S2 Høst 2015

S2 Høst 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner (s2 h15)	KI
2	Funksjonsdrøfting med polynom	KI
3	Polynomdivisjon og delbarhet	KI
4	Løs likningssystem med tre ukjente	KI
5	Geometrisk rekke og uendelig sum	KI
6	Tallfølge og delbarhet	KI
7	Kostnad og overskudd	KI
8	Terningspill og forventningsverdi (s2 h15)	KI
9	Normalfordeling og lyspærer	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Treningsfunksjon og integrasjon	KI
2	Maraton regresjon og logistisk modell	KI
3	Fond og geometrisk rekke	KI
4	Energiinnhold likningssystem CAS	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner (s2 h15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^3 + 2x

g(x) = 3 \cdot e^{2x-1}

h(x) = x^2 \cdot e^x

Fasit

$f'(x) = 3x^2 + 2$

$g'(x) = 6e^{2x-1}$

$h'(x) = xe^x(x+2)$

LøsningsforslagKI-generert

f(x) = x^3 + 2x

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen:

f'(x) = 3x^2 + 2

g(x) = 3 \cdot e^{2x-1}

Vi bruker kjederegelen. Den ytre funksjonen er $e^u$ og den indre er $u = 2x - 1$ , så $u' = 2$ .

g'(x) = 3 \cdot e^{2x-1} \cdot 2 = 6e^{2x-1}

h(x) = x^2 \cdot e^x

Vi bruker produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ med $u = x^2$ og $v = e^x$ :

h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = xe^x(x+2)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Funksjonsdrøfting med polynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

Toppunkt $(-3, 27)$ , bunnpunkt $(1, -5)$

Vendepunkt $(-1, 11)$

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ :

f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x+3)(x-1)

Stasjonære punkter der $f'(x) = 0$ : $x = -3$ eller $x = 1$ .

Vi bruker andrederiverte for å klassifisere:

f''(x) = 6x + 6

$x = -3$ :

f''(-3) = 6 \cdot (-3) + 6 = -12 < 0 \implies \text{toppunkt}

f(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 9 \cdot (-3) = -27 + 27 + 27 = 27

Toppunkt $(-3,\ 27)$ .

$x = 1$ :

f''(1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 > 0 \implies \text{bunnpunkt}

f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 = 1 + 3 - 9 = -5

Bunnpunkt $(1,\ {-5})$ .

Vendepunkt der $f''(x) = 0$ :

6x + 6 = 0 \implies x = -1

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn: $f''(-2) = -6 < 0$ og $f''(0) = 6 > 0$ — fortegnsskifte bekreftet.

f(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) = -1 + 3 + 9 = 11

Vendepunkt $(-1,\ 11)$ .

Grafen er et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient (stigende for store $|x|$ ). Nøkkelpunktene gir følgende forløp:

$f$ stiger mot toppunktet $(-3,\ 27)$
$f$ synker fra $(-3,\ 27)$ til bunnpunktet $(1,\ {-5})$
$f$ har et vendepunkt i $(-1,\ 11)$ midtveis mellom topp og bunn
$f$ stiger igjen etter $x = 1$

En skisse kan tegnes ved å markere $(-3,\ 27)$ , $(-1,\ 11)$ og $(1,\ {-5})$ i et koordinatsystem og trekke en jevn S-kurve gjennom disse punktene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og delbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at polynomet $x^3 - ax^2 + 2ax - 8$ alltid er delelig med $(x - 2)$ .

Forkort brøken

\frac{x^3 - x^2 + 2x - 8}{x - 2}

Fasit

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ for alle verdier av $a$ .

$x^2 + x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorteoremet: et polynom $p(x)$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $p(2) = 0$ .

Vi setter $x = 2$ inn i $p(x) = x^3 - ax^2 + 2ax - 8$ :

p(2) = 2^3 - a \cdot 2^2 + 2a \cdot 2 - 8 = 8 - 4a + 4a - 8 = 0

Siden $p(2) = 0$ uansett verdien av $a$ , er polynomet alltid delelig med $(x - 2)$ .

Med $a = 1$ er telleren $x^3 - x^2 + 2x - 8$ . Vi utfører polynomdivisjon:

x^3 - x^2 + 2x - 8 : (x - 2)

x^3 - x^2 + 2x - 8 = (x-2) \cdot x^2 + x^2 + 2x - 8

x^2 + 2x - 8 = (x-2) \cdot x + 4x - 8

4x - 8 = (x-2) \cdot 4

Altså:

x^3 - x^2 + 2x - 8 = (x-2)(x^2 + x + 4)

Dermed:

\frac{x^3 - x^2 + 2x - 8}{x - 2} = x^2 + x + 4

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Argumentasjon

Oppgave 1-4 : Løs likningssystem med tre ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

\begin{aligned} x + 2y - z &= 2 \\ 2x - y + z &= 3 \\ 3x - 2y + 2z &= 2 \end{aligned}

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller de tre likningene L1, L2 og L3:

\begin{aligned} \text{L1:} &\quad x + 2y - z = 2 \\ \text{L2:} &\quad 2x - y + z = 3 \\ \text{L3:} &\quad 3x - 2y + 2z = 2 \end{aligned}

Steg 1: Eliminer $z$ og finn $x$

Vi regner ut $2 \cdot \text{L2} - \text{L3}$ :

2(2x - y + z) - (3x - 2y + 2z) = 2 \cdot 3 - 2

4x - 2y + 2z - 3x + 2y - 2z = 4

x = 4

Steg 2: Sett inn $x = 4$ og lag to nye likninger

I L1: $\quad 4 + 2y - z = 2 \implies 2y - z = -2 \quad \text{(L4)}$

I L2: $\quad 8 - y + z = 3 \implies {-y + z = -5} \quad \text{(L5)}$

Steg 3: Løs systemet L4 og L5

Vi adderer L4 og L5:

(2y - z) + (-y + z) = -2 + (-5)

y = -7

Fra L5: $\quad -(-7) + z = -5 \implies z = -5 - 7 = -12$

Svar: $x = 4,\; y = -7,\; z = -12$

Prøve:

L1: $4 + 2(-7) - (-12) = 4 - 14 + 12 = 2$ ✓
L2: $2(4) - (-7) + (-12) = 8 + 7 - 12 = 3$ ✓
L3: $3(4) - 2(-7) + 2(-12) = 12 + 14 - 24 = 2$ ✓

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem

Oppgave 1-5 : Geometrisk rekke og uendelig sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}

Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av rekken.

Bestem summen av den uendelige rekken $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$

Fasit

$S_n = 2\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$

$S = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker kvotienten mellom påfølgende ledd:

k = \frac{a_{i}}{a_{i-1}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}

Kvotienten er konstant, så rekken er geometrisk med første ledd $a_1 = 1$ og kvotient $k = \dfrac{1}{2}$ .

Sumformelen for en geometrisk rekke er

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}

Vi setter inn $a_1 = 1$ og $k = \dfrac{1}{2}$ :

S_n = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)

Siden $|k| = \dfrac{1}{2} < 1$ konvergerer den uendelige rekken. Summen er

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker

Oppgave 1-6 : Tallfølge og delbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En tallfølge $\{a_n\}$ er gitt ved $a_n = n^3 + 1$

Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.

Vis at leddene $a_1, a_2, a_3$ og $a_4$ er delelige med henholdsvis 2, 3, 4 og 5.

Vis at $a_n$ er delelig med $n + 1$

Fasit

$a_1 = 2$ , $a_2 = 9$ , $a_3 = 28$ , $a_4 = 65$

$a_1 = 2$ er delelig med 2, $a_2 = 9$ er delelig med 3, $a_3 = 28$ er delelig med 4, $a_4 = 65$ er delelig med 5.

$n^3 + 1 = (n+1)(n^2 - n + 1)$ , som er delelig med $n+1$ for alle naturlige tall $n$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $n = 1, 2, 3, 4$ i formelen $a_n = n^3 + 1$ :

a_1 = 1^3 + 1 = 2

a_2 = 2^3 + 1 = 9

a_3 = 3^3 + 1 = 28

a_4 = 4^3 + 1 = 65

Vi sjekker at hvert ledd er delelig med henholdsvis 2, 3, 4 og 5:

\frac{a_1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a_1 \text{ er delelig med } 2

\frac{a_2}{3} = \frac{9}{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad a_2 \text{ er delelig med } 3

\frac{a_3}{4} = \frac{28}{4} = 7 \quad \Rightarrow \quad a_3 \text{ er delelig med } 4

\frac{a_4}{5} = \frac{65}{5} = 13 \quad \Rightarrow \quad a_4 \text{ er delelig med } 5

Vi ønsker å vise at $a_n = n^3 + 1$ er delelig med $n + 1$ for alle naturlige tall $n$ .

