S2 Eksempeloppgave 2015 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

Deriver $f (x) = 3 x^{3} - 2 x + 5$ .

Deriver $g (x) = x e^{2 x}$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 2$

$g^{'} (x) = e^{2 x} (1 + 2 x)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd:

f (x) = 3 x^{3} - 2 x + 5

f^{'} (x) = 3 \cdot 3 x^{2} - 2 = 9 x^{2} - 2

Funksjonen $g (x) = x e^{2 x}$ er et produkt av $u (x) = x$ og $v (x) = e^{2 x}$ . Produktregelen sier at $g^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$ .

Vi har $u^{'} (x) = 1$ og $v^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ , som gir

g^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} (1 + 2 x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Derivasjon med kvotientregelen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $h^{'} (2)$ når $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$ .

Fasit

$h^{'} (2) = 0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker kvotientregelen på $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$ med teller $u (x) = e^{x}$ og nevner $v (x) = x - 1$ . Da er $u^{'} (x) = e^{x}$ og $v^{'} (x) = 1$ , og

h^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}} = \frac{e^{x} (x - 1) - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

Vi setter inn $x = 2$ :

h^{'} (2) = \frac{e^{2} (2 - 2)}{{(2 - 1)}^{2}} = \frac{e^{2} \cdot 0}{1} = 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24

Vis at $P (3) = 0$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Forkort brøken $\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24}{2 x^{2} - 8}$ .

Fasit

$P (3) = 0$

$P (x) = 2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)$

$x - 3$ (for $x \neq \pm 2$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 3$ inn i uttrykket for $P (x)$ :

P (3) = 2 \cdot 3^{3} - 6 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 24 = 54 - 54 - 24 + 24 = 0

Siden $P (3) = 0$ , er $x = 3$ et nullpunkt for $P$ .

Siden $P (3) = 0$ , vet vi fra a) at $(x - 3)$ er en faktor i $P (x)$ . Vi utfører polynomdivisjon:

(2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24) \div (x - 3) = 2 x^{2} - 8

Utregning:

2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24 - \underset{2 x^{3} - 6 x^{2}}{\underset{⏟}{(2 x^{2}) (x - 3)}} = - 8 x + 24

- 8 x + 24 - \underset{- 8 x + 24}{\underset{⏟}{(- 8) (x - 3)}} = 0

Dermed er $P (x) = (x - 3) (2 x^{2} - 8) = 2 (x - 3) (x^{2} - 4)$ .

Vi faktoriserer $x^{2} - 4$ som en konjugatsetning: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Dette gir

P (x) = 2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)

Vi bruker faktoriseringen fra b) i telleren, og faktoriserer nevneren som en konjugatsetning:

\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24}{2 x^{2} - 8} = \frac{2 (x - 3) (x - 2) (x + 2)}{2 (x - 2) (x + 2)}

Vi forkorter mot felles faktorer $2$ , $(x - 2)$ og $(x + 2)$ (forutsatt at $x \neq \pm 2$ , slik at nevneren ikke er null), og står igjen med

\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24}{2 x^{2} - 8} = x - 3, x \neq \pm 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Rekke med delte differanser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig rekke er gitt ved

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + \dots

$n$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	1
2	7	8	$2^{3}$
3	19
4
5		125	$5^{3}$
6	91	216

Skriv av og fyll ut tabellen. Foreslå en formel for $S_{n}$ .

Forklar at $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ . Bruk dette til å vise at $a_{n}$ også kan skrives $a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ .

Fasit

$S_{n} = n^{3}$

$a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi fyller ut tabellen ved å legge sammen leddene fra rekken $1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + \dots$ :

$n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1	$1^3$
2	7	8	$2^3$
3	19	27	$3^3$
4	37	64	$4^3$
5	61	125	$5^3$
6	91	216	$6^3$

Vi ser at partialsummen $S_{n}$ alltid er lik $n$ opphøyd i tredje, så vi foreslår formelen

S_{n} = n^{3}

Partialsummen $S_{n}$ er summen av de $n$ første leddene, mens $S_{n - 1}$ er summen av de $n - 1$ første leddene. Differansen mellom disse to summene er nettopp det $n$ -te leddet, altså

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

Vi setter inn formelen $S_{n} = n^{3}$ fra a):

a_{n} = n^{3} - {(n - 1)}^{3}

Vi utvider ${(n - 1)}^{3} = n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1$ , som gir

a_{n} = n^{3} - (n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1) = n^{3} - n^{3} + 3 n^{2} - 3 n + 1 = 3 n^{2} - 3 n + 1

Dette bekrefter at $a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x, x \in ⟨ - 1, 4 ⟩

Bestem eventuelle nullpunkter, toppunkter og bunnpunkter for $f$ .

Tegn grafen til $f$ .

Fasit

Nullpunkter: $x = 0$ og $x = 2$ . Toppunkt: $(\frac{2}{3}, \frac{32}{27})$ . Bunnpunkt: $(2, 0)$ .

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer $f (x)$ for å finne nullpunktene:

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = x (x^{2} - 4 x + 4) = x {(x - 2)}^{2}

Dette gir $x = 0$ og $x = 2$ (dobbel rot). Begge ligger i intervallet $⟨ - 1, 4 ⟩$ .

For å finne topp- og bunnpunkt deriverer vi:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 4

Vi løser $f^{'} (x) = 0$ med abc-formelen:

x = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}

Dette gir $x = \frac{2}{3}$ og $x = 2$ .

Fortegnslinje for $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 4 = (3 x - 2) (x - 2)$ (positiv koeffisient foran $x^{2}$ , så $f^{'}$ er positiv utenfor røttene og negativ mellom dem):

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

Dette betyr at $x = \frac{2}{3}$ er et toppunkt, og $x = 2$ er et bunnpunkt.

Funksjonsverdiene:

f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - 4 {(\frac{2}{3})}^{2} + 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{48}{27} + \frac{72}{27} = \frac{32}{27}

f (2) = 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 = 8 - 16 + 8 = 0

Toppunktet er $(\frac{2}{3}, \frac{32}{27})$ og bunnpunktet er $(2, 0)$ (som også er det doble nullpunktet).

Vi bruker punktene fra a) til å tegne grafen for $x \in ⟨ - 1, 4 ⟩$ :

Grafen kommer fra nedre venstre hjørne (mot $f (- 1) = - 1 - 4 - 4 = - 9$ , som ikke er med i intervallet),
stiger til toppunktet $(\frac{2}{3}, \frac{32}{27})$ ,
krysser $x$ -aksen i $x = 0$ underveis,
synker til bunnpunktet $(2, 0)$ , der grafen tangerer $x$ -aksen uten å krysse den,
stiger deretter mot $f (4) = 64 - 64 + 16 = 16$ (heller ikke med i intervallet).

Grafen er altså en typisk S-formet tredjegradskurve som starter lavt til venstre, har en topp ved $x = \frac{2}{3}$ , en bunn ved $x = 2$ (der den akkurat berører $x$ -aksen), og stiger videre mot høyre.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk $f (t)$ . Funksjonsverdiene er målt i tonn, og $t$ er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.

Du får vite at: $f (0) = 300$ , $f^{'} (10) = 0$ og $f^{''} (10) = - 10$

Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?

Fasit

$Ved starten sprutet det ut 300 tonn lava per time. Etter 10 timer var utstrømningen på sitt største.$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tolker de tre opplysningene hver for seg.

$f (0) = 300$ : Dette forteller at ved tidspunktet $t = 0$ , altså i det utbruddet startet, sprutet vulkanen ut lava med en hastighet på $300 tonn$ per time.

$f^{'} (10) = 0$ : Den deriverte $f^{'} (t)$ forteller om hvor raskt utstrømningshastigheten $f (t)$ endrer seg. At $f^{'} (10) = 0$ betyr at $f$ har et toppunkt eller bunnpunkt ved $t = 10$ , altså at utstrømningshastigheten verken øker eller minker akkurat i dette øyeblikket.

$f^{''} (10) = - 10$ : Siden den dobbeltderiverte er negativ i $t = 10$ , vet vi at grafen til $f$ er konkav (vender den hule siden ned) der. Sammen med $f^{'} (10) = 0$ betyr dette at $t = 10$ er et toppunkt for $f$ , ikke et bunnpunkt.

Konklusjon: Vulkanutbruddet startet med en utstrømning på $300 tonn$ lava per time. Etter $10 timer$ nådde utstrømningshastigheten sitt maksimum, og etter dette tidspunktet begynte utstrømningen trolig å avta igjen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Graftolkning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Grensekostnad lik grenseinntekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt, $K^{'} (x) = I^{'} (x)$ , når vi skal finne størst overskudd.

Fasit

$O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 ⟺ I^{'} (x) = K^{'} (x)$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddet $O (x)$ er differansen mellom inntekt og kostnad:

O (x) = I (x) - K (x)

For å finne hvor overskuddet er størst, må vi finne et eventuelt toppunkt for $O (x)$ . Vi deriverer:

O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x)

Et toppunkt kan bare oppstå der den deriverte er lik null, altså der

O^{'} (x) = 0 \Rightarrow I^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Rightarrow I^{'} (x) = K^{'} (x)

Det vil si der grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Dette er nødvendig, men ikke tilstrekkelig, for et toppunkt: vi må også sjekke at $O$ faktisk har et maksimum (og ikke et minimum) i dette punktet, for eksempel ved å se på fortegnet til $O^{'} (x)$ på hver side, eller ved å bruke $O^{''} (x) < 0$ , altså $I^{''} (x) < K^{''} (x)$ .

Konklusjonen er at overskuddet er størst i det punktet der grensekostnaden er lik grenseinntekten, fordi det er her den momentane veksten i inntekt akkurat oppveier den momentane veksten i kostnad — øker produksjonen forbi dette punktet, vokser kostnadene raskere enn inntektene, og overskuddet minker.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Normalfordelt intelligens

Intelligenskvotienten (IQ) er et mål på intelligensen til en person. Antall poeng som en tilfeldig person skårer på en IQ-test $X$ antar vi i denne oppgaven å være normalfordelt med forventningsverdi $μ = 100$ og standardavvik $σ = 15$ .

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng på en slik IQ-test.

Mensa Norge er en forening for de skårer høyest på slike IQ-tester. Kun 2 % av befolkningen kan bli medlem av Mensa.

Hvor mange poeng må du minst skåre på en slik test, for å kunne bli medlem av Mensa?

Fasit

ca. $37 %$

minst $131$ IQ-poeng

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 100$ og $σ = 15$ .

Vi standardiserer og slår opp i normalfordelingstabellen:

Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{95 - 100}{15} = \frac{- 5}{15} = - \frac{1}{3} \approx - 0,33

Fra normalfordelingstabellen:

P (X < 95) = P (Z < - 0,33) \approx 0,3707

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person skårer under 95 poeng er $\approx 37 %$ .

Vi vil finne $x$ slik at $P (X \geq x) = 0,02$ , altså $P (X < x) = 0,98$ .

Vi slår opp baklengs i normalfordelingstabellen og finner $z$ -verdien der $Φ (z) = 0,98$ :

z \approx 2,05

Nå regner vi om til IQ-poeng:

x = μ + z \cdot σ = 100 + 2,05 \cdot 15 = 100 + 30,75 = 130,75

Siden IQ-skåren er et heltall, runder vi opp:

x = 131

Du må minst skåre $131$ IQ-poeng for å bli medlem av Mensa.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Temaer: Standard normalfordeling, Normalfordeling, Sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Mynter og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre gutter har tre typer mynter med ulik verdi i lommene. Tabellen nedenfor viser fordelingen av myntene.

Navn	Antall mynter av type 1	Antall mynter av type 2	Antall mynter av type 3	Sum i kroner
Sebastian	3	2	4	120
Markus	2	3	2	75
Matthias	2	5	3	105

Bestem verdien til de tre mynttypene ved å løse et likningssystem.

Fasit

Type 1: $10 kr$ , type 2: $5 kr$ , type 3: $20 kr$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ , $y$ og $z$ være verdien i kroner av henholdsvis mynttype 1, 2 og 3.

Ut fra tabellen får vi likningssystemet

{\begin{matrix} 3 x + 2 y + 4 z = 120 \\ 2 x + 3 y + 2 z = 75 \\ 2 x + 5 y + 3 z = 105 \end{matrix}

Vi trekker likning 2 fra likning 3:

(2 x + 5 y + 3 z) - (2 x + 3 y + 2 z) = 105 - 75

2 y + z = 30 \Rightarrow z = 30 - 2 y

Vi ganger likning 1 med 2 og likning 2 med 3, og trekker fra hverandre for å eliminere $x$ :

6 x + 4 y + 8 z = 240

6 x + 9 y + 6 z = 225

Vi trekker den andre fra den første:

- 5 y + 2 z = 15

Setter inn $z = 30 - 2 y$ :

- 5 y + 2 (30 - 2 y) = 15

- 5 y + 60 - 4 y = 15

- 9 y = - 45 \Rightarrow y = 5

Da er $z = 30 - 2 \cdot 5 = 20$ .

Vi setter inn i likning 2 for å finne $x$ :

2 x + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 20 = 75

2 x + 15 + 40 = 75 \Rightarrow x = 10

Kontroll i likning 1: $3 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 20 = 30 + 10 + 80 = 120$ ✓

Dermed er mynttype 1 verdt $10 kr$ , mynttype 2 verdt $5 kr$ og mynttype 3 verdt $20 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Konvergent uendelig rekke og gummiball

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen.

7 + \frac{14}{9} + \frac{28}{81} + \frac{56}{729} + \dots

En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp $\frac{2}{3}$ av den forrige høyden.

Bestem den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes, til den faller til ro.

Fasit

$s = 9$

$50 m$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken er geometrisk med $a_{1} = 7$ . Vi finner kvotienten ved å dividere to påfølgende ledd:

k = \frac{\frac{14}{9}}{7} = \frac{14}{63} = \frac{2}{9}

Vi sjekker at kvotienten er den samme mellom neste ledd:

\frac{\frac{28}{81}}{\frac{14}{9}} = \frac{28}{81} \cdot \frac{9}{14} = \frac{2}{9}

Siden $| k | = \frac{2}{9} < 1$ , konvergerer rekken.

Summen av en konvergent geometrisk rekke er gitt ved $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ :

s = \frac{7}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{7}{\frac{7}{9}} = 7 \cdot \frac{9}{7} = 9

Rekken konvergerer mot $s = 9$ .

Ballen faller først $10 m$ ned. Deretter spretter den opp og ned igjen med en høyde som er $k = \frac{2}{3}$ av forrige høyde, for hvert sprett.

Etter første sprett er høyden $10 \cdot \frac{2}{3}$ , og denne strekningen tilbakelegges to ganger (opp og ned). Det samme gjelder for hvert etterfølgende sprett. Total tilbakelagt strekning blir dermed

L = 10 + 2 \cdot (10 \cdot \frac{2}{3} + 10 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} + 10 \cdot {(\frac{2}{3})}^{3} + \dots)

Summen i parentesen er en konvergent uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 10 \cdot \frac{2}{3}$ og kvotient $\frac{2}{3}$ :

\sum_{n = 1}^{\infty} 10 \cdot {(\frac{2}{3})}^{n} = \frac{10 \cdot \frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{20}{3}}{\frac{1}{3}} = 20

Dermed blir totalstrekningen

L = 10 + 2 \cdot 20 = 50

Ballen har tilbakelagt en total strekning på $50 m$ når den faller til ro.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f (x) = (x - 1) \cdot e^{x}, x \in ⟨ - 3, 2 ⟩

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen til $f$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem koordinatene til punktet der grafen til $f$ synker raskest.

Fasit

$x$ -akse: $(1, 0)$ , $y$ -akse: $(0, - 1)$

Bunnpunkt $(0, - 1)$ , ikke noe toppunkt

$(- 1, - \frac{2}{e})$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen skjærer $x$ -aksen der $f (x) = 0$ :

(x - 1) \cdot e^{x} = 0

Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , må $x - 1 = 0$ , altså $x = 1$ . Skjæringspunktet med $x$ -aksen er $(1, 0)$ .

Grafen skjærer $y$ -aksen der $x = 0$ :

f (0) = (0 - 1) \cdot e^{0} = - 1 \cdot 1 = - 1

Skjæringspunktet med $y$ -aksen er $(0, - 1)$ .

Vi deriverer $f (x) = (x - 1) \cdot e^{x}$ med produktregelen:

f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 1) \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x - 1) = x \cdot e^{x}

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

x \cdot e^{x} = 0

Siden $e^{x} > 0$ , må $x = 0$ .

Vi undersøker fortegnet til $f^{'} (x) = x \cdot e^{x}$ :

For $x < 0$ : $f^{'} (x) < 0$ (fallende)
For $x > 0$ : $f^{'} (x) > 0$ (voksende)

Dermed har $f$ et bunnpunkt i $x = 0$ :

f (0) = (0 - 1) \cdot e^{0} = - 1

Bunnpunktet er $(0, - 1)$ . Siden $f^{'}$ bare skifter fortegn én gang på det oppgitte intervallet $⟨ - 3, 2 ⟩$ , har grafen ikke noe toppunkt.

Grafen synker raskest der den deriverte $f^{'}$ har sin minste (mest negative) verdi, altså der $f^{''} (x) = 0$ og $f^{''}$ skifter fra negativ til positiv.

Vi deriverer $f^{'} (x) = x \cdot e^{x}$ på nytt:

f^{''} (x) = 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x} = e^{x} (1 + x)

Vi setter $f^{''} (x) = 0$ :

e^{x} (1 + x) = 0 \Rightarrow x = - 1

Fortegnet til $f^{''} (x)$ :

For $x < - 1$ : $f^{''} (x) < 0$ ( $f^{'}$ avtar)
For $x > - 1$ : $f^{''} (x) > 0$ ( $f^{'}$ øker)

Dette bekrefter at $f^{'}$ har et minimum i $x = - 1$ , altså at grafen til $f$ synker raskest der.

Vi finner $y$ -koordinaten:

f (- 1) = (- 1 - 1) \cdot e^{- 1} = - 2 \cdot e^{- 1} = - \frac{2}{e} \approx - 0,74

Punktet der grafen synker raskest, er $(- 1, - \frac{2}{e})$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 2-1Kubikktall og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Oppsett for hånd

Det minste tallet som kan skrives som summen av to kubikktall på to måter, er 1729:

1729 = 1^{3} + n^{3}

1729 = m^{3} + {(m + 1)}^{3}

Bruk CAS til å bestemme verdien av $n$ og $m$ .

Det eneste kubikktallet som kan skrives som summen av tre påfølgende kubikktall, er $6^{3}$ .

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme de tre kubikktallene ved å løse en likning.

Fasit

$n = 12, m = 9$

$3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser de to likningene i CAS.

Første likning:

1729 = 1^{3} + n^{3}

gir kommandoen Løs(1729=1+n^3,n).

Andre likning:

1729 = m^{3} + {(m + 1)}^{3}

gir kommandoen Løs(1729=m^3+(m+1)^3,m).

CAS-utregning

Fra utklippet ser vi at $n = 12$ og $m = 9$ . Vi kan sjekke svarene: $1^{3} + 12^{3} = 1 + 1728 = 1729$ , og $9^{3} + 10^{3} = 729 + 1000 = 1729$ .

Tre påfølgende kubikktall kan skrives som $n^{3}$ , ${(n + 1)}^{3}$ og ${(n + 2)}^{3}$ . Vi setter opp likningen

n^{3} + {(n + 1)}^{3} + {(n + 2)}^{3} = 6^{3}

og løser den i CAS med kommandoen Løs(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=6^3,n), se linje 3 i utklippet over.

CAS gir $n = 3$ , altså er de tre kubikktallene $3^{3}$ , $4^{3}$ og $5^{3}$ . Vi kontrollerer: $27 + 64 + 125 = 216 = 6^{3}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: CAS, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Logistisk vekst og Oljefondet

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge én modell vil størrelsen av Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», følge funksjonen gitt ved

f (x) = \frac{3236}{1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x}}

Her er $x$ antall år etter 1996, og $f (x)$ angir størrelsen av fondet i milliarder kroner.

Bruk $f^{''} (x)$ til å bestemme når fondet har sin største vekst ifølge denne modellen. Hvor stor er veksten da? Hvor stort er fondet på dette tidspunktet?

Fasit

$x \approx 9,67$ (høsten 2005), veksten er da $\approx 304,4$ mrd. kr/år, og fondet er da $1618$ mrd. kr.

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er

f (x) = \frac{3236}{1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x}}

Dette er en logistisk vekstfunksjon på formen $f (x) = \frac{L}{1 + A \cdot e^{- k x}}$ , med $L = 3236$ , $A = 38,1$ og $k = 0,3763$ .

Deriverer to ganger. Med kvotientregelen (eller kjerneregelen på ${(1 + A e^{- k x})}^{- 1}$ ) finner vi

f^{'} (x) = \frac{L A k \cdot e^{- k x}}{{(1 + A e^{- k x})}^{2}}

f^{''} (x) = \frac{L A k^{2} \cdot e^{- k x} (A e^{- k x} - 1)}{{(1 + A e^{- k x})}^{3}}

Løser $f^{''} (x) = 0$ . Siden $L, A, k, e^{- k x} > 0$ for alle $x$ , er telleren bare null når

A \cdot e^{- k x} - 1 = 0 \Rightarrow e^{- k x} = \frac{1}{A} \Rightarrow x = \frac{\ln (A)}{k}

Dette er også fortegnsskifte for $f^{''} (x)$ (fra positiv til negativ), så det er et vendepunkt — der veksten går fra økende til avtakende, altså punktet med størst vekst.

Setter inn tallene:

x = \frac{\ln (38,1)}{0,3763} \approx 9,67

Dette ble kontrollert i GeoGebra, se utklipp:

Vendepunktet på grafen til f(x)

Siden $x$ er antall år etter 1996, svarer $x \approx 9,67$ til høsten 2005.

Størrelsen på veksten finner vi ved å sette inn $x_{0} = \ln (A) / k$ i $f^{'} (x)$ . Da er $A e^{- k x_{0}} = 1$ , slik at

f^{'} (x_{0}) = \frac{L A k \cdot \frac{1}{A}}{{(1 + 1)}^{2}} = \frac{L k}{4} = \frac{3236 \cdot 0,3763}{4} \approx 304,4

Fondet vokser altså med omtrent $304,4$ milliarder kroner per år på dette tidspunktet — dette er den høyeste årlige veksten modellen gir.

Fondets størrelse på tidspunktet er $f (x_{0})$ . Siden $A e^{- k x_{0}} = 1$ , blir nevneren $1 + 1 = 2$ , så

f (x_{0}) = \frac{L}{2} = \frac{3236}{2} = 1618

Fondet er da på $1618$ milliarder kroner, altså nøyaktig halvparten av grenseverdien $L = 3236$ som modellen nærmer seg — noe som er typisk for logistisk vekst: vendepunktet ligger alltid midt mellom $0$ og $L$ .

Svar: Fondet har størst vekst etter $x \approx 9,67 år$ (høsten 2005), da vokser fondet med $f^{'} (x_{0}) \approx 304,4 m r d . k r /år$ , og fondet er da på $f (x_{0}) = 1618 m r d . k r$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I bedriften er dagsproduksjonen av en vare $x$ enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved

E (x) = 0,15 x + 7 + \frac{2000}{x}, x \in [10, 300]

Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per enhet.

Kalkulator

Bestem et funksjonsuttrykk for totalkostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter.

Kalkulator

Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.

Fasit

$K (x) = 0,15 x^{2} + 7 x + 2000, I (x) = 55 x$

$Overskudd for x \in ⟨ 49,2, 270,8 ⟩, størst overskudd ved x = 160$

LøsningsforslagKI-generert

Totalkostnaden er antall enheter multiplisert med kostnaden per enhet:

K (x) = x \cdot E (x) = x \cdot (0,15 x + 7 + \frac{2000}{x}) = 0,15 x^{2} + 7 x + 2000

Inntekten er antall enheter multiplisert med prisen per enhet:

I (x) = 55 x

Bedriften får overskudd når inntekten er større enn kostnaden, altså der $Overskudd (x) = I (x) - K (x) > 0$ . Vi setter opp overskuddsfunksjonen:

Overskudd (x) = I (x) - K (x) = 55 x - (0,15 x^{2} + 7 x + 2000) = - 0,15 x^{2} + 48 x - 2000

Nullpunktene til $Overskudd (x)$ løses i GeoGebra CAS:

Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Fra skjermbildet (linje 4) er nullpunktene $x \approx 49,2$ og $x \approx 270,8$ . Siden $Overskudd (x)$ er en parabel med negativ ledende koeffisient, er overskuddet positivt mellom nullpunktene. Bedriften får altså overskudd for produksjonsmengder

x \in ⟨ 49,2, 270,8 ⟩

Størst overskudd får vi der den deriverte er null, altså der $K^{'} (x) = I^{'} (x)$ (grensekostnad lik grenseinntekt). Fra skjermbildet (linje 5 og 6):

{Overskudd}^{'} (x) = - 0,3 x + 48 = 0 \Rightarrow x = 160

Dette stemmer med å sette $K^{'} (x) = I^{'} (x)$ : $K^{'} (x) = 0,3 x + 7$ og $I^{'} (x) = 55$ , som gir $0,3 x + 7 = 55 \Rightarrow x = 160$ .

Fra skjermbildet (linje 7) er $Overskudd (160) = 1840$ . Bedriften får dermed størst overskudd, $1840 kr$ , ved en dagsproduksjon på

x = 160 e n h e t e r

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Deltakere på ukentlig trim

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen

D (x) = 120 - 100 e^{- 0,35 x} + 80 e^{- 0,09 x}

Her er $D (x)$ antall deltakere per uke $x$ uker etter den første trimuka. Det vil si at $D (0)$ er antall deltakere den første uka, $D (1)$ er antall deltakere den andre uka, og så videre.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $D$ .

Kalkulator

Bestem $\int_{0}^{20} D (x) d x$ . Forklar hva dette svaret forteller oss.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$\int_{0}^{20} D (x) d x \approx 2857$ deltakertimer

LøsningsforslagKI-generert

Vi taster inn funksjonen

D (x) = 120 - 100 e^{- 0,35 x} + 80 e^{- 0,09 x}

i et graftegningsprogram og får grafen under.

Graf av D(x)

Grafen viser at antall deltakere øker raskt de første ukene, når et toppunkt på omtrent $155$ deltakere etter ca. $6$ uker, og deretter avtar sakte utover året.

Vi bruker graftegningsprogrammet til å beregne det bestemte integralet $\int_{0}^{20} D (x) d x$ , altså arealet under grafen fra $x = 0$ til $x = 20$ .

Integral av D(x) fra 0 til 20

Verktøyet gir

\int_{0}^{20} D (x) d x \approx 2856,5

Siden $D (x)$ er antall deltakere per uke, er integralet av $D$ fra $x = 0$ til $x = 20$ summen av deltakerantallet over alle de $20$ ukene, altså totalt antall deltakertimer (eller «deltakeruker») i løpet av de $20$ første ukene med trim. Svaret forteller oss dermed at det til sammen var omtrent

2857 deltakertimer

fordelt på de 20 ukene idrettslaget arrangerte ukentlig trim.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Modellering, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved et treningssenter registrerte de kroppsvekten til alle de 320 kundene.

Gjennomsnittsvekten var $79,2 kg$ med et standardavvik på $6,4 kg$ . Vi antar at kroppsvekten er normalfordelt.

Kalkulator

Hvor stor andel av kundene veide mellom $75,0 kg$ og $85,0 kg$ ?

Treningssenteret vil undersøke om treningen påvirker kroppsvekten. De veier derfor 30 tilfeldig valgte kunder etter en periode med jevnlig trening. Gjennomsnittsvekten for disse 30 kundene er $76,0 kg$ . Vi antar at standardavviket er uendret.

Kalkulator

Sett opp hypotesene $H_{0}$ og $H_{1}$ . Undersøk om det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene på treningssenteret har gått ned. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$P (75,0 \leq X \leq 85,0) \approx 0,562 = 56,2 %$

$p \approx 0,0031 < 0,05 \Rightarrow H_{0} forkastes$

LøsningsforslagKI-generert

Kroppsvekten $X$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 79,2$ og $σ = 6,4$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne sannsynligheten direkte:

P (75,0 \leq X \leq 85,0) = 𝙵𝚘𝚛𝚍𝚎𝚕𝚒𝚗𝚐𝙽𝚘𝚛𝚖𝚊𝚕 (79,2, 6,4, 75,0, 85,0)

GeoGebra CAS-utregning

Fra skjermbildet (linje 1) er $P \approx 0,56177$ .

Andelen av kundene som veide mellom $75,0 kg$ og $85,0 kg$ er altså om lag $𝟓𝟔, 𝟐 %$ .

$P \approx 0,562 = 56,2 %$

Vi skal undersøke om gjennomsnittsvekten har gått ned. Da blir hypotesene

H_{0} : μ = 79,2 H_{1} : μ < 79,2

der $μ$ er gjennomsnittsvekten til kundene etter treningsperioden.

Vi har et utvalg på $n = 30$ kunder med gjennomsnittsvekt $\overline{x} = 76,0 kg$ , og antar at standardavviket fortsatt er $σ = 6,4 kg$ . Siden $σ$ er kjent, bruker vi testobservatoren

z = \frac{\overline{x} - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}} = \frac{76,0 - 79,2}{6,4 / \sqrt{30}}

Dette er beregnet i CAS (linje 2 i skjermbildet over):

z \approx - 2,73861

Siden $H_{1}$ er ensidig ( $μ < 79,2$ ), er $p$ -verdien sannsynligheten for å få en $z$ -verdi som er like liten eller mindre enn den observerte, gitt at $H_{0}$ er sann:

p = P (Z \leq z) = 𝙵𝚘𝚛𝚍𝚎𝚕𝚒𝚗𝚐𝙽𝚘𝚛𝚖𝚊𝚕 (0, 1, z, sann)

Fra skjermbildet (linje 3) er $p \approx 0,00308$ .

Vi sammenligner $p$ -verdien med signifikansnivået $α = 0,05$ :

p \approx 0,0031 < 0,05 = α

Siden $p$ -verdien er mindre enn signifikansnivået, forkaster vi $H_{0}$ . Det er dermed statistisk grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene på treningssenteret har gått ned etter treningsperioden.

$p \approx 0,0031 < 0,05 \Rightarrow H_{0} forkastes$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En person kjøper et hjemmekinoanlegg. Han kan betale 20 000 kroner kontant eller på avbetaling med 729 kroner per måned i 36 måneder. Han velger å kjøpe anlegget på avbetaling. Første avbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.

Bestem renten per måned for dette avbetalingstilbudet, og bestem årsrenten.

Fasit

Månedlig rente $r \approx 1,55 %$ , årsrente $r_{år} \approx 20,26 %$

LøsningsforslagKI-generert

Kontantprisen på $20 000 kr$ er nåverdien av de $36$ månedlige avbetalingene på $729 kr$ . Med månedlig rente $r$ som ukjent gir dette likningen

20 000 = \sum_{k = 1}^{36} \frac{729}{{(1 + r)}^{k}}

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Løsning av annuitetslikningen i GeoGebra CAS

Likningen har to løsninger, $r = - 1,89558$ og $r = 0,01549$ . Bare den positive løsningen gir mening som en rente, så

r \approx 0,01549 = 1,549 %

Årsrenten finner vi ved å regne om den månedlige renten til effektiv årsrente (renters rente over $12$ måneder):

r_{år} = {(1 + r)}^{12} - 1 \approx {(1,0154932)}^{12} - 1 \approx 0,20261

Månedlig rente for avbetalingstilbudet er dermed omtrent $1,55 %$ , og dette tilsvarer en årsrente på omtrent $20,3 %$ . Dette er en svært høy rente sammenlignet med vanlige lån, så avbetaling er et dyrt alternativ til å betale kontant.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Annuitetslån, Rente
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 11 oppgaver · 33 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2·Derivasjon med kvotientregelen

Oppgave 1-3·Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)

Oppgave 1-4·Rekke med delte differanser

Oppgave 1-5·Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)

Oppgave 1-6·Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd

Oppgave 1-7·Grensekostnad lik grenseinntekt

Oppgave 1-8·Normalfordelt intelligens

Oppgave 1-9·Mynter og likningssystem

Oppgave 1-10·Konvergent uendelig rekke og gummiball

Oppgave 1-11·Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Kubikktall og CAS

Oppgave 2-2·Logistisk vekst og Oljefondet

Oppgave 2-3·Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Oppgave 2-4·Deltakere på ukentlig trim

Oppgave 2-5·Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter

Oppgave 2-6·Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2Derivasjon med kvotientregelen

Oppgave 1-3Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)

Oppgave 1-4Rekke med delte differanser

Oppgave 1-5Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)

Oppgave 1-6Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd

Oppgave 1-7Grensekostnad lik grenseinntekt

Oppgave 1-8Normalfordelt intelligens

Oppgave 1-9Mynter og likningssystem

Oppgave 1-10Konvergent uendelig rekke og gummiball

Oppgave 1-11Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon

Oppgave 2-1Kubikktall og CAS

Oppgave 2-2Logistisk vekst og Oljefondet

Oppgave 2-3Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Oppgave 2-4Deltakere på ukentlig trim

Oppgave 2-5Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter

Oppgave 2-6Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg