ (år 2015). Svaret $\approx 3,96$ millioner betyr at antall tilgjengelige Wikipedia-artikler økte med ca. 3,96 millioner i perioden 2000–2015.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Logistisk vekst, Modellering, Integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Optimering av overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at inntekten $I$ i kroner per dag er gitt ved

I (x) = 3200 \cdot \ln (2,5 x + 1), x \geq 0

Kostnaden $K$ i kroner per dag kan skrives på formen

K (x) = a x^{2} + b x + c

Erfaringer viser at

det koster i alt 3225 kroner å produsere 50 enheter per dag
det koster i alt 4900 kroner å produsere 100 enheter per dag
grensekostnadene ved å produsere 100 enheter er 41 kroner per enhet

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ . Vis at

K^{'} (x) = 0,3 x + 11

Kalkulator

Bestem $I^{'} (100)$ og $K^{'} (100)$ . Hva forteller svarene oss? Avgjør ut fra svarene om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag.

Kalkulator

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

$K (x) = \frac{3}{20} x^{2} + 11 x + 2300$ , $K^{'} (x) = 0,3 x + 11$

$I^{'} (100) = \frac{8000}{251} \approx 31,87$ , $K^{'} (100) = 41$ . Siden $K^{'} (100) > I^{'} (100)$ bør bedriften produsere færre enn 100 enheter per dag.

Overskuddet er størst når bedriften produserer $x \approx 86$ enheter per dag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi har tre betingelser for $K (x) = a x^{2} + b x + c$ :

K (50) = 3225 ⟹ 2500 a + 50 b + c = 3225

K (100) = 4900 ⟹ 10000 a + 100 b + c = 4900

K^{'} (100) = 41 ⟹ 200 a + b = 41

Vi løser likningssystemet med CAS:

a = \frac{3}{20}, b = 11, c = 2300

Dermed er

K (x) = \frac{3}{20} x^{2} + 11 x + 2300

Vi deriverer:

K^{'} (x) = \frac{3}{10} x + 11 = 0,3 x + 11 ✓

Vi deriverer inntektsfunksjonen:

I^{'} (x) = \frac{3200 \cdot 2,5}{2,5 x + 1} = \frac{8000}{2,5 x + 1}

Ved $x = 100$ :

I^{'} (100) = \frac{8000}{251} \approx 31,87

K^{'} (100) = 0,3 \cdot 100 + 11 = 41

$I^{'} (100) \approx 31,87$ betyr at den 101. enheten gir ca. 31,87 kr ekstra i inntekt. $K^{'} (100) = 41$ betyr at den 101. enheten koster 41 kr ekstra å produsere.

Siden grensekostnaden er høyere enn grenseinntekten ved $x = 100$ , vil overskuddet minke dersom bedriften øker produksjonen utover 100 enheter. Bedriften bør derfor produsere færre enn 100 enheter per dag.

Overskuddet er

O (x) = I (x) - K (x) = 3200 \ln (2,5 x + 1) - \frac{3}{20} x^{2} - 11 x - 2300

Overskuddet er størst når $O^{'} (x) = 0$ :

O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x) = \frac{8000}{2,5 x + 1} - 0,3 x - 11 = 0

Vi løser med CAS og får $x \approx 86$ .

Vi kan kontrollere at dette er et maksimum siden $O^{''} (86) < 0$ .

Bedriften bør produsere og selge 86 enheter per dag for at overskuddet skal bli størst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Hypotesetest for politisk oppslutning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved valget i 2015 fikk et bestemt politisk parti en oppslutning på 30,8 % i en stor kommune. Like etter valget ble 1000 personer med stemmerett i kommunen valgt ut tilfeldig og spurt om hvilket parti de ville ha stemt på dersom det var nytt valg.

La $X$ være antallet som stemte på det førstnevnte partiet, blant 1000 tilfeldig valgte personer.

Kalkulator

Forklar hvorfor vi kan anta at $X$ er normalfordelt.

Kalkulator

Bestem forventningsverdien og standardavviket til $X$ .

I mai 2016 ble også 1000 personer med stemmerett i kommunen valgt ut tilfeldig og spurt om hvilket parti de ville ha stemt på dersom det var nytt valg. Av disse svarte 334 personer at de ville ha stemt på det førstnevnte partiet.

Kalkulator

Vurder om dette gir grunnlag for å si at oppslutningen om dette partiet har økt.

Fasit

$X$ kan antas normalfordelt fordi $n = 1000$ er stor ( $n p = 308 > 5$ og $n (1 - p) = 692 > 5$ ).

$μ = 308$ , $σ \approx 14,6$

$p$ -verdi $\approx 0,041 < 0,05$ — forkast $H_{0}$ . Det er statistisk grunnlag for å si at oppslutningen har økt.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er antallet blant 1000 tilfeldig valgte personer som ville ha stemt på partiet. Dersom sannsynligheten for at én person stemmer på partiet er $p$ , og alle er uavhengige, er $X$ binomisk fordelt: $X \sim B (1000; 0,308)$ .

Vi kan anta at $X$ er tilnærmet normalfordelt fordi $n = 1000$ er stor. En tommelfingerregel er at normalfordeling er en god tilnærming når $n p > 5$ og $n (1 - p) > 5$ :

n p = 1000 \cdot 0,308 = 308 > 5

n (1 - p) = 1000 \cdot 0,692 = 692 > 5

Begge betingelsene er oppfylt, så vi kan bruke normalfordelingen som tilnærming.

Forventningsverdien til $X \sim B (n; p)$ er $μ = n p$ :

μ = E (X) = 1000 \cdot 0,308 = 308

Standardavviket er $σ = \sqrt{n p (1 - p)}$ :

σ = S D (X) = \sqrt{1000 \cdot 0,308 \cdot 0,692} = \sqrt{213,136} \approx 14,6

Vi setter opp en hypotesetest med signifikansnivå $α = 0,05$ .

Hypoteser:

H_{0} : p = 0,308 (oppslutningen er uendret)

H_{1} : p > 0,308 (oppslutningen har økt)

Dette er en ensidig test siden vi kun er interessert i om oppslutningen har økt.

Observert verdi: $x = 334$

$p$ -verdi (binomisk):

Vi beregner sannsynligheten for å observere 334 eller flere, gitt at $H_{0}$ er sann:

p -verdi = P (X \geq 334) \approx 0,041

Konklusjon:

Siden $p$ -verdien $0,041 < 0,05$ , forkaster vi $H_{0}$ på 5 %-nivå.

Det er statistisk grunnlag for å si at oppslutningen om partiet har økt siden valget i 2015.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Hypotesetest, Normalfordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Ole Magnus sin sparekonto

Da Ole Magnus ble født, ønsket foreldrene å åpne en sparekonto for ham med en fast årlig rente på 2,5 %. De ønsket at det skulle være 100 000 kroner på kontoen når han fylte 18 år.

Kalkulator

Hvor stort engangsbeløp måtte foreldrene sette inn på kontoen dersom det skulle vokse til 100 000 kroner i løpet av de 18 årene?

Foreldrene vurderte i stedet å sette inn 18 like store årlige beløp, første gang da Ole Magnus ble født.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvor stort dette årlige beløpet måtte være.

Foreldrene vurderte også en spareplan med 18 årlige innskudd, der beløpet som ble satt inn, økte med 2,0 % hvert år.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvor stort det første beløpet måtte være.

Fasit

64117 kr

4358,06 kr

3712,01 kr

Løsningsforslag

For å finne ut hvor stort engangsbeløp foreldrene må betale så kan jeg sette opp en likning. Jeg lar $x$ kr være engangsbeløpet, vekstfaktoren til 2,5 % rente er 1,025 og vi skal la pengene stå på konto i 18 år.

\begin{matrix} x \cdot {1,025}^{18} & = 100 000 \\ x & = \frac{100 000}{{1,025}^{18}} = 64 116,16 \end{matrix}

Foreldrene må sette inn 64 116,16 kr for når Ole Magnus blir født, for at beløpet skal være 100 000 kr når han blir 18 år med 2,5 % årlig rente.

Løsning med CAS

Jeg tenker på dette som en rekke med 18 ledd (18 innbetalinger). Den første innbetalingen skjer når Ole Magnus er 0 år. Hvis vi lar $x$ kr være det årlige beløpet så vil den første innbetalingen ha forrentet seg til

x \cdot {1,025}^{18}

etter 18 år. Den siste innbetalingen (som ble gjort da Ole Magnus fylte 17 år) vil ha forrentet seg til

x \cdot {1,025}^{1}

Vi kan altså se på dette som en endelig geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = x \cdot {1,025}^{1}$ og $k = 1,025$ .

Jeg bruker Sum-funksjonen i CAS og skriver inn Sum(x*1.025^(i),i,1,18)=100000. CAS gir svaret $x = 4358,06$ .

Foreldrene må sette inn 4358,06 kr hvert år dersom Ole Magnus skal ha 100 000 kr på kontoen når han fyller 18 år med 2,5 % årlig rente.