Vi faktoriserer $n^3 + 1$ ved å bruke at $n = -1$ er en rot (siden $(-1)^3 + 1 = 0$ ), og utfører polynomdivisjon:

n^3 + 1 = (n + 1)(n^2 - n + 1)

Vi kan verifisere dette ved å gange ut:

(n+1)(n^2 - n + 1) = n^3 - n^2 + n + n^2 - n + 1 = n^3 + 1 \checkmark

Siden $n^3 + 1 = (n+1)(n^2 - n + 1)$ , er $(n+1)$ en faktor i $a_n$ for alle naturlige tall $n$ . Dermed er $a_n$ delelig med $n + 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Tallfølger, Bevis, Argumentasjon

Oppgave 1-7 : Kostnad og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $x$ være antall produserte og solgte enheter for en bedrift. De totale kostnadene $K(x)$ er gitt ved

K(x) = 20000 + 120x + 0{,}05x^2

Prisen $p(x)$ for én enhet er gitt ved

p(x) = 480 - 0{,}1x

Bestem et uttrykk for inntekten $I(x)$ .

Bestem et uttrykk for overskuddet $O(x)$ . Bestem den produksjonsmengden som gir det største overskuddet.

Fasit

$I(x) = 480x - 0{,}1x^2$

$O(x) = -0{,}15x^2 + 360x - 20000$ , maksimalt overskudd ved $x = 1200$ enheter

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er prisen per enhet multiplisert med antall enheter:

I(x) = p(x) \cdot x = (480 - 0{,}1x) \cdot x = 480x - 0{,}1x^2

Overskuddet er inntekt minus kostnader:

O(x) = I(x) - K(x) = (480x - 0{,}1x^2) - (20000 + 120x + 0{,}05x^2)

O(x) = -0{,}15x^2 + 360x - 20000

Vi deriverer og setter den deriverte lik null:

O'(x) = -0{,}3x + 360 = 0

x = \frac{360}{0{,}3} = 1200

For å bekrefte at dette er et maksimumspunkt, bruker vi andrederiverte:

O''(x) = -0{,}3 < 0

Siden $O''(1200) < 0$ , er $x = 1200$ et maksimumspunkt.

Bedriften oppnår størst overskudd ved å produsere 1200 enheter.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon

Oppgave 1-8 : Terningspill og forventningsverdi (s2 h15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 200 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst.

La $a$ være prisen en spiller må betale for ett spill, og $X$ utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang.

Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor

$x$	$a$	$a - 200$	$a - 50$
$P(X = x)$	$\frac{27}{36}$

Hva bør kasinoet sette prisen $a$ til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?

Fasit

$P(X = a - 200) = \frac{3}{36}$ , $P(X = a - 50) = \frac{6}{36}$

$a = 30$ kr

LøsningsforslagKI-generert

Med to terninger er det $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall.

Sum lik 10 kan oppnås på følgende måter: $(4, 6)$ , $(5, 5)$ , $(6, 4)$ — det vil si 3 måter.

Sum lik 7 kan oppnås på følgende måter: $(1, 6)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(5, 2)$ , $(6, 1)$ — det vil si 6 måter.

De resterende $36 - 3 - 6 = 27$ utfallene gir verken sum 10 eller sum 7.

Sannsynlighetsfordelingen til $X$ :

$x$	$a$	$a - 200$	$a - 50$
$P(X = x)$	$\dfrac{27}{36}$	$\dfrac{3}{36}$	$\dfrac{6}{36}$

Vi setter opp forventningsverdien og løser $\text{E}(X) = 5$ :

\text{E}(X) = a \cdot \frac{27}{36} + (a - 200) \cdot \frac{3}{36} + (a - 50) \cdot \frac{6}{36} = 5

Multipliserer begge sider med 36:

27a + 3(a - 200) + 6(a - 50) = 180

27a + 3a - 600 + 6a - 300 = 180

36a - 900 = 180

36a = 1080

a = 30

Kasinoet bør sette prisen til 30 kroner per spill.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet

Oppgave 1-9 : Normalfordeling og lyspærer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

Levetiden $X$ til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid $\mu = 2000 \mathrm{~timer}$ og med et standardavvik $\sigma = 400 \mathrm{~timer}$ .

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.

Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn $x$ timer. Bestem $x$ .

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X$ ? Begrunn svaret.

Fire normalfordelingsgrafene A, B, C og D

Fasit

$P(X < 1600) \approx 0{,}1587 = 15{,}87\ \%$

$x = 1488\ \text{timer}$

Graf C

LøsningsforslagKI-generert

X er normalfordelt med $\mu = 2000$ og $\sigma = 400$ .

Vi standardiserer og slår opp i tabellen for standard normalfordeling:

P(X < 1600) = P\!\left(Z < \frac{1600 - 2000}{400}\right) = P(Z < -1{,}00)

Fra tabellen leser vi av $P(Z < -1{,}00) = 0{,}1587$ .

Sannsynligheten er ca. 15,87 %.

Vi ønsker $x$ slik at $P(X > x) = 0{,}90$ .

P(X > x) = 0{,}90 \implies P(X < x) = 0{,}10

Vi standardiserer:

P\!\left(Z < \frac{x - 2000}{400}\right) = 0{,}10

Fra tabellen finner vi $z$ -verdien som gir $P(Z < z) = 0{,}10$ . Vi ser at $P(Z < -1{,}28) \approx 0{,}1003$ , så $z \approx -1{,}28$ .

Da er:

\frac{x - 2000}{400} = -1{,}28 \implies x = 2000 + (-1{,}28) \cdot 400 = 2000 - 512 = 1488

$x = 1488$ timer.

X er normalfordelt med $\mu = 2000$ og $\sigma = 400$ . Grafen skal ha:

Toppunkt (symmetriakse) ved $x = 2000$
Ca. 99 % av arealet innenfor $\mu \pm 3\sigma = [800,\ 3200]$ , men den smalner raskt utenfor $\mu \pm 2\sigma = [1200,\ 2800]$

Graf A har sentrum ved 2000, men er altfor bred (stor spredning). Graf B har sentrum ved ca. 1200. Graf D har sentrum ved ca. 2500. Graf C har sentrum ved 2000 og riktig spredning.

Graf C illustrerer $X$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Oppgave 2-1 : Treningsfunksjon og integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria trener på et apparat i et treningssenter. La $f(x)$ være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, $x$ minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 42(1 - e^{-x}) + 1{,}05x \qquad , \qquad x \geq 0

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min.

Det samlede energiforbruket $E$ , målt i kilojoule (kJ), i de første $t$ minuttene av treningen er gitt ved

E(t) = \int_0^t f(x) \, \mathrm{d}x

Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.

Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.

Fasit

Se graf.

$f(3) \approx 43{,}1$ kJ/min. Treningseffekten er 50 kJ/min etter ca. $x \approx 7{,}6$ min.

$E(10) = \int_0^{10} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 430{,}5$ kJ.

$t \approx 24{,}5$ min.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker graftegner til å tegne grafen til $f(x) = 42(1 - e^{-x}) + 1{,}05x$ .

Graf av treningsfunksjonen med markert punkt (3, 43,1) og skjæring med y = 50

Vi leser av grafen ved $x = 3$ :

f(3) = 42(1 - e^{-3}) + 1{,}05 \cdot 3 \approx 43{,}1 \text{ kJ/min}

For å finne når treningseffekten er 50 kJ/min tegner vi linjen $y = 50$ og finner skjæringspunktet med grafen til $f$ . Vi leser av at $f(x) = 50$ når $x \approx 7{,}6$ min.

Det samlede energiforbruket de første 10 minuttene er

E(10) = \int_0^{10} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 430{,}5 \text{ kJ}

Vi beregner dette numerisk med graftegneren (CAS/integralkommando).

Vi må løse likningen

E(t) = \int_0^t f(x) \, \mathrm{d}x = 1300

Vi løser likningen numerisk. Prøver med $t = 24$ :

E(24) = \int_0^{24} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 1268 \text{ kJ}

Prøver med $t = 25$ :

E(25) = \int_0^{25} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 1336 \text{ kJ}

Vi ser at svaret er mellom 24 og 25. Numerisk løsning gir $t \approx 24{,}5$ min.

Maria må trene i ca. 24,5 minutter for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Modellering, Funksjoner

Oppgave 2-2 : Maraton regresjon og logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen.

I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år.

Menn:

Årstall	1909	1913	1920	1935	1960	1970	1988
Fart (m/s)	4,38	4,51	4,61	4,81	5,20	5,43	5,55

Kvinner:

Årstall	1963	1967	1970	1973	1975	1979	1985
Fart (m/s)	3,24	3,75	3,85	4,22	4,44	4,77	4,98

Lag lineære modeller $f$ og $g$ for farten til menn og kvinner. La $x$ være antall år etter 1900.

Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene?

Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på $5{,}72 \mathrm{~m/s}$ , mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på $5{,}01 \mathrm{~m/s}$ .

Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene?

En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp $x$ år etter 1900 er gitt ved:

h(x) = \frac{6{,}65}{1 + 0{,}751 e^{-0{,}012x}}

Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.

Fasit

$f(x) = 0{,}015x + 4{,}293$ (menn), $g(x) = 0{,}081x - 1{,}745$ (kvinner)

Kvinner løper like raskt som menn i år 1991 ( $x \approx 91{,}6$ )

Modellene er dårlige ved ekstrapolering. For menn: modellen gir $f(114) \approx 6{,}01$ mot faktisk $5{,}72$ (avvik $5\,\%$ ). For kvinner: $g(114) \approx 7{,}49$ mot faktisk $5{,}01$ (avvik $\approx 49\,\%$ ). Spesielt kvinnemodellen er uegnet utenfor dataintervallet.

Maratonfart $\approx 5{,}86\,\text{m/s}$ oppnås av den logistiske modellen ved $x \approx 143$ , dvs. år 2043.

LøsningsforslagKI-generert

Lineær regresjon for maratonfart

Vi legger inn datapunktene i et digitalt verktøy og utfører lineær regresjon. La $x$ være antall år etter 1900.

Menn:

f(x) = 0{,}015x + 4{,}293

Kvinner:

g(x) = 0{,}081x - 1{,}745

Vi finner skjæringspunktet mellom $f$ og $g$ :

0{,}015x + 4{,}293 = 0{,}081x - 1{,}745

4{,}293 + 1{,}745 = 0{,}081x - 0{,}015x

6{,}038 = 0{,}066x

x \approx 91{,}5

Det vil si at modellene spår at kvinner løper like raskt som menn omtrent $91{,}5$ år etter 1900, altså rundt år 1991.

Vi beregner hva modellene gir i 2014 ( $x = 114$ ):

f(114) = 0{,}015 \cdot 114 + 4{,}293 \approx 6{,}01\,\text{m/s}

g(114) = 0{,}081 \cdot 114 - 1{,}745 \approx 7{,}49\,\text{m/s}

Faktiske rekorder i 2014 var $5{,}72\,\text{m/s}$ (menn) og $5{,}01\,\text{m/s}$ (kvinner). Avvikene er henholdsvis ca. $5\,\%$ og ca. $49\,\%$ .

Modellene er lineære og basert på relativt få datapunkter over et begrenset tidsintervall. De passer godt innenfor dataintervallet, men ekstrapolering langt frem i tid er upålitelig. Det er ikke rimelig å anta at farten kan øke lineært uten begrensning — en løper kan ikke holde vilkårlig høy fart. Kvinnemodellen er spesielt unøyaktig fordi den er basert på en periode med rask fremgang som ikke fortsatte.

For en sub-2-times maraton må gjennomsnittsfarten være:

v = \frac{42\,195\,\text{m}}{2 \cdot 3600\,\text{s}} = \frac{42\,195}{7200} \approx 5{,}86\,\text{m/s}

Den logistiske modellen er:

h(x) = \frac{6{,}65}{1 + 0{,}751\,e^{-0{,}012x}}

Vi setter $h(x) = 5{,}86$ :

\frac{6{,}65}{1 + 0{,}751\,e^{-0{,}012x}} = 5{,}86

1 + 0{,}751\,e^{-0{,}012x} = \frac{6{,}65}{5{,}86} \approx 1{,}1348

0{,}751\,e^{-0{,}012x} \approx 0{,}1348

e^{-0{,}012x} \approx \frac{0{,}1348}{0{,}751} \approx 0{,}1795

-0{,}012x = \ln(0{,}1795) \approx -1{,}717

x \approx \frac{1{,}717}{0{,}012} \approx 143

Ifølge den logistiske modellen vil maraton første gang kunne løpes på under to timer ved $x \approx 143$ , dvs. rundt år 2043.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Logistisk vekst, Modellering, Lineære funksjoner

Oppgave 2-3 : Fond og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år.

Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.

Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?

Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?

Fasit

5 000 000 kr per år

Fondet er tomt i løpet av 2025 (etter 10 hele utbetalinger)

LøsningsforslagKI-generert

Fondet må aldri gå tomt, så kapitalen etter utdeling må være minst like stor som kapitalen før utdeling. Det betyr at utdelingen maksimalt kan tilsvare avkastningen.

x_{\max} = 10\,\% \cdot 50\,000\,000 = 0{,}10 \cdot 50\,000\,000 = 5\,000\,000 \text{ kr}

Alternativt via uendelig geometrisk rekke:

Nåverdien av alle fremtidige utbetalinger $x$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Første utbetaling skjer 31.12.2015, altså om 1 år:

S = \frac{x}{1{,}1} + \frac{x}{1{,}1^2} + \frac{x}{1{,}1^3} + \cdots = \frac{\frac{x}{1{,}1}}{1 - \frac{1}{1{,}1}} = \frac{x}{0{,}1}

For at fondet aldri skal gå tomt, må nåverdien av alle utbetalinger være lik fondets verdi:

\frac{x}{0{,}1} = 50\,000\,000 \implies x = 5\,000\,000 \text{ kr}

Maksimalt beløp per år er 5 millioner kroner.

La $n$ være antall år etter opprettelsen (første utbetaling etter år 1). Fondets verdi etter $n$ utbetalinger er:

F_n = 50 \cdot 1{,}1^n - 8 \cdot (1 + 1{,}1 + 1{,}1^2 + \cdots + 1{,}1^{n-1})

Summen av den geometriske rekken er $\dfrac{1{,}1^n - 1}{1{,}1 - 1} = \dfrac{1{,}1^n - 1}{0{,}1} = 10 \cdot (1{,}1^n - 1)$ , så:

F_n = 50 \cdot 1{,}1^n - 8 \cdot 10 \cdot (1{,}1^n - 1) = 50 \cdot 1{,}1^n - 80 \cdot (1{,}1^n - 1)

F_n = 50 \cdot 1{,}1^n - 80 \cdot 1{,}1^n + 80 = 80 - 30 \cdot 1{,}1^n

Vi setter $F_n = 0$ :

80 - 30 \cdot 1{,}1^n = 0 \implies 1{,}1^n = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}

n = \frac{\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)}{\ln(1{,}1)} \approx \frac{0{,}9808}{0{,}09531} \approx 10{,}29

Siden $n \approx 10{,}29$ er fondet tomt mellom år 10 og år 11. Fondet kan dele ut 8 millioner kroner i 10 hele år (utbetalingene skjer 31.12.2015 t.o.m. 31.12.2024). Det 11. året er kapitalen for liten til full utdeling, og fondet er tomt i løpet av 2025.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Rente, Rekker

Oppgave 2-4 : Energiinnhold likningssystem CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner.

Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene.

	Smøreost	Helmelk	Hvitost
Fett	25 g	3,5 g	27 g
Karbohydrater	2 g	4,5 g	0 g
Proteiner	6 g	3,3 g	27 g
Energiinnhold	1010 kJ	270 kJ	1500 kJ

Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kJ) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.

Fasit

1 g fett gir $\approx 33{,}7$ kJ, 1 g karbohydrater gir $\approx 17{,}8$ kJ, 1 g proteiner gir $\approx 21{,}8$ kJ.

LøsningsforslagKI-generert

La $f$ = energiinnhold (kJ) per gram fett, $k$ = kJ per gram karbohydrater og $p$ = kJ per gram proteiner.

Fra tabellen setter vi opp likningssystemet:

\begin{cases} 25f + 2k + 6p = 1010 \\ 3{,}5f + 4{,}5k + 3{,}3p = 270 \\ 27f + 0k + 27p = 1500 \end{cases}

Vi løser systemet i CAS med kommandoen:

LøsLigningssystem({25f + 2k + 6p = 1010, 3,5f + 4,5k + 3,3p = 270, 27f + 27p = 1500}, {f, k, p})

CAS gir:

f \approx 33{,}74, \quad k \approx 17{,}76, \quad p \approx 21{,}81

1 g fett gir $\approx 33{,}7$ kJ, 1 g karbohydrater gir $\approx 17{,}8$ kJ og 1 g proteiner gir $\approx 21{,}8$ kJ.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Cas, Modellering

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner (s2 h15)

Oppgave 1-2 : Funksjonsdrøfting med polynom

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og delbarhet

Oppgave 1-4 : Løs likningssystem med tre ukjente

Oppgave 1-5 : Geometrisk rekke og uendelig sum

Oppgave 1-6 : Tallfølge og delbarhet

Oppgave 1-7 : Kostnad og overskudd

Oppgave 1-8 : Terningspill og forventningsverdi (s2 h15)

Oppgave 1-9 : Normalfordeling og lyspærer

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Treningsfunksjon og integrasjon

Oppgave 2-2 : Maraton regresjon og logistisk modell

Oppgave 2-3 : Fond og geometrisk rekke

Oppgave 2-4 : Energiinnhold likningssystem CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave