S2 Vår 2015

Vi bruker kjerneregelen med kjerne $u=-2x$, så $u^{\prime }=-2$:

Vi forenkler ved å dele hvert ledd på $x$:

Nå deriverer vi ledd for ledd:

Vi bruker produktregelen på $(3x+1)\cdot e^x$. Konstantleddet $+2$ forsvinner ved derivasjon.

La $u=3x+1$ og $v=e^x$, så $u^{\prime }=3$ og $v^{\prime }=e^x$:

Fra grafen leser vi av at $f$ har nullpunkter i $x=-3$, $x=-1$ og $x=3$.

Vi kan faktorisere $f(x)$ ved å gruppere ledd:

Fra grafen ser vi at det er tre reelle nullpunkter, så $x^2+k$ må ha to reelle røtter. Nullpunktene til $x^2+k$ er $x=\pm \sqrt{-k}$, og fra grafen er disse $x=-3$ og $x=3$.

Dermed er

Siden $x=3$ er et nullpunkt, er $f(3)=0$:

En rekke $a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$ er aritmetisk når differansen mellom to påfølgende ledd er konstant. Det vil si at det finnes et tall $d$ slik at

Tallet $d$ kalles differansen i rekken.

Vi ser av figuren at veggen er pyramideformet: øverste rad har 1 stein, neste rad har 2 steiner, osv. Dette gir en aritmetisk rekke med

Siste ledd:

Summen av en aritmetisk rekke:

Mureren trenger 210 murstein.

Vi skriver $x=\mathrm{0,555}\dots$ som en sum:

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1={\displaystyle \frac{5}{10}}$ og kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{10}}$.

Siden $|k|={\displaystyle \frac{1}{10}}<1$ konvergerer rekken, og summen er:

Vi skriver $y=\mathrm{0,232323}\dots$ som en sum:

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1={\displaystyle \frac{23}{100}}$ og kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{100}}$.

Siden $|k|={\displaystyle \frac{1}{100}}<1$ konvergerer rekken, og summen er:

Vi setter inn $x=-1$ i $f(x)$:

Siden $f(-1)=0$, er $x=-1$ et nullpunkt.

Vi utfører polynomdivisjon med $(x+1)$:

Andregradsuttrykket faktoriseres videre:

Dermed er

Nullpunktene er $x=-1$ (dobbelt) og $x=-4$.

Vi deriverer:

$f^{\prime }(x)=0$ gir $x=-1$ og $x=-3$.

Fortegnslinjen til $f^{\prime }(x)$:

Toppunkt: $f(-3)={(-3)}^3+6{(-3)}^2+9(-3)+4=-27+54-27+4=4$

Bunnpunkt: $f(-1)=0$ (allerede beregnet)

Vi deriverer på nytt:

$f^{\prime \prime }(x)=0$ gir $x=-2$.

Vi sjekker at $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i $x=-2$: $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x<-2$ og $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $x>-2$, så $x=-2$ er et vendepunkt.

Grafen har følgende egenskaper:

• Nullpunkter i $x=-4$ og $x=-1$ (dobbelt — grafen tangerer $x$-aksen i $(-1,0)$)
• Toppunkt $(-3,4)$
• Bunnpunkt $(-1,0)$
• Vendepunkt $(-2,2)$
• Stigende for $x<-3$, synkende for $-3<x<-1$, stigende for $x>-1$
• Som tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient går grafen fra $-\infty$ til $+\infty$

Vi bruker tre kjente egenskaper for sannsynlighetsfordelinger.

Likning i: Summen av alle sannsynligheter er 1:

Likning ii: Forventningsverdien er $\text{E}(X)=\sum x\cdot P(X=x)$:

Siden $\text{E}(X)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ får vi:

Likning iii: Variansen er $\text{Var}(X)=\sum {(x-\mu )}^2\cdot P(X=x)$ der $\mu =\text{E}(X)={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

Siden $\text{Var}(X)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ gir dette ${\displaystyle \frac{1}{4}}a+{\displaystyle \frac{1}{4}}b+{\displaystyle \frac{9}{4}}c={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Ganger vi med 4:

Dermed er likningssystemet vist:

Vi trekker likning i fra likning iii:

Setter $c={\displaystyle \frac{1}{8}}$ inn i likning ii:

Setter inn i likning i:

Vi bruker andregradsregresjon (GeoGebra: FitPoly) på de gitte datapunktene:

Inntekten er $I(x)=p\cdot x$ og overskuddet er

For at overskuddet skal være størst mulig ved $x=75$, må $x=75$ være et toppunkt for $O(x)$. Det krever at $O^{\prime }(75)=0$:

Vi deriverer $K(x)$:

Overskuddet ved $x=75$ og $p\approx 230$ kr:

Fra markedsanalysen har vi $x=200-\mathrm{1,2}p$, som gir $p={\displaystyle \frac{200-x}{\mathrm{1,2}}}$.

Vi setter inn i overskuddsfunksjonen og uttrykker overskuddet som funksjon av prisen $p$:

For å finne maksimalt overskudd setter vi $O^{\prime }(p)=0$ og løser numerisk (GeoGebra CAS).

Vi får $p\approx 130$ kr.

Grafen starter i $(0,0)$, stiger raskt i S-form og nærmer seg $y=1$ asymptotisk når $x\to \infty$.

Vi leser av grafen der $g(x)=\mathrm{0,8}$. Fra grafen ser vi at skjæringspunktet mellom $g$ og linjen $y=\mathrm{0,8}$ er ved $x\approx \mathrm{46,4}$.

Vi kan bekrefte dette algebraisk:

Metningsgraden $g(x)>\mathrm{0,8}$ når deltrykket $x>\mathrm{46,4}$ mmHg.

Vi deriverer $g(x)={\displaystyle \frac{x^3}{x^3+25000}}$ med kvotientregelen:

For alle $x>0$ er:

• telleren $75000x^2>0$
• nevneren ${(x^3+25000)}^2>0$

Dermed er $g^{\prime }(x)>0$ for alle $x>0$.

Dette betyr at $g$ er strengt voksende for $x>0$, det vil si at metningsgraden øker når deltrykket øker.

Kristin setter inn beløpet $x$ første gang når hun fyller 25 år og siste gang når hun fyller 59 år. Det er altså 35 innskudd totalt.

Innskuddet som settes inn ved alder $a$, vokser frem til hun fyller 60 år, dvs. i $(60-a)$ år. Vi får:

Den totale summen ved 60 år er en geometrisk rekke:

Vi setter $S=2000000$ og løser for $x$:

Kristin må sette inn omtrent 21 000 kroner hvert år.

Den dagen Kristin fyller 60 år har hun 2 000 000 kr. Hun tar ut 200 000 kr på hver av fødselsdagene 60, 61, 62, 63 og 64 (5 uttak). Rentesatsen er fortsatt 5 %.

Beløpet som er igjen etter hvert uttak vokser med rente frem til hun fyller 65 år. Vi beregner hva hvert uttak «koster» i fremtidig verdi:

Saldoen ved 65 år er:

Den geometriske rekken summeres:

Kristin har omtrent 1 392 181 kroner på kontoen den dagen hun fyller 65 år.

Grafen skjærer $y$-aksen der $x=0$:

$y$-koordinaten til $P$ er ${\displaystyle \frac{a}{1+b}}$.

Vi definerer $f(x)={\displaystyle \frac{a}{1+b\cdot e^{-kx}}}$ i CAS og finner $f^{\prime \prime }(x)$.

CAS-input:

f(x) := a / (1 + b * exp(-k*x))
Derivative(f, x, 2)
Solve(f''(x) = 0, x)

CAS gir at $f^{\prime \prime }(x)=0$ når

Vi setter inn $x_V={\displaystyle \frac{\ln b}{k}}$ i $f(x)$:

Vendepunktet $V$ har $y$-koordinat ${\displaystyle \frac{a}{2}}$.

Vi beregner $f^{\prime }(x)$ i CAS og setter inn $x_V={\displaystyle \frac{\ln b}{k}}$.

Den deriverte er

Ved $x=x_V$ er $e^{-k{x}_V}={\displaystyle \frac{1}{b}}$, så $b\cdot e^{-k{x}_V}=1$. Vi setter inn:

Tangenten i vendepunktet $V$ har stigningstall ${\displaystyle \frac{a\cdot k}{4}}$.