Løsning med Excel

For å løse denne oppgaven i Excel satte jeg opp et regneark med 18 innbetalinger. Jeg tok også med en rad for det året Ole Magnus fylte 18 år, men dette året var uten innbetaling.

For hvert år regnet jeg ut ny saldo med renter ved å multiplisere forrige års saldo med vekstfaktoren. I tillegg lag jeg til årets innskudd. Se formlene jeg har brukt i G6 og nedover.

For å finne riktig årlig beløp brukte jeg Målsøking-funksjonen, og ba Excel finne ut hva celle C5 måtte endres til slik at celle G23 ble 100 000 kr.

Løsning i Excel

Løsning i CAS

Jeg lar $x$ kr være det første beløpet som settes inn. Jeg ser at det vil forrentes til $x \cdot {1,025}^{18}$ . Det andre beløpet vil kun få 17 år med renter, men det vil samtidig være 2 % større enn det første beløpet. Jeg kan skrive det andre og tredje beløpet som

\begin{matrix} x \cdot {1,025}^{17} \cdot {1,02}^{1} \\ x \cdot {1,025}^{16} \cdot {1,02}^{2} \end{matrix}

Når jeg legger sammen leddene får jeg en rekke. Jeg finner ut hva $x$ må være ved å sette rekka lik 100 000 i CAS med kommandoen Sum(x*1.02^(i-1)*1.025^(19-i),i,1,18)=100000 og trykker på x≈. Det er det samme som å løse likningen

\sum_{i = 1}^{18} x \cdot {1.02}^{i - 1} \cdot {1.025}^{19 - i} = 100000

CAS gir meg svaret $x = 3712,01$

Ved å sette inn 3712,01 kr når Ole Magnus blir født, vil han motta 100 000 kr når han blir 18 år gammel, dersom innskuddsbeløpet økes med 2 % per termin og renta er 2,5 %.

Løsning med Excel

Se utklippet over. Jeg endret på formelen for innskuddsbeløpet fra oppgave b, slik at innskuddsbeløpet alltid er 1,02 ganger større enn fjorårets innskudd. I J8 står det for eksempel =J7*(1+$C$7).

For å finne riktig årlig beløp brukte jeg Målsøking-funksjonen, og ba Excel finne ut hva celle C6 måtte endres til slik at celle K23 ble 100 000 kr.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sparing
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner (s2 v16)

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynomdrøfting med nullpunkter og kurve

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Likningssystem fra kvitteringer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Tømmerstokker og aritmetisk tallfølge

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Geometrisk og aritmetisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Logaritmefunksjon og grafidentifikasjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Diskret sannsynlighetsfordeling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Normalfordeling med skravert areal

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-1Wikipedia-artikler og logistisk modell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Optimering av overskudd

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Hypotesetest for politisk oppslutning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Ole Magnus sin sparekonto

Løsning med CAS

Løsning med Excel

Løsning i CAS

Løsning med Excel

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre funksjoner (s2 v16)

Oppgave 1-2·Polynomdrøfting med nullpunkter og kurve

Oppgave 1-3·Likningssystem fra kvitteringer

Oppgave 1-4·Tømmerstokker og aritmetisk tallfølge

Oppgave 1-5·Geometrisk og aritmetisk rekke

Oppgave 1-6·Logaritmefunksjon og grafidentifikasjon

Oppgave 1-7·Diskret sannsynlighetsfordeling

Oppgave 1-8·Normalfordeling med skravert areal

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-1·Wikipedia-artikler og logistisk modell

Oppgave 2-2·Optimering av overskudd

Oppgave 2-3·Hypotesetest for politisk oppslutning

Oppgave 2-4·Ole Magnus sin sparekonto

Løsning med CAS

Løsning med Excel

Løsning i CAS

Løsning med Excel

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner (s2 v16)

Oppgave 1-2Polynomdrøfting med nullpunkter og kurve

Oppgave 1-3Likningssystem fra kvitteringer

Oppgave 1-4Tømmerstokker og aritmetisk tallfølge

Oppgave 1-5Geometrisk og aritmetisk rekke

Oppgave 1-6Logaritmefunksjon og grafidentifikasjon

Oppgave 1-7Diskret sannsynlighetsfordeling

Oppgave 1-8Normalfordeling med skravert areal

Oppgave 2-1Wikipedia-artikler og logistisk modell

Oppgave 2-2Optimering av overskudd

Oppgave 2-3Hypotesetest for politisk oppslutning

Oppgave 2-4Ole Magnus sin sparekonto