S2 Vår 2015

Vi bruker kjerneregelen med kjerne $u = -2x$, så $u' = -2$:

Vi forenkler ved å dele hvert ledd på $x$:

Nå deriverer vi ledd for ledd:

Vi bruker produktregelen på $(3x+1) \cdot e^x$. Konstantleddet $+2$ forsvinner ved derivasjon.

La $u = 3x + 1$ og $v = e^x$, så $u' = 3$ og $v' = e^x$:

Fra grafen leser vi av at $f$ har nullpunkter i $x = -3$, $x = -1$ og $x = 3$.

Vi kan faktorisere $f(x)$ ved å gruppere ledd:

Fra grafen ser vi at det er tre reelle nullpunkter, så $x^2 + k$ må ha to reelle røtter. Nullpunktene til $x^2 + k$ er $x = \pm\sqrt{-k}$, og fra grafen er disse $x = -3$ og $x = 3$.

Dermed er

Siden $x = 3$ er et nullpunkt, er $f(3) = 0$:

En rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$ er aritmetisk når differansen mellom to påfølgende ledd er konstant. Det vil si at det finnes et tall $d$ slik at

Tallet $d$ kalles differansen i rekken.

Vi ser av figuren at veggen er pyramideformet: øverste rad har 1 stein, neste rad har 2 steiner, osv. Dette gir en aritmetisk rekke med

Siste ledd:

Summen av en aritmetisk rekke:

Mureren trenger 210 murstein.

Vi skriver $x = 0{,}555\ldots$ som en sum:

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{5}{10}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{10}$.

Siden $|k| = \dfrac{1}{10} < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

Vi skriver $y = 0{,}232323\ldots$ som en sum:

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \dfrac{23}{100}$ og kvotient $k = \dfrac{1}{100}$.

Siden $|k| = \dfrac{1}{100} < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

Vi setter inn $x = -1$ i $f(x)$:

Siden $f(-1) = 0$, er $x = -1$ et nullpunkt.

Vi utfører polynomdivisjon med $(x + 1)$:

Andregradsuttrykket faktoriseres videre:

Dermed er

Nullpunktene er $x = -1$ (dobbelt) og $x = -4$.

Vi deriverer:

$f'(x) = 0$ gir $x = -1$ og $x = -3$.

Fortegnslinjen til $f'(x)$:

Toppunkt: $f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) + 4 = -27 + 54 - 27 + 4 = 4$

Bunnpunkt: $f(-1) = 0$ (allerede beregnet)

Vi deriverer på nytt:

$f''(x) = 0$ gir $x = -2$.

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn i $x = -2$: $f''(x) < 0$ for $x < -2$ og $f''(x) > 0$ for $x > -2$, så $x = -2$ er et vendepunkt.

Grafen har følgende egenskaper:

• Nullpunkter i $x = -4$ og $x = -1$ (dobbelt — grafen tangerer $x$-aksen i $(-1, 0)$)
• Toppunkt $(-3, 4)$
• Bunnpunkt $(-1, 0)$
• Vendepunkt $(-2, 2)$
• Stigende for $x < -3$, synkende for $-3 < x < -1$, stigende for $x > -1$
• Som tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient går grafen fra $-\infty$ til $+\infty$

Vi bruker tre kjente egenskaper for sannsynlighetsfordelinger.

Likning i: Summen av alle sannsynligheter er 1:

Likning ii: Forventningsverdien er $\text{E}(X) = \sum x \cdot P(X = x)$:

Siden $\text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ får vi:

Likning iii: Variansen er $\text{Var}(X) = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x)$ der $\mu = \text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$:

Siden $\text{Var}(X) = \dfrac{1}{2}$ gir dette $\dfrac{1}{4}a + \dfrac{1}{4}b + \dfrac{9}{4}c = \dfrac{1}{2}$. Ganger vi med 4:

Dermed er likningssystemet vist:

Vi trekker likning i fra likning iii:

Setter $c = \dfrac{1}{8}$ inn i likning ii:

Setter inn i likning i:

Vi bruker andregradsregresjon (GeoGebra: FitPoly) på de gitte datapunktene:

Inntekten er $I(x) = p \cdot x$ og overskuddet er

For at overskuddet skal være størst mulig ved $x = 75$, må $x = 75$ være et toppunkt for $O(x)$. Det krever at $O'(75) = 0$:

Vi deriverer $K(x)$:

Overskuddet ved $x = 75$ og $p \approx 230$ kr:

Fra markedsanalysen har vi $x = 200 - 1{,}2p$, som gir $p = \dfrac{200 - x}{1{,}2}$.

Vi setter inn i overskuddsfunksjonen og uttrykker overskuddet som funksjon av prisen $p$:

For å finne maksimalt overskudd setter vi $O'(p) = 0$ og løser numerisk (GeoGebra CAS).

Vi får $p \approx 130$ kr.

Grafen starter i $(0, 0)$, stiger raskt i S-form og nærmer seg $y = 1$ asymptotisk når $x \to \infty$.

Vi leser av grafen der $g(x) = 0{,}8$. Fra grafen ser vi at skjæringspunktet mellom $g$ og linjen $y = 0{,}8$ er ved $x \approx 46{,}4$.

Vi kan bekrefte dette algebraisk:

Metningsgraden $g(x) > 0{,}8$ når deltrykket $x > 46{,}4$ mmHg.

Vi deriverer $g(x) = \dfrac{x^3}{x^3 + 25000}$ med kvotientregelen:

For alle $x > 0$ er:

• telleren $75000x^2 > 0$
• nevneren $(x^3 + 25000)^2 > 0$

Dermed er $g'(x) > 0$ for alle $x > 0$.

Dette betyr at $g$ er strengt voksende for $x > 0$, det vil si at metningsgraden øker når deltrykket øker.

Kristin setter inn beløpet $x$ første gang når hun fyller 25 år og siste gang når hun fyller 59 år. Det er altså 35 innskudd totalt.

Innskuddet som settes inn ved alder $a$, vokser frem til hun fyller 60 år, dvs. i $(60 - a)$ år. Vi får:

Den totale summen ved 60 år er en geometrisk rekke:

Vi setter $S = 2\,000\,000$ og løser for $x$:

Kristin må sette inn omtrent 21 000 kroner hvert år.

Den dagen Kristin fyller 60 år har hun 2 000 000 kr. Hun tar ut 200 000 kr på hver av fødselsdagene 60, 61, 62, 63 og 64 (5 uttak). Rentesatsen er fortsatt 5 %.

Beløpet som er igjen etter hvert uttak vokser med rente frem til hun fyller 65 år. Vi beregner hva hvert uttak «koster» i fremtidig verdi:

Saldoen ved 65 år er:

Den geometriske rekken summeres:

Kristin har omtrent 1 392 181 kroner på kontoen den dagen hun fyller 65 år.

Grafen skjærer $y$-aksen der $x = 0$:

$y$-koordinaten til $P$ er $\dfrac{a}{1+b}$.

Vi definerer $f(x) = \dfrac{a}{1 + b \cdot e^{-kx}}$ i CAS og finner $f''(x)$.

CAS-input:

f(x) := a / (1 + b * exp(-k*x))
Derivative(f, x, 2)
Solve(f''(x) = 0, x)

CAS gir at $f''(x) = 0$ når

Vi setter inn $x_V = \dfrac{\ln b}{k}$ i $f(x)$:

Vendepunktet $V$ har $y$-koordinat $\dfrac{a}{2}$.

Vi beregner $f'(x)$ i CAS og setter inn $x_V = \dfrac{\ln b}{k}$.

Den deriverte er

Ved $x = x_V$ er $e^{-kx_V} = \dfrac{1}{b}$, så $b \cdot e^{-kx_V} = 1$. Vi setter inn:

Tangenten i vendepunktet $V$ har stigningstall $\dfrac{a \cdot k}{4}$.