S2 Eksempeloppgave 2015

Last ned eksamenssettet som PDF. Oppgavene er hentet fra Utdanningsdirektoratet.

Første nedlasting kjører en bot-sjekk i nettleseren (Vercel BotID). Mer i personvernerklæringen.

LK06 17 oppgaver 57 poeng 3 timer

0 av 17 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S2 Eksempeloppgave 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 uten hjelpemidler · 11 oppgaver · 33 poeng
1	Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon	—
2	Derivasjon med kvotientregelen	—
3	Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)	—
4	Rekke med delte differanser	—
5	Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)	—
6	Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd	—
7	Grensekostnad lik grenseinntekt	—
8	Normalfordelt intelligens	KI
9	Mynter og likningssystem	—
10	Konvergent uendelig rekke og gummiball	—
11	Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Kubikktall og CAS	—
2	Logistisk vekst og Oljefondet	—
3	Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd	—
4	Deltakere på ukentlig trim	—
5	Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter	—
6	Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 11 oppgaver · 33 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

Deriver $f(x) = 3x^3 - 2x + 5$ .

Deriver $g(x) = xe^{2x}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Derivasjon med kvotientregelen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $h'(2)$ når $h(x) = \dfrac{e^x}{x-1}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 8x + 24

Vis at $P(3) = 0$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P(x)$ i førstegradsfaktorer.

Forkort brøken $\dfrac{2x^3 - 6x^2 - 8x + 24}{2x^2 - 8}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering

Oppgave 1-4 : Rekke med delte differanser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig rekke er gitt ved

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + \cdots

$n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1
2	7	8	$2^3$
3	19
4
5		125	$5^3$
6	91	216

Skriv av og fyll ut tabellen. Foreslå en formel for $S_n$ .

Forklar at $a_n = S_n - S_{n-1}$ . Bruk dette til å vise at $a_n$ også kan skrives $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x, \qquad x \in \langle -1,\, 4 \rangle

Bestem eventuelle nullpunkter, toppunkter og bunnpunkter for $f$ .

Tegn grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon

Oppgave 1-6 : Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk $f(t)$ . Funksjonsverdiene er målt i tonn, og $t$ er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.

Du får vite at: $f(0) = 300$ , $\quad f'(10) = 0$ $\quad$ og $\quad f''(10) = -10$

Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Graftolkning, Modellering

Oppgave 1-7 : Grensekostnad lik grenseinntekt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt, $K'(x) = I'(x)$ , når vi skal finne størst overskudd.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Argumentasjon

Oppgave 1-8 : Normalfordelt intelligens

Intelligenskvotienten (IQ) er et mål på intelligensen til en person. Antall poeng som en tilfeldig person skårer på en IQ-test $X$ antar vi i denne oppgaven å være normalfordelt med forventningsverdi $\mu=100$ og standardavvik $\sigma=15$ .

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng på en slik IQ-test.

Mensa Norge er en forening for de skårer høyest på slike IQ-tester. Kun 2 % av befolkningen kan bli medlem av Mensa.

Hvor mange poeng må du minst skåre på en slik test, for å kunne bli medlem av Mensa?

Fasit

ca. $37 \,\%$

minst $131$ IQ-poeng

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ .

Vi standardiserer og slår opp i normalfordelingstabellen:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{95 - 100}{15} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33

Fra normalfordelingstabellen:

P(X < 95) = P(Z < -0{,}33) \approx 0{,}3707

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person skårer under 95 poeng er $\underline{\underline{\approx 37 \,\%}}$ .

Vi vil finne $x$ slik at $P(X \geq x) = 0{,}02$ , altså $P(X < x) = 0{,}98$ .

Vi slår opp baklengs i normalfordelingstabellen og finner $z$ -verdien der $\Phi(z) = 0{,}98$ :

z \approx 2{,}05

Nå regner vi om til IQ-poeng:

x = \mu + z \cdot \sigma = 100 + 2{,}05 \cdot 15 = 100 + 30{,}75 = 130{,}75

Siden IQ-skåren er et heltall, runder vi opp:

x = 131

Du må minst skåre $\underline{\underline{131}}$ IQ-poeng for å bli medlem av Mensa.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Temaer: Standard normalfordeling, Normalfordeling, Sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen

Oppgave 1-9 : Mynter og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre gutter har tre typer mynter med ulik verdi i lommene. Tabellen nedenfor viser fordelingen av myntene.

Navn	Antall mynter av type 1	Antall mynter av type 2	Antall mynter av type 3	Sum i kroner
Sebastian	3	2	4	120
Markus	2	3	2	75
Matthias	2	5	3	105

Bestem verdien til de tre mynttypene ved å løse et likningssystem.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem

Oppgave 1-10 : Konvergent uendelig rekke og gummiball

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen.

7 + \frac{14}{9} + \frac{28}{81} + \frac{56}{729} + \cdots

En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp $\dfrac{2}{3}$ av den forrige høyden.

Bestem den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes, til den faller til ro.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker

Oppgave 1-11 : Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f(x) = (x - 1) \cdot e^x, \qquad x \in \langle -3,\, 2 \rangle

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen til $f$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem koordinatene til punktet der grafen til $f$ synker raskest.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Eksponentialfunksjon, Derivasjon

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Kubikktall og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det minste tallet som kan skrives som summen av to kubikktall på to måter, er 1729:

1729 = 1^3 + n^3

1729 = m^3 + (m+1)^3

Bruk CAS til å bestemme verdien av $n$ og $m$ .

Det eneste kubikktallet som kan skrives som summen av tre påfølgende kubikktall, er $6^3$ .

Bruk CAS til å bestemme de tre kubikktallene ved å løse en likning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Cas, Likninger

Oppgave 2-2 : Logistisk vekst og Oljefondet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge én modell vil størrelsen av Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», følge funksjonen gitt ved

f(x) = \frac{3236}{1 + 38{,}1 \cdot e^{-0{,}3763x}}

Her er $x$ antall år etter 1996, og $f(x)$ angir størrelsen av fondet i milliarder kroner.

Bruk $f''(x)$ til å bestemme når fondet har sin største vekst ifølge denne modellen. Hvor stor er veksten da? Hvor stort er fondet på dette tidspunktet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Modellering

Oppgave 2-3 : Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I bedriften er dagsproduksjonen av en vare $x$ enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved

E(x) = 0{,}15x + 7 + \frac{2000}{x}, \qquad x \in [10,\, 300]

Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per enhet.

Bestem et funksjonsuttrykk for totalkostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter.

Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering

Oppgave 2-4 : Deltakere på ukentlig trim

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen

D(x) = 120 - 100e^{-0{,}35x} + 80e^{-0{,}09x}

Her er $D(x)$ antall deltakere per uke $x$ uker etter den første trimuka. Det vil si at $D(0)$ er antall deltakere den første uka, $D(1)$ er antall deltakere den andre uka, og så videre.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $D$ .

Bestem $\displaystyle\int_0^{20} D(x)\,dx$ . Forklar hva dette svaret forteller oss.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Modellering, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-5 : Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved et treningssenter registrerte de kroppsvekten til alle de 320 kundene.

Gjennomsnittsvekten var $79{,}2 \text{ kg}$ med et standardavvik på $6{,}4 \text{ kg}$ . Vi antar at kroppsvekten er normalfordelt.

Hvor stor andel av kundene veide mellom $75{,}0 \text{ kg}$ og $85{,}0 \text{ kg}$ ?

Treningssenteret vil undersøke om treningen påvirker kroppsvekten. De veier derfor 30 tilfeldig valgte kunder etter en periode med jevnlig trening. Gjennomsnittsvekten for disse 30 kundene er $76{,}0 \text{ kg}$ . Vi antar at standardavviket er uendret.

Sett opp hypotesene $H_0$ og $H_1$ . Undersøk om det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten til kundene på treningssenteret har gått ned. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk

Oppgave 2-6 : Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En person kjøper et hjemmekinoanlegg. Han kan betale 20 000 kroner kontant eller på avbetaling med 729 kroner per måned i 36 måneder. Han velger å kjøpe anlegget på avbetaling. Første avbetaling er én måned etter kjøpsdatoen.

Bestem renten per måned for dette avbetalingstilbudet, og bestem årsrenten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Annuitetslån, Rente

Sync på tvers av enheter

S2 Eksempeloppgave 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 11 oppgaver · 33 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynomfunksjon og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Derivasjon med kvotientregelen

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og faktorisering (s2 e15)

Oppgave 1-4 : Rekke med delte differanser

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting av tredjegradsfunksjon (s2 e15)

Oppgave 1-6 : Tolke funksjonsverdier ved vulkanutbrudd

Oppgave 1-7 : Grensekostnad lik grenseinntekt

Oppgave 1-8 : Normalfordelt intelligens

Oppgave 1-9 : Mynter og likningssystem

Oppgave 1-10 : Konvergent uendelig rekke og gummiball

Oppgave 1-11 : Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Kubikktall og CAS

Oppgave 2-2 : Logistisk vekst og Oljefondet

Oppgave 2-3 : Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Oppgave 2-4 : Deltakere på ukentlig trim

Oppgave 2-5 : Normalfordeling og hypotesetest for treningssenter

Oppgave 2-6 : Avbetalingsrente for hjemmekinoanlegg

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave