S2 Høst 2012

S2 Høst 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner S2 H12	KI
2	Aritmetisk rekke med a1 og a4	KI
3	Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon	KI
4	Aksjefond og likningssystem	KI
5	Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere	KI
6	Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
1	Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger	KI
2	Villrein felt under jakt – logistisk funksjon	KI
3	Inntekt og kostnad med to utstyrstyper	KI
4	Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer	KI
5	Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

g(x) = \dfrac{3x - 2}{x^3}

h(x) = \ln(x^3 - x)

k(x) = x^3 e^{-x^2}

Deriver $g(x) = \dfrac{3x-2}{x^3}$

Deriver $h(x) = \ln(x^3 - x)$

Deriver $k(x) = x^3 e^{-x^2}$

Fasit

$\underline{\underline{g'(x) = \dfrac{6 - 6x}{x^4}}}$

$\underline{\underline{h'(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^3 - x}}}$

$\underline{\underline{k'(x) = x^2 e^{-x^2}(3 - 2x^2)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi omskriver brøken til et sum av potenser:

g(x) = \frac{3x - 2}{x^3} = \frac{3x}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 3x^{-2} - 2x^{-3}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen:

g'(x) = 3 \cdot (-2) x^{-3} - 2 \cdot (-3) x^{-4} = -6x^{-3} + 6x^{-4}

Vi skriver om til brøkform med fellesnevner $x^4$ :

g'(x) = \frac{-6x}{x^4} + \frac{6}{x^4} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{6 - 6x}{x^4}}}}

Vi bruker kjerneregelen. La $u = x^3 - x$ , slik at $h = \ln(u)$ .

h'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{(x^3 - x)'}{x^3 - x}

Vi deriverer telleren:

(x^3 - x)' = 3x^2 - 1

Dermed:

h'(x) = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{3x^2 - 1}{x^3 - x}}}}

Vi bruker produktregelen med $u = x^3$ og $v = e^{-x^2}$ :

k'(x) = u'v + uv'

Vi finner de to deriverte:

u' = 3x^2

For $v' = (e^{-x^2})'$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $-x^2$ :

v' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}

Setter inn i produktregelen:

k'(x) = 3x^2 \cdot e^{-x^2} + x^3 \cdot (-2x e^{-x^2})

k'(x) = 3x^2 e^{-x^2} - 2x^4 e^{-x^2}

Vi faktoriserer ut $x^2 e^{-x^2}$ :

k'(x) = \mathbf{\underline{\underline{x^2 e^{-x^2}(3 - 2x^2)}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Funksjoner

Oppgave 1-2 : Aritmetisk rekke med a1 og a4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar hva vi mener med at en rekke er aritmetisk.

I en aritmetisk rekke er $a_1 = 3$ og $a_4 = 12$ . Bestem $a_n$ og $s_n$ .

Fasit

En rekke der differansen mellom hvert ledd og det forrige er konstant.

$\underline{\underline{a_n = 3n}}$ , $\quad \underline{\underline{s_n = \dfrac{3n(n+1)}{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

En rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ er aritmetisk dersom differansen mellom hvert ledd og det foregående leddet er konstant. Denne konstante differansen kalles $d$ :

a_{n} - a_{n-1} = d \quad \text{for alle } n \geq 2

Det vil si at hvert ledd er $d$ større enn det forrige.

Vi bruker formelen for det $n$ -te leddet i en aritmetisk følge:

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Vi setter inn $a_1 = 3$ og $n = 4$ for å finne $d$ :

a_4 = 3 + (4-1) \cdot d = 3 + 3d = 12

3d = 9 \implies d = 3

Uttrykk for $a_n$ :

a_n = 3 + (n-1) \cdot 3 = 3 + 3n - 3 = \mathbf{\underline{\underline{3n}}}

Uttrykk for $s_n$ :

Vi bruker summeformelen for en aritmetisk rekke:

s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(3 + 3n) = \frac{n \cdot 3(1+n)}{2} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{3n(n+1)}{2}}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Rekker, Tallfølger

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P(x) = 2x^3 - 26x + 24

Forklar hvordan vi kan avgjøre om divisjonen $P(x) : (x - 1)$ vil gå opp, uten å utføre divisjonen.

Faktoriser $P(x)$ i lineære faktorer (førstegradsfaktorer).

Fasit

$P(1) = 0$ , så $(x-1)$ er en faktor.

$\underline{\underline{P(x) = 2(x-1)(x-3)(x+4)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Faktorsetningen sier at $(x - a)$ er en faktor i polynomet $P(x)$ hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .

Vi avgjør derfor om $(x-1)$ er en faktor ved å sjekke om $x = 1$ er et nullpunkt:

P(1) = 2 \cdot 1^3 - 26 \cdot 1 + 24 = 2 - 26 + 24 = 0

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i $P(x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $P(x) : (x-1)$ :

\require{enclose}

2x^3 + 0x^2 - 26x + 24 : (x - 1) = 2x^2 + 2x - 24

Vi kontrollerer steg for steg:

$2x^3 : x = 2x^2$ . Trekker fra $2x^2 \cdot (x-1) = 2x^3 - 2x^2$ . Rest: $2x^2 - 26x + 24$ .
$2x^2 : x = 2x$ . Trekker fra $2x \cdot (x-1) = 2x^2 - 2x$ . Rest: $-24x + 24$ .
$-24x : x = -24$ . Trekker fra $-24 \cdot (x-1) = -24x + 24$ . Rest: $0$ .

Altså:

P(x) = (x-1)(2x^2 + 2x - 24) = 2(x-1)(x^2 + x - 12)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2 + x - 12$ ved å finne to tall som multipliserer til $-12$ og adderer til $1$ : tallene $4$ og $-3$ .

x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)

Dermed er:

P(x) = \mathbf{\underline{\underline{2(x-1)(x-3)(x+4)}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjoner

Oppgave 1-4 : Aksjefond og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lise investerte 10 000 kroner i et aksjefond. Fondet brukte disse pengene til å kjøpe aksjer i selskapene A, B og C. Etter ett år var utbyttet av aksjene til sammen 900 kroner. Utbyttet fra selskap A, B og C var på henholdsvis 9 %, 1 % og 10 %. Fondet hadde brukt 4 000 kroner mer på investeringene i selskap A enn i selskap B.

Vis at opplysningene gir følgende likningssystem:

\begin{bmatrix} x + y + \phantom{1}z = 10000 \\ 9x + y + 10z = 90000 \\ x - y \phantom{+10z} = \phantom{0}4000 \end{bmatrix}

Hvilke størrelser står $x$ , $y$ og $z$ for?

Hvor mye av Lises penger investerte fondet i hvert av de tre selskapene?

Fasit

$x$ = beløp investert i A, $y$ = beløp investert i B, $z$ = beløp investert i C

$\underline{\underline{x = 4600 \, \mathrm{kr}}}$ , $\underline{\underline{y = 600 \, \mathrm{kr}}}$ , $\underline{\underline{z = 4800 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være beløpet (i kroner) fondet investerte i selskap A, $y$ i selskap B og $z$ i selskap C.

Første likning — totalt investert beløp er 10 000 kr:

x + y + z = 10000

Andre likning — totalt utbytte er 900 kr. Utbyttet fra A er $9\,\%$ av $x$ , fra B er $1\,\%$ av $y$ , fra C er $10\,\%$ av $z$ :

0{,}09x + 0{,}01y + 0{,}10z = 900

Ganger vi begge sider med 100, får vi:

9x + y + 10z = 90000

Tredje likning — fondet brukte 4 000 kr mer på A enn på B:

x - y = 4000

Disse tre likningene gir akkurat likningssystemet som er oppgitt. Her er $x$ , $y$ og $z$ beløpet (i kroner) fondet investerte i henholdsvis selskap A, B og C.

Vi løser likningssystemet ved eliminasjon.

Fra likning (1) og (3) kan vi uttrykke $y$ og bruke det i de andre. Fra likning (3):

x = y + 4000

Setter inn i likning (1):

(y + 4000) + y + z = 10000

2y + z = 6000 \quad \cdots (4)

Setter inn i likning (2):

9(y + 4000) + y + 10z = 90000

9y + 36000 + y + 10z = 90000

10y + 10z = 54000

y + z = 5400 \quad \cdots (5)

Trekker likning (5) fra likning (4):

(2y + z) - (y + z) = 6000 - 5400

y = 600

Fra likning (3):

x = 600 + 4000 = 4600

Fra likning (5):

z = 5400 - y = 5400 - 600 = 4800

Fondet investerte $\underline{\underline{4600 \, \mathrm{kr}}}$ i selskap A, $\underline{\underline{600 \, \mathrm{kr}}}$ i selskap B og $\underline{\underline{4800 \, \mathrm{kr}}}$ i selskap C.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Økonomi

Oppgave 1-5 : Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:

$t$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$k$
$P(X = t)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}4$	$0{,}2$	$p$

Forklar hvorfor $p$ må være lik $0{,}1$ .

Hva må $k$ være dersom vi vet at $\text{E}(X) = 0{,}3$ ?

Vi setter $k = 1$ . Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

Fasit

$\underline{\underline{p = 0{,}1}}$ fordi summen av alle sannsynligheter må være 1

$\underline{\underline{k = 4}}$

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 0}}$ , $\underline{\underline{\text{Var}(X) = 1{,}8}}$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter i en sannsynlighetsfordeling må alltid være lik 1:

0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}2 + p = 1

0{,}9 + p = 1

\underline{\underline{p = 0{,}1}}

Forventningsverdien er definert ved:

\text{E}(X) = \sum_t t \cdot P(X = t)

Vi setter inn alle verdiene fra tabellen (med $p = 0{,}1$ ):

\text{E}(X) = (-2) \cdot 0{,}2 + (-1) \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}2 + k \cdot 0{,}1

= -0{,}4 - 0{,}1 + 0 + 0{,}4 + 0{,}1k

= -0{,}1 + 0{,}1k

Vi vet at $\text{E}(X) = 0{,}3$ , så:

-0{,}1 + 0{,}1k = 0{,}3

0{,}1k = 0{,}4

\underline{\underline{k = 4}}

Med $k = 1$ ser tabellen slik ut:

$t$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$1$
$P(X = t)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}4$	$0{,}2$	$0{,}1$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = (-2) \cdot 0{,}2 + (-1) \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1

= -0{,}4 - 0{,}1 + 0 + 0{,}4 + 0{,}1

\underline{\underline{\text{E}(X) = 0}}

Varians:

Vi bruker formelen $\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2$ .

Først regner vi ut $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}2 + (-1)^2 \cdot 0{,}1 + 0^2 \cdot 0{,}4 + 2^2 \cdot 0{,}2 + 1^2 \cdot 0{,}1

= 4 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 0 + 4 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1

= 0{,}8 + 0{,}1 + 0{,}8 + 0{,}1 = 1{,}8

Dermed:

\text{Var}(X) = 1{,}8 - 0^2 = \underline{\underline{1{,}8}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ er tegnet nedenfor.

Graf til tredjegradsfunksjon f med punkter A–G

Bestem i hvilke av punktene $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ og $G$ begge disse betingelsene er oppfylt:

f'(x) < 0 \quad \text{og} \quad f''(x) < 0

Bestem i hvilke av punktene $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ og $G$ begge betingelsene $f'(x) < 0$ og $f''(x) < 0$ er oppfylt. Begrunn svaret ditt.

Fasit

Punkt $\underline{\underline{B}}$ og punkt $\underline{\underline{E}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trenger å finne punkter der begge betingelsene er oppfylt samtidig:

$f'(x) < 0$ betyr at funksjonen er avtagende i punktet (grafen heller nedover fra venstre til høyre).
$f''(x) < 0$ betyr at den deriverte er avtagende i punktet, dvs. funksjonen er konkav (buet nedover, «ryggen opp»).

Strategi:

Vi leser av grafen for hvert av punktene A–G og vurderer to ting:

Er grafen synkende i punktet? (Ja → $f'(x) < 0$ )
Er grafen buet nedover («konkav») i punktet, dvs. kurver kurven seg nedover? (Ja → $f''(x) < 0$ )

En tredjegradsfunksjon har ett vendepunkt der $f''$ skifter fortegn. Til venstre for vendepunktet er $f'' > 0$ (konveks, buet oppover), til høyre for vendepunktet er $f'' < 0$ (konkav, buet nedover).

Avlesning fra grafen:

Tredjegradsfunksjonen har et lokalt maksimum og et lokalt minimum. Punktene A–G er plassert langs kurven. Ved å lese av:

Punkter der grafen er synkende og konkav (buet nedover) er de som ligger mellom lokalt maksimum og vendepunktet fra høyre side — og punkter på den synkende delen til høyre for vendepunktet.

Fra grafen ser vi at:

Punkt B ligger på den synkende delen av grafen (mellom lokalt maksimum og lokalt minimum), og på den konkave siden (etter vendepunktet) → $f'(B) < 0$ og $f''(B) < 0$ ✓
Punkt E ligger tilsvarende på en synkende og konkav del av grafen → $f'(E) < 0$ og $f''(E) < 0$ ✓

De øvrige punktene oppfyller enten bare én av betingelsene eller ingen av dem.

Begge betingelsene $f'(x) < 0$ og $f''(x) < 0$ er oppfylt i punktene $\underline{\underline{B}}$ og $\underline{\underline{E}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning

Oppgave 2-1 : Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det $20\,983{,}32$ kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det $25\,486{,}92$ kroner på kontoen.

Vis at den årlige renten er $2{,}4\,\%$ .

Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 12. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden.

Etter den 12. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renta blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene.

Hva må renten være for at det skal stå 72 000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling?

Fasit

$r = \frac{25\,486{,}92 - 4000}{20\,983{,}32} = 1{,}024$ , altså $2{,}4\,\%$

$\underline{\underline{S_{12} \approx 54\,871 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{q \approx 1{,}0345}}$ , dvs. renten må være ca. $3{,}45\,\%$

LøsningsforslagKI-generert

Like etter innbetaling $n$ er saldoen $S_n = 20\,983{,}32 \, \mathrm{kr}$ . Det neste året vokser beløpet med vekstfaktoren $r$ , og så settes det inn $4000 \, \mathrm{kr}$ til:

S_{n+1} = S_n \cdot r + 4000

25\,486{,}92 = 20\,983{,}32 \cdot r + 4000

Vi løser for $r$ :

r = \frac{25\,486{,}92 - 4000}{20\,983{,}32} = \frac{21\,486{,}92}{20\,983{,}32} = 1{,}024

Vekstfaktoren $r = 1{,}024$ svarer til en rente på $\mathbf{2{,}4\,\%}$ .

Vi bruker $r = 1{,}024$ og $a = 4000 \, \mathrm{kr}$ per innbetaling. Rett etter 1. innbetaling er saldoen $4000 \, \mathrm{kr}$ . Rett etter 2. innbetaling er den $4000 \cdot r + 4000$ . Generelt er saldoen rett etter $n$ -te innbetaling:

S_n = 4000 \cdot (1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}) = 4000 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

For $n = 12$ :

S_{12} = 4000 \cdot \frac{1{,}024^{12} - 1}{1{,}024 - 1}

GeoGebra CAS bekrefter beregningen:

GeoGebra CAS – sparing med geometrisk rekke

$S_{12} \approx \underline{\underline{54\,871 \, \mathrm{kr}}}$

Etter den 12. innbetalingen er saldoen $S_{12} \approx 54\,871{,}34 \, \mathrm{kr}$ . Det settes ikke inn mer penger, men renten er nå $q$ (ny vekstfaktor). Etter 8 år skal saldoen være $72\,000 \, \mathrm{kr}$ :

S_{12} \cdot q^8 = 72\,000

Fra GeoGebra CAS (linje 3 i figuren over):

q^8 = \frac{72\,000}{54\,871{,}34} \implies q \approx 1{,}0345

Den nye renten er $q - 1 \approx 0{,}0345$ , altså $\underline{\underline{3{,}45\,\%}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sparing, Annuitetslån, Rekker, Rente

Oppgave 2-2 : Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det årlige antall villrein felt under jakt i årene etter 1980 kan beskrives ved funksjonen

f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}}

Her er $x$ antall år etter 1980.¹

Hvor mange dyr ble felt i 2010 ifølge denne modellen?

Bruk $f'(x)$ til å vise at det stadig felles færre dyr årlig.

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ . Hva forteller resultatet oss?

Tegn grafen til $f$ . Hvor mange villrein ble felt totalt i årene fra og med 1980 til og med 2010 ifølge denne modellen?

Fasit

$\underline{\underline{f(30) \approx 4987 \mathrm{~dyr}}}$

$f'(x) < 0$ for alle $x$ siden telleren alltid er negativ og nevneren alltid positiv.

Vendepunkt i $x = \dfrac{\ln 5}{0{,}07} \approx 23$ , dvs. ca. år 2003. $f(23) = 6566 \mathrm{~dyr}$ .

$\displaystyle\int_0^{30} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \underline{\underline{246\,527 \mathrm{~dyr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 30$ (år 2010 er 30 år etter 1980):

f(30) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07 \cdot 30}}

GeoGebra CAS gir $f(30) \approx 4987$ .

Ifølge modellen ble det felt omtrent $\underline{\underline{4987 \mathrm{~villrein}}}$ i 2010.

Vi deriverer $f(x) = \dfrac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}}$ med kvotientregelen. La $u(x) = 1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}$ , slik at $u'(x) = 0{,}20 \cdot 0{,}07 \cdot e^{0{,}07x} = 0{,}014 \cdot e^{0{,}07x}$ .

f'(x) = -\frac{13132 \cdot u'(x)}{\left[u(x)\right]^2} = -\frac{13132 \cdot 0{,}014 \cdot e^{0{,}07x}}{\left(1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}\right)^2}

Vi ser at:

Teller: $13132 \cdot 0{,}014 \cdot e^{0{,}07x} > 0$ for alle $x$ (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
Nevner: $\left(1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}\right)^2 > 0$ for alle $x$ .

Dermed er $f'(x) < 0$ for alle $x$ , og $f$ er strengt avtagende. Det felles altså stadig færre dyr hvert år.

GeoGebra CAS bekrefter (se linje 2 i utklippet under):

GeoGebra CAS – derivert, vendepunkt og integral

Vi løser $f''(x) = 0$ . For en funksjon på formen

f(x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{kx}}

kan en vise at $f''(x) = 0$ når $B \cdot e^{kx} = 1$ , dvs.

e^{kx} = \frac{1}{B} \implies kx = \ln\!\left(\frac{1}{B}\right) = -\ln B

Med $B = 0{,}20$ og $k = 0{,}07$ :

x = \frac{-\ln(0{,}20)}{0{,}07} = \frac{\ln 5}{0{,}07} \approx 23

Funksjonsverdi i vendepunktet:

f\!\left(\frac{\ln 5}{0{,}07}\right) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot \frac{1}{0{,}20}} = \frac{13132}{1 + 1} = \frac{13132}{2} = 6566

GeoGebra CAS gir vendepunktet $(22{,}99;\, 6566)$ (linje 4 i utklippet).

Vendepunktet er omtrent $(23;\, 6566)$ , som tilsvarer år $1980 + 23 = 2003$ . I dette punktet skifter $f''$ fortegn fra negativ til positiv: kurven er konkav (bøyd nedover) for $x < 23$ og konveks (bøyd oppover) for $x > 23$ . Biologisk betyr det at nedgangen i antall felte villrein var størst rundt år 2003 – etter 2003 avtar nedgangen gradvis.

Graf

$Graf av f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}} med vendepunkt$

Grafen viser en avtagende funksjon. Vendepunktet (rød punkt) er markert ved $x \approx 23$ , $f \approx 6566$ .

Totalt antall villrein felt 1980–2010

Vi beregner det bestemte integralet fra $x = 0$ (1980) til $x = 30$ (2010):

\int_0^{30} f(x) \, \mathrm{d}x

GeoGebra CAS (linje 5 i utklippet) gir:

\int_0^{30} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 246\,527

Ifølge modellen ble det totalt felt omtrent $\underline{\underline{246\,527 \mathrm{~villrein}}}$ i perioden 1980–2010.

Modell basert på tall fra http://www.ssb.no/aarbok/tab/tab-357.html (02.10.2010) ↩

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering, Integrasjon

Oppgave 2-3 : Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Inntekten (i tusen kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved funksjonen

I(x) = 110x - 2{,}2x^2, \qquad x \in [0,\; 35]

Hva er den største inntekten bedriften kan få? Hvor mange enheter må bedriften da produsere og selge?

Bedriften må fornye produksjonsutstyret og kan velge mellom to typer utstyr, A og B. Av erfaring vet bedriften at kostnaden (i tusen kroner) ved produksjon av $x$ enheter med type A er gitt ved

K_A(x) = 3{,}1x^2 - 86x + 1110

Tilsvarende er kostnaden ved type B gitt ved

K_B(x) = 1{,}9x^2 - 99x + 1900

Bestem grensekostnaden for type A og for type B.

Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi lavest kostnad?

Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi det største overskuddet?

Fasit

Største inntekt: $\underline{\underline{I(25) = 1375 \, \mathrm{tusen \, kr}}}$ ved $x = 25$ enheter.

$K_A'(x) = 6{,}2x - 86$ , $\quad K_B'(x) = 3{,}8x - 99$

Type A gir lavest kostnad: $\underline{\underline{K_A \approx 513{,}5 \, \mathrm{tusen \, kr}}}$ ved $x \approx 13{,}9$ enheter.

Type B gir størst overskudd: $\underline{\underline{O_B \approx 763{,}5 \, \mathrm{tusen \, kr}}}$ ved $x \approx 25{,}5$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS og Graf er brukt til alle beregninger nedenfor.

GeoGebra CAS – alle beregninger

Graf – I(x), K_A(x), K_B(x), O_A(x), O_B(x) med markerte maksimumspunkter

Vi setter opp inntektsfunksjonen og finner der den er størst ved å løse $I'(x) = 0$ :

I(x) = 110x - 2{,}2x^2, \qquad x \in [0,\, 35]

I'(x) = 110 - 4{,}4x

CAS (linje 3): $\text{Løs}(I'(x) = 0, x)$ gir $x = 25$ .

CAS (linje 4): $I(25) = 1375$ .

Siden $I'(x) > 0$ for $x < 25$ og $I'(x) < 0$ for $x > 25$ , er $x = 25$ et maksimum på $[0, 35]$ .

Den største inntekten er $\underline{\underline{I(25) = 1375 \, \mathrm{tusen \, kr}}}$ ved produksjon og salg av $\underline{\underline{25}}$ enheter.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen.

CAS (linje 7): $K_A'(x) = \dfrac{31}{5}x - 86 = 6{,}2x - 86$

CAS (linje 8): $K_B'(x) = \dfrac{19}{5}x - 99 = 3{,}8x - 99$

Grensekostnad for type A: $\underline{\underline{K_A'(x) = 6{,}2x - 86}}$

Grensekostnad for type B: $\underline{\underline{K_B'(x) = 3{,}8x - 99}}$

Vi finner minimumspunktet for hver kostnadsfunksjon ved å løse $K'(x) = 0$ :

CAS (linje 9): $\text{Løs}(K_A'(x) = 0, x) \Rightarrow x = \dfrac{430}{31} \approx 13{,}9$

CAS (linje 10): $K_A\!\left(\dfrac{430}{31}\right) = \dfrac{15920}{31} \approx 513{,}5 \, \mathrm{tusen \, kr}$

CAS (linje 11): $\text{Løs}(K_B'(x) = 0, x) \Rightarrow x = \dfrac{495}{19} \approx 26{,}1$

CAS (linje 12): $K_B\!\left(\dfrac{495}{19}\right) = \dfrac{23195}{38} \approx 610{,}4 \, \mathrm{tusen \, kr}$

Type A har lavest minimumskostnad ( ${\approx}513{,}5$ ) mot type B ( ${\approx}610{,}4$ ).

Type A vil kunne gi lavest kostnad, med minimum $\underline{\underline{K_A \approx 513{,}5 \, \mathrm{tusen \, kr}}}$ ved $x \approx 13{,}9$ enheter.

Størst overskudd $O(x) = I(x) - K(x)$ oppnås der grenseinntekten er lik grensekostnaden, dvs. $I'(x) = K'(x)$ .

Type A:

CAS (linje 13): $\text{Løs}(I'(x) = K_A'(x), x) \Rightarrow x = \dfrac{980}{53} \approx 18{,}5$

CAS (linje 14): $O_A\!\left(\dfrac{980}{53}\right) = I\!\left(\dfrac{980}{53}\right) - K_A\!\left(\dfrac{980}{53}\right) = \dfrac{37210}{53} \approx 702{,}1 \, \mathrm{tusen \, kr}$

Type B:

CAS (linje 15): $\text{Løs}(I'(x) = K_B'(x), x) \Rightarrow x = \dfrac{1045}{41} \approx 25{,}5$

CAS (linje 16): $O_B\!\left(\dfrac{1045}{41}\right) = I\!\left(\dfrac{1045}{41}\right) - K_B\!\left(\dfrac{1045}{41}\right) = \dfrac{62605}{82} \approx 763{,}5 \, \mathrm{tusen \, kr}$

Type B gir størst overskudd ( ${\approx}763{,}5$ ) mot type A ( ${\approx}702{,}1$ ).

Type B vil kunne gi det største overskuddet, med maksimalt overskudd $\underline{\underline{O_B \approx 763{,}5 \, \mathrm{tusen \, kr}}}$ ved $x \approx 25{,}5$ enheter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Kostnadsfunksjon, Økonomi, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-4 : Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk fyller og pakker poser med kaffe. Fyllemaskinen er innstilt til å fylle posene med 505 g. Anta at vekten av posene er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi lik 505 g og med standardavvik på 5 g.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g.

Hvor mange prosent av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g?

I en kvalitetskontroll blir 10 tilfeldig valgte poser veid. Resultatet vises i tabellen nedenfor.

Pose	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Vekt (i gram)	508	503	510	512	519	511	496	503	503	506

Dette ga bedriften mistanke om at maskinen fyller for mye i hver pose.

Gjennomfør en hypotesetest, og vurder om bedriften har grunn til sin mistanke.

Fasit

$\underline{\underline{P(X > 510) \approx 0{,}1587}}$

$\underline{\underline{\approx 95{,}45 \,\%}}$

P-verdi $\approx 0{,}092 > 0{,}05$ . Forkast ikke $H_0$ – bedriften har ikke statistisk grunnlag for mistanken ved signifikansnivå $5 \,\%$ .

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne sannsynligheter og gjennomføre hypotesetesten.

GeoGebra CAS – normalfordeling og hypotesetest

La $X$ være vekten av en tilfeldig valgt pose. $X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 505$ og $\sigma = 5$ .

Vi skal finne $P(X > 510)$ .

P(X > 510) = 1 - P(X \leq 510)

I GeoGebra CAS (linje 1):

\texttt{p\_a = 1 - FordelingNormal(505, 5, 510, true)}

P(X > 510) \approx \mathbf{\underline{\underline{0{,}1587}}}

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g er $\underline{\underline{\approx 0{,}1587}}$ , det vil si omtrent $15{,}9 \,\%$ .

Vi skal finne $P(495 < X < 515)$ .

P(495 < X < 515) = P(X \leq 515) - P(X \leq 495)

I GeoGebra CAS (linje 2):

\texttt{p\_b = FordelingNormal(505, 5, 515, true) - FordelingNormal(505, 5, 495, true)}

P(495 < X < 515) \approx 0{,}9545

$\underline{\underline{\approx 95{,}45 \,\%}}$ av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g.

Merk at dette tilsvarer intervallet $\mu \pm 2\sigma$ , noe som er i samsvar med tommelfingerregelen for normalfordelingen.

Vi gjennomfører en ensidig hypotesetest for å vurdere om maskinen fyller for mye.

Hypoteser:

H_0\text{: } \mu = 505 \qquad H_1\text{: } \mu > 505

Vi bruker signifikansnivå $\alpha = 5 \,\%$ .

Beregn gjennomsnittet av de 10 posene (linje 3 i CAS):

\bar{x} = \frac{508 + 503 + 510 + 512 + 519 + 511 + 496 + 503 + 503 + 506}{10} = 507{,}1 \text{ g}

Testobservator (linje 4):

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{507{,}1 - 505}{5 / \sqrt{10}} \approx 1{,}328

Vi antar at standardavviket $\sigma = 5$ er kjent (populasjonsstandardavvik fra maskinens innstillinger), og at $\bar{X}$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 505$ og $\sigma_{\bar{X}} = 5/\sqrt{10}$ når $H_0$ er sann.

P-verdi (linje 5):

p\text{-verdi} = P(Z > 1{,}328) \approx 0{,}092

Kritisk gjennomsnittsverdi (linje 6):

\bar{x}_{\text{krit}} = 505 + z_{0{,}95} \cdot \frac{5}{\sqrt{10}} \approx 507{,}60 \text{ g}

Konklusjon:

P-verdien $\approx 0{,}092 > 0{,}05 = \alpha$ , og $\bar{x} = 507{,}1 < 507{,}60 = \bar{x}_{\text{krit}}$ .

Vi forkaster ikke $H_0$ .

Bedriften har ikke statistisk grunnlag for mistanken om at maskinen fyller for mye, ved et signifikansnivå på $5 \,\%$ . Selv om gjennomsnittet i stikkprøven er noe høyere enn 505 g, er avviket ikke stort nok til å utelukke at det skyldes tilfeldige variasjoner.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk

Oppgave 2-5 : Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall nummer $n$ er gitt ved formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , $n \in \mathbb{N}$

Sett opp en tabell med de 12 første trekanttallene.

Det finnes en sammenheng mellom $T(m+n)$ og $T(m) + T(n)$ , $n \in \mathbb{N}$ , $m \in \mathbb{N}$

Sett $m = 2$ og $n = 8$ og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut

$T(2 + 8)$ , $T(2) + T(8)$ og

T(2 + 8) - (T(2) + T(8))

Sett inn andre verdier for $m$ og $n$ og undersøk hva $T(m+n) - (T(m) + T(n))$ blir. Prøv å formulere en generell regel.

Bruk formelen for $T(n)$ til å skrive uttrykket

T(m+n) - (T(m) + T(n))

så enkelt som mulig.

Fasit

Se tabell under.

$T(10) - (T(2)+T(8)) = 16 = 2 \cdot 8$ . Generell regel: $T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn$ .

$\underline{\underline{T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og beregner de 12 første trekanttallene:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$T(n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78

Med $m = 2$ og $n = 8$ leser vi av tabellen:

T(2+8) = T(10) = 55

T(2) + T(8) = 3 + 36 = 39

T(2+8) - (T(2)+T(8)) = 55 - 39 = \textcolor{seagreen}{16}

Vi merker oss at $\textcolor{seagreen}{16} = 2 \cdot 8 = m \cdot n$ . Vi prøver noen andre verdier:

$m$	$n$	$T(m+n)$	$T(m)+T(n)$	$T(m+n)-(T(m)+T(n))$	$m \cdot n$
3	4	$T(7) = 28$	$6+10 = 16$	$12$	$12$
1	5	$T(6) = 21$	$1+15 = 16$	$5$	$5$
3	3	$T(6) = 21$	$6+6 = 12$	$9$	$9$

Generell regel: $T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn$

Vi setter inn formelen $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ for hvert ledd:

T(m+n) - (T(m)+T(n))

= \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} - \left(\frac{m(m+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}\right)

= \frac{(m+n)(m+n+1) - m(m+1) - n(n+1)}{2}

Vi utvider telleren:

\textcolor{steelblue}{(m+n)(m+n+1)} = m^2 + mn + m + mn + n^2 + n = m^2 + 2mn + n^2 + m + n

\textcolor{tomato}{m(m+1)} = m^2 + m

\textcolor{tomato}{n(n+1)} = n^2 + n

Setter inn:

= \frac{(m^2 + 2mn + n^2 + m + n) - (m^2 + m) - (n^2 + n)}{2}

= \frac{m^2 + 2mn + n^2 + m + n - m^2 - m - n^2 - n}{2}

= \frac{2mn}{2} = mn

Vi har dermed bevist at

\boxed{T(m+n) - (T(m)+T(n)) = mn}

Verifisering med GeoGebra CAS:

Vi definerer $T(n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og lar CAS forenkle $T(m+n) - (T(m)+T(n))$ :

GeoGebra CAS bekrefter at T(m+n)-(T(m)+T(n)) = mn

CAS bekrefter at uttrykket forenkler til $\textbf{n} \cdot \textbf{m}$ , det vil si $mn$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Figurtall, Rekker, Bevis, Tallfølger

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Oppgave 1-2 : Aritmetisk rekke med a1 og a4

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4 : Aksjefond og likningssystem

Oppgave 1-5 : Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Oppgave 2-2 : Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Oppgave 2-3 : Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Oppgave 2-4 : Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Oppgave 2-5 : Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

S2 Høst 2012

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Oppgave 1-2 : Aritmetisk rekke med a1 og a4

Oppgave 1-3 : Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4 : Aksjefond og likningssystem

Oppgave 1-5 : Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Oppgave 1-6 : Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Oppgave 2-2 : Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Footnotes

Oppgave 2-3 : Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Oppgave 2-4 : Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Oppgave 2-5 : Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)