S2 Vår 2012

S2 Vår 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 1 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
2	Trekanttall og kubikksummer fra oddetall	KI
3	Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen	KI
4	Logistisk vekstmodell for sykdomsspredning	KI
5	PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest	KI
6	Bilkjøring strekning og bensinforbruk	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^3 + 2x + 3

g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x}

h(x) = 3x \cdot \ln(2x)

Vi har gitt rekkene

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \cdots$ — Bruk formelen for $S_n$ til å bestemme $S_{10}$

$2 + 5 + 8 + \cdots + 89$ — Bruk formler og bestem summen til rekken.

$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ — Bruk formelen for $S_n$ til å bestemme $S_8$

$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ — Bestem summen til den uendelige rekken.

Gitt funksjonen

f(x) = 4x^3 - 6x^2, \quad x \in \langle -1,\ 2 \rangle

Løs likningen $f(x) = 0$

Bestem $f'(x)$ , og tegn fortegnslinjen til den deriverte.

Bruk fortegnslinjen i 2) til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn en skisse av grafen til $f$ .

Overflaten til et tetraeder består av fire likesidede trekanter. De ulike sidene er markert med henholdsvis 1, 2, 3 og 4 øyne.

To tetraeder-terninger

Vi kaster to slike «terninger».

La $X$ være summen av antall øyne på de to sidene som vender ned.

Skriv av og fyll ut tabellen:

$x$	2	3	4	5	6	7	8
$P(X=x)$					$\dfrac{3}{16}$

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ .

En buss stoppet tre steder på en rute. På første holdeplass kom det på ti barn, fire voksne og tre pensjonister. Til sammen betalte disse 225 kroner. På neste stoppested kom det på åtte barn, tre voksne og to pensjonister. Disse betalte til sammen 170 kroner. På siste holdeplass kom det på ni barn, fire voksne og tre pensjonister. Disse betalte til sammen 215 kroner.

Sett opp og løs et likningssystem, og bestem billettprisen for barn, voksne og pensjonister.

Fasit

1) $f'(x) = 3x^2+2$ 2) $g'(x) = 4xe^{2x}(1+x)$ 3) $h'(x) = 3(\ln(2x)+1)$

1) $S_{10} = 110$ 2) $S = 1365$ 3) $S_8 = 255$ 4) $S = 2$

1) $x=0$ eller $x=\dfrac{3}{2}$ 2) $f'(x)=12x(x-1)$ 3) Toppunkt $(0,\,0)$ , bunnpunkt $(1,\,-2)$

Se tabell. $\text{E}(X) = 5$

Barn: $\underline{\underline{10 \, \mathrm{kr}}}$ , voksen: $\underline{\underline{20 \, \mathrm{kr}}}$ , pensjonist: $\underline{\underline{15 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer funksjonene enkeltvis.

1) $f(x) = x^3 + 2x + 3$

f'(x) = \textcolor{seagreen}{3x^2 + 2}

2) $g(x) = 2x^2 \cdot e^{2x}$ — produktregel med $u = 2x^2$ og $v = e^{2x}$ :

g'(x) = 4x \cdot e^{2x} + 2x^2 \cdot 2e^{2x} = 4xe^{2x} + 4x^2 e^{2x} = \textcolor{seagreen}{4xe^{2x}(1+x)}

3) $h(x) = 3x \cdot \ln(2x)$ — produktregel med $u = 3x$ og $v = \ln(2x)$ :

h'(x) = 3 \cdot \ln(2x) + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3\ln(2x) + 3 = \textcolor{seagreen}{3(\ln(2x)+1)}

(Her brukte vi kjerneregel for $\ln(2x)$ : den deriverte er $\dfrac{1}{2x} \cdot 2 = \dfrac{1}{x}$ .)

1) $2 + 4 + 6 + 8 + 10 + \cdots$ er en aritmetisk rekke med $a_1 = 2$ og $d = 2$ .

S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(2 + 20) = \textcolor{seagreen}{110}

2) $2 + 5 + 8 + \cdots + 89$ er en aritmetisk rekke med $a_1 = 2$ , $d = 3$ og siste ledd $a_n = 89$ .

Vi finner $n$ : $a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 89 \Rightarrow 3(n-1) = 87 \Rightarrow n = 30$

S_{30} = \frac{30}{2}(2 + 89) = 15 \cdot 91 = \textcolor{seagreen}{1365}

3) $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots$ er en geometrisk rekke med $a_1 = 1$ og $k = 2$ .

S_8 = \frac{a_1(k^8 - 1)}{k - 1} = \frac{1 \cdot (256 - 1)}{1} = \textcolor{seagreen}{255}

4) $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 1$ og $k = \dfrac{1}{2}$ .

S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = \textcolor{seagreen}{2}

Gitt $f(x) = 4x^3 - 6x^2$ på $x \in \langle -1,\, 2 \rangle$ .

1) Vi løser $f(x) = 0$ :

4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3) = 0

x = 0 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{3}{2}

Begge er i definisjonsmengden.

2) Vi deriverer:

f'(x) = 12x^2 - 12x = 12x(x-1)

Nullpunkter: $x = 0$ og $x = 1$ .

Fortegnslinje for $f'(x)$ :

\begin{array}{c|ccccc} x & & 0 & & 1 & \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

(For $x \in \langle -1,\, 0 \rangle$ : $12x < 0$ og $(x-1) < 0$ , så $f'(x) > 0$ . For $x \in (0,\,1)$ : $12x > 0$ og $(x-1) < 0$ , så $f'(x) < 0$ . For $x \in (1,\,2)$ : begge faktorer positive, $f'(x) > 0$ .)

3) Fra fortegnslinjen:

$x = 0$ : $f'$ skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt: $f(0) = 0$ , koordinater $(0,\, 0)$
$x = 1$ : $f'$ skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt: $f(1) = 4 - 6 = -2$ , koordinater $(1,\, -2)$

4) Skisse av grafen: Funksjonen starter i $f(-1) = -4-6 = -10$ , stiger til toppunktet $(0,\, 0)$ , faller til bunnpunktet $(1,\, -2)$ , og stiger deretter. Den krysser $x$ -aksen ved $x=0$ og $x = \dfrac{3}{2}$ , og ender i $f(2) = 32 - 24 = 8$ .

Et tetraeder har sidene merket 1, 2, 3 og 4. Vi kaster to slike terninger. $X$ = sum av øyne.

Totalantall utfall: $4 \times 4 = 16$ .

$x$	2	3	4	5	6	7	8
Gunstige utfall	$(1,1)$	$(1,2),(2,1)$	$(1,3),(2,2),(3,1)$	$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$	$(2,4),(3,3),(4,2)$	$(3,4),(4,3)$	$(4,4)$
$P(X=x)$	$\dfrac{1}{16}$	$\dfrac{2}{16}$	$\dfrac{3}{16}$	$\dfrac{4}{16}$	$\dfrac{3}{16}$	$\dfrac{2}{16}$	$\dfrac{1}{16}$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = 2 \cdot \frac{1}{16} + 3 \cdot \frac{2}{16} + 4 \cdot \frac{3}{16} + 5 \cdot \frac{4}{16} + 6 \cdot \frac{3}{16} + 7 \cdot \frac{2}{16} + 8 \cdot \frac{1}{16}

= \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 18 + 14 + 8}{16} = \frac{80}{16} = \textcolor{seagreen}{5}

La $b$ = pris barn, $v$ = pris voksen, $p$ = pris pensjonist (i kroner).

Fra de tre holdeplassene setter vi opp:

\begin{cases} 10b + 4v + 3p = 225 & \text{(I)} \\ 8b + 3v + 2p = 170 & \text{(II)} \\ 9b + 4v + 3p = 215 & \text{(III)} \end{cases}

Finn $b$ : Trekk (III) fra (I):

(10b - 9b) + (4v - 4v) + (3p - 3p) = 225 - 215

b = 10

Finn $v$ : Sett $b=10$ inn i (I) og (II):

\begin{cases} 4v + 3p = 125 & \text{(I')} \\ 3v + 2p = 90 & \text{(II')} \end{cases}

Multipliser (I’) med 2 og (II’) med 3:

\begin{cases} 8v + 6p = 250 \\ 9v + 6p = 270 \end{cases}

Trekk første fra andre: $v = 20$

Finn $p$ : Sett $v = 20$ inn i (I’):

4 \cdot 20 + 3p = 125 \implies 3p = 45 \implies p = 15

Svar: Billettprisen er $\underline{\underline{10 \, \mathrm{kr}}}$ for barn, $\underline{\underline{20 \, \mathrm{kr}}}$ for voksne og $\underline{\underline{15 \, \mathrm{kr}}}$ for pensjonister.

Kontroll: $10 \cdot 10 + 4 \cdot 20 + 3 \cdot 15 = 100 + 80 + 45 = 225$ ✓

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Rekker, Uendelig rekke, Funksjonsdrøfting, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Likningssystem

Oppgave 2-2 : Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tall som kan skrives på formen $T_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n$ , kalles for trekanttall.

Skriv opp de fem første trekanttallene.

Vi organiserer oddetallene i en talltrekant slik tabellen nedenfor viser.

$n$	$a_n$	$a_n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1		1
2	3 + 5	8		9	$3^2$
3	7 + 9 + 11	27	$3^3$	36
4	13 + 15 + 17 + 19			100
5	21 + 23 + 25 + 27 + 29				$15^2$

Skriv av og fyll ut tabellen. Bruk mønsteret som framkommer, til å finne en formel for $a_n$ .

Bruk mønsteret til å forklare at vi kan skrive

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2

Fasit

$T_1 = 1,\; T_2 = 3,\; T_3 = 6,\; T_4 = 10,\; T_5 = 15$

$\underline{\underline{a_n = n^3}}$

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Trekanttallene er $T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ . Vi regner opp de fem første:

T_1 = 1, \quad T_2 = 1+2 = 3, \quad T_3 = 1+2+3 = 6, \quad T_4 = 10, \quad T_5 = 15

De fem første trekanttallene er $\underline{\underline{1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15}}$ .

Vi fyller inn tabellen og leser av mønsteret:

$n$	$a_n$	$a_n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1	$1^3$	1	$1^2$
2	3 + 5	8	$2^3$	9	$3^2$
3	7 + 9 + 11	27	$3^3$	36	$6^2$
4	13 + 15 + 17 + 19	64	$4^3$	100	$10^2$
5	21 + 23 + 25 + 27 + 29	125	$5^3$	225	$15^2$

Mønsteret viser at $a_n = n^3$ .

Vi kan vise dette analytisk. Gruppe $n$ inneholder nøyaktig $n$ oddetall. Siden oddetallene i gruppe $n$ følger etter de $T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$ første oddetallene, begynner gruppe $n$ på oddetall nummer $T_{n-1}+1$ . Det $k$ -te oddetallet er $2k-1$ , så:

Første ledd i gruppe $n$ : $2\!\left(\tfrac{n(n-1)}{2}+1\right)-1 = n^2 - n + 1$
Siste ledd i gruppe $n$ : $2\!\left(\tfrac{n(n+1)}{2}\right)-1 = n^2 + n - 1$

Summen av $n$ ledd i en aritmetisk følge med første ledd $n^2-n+1$ og siste ledd $n^2+n-1$ :

a_n = \frac{n \cdot \bigl[(n^2-n+1)+(n^2+n-1)\bigr]}{2} = \frac{n \cdot 2n^2}{2} = n^3

$\underline{\underline{a_n = n^3}}$

Vi verifiserte dette i GeoGebra CAS (linje 3–4 i figuren under).

Fra tabellen ser vi at $S_n$ er summen av alle oddetallene i gruppe 1, 2, …, $n$ :

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3

Samtidig ser vi at $S_n = T_n^2 = (1+2+\cdots+n)^2$ , fordi oddetallene i alle gruppene til og med gruppe $n$ er nøyaktig de $T_n$ første oddetallene $1, 3, 5, \ldots, (2T_n - 1)$ , og summen av de $T_n$ første oddetallene er alltid $T_n^2$ .

Mer presist: summen av de $m$ første oddetallene er $m^2$ (et kjent resultat). Siden gruppene 1 til $n$ til sammen inneholder $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ oddetall, er

S_n = T_n^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = (1+2+\cdots+n)^2

Dermed:

\boxed{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2}

GeoGebra CAS bekrefter identiteten ved å forenkle differansen til $0$ (linje 5 i figuren):

GeoGebra CAS bekrefter a_n = n^3 og kubikksum-identiteten

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Rekker, Tallfølger, Bevis

Oppgave 2-3 : Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Line arver 100 000 kroner og vil spare pengene til en ny bil. I begynnelsen av et år setter hun dette beløpet på en konto med fast årlig rente på 4,5 %. I tillegg bestemmer hun seg for å sette 12 000 kroner inn på kontoen i begynnelsen av hvert av de neste årene.

Hvor mye penger står det på kontoen etter 3 år?

Hvor mange år må hun spare dersom det skal stå 200 000 kroner på kontoen?

For å få råd til «drømmebilen» må hun likevel låne 150 000 kroner til en rente på 6,0 % per år. Hun vil bruke 5 år på å betale ned lånet. Det første avdraget betaler hun ett år etter låneopptaket.

Hvor mye må hun betale hvert år?

Line synes at det årlige beløpet blir altfor høyt. Hun vil betale halvparten så mye hvert år.

Hvor lang tid tar det før lånet da er nedbetalt, dersom renten fortsatt er 6,0 % per år?

Fasit

$\underline{\underline{139\,760{,}91 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{7 \text{~år}}}$

$\underline{\underline{35\,609{,}46 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{13 \text{~år}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgavene.

GeoGebra CAS – Lines sparing og annuitetslån

Startinnskuddet på $100\,000 \, \mathrm{kr}$ settes inn i begynnelsen av år 1 og vokser med rente i 3 år. I tillegg settes $12\,000 \, \mathrm{kr}$ inn i begynnelsen av år 2 (vokser 2 år) og i begynnelsen av år 3 (vokser 1 år).

S = 100\,000 \cdot 1{,}045^3 + 12\,000 \cdot 1{,}045^2 + 12\,000 \cdot 1{,}045

GeoGebra CAS gir (linje 3):

S = 139\,760{,}91 \, \mathrm{kr}

Det står $\underline{\underline{139\,760{,}91 \, \mathrm{kr}}}$ på kontoen etter 3 år.

Vi setter opp et uttrykk for saldoen etter $n$ år og løser likningen $S(n) = 200\,000$ . Etter $n$ år har startinnskuddet vokst $n$ år, og de $n-1$ ekstrainnskuddene (satt inn i begynnelsen av år 2, 3, …, $n$ ) har vokst fra $n-1$ til 1 år:

100\,000 \cdot 1{,}045^n + 12\,000 \cdot \bigl(1{,}045^{n-1} + \cdots + 1{,}045\bigr) = 200\,000

Dette tilsvarer (geometrisk rekke):

100\,000 \cdot 1{,}045^n + 12\,000 \cdot \frac{1{,}045^n - 1{,}045}{1{,}045 - 1} = 200\,000

Vi prøver oss frem og finner at saldoen passerer $200\,000 \, \mathrm{kr}$ etter 7 år (ved $n = 6$ er saldoen ca. $198\,829 \, \mathrm{kr}$ , ved $n = 7$ er den ca. $220\,316 \, \mathrm{kr}$ ).

Line må spare i $\underline{\underline{7 \text{~år}}}$ for at det skal stå $200\,000 \, \mathrm{kr}$ på kontoen.

Vi bruker annuitetsformelen for å finne terminbeløpet $T$ som nedbetaler lånet $L = 150\,000 \, \mathrm{kr}$ med rente $r = 6{,}0\,\%$ per år over $n = 5$ terminer:

T = \frac{L \cdot r}{1 - (1+r)^{-n}} = \frac{150\,000 \cdot 0{,}06}{1 - 1{,}06^{-5}}

GeoGebra CAS gir (linje 5):

T = 35\,609{,}46 \, \mathrm{kr}

Line må betale $\underline{\underline{35\,609{,}46 \, \mathrm{kr}}}$ hvert år.

Line ønsker å betale halvparten, det vil si:

T_{\text{halv}} = \frac{35\,609{,}46}{2} \approx 17\,804{,}73 \, \mathrm{kr}

Vi setter opp likningen og løser for $n$ (GeoGebra CAS, linje 7):

\frac{150\,000 \cdot 0{,}06}{1 - 1{,}06^{-n}} = 17\,804{,}73

n \approx 12{,}08

Siden $n$ må være et helt antall terminer, og lånet ikke er nedbetalt etter 12 terminer, trenger hun 13 terminer.

Det tar $\underline{\underline{13 \text{~år}}}$ å betale ned lånet med halvt terminbeløp.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Sparing, Annuitetslån, Rente, Rekker

Oppgave 2-4 : Logistisk vekstmodell for sykdomsspredning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1000}{10 + e^{(3{,}912-0{,}5x)}}, \quad x \geq 0

Vis ved regning at $f(x)$ kan skrives på formen $f(x) = \dfrac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}$

Funksjonsverdiene til $f$ er antall individer som har, eller har hatt, en sykdom $x$ dager etter at sykdommen ble registrert første gang.

Bestem hvor mange som hadde sykdommen da den ble registrert første gang, ifølge denne modellen.

Tegn grafen til $f$ . Hvor mange individer vil få sykdommen i det lange løp?

Bestem hvor mange som fikk sykdommen den sjette dagen etter at sykdommen ble registrert første gang.

Fasit

Se utledning nedenfor.

$\underline{\underline{f(0) \approx 17}}$ — ca. 17 individer hadde sykdommen da den ble registrert.

$\underline{\underline{\lim_{x \to \infty} f(x) = 100}}$ — totalt 100 individer vil få sykdommen i det lange løp.

$\underline{\underline{f(6) - f(5) \approx 9}}$ — ca. 9 individer fikk sykdommen den sjette dagen.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ønsker å vise at

f(x) = \frac{1000}{10 + e^{(3{,}912-0{,}5x)}}

kan skrives som

f(x) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}

Vi starter med å faktorisere $10$ ut av nevneren:

f(x) = \frac{1000}{10 + e^{3{,}912 - 0{,}5x}} = \frac{1000}{10\left(1 + \dfrac{e^{3{,}912 - 0{,}5x}}{10}\right)}

Vi forkorter brøken med $10$ :

f(x) = \frac{100}{1 + \dfrac{e^{3{,}912} \cdot e^{-0{,}5x}}{10}}

Vi bruker at $e^{3{,}912} \approx 50$ , altså $\dfrac{e^{3{,}912}}{10} \approx \dfrac{50}{10} = 5{,}0$ :

f(x) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5x}}

Dette er det vi ønsket å vise. $\square$

Vi setter $x = 0$ (da sykdommen ble registrert første gang):

f(0) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0}} = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot 1} = \frac{100}{6} \approx 16{,}7

Siden antall individer må være et helt tall, var det ca. 17 individer som hadde sykdommen da den ble registrert første gang.

Grafen til $f$ er tegnet i GeoGebra. Den stiplede røde linjen viser grenseverdien $y = 100$ .

Graf av logistisk funksjon f(x) med grenseverdi 100

Ettersom $e^{-0{,}5x} \to 0$ når $x \to \infty$ , får vi

\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{100}{1 + 5{,}0 \cdot 0} = \frac{100}{1} = 100

I det lange løp vil totalt 100 individer få sykdommen.

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne $f(6) - f(5)$ :

GeoGebra CAS: beregning av f(5), f(6) og differansen

f(5) \approx 70{,}9 \qquad f(6) \approx 80{,}1

f(6) - f(5) \approx 80{,}1 - 70{,}9 \approx 9{,}17

Siden $x$ teller dager, er $f(6) - f(5)$ antall nye individer som fikk sykdommen den sjette dagen. Vi runder til nærmeste hele tall.

Ca. 9 individer fikk sykdommen den sjette dagen etter at sykdommen ble registrert første gang.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Funksjoner, Grenseverdi, Modellering

Oppgave 2-5 : PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

PISA er en internasjonal undersøkelse som blir gjennomført hvert tredje år blant skoleelever i en rekke land. Ved undersøkelsen i 2009 var det med 4 700 elever fra Norge. I naturfag scoret de norske elevene gjennomsnittlig 500 poeng. Det var nøyaktig likt det internasjonale gjennomsnittet. Standardavviket for norske elever var 90 poeng.

Vi trekker tilfeldig ut en elev blant de norske deltakerne. I oppgavene a) og b) kan du regne med at poengsummen til eleven er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 500 poeng og standardavvik 90 poeng.

Bestem sannsynligheten for at eleven scoret minst 650 poeng.

Bestem sannsynligheten for at eleven scoret mellom 475 og 535 poeng.

I virkeligheten kjenner vi ikke forventet poengsum for norske elever. Vi vet bare at gjennomsnittet var 500 poeng for de 4 700 elevene som var med i undersøkelsen.

Er det grunnlag for å si at norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng? Velg selv signifikansnivå.

Fasit

$\underline{\underline{P(X \geq 650) \approx 0{,}048}}$

$\underline{\underline{P(475 \leq X \leq 535) \approx 0{,}261}}$

$p\text{-verdi} \approx 0{,}00007 < 0{,}05$ – forkaster $H_0$ . Det er grunnlag for å si at norske elever var bedre.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 500$ og $\sigma = 90$ .

Vi beregner sannsynligheten for at en tilfeldig norsk elev scoret minst 650 poeng:

P(X \geq 650) = 1 - P(X < 650)

Med GeoGebra CAS:

1 - NormalFordeling(500, 90, 650)

P(X \geq 650) \approx \mathbf{0{,}048}

$P(X \geq 650) \approx \underline{\underline{0{,}048}}$ – det er omtrent $4{,}8 \,\%$ sjanse for at en tilfeldig norsk elev scoret minst 650 poeng.

Vi beregner sannsynligheten for at eleven scoret mellom 475 og 535 poeng:

P(475 \leq X \leq 535) = P(X \leq 535) - P(X < 475)

Med GeoGebra CAS:

NormalFordeling(500, 90, 535) - NormalFordeling(500, 90, 475)

P(475 \leq X \leq 535) \approx \mathbf{0{,}261}

$P(475 \leq X \leq 535) \approx \underline{\underline{0{,}261}}$ – det er omtrent $26{,}1 \,\%$ sjanse for at en tilfeldig norsk elev scoret mellom 475 og 535 poeng.

Vi gjennomfører en ensidig hypotesetest. Signifikansnivå: $\alpha = 5\,\%$ .

Hypoteser:

H_0 \colon \mu = 495 \qquad H_1 \colon \mu > 495

Vi vet at $\bar{x} = 500$ , $\sigma = 90$ og $n = 4700$ .

Siden $n$ er stort, er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu_0 = 495$ og standardfeil

\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{90}{\sqrt{4700}} \approx 1{,}313

Vi beregner $z$ -verdien:

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\text{SE}} = \frac{500 - 495}{\dfrac{90}{\sqrt{4700}}} \approx 3{,}809

Med GeoGebra CAS:

90 / sqrt(4700)          → 1.31278
(500 - 495) / (90/sqrt(4700))   → 3.8087

GeoGebra CAS – normalfordeling og hypotesetest

p-verdien er sannsynligheten for å observere et utvalgsgjennomsnitt like ekstremt som eller mer ekstremt enn $\bar{x} = 500$ , gitt at $H_0$ er sann:

p = P(Z \geq 3{,}809) \approx 0{,}00007

Siden $p \approx 0{,}00007 \ll 0{,}05 = \alpha$ , forkaster vi $H_0$ .

Konklusjon: Det er statistisk grunnlag (på $5\,\%$ signifikansnivå) for å si at $\underline{\underline{\text{norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng.}}}$

Merk: Selv med $\alpha = 1\,\%$ ( $z$ -kritisk $\approx 2{,}33$ ) vil vi forkaste $H_0$ siden $z \approx 3{,}81 > 2{,}33$ . Resultatet er svært robust for valg av signifikansnivå.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk, Sentralgrenseteoremet

Oppgave 2-6 : Bilkjøring strekning og bensinforbruk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Écometer

En bil kjører $x$ km i løpet av $t$ timer, der $x$ er gitt ved

x(t) = 80t + 30 \cdot e^{-0{,}4t} - 30

Hvor langt kjører bilen i løpet av den første halvtimen?

Bruk digitalt verktøy, og bestem hvor lang tid bilen bruker på de første 500 km.

Det samlede bensinforbruket $b$ etter å ha kjørt $x$ km er gitt ved

b(x) = 0{,}07 \cdot x \cdot (1 + e^{-0{,}5x})

der $b(x)$ er målt i liter.

Bestem $b'(x)$ . Forklar hvilke derivasjonsregler du har brukt. Hva er den praktiske betydningen av tallet $b'(10)$ ?

Det kan vises at bensinforbruket $f$ målt i liter per time etter $t$ timer er

f(t) = b'(x) \cdot x'(t)

Bestem bensinforbruket per minutt når bilen har kjørt i en halv time.

Fasit

$\underline{\underline{x(0{,}5) \approx 34{,}6 \, \mathrm{km}}}$

$\underline{\underline{t \approx 6{,}60 \mathrm{~timer}}}$

$\underline{\underline{b'(x) = 0{,}07\left(1 + e^{-0{,}5x}(1 - 0{,}5x)\right)}}$ , $b'(10) \approx 0{,}068 \, \mathrm{l/km}$

$\underline{\underline{f(0{,}5) \approx 0{,}082 \, \mathrm{l/min}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 0{,}5$ inn i $x(t)$ :

x(0{,}5) = 80 \cdot 0{,}5 + 30 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 0{,}5} - 30 = 40 + 30e^{-0{,}2} - 30 = 10 + 30e^{-0{,}2}

x(0{,}5) = 10 + 30 \cdot e^{-0{,}2} \approx 10 + 24{,}56 \approx 34{,}56 \, \mathrm{km}

Bilen har kjørt omtrent $\underline{\underline{34{,}6 \, \mathrm{km}}}$ i løpet av den første halvtimen.

Vi bruker digitalt verktøy til å løse likningen $x(t) = 500$ .

Vi tegner grafen til $x(t) = 80t + 30e^{-0{,}4t} - 30$ og den horisontale linjen $y = 500$ , og finner skjæringspunktet.

Graf av x(t) og y=500

Fra grafen leser vi av at skjæringspunktet er ved $t \approx 6{,}60$ .

Bilen bruker omtrent $\underline{\underline{t \approx 6{,}60 \mathrm{~timer}}}$ på de første 500 km.

Vi skal derivere $b(x) = 0{,}07 \cdot x \cdot (1 + e^{-0{,}5x})$ .

Vi skriver $b(x) = u(x) \cdot v(x)$ der $\textcolor{steelblue}{u(x) = 0{,}07x}$ og $\textcolor{tomato}{v(x) = 1 + e^{-0{,}5x}}$ .

Produktregelen gir $b'(x) = \textcolor{steelblue}{u'(x)} \cdot \textcolor{tomato}{v(x)} + \textcolor{steelblue}{u(x)} \cdot \textcolor{tomato}{v'(x)}$ .

Vi deriverer $v(x) = 1 + e^{-0{,}5x}$ med kjerneregelen: la $g(x) = -0{,}5x$ , da er $v(x) = 1 + e^{g(x)}$ og

\textcolor{tomato}{v'(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x) = e^{-0{,}5x} \cdot (-0{,}5) = -0{,}5e^{-0{,}5x}

Vi setter inn:

b'(x) = \textcolor{steelblue}{0{,}07} \cdot \textcolor{tomato}{(1 + e^{-0{,}5x})} + \textcolor{steelblue}{0{,}07x} \cdot \textcolor{tomato}{(-0{,}5e^{-0{,}5x})}

b'(x) = 0{,}07 + 0{,}07e^{-0{,}5x} - 0{,}035x \cdot e^{-0{,}5x}

\boxed{b'(x) = 0{,}07\left(1 + e^{-0{,}5x}(1 - 0{,}5x)\right)}

Vi kan verifisere dette med GeoGebra CAS:

CAS-derivasjon av b(x)

Praktisk betydning av $b'(10)$ :

b'(10) = 0{,}07\left(1 + e^{-5}(1 - 5)\right) = 0{,}07\left(1 - 4e^{-5}\right) \approx 0{,}068 \, \mathrm{l/km}

$b'(10)$ er den momentane endringen i bensinforbruk per km når bilen har kjørt 10 km, dvs. bilen forbruker omtrent $0{,}068$ liter per km akkurat ved $x = 10 \, \mathrm{km}$ .

Vi skal finne $f(0{,}5) = b'(x(0{,}5)) \cdot x'(0{,}5)$ .

Vi fant allerede i a) at $x(0{,}5) \approx 34{,}56 \, \mathrm{km}$ .

Vi deriverer $x(t) = 80t + 30e^{-0{,}4t} - 30$ med kjerneregelen:

x'(t) = 80 + 30 \cdot e^{-0{,}4t} \cdot (-0{,}4) = 80 - 12e^{-0{,}4t}

x'(0{,}5) = 80 - 12e^{-0{,}2} \approx 80 - 9{,}83 \approx 70{,}18 \, \mathrm{km/h}

Vi beregner $b'(x(0{,}5)) = b'(34{,}56)$ :

b'(34{,}56) = 0{,}07\left(1 + e^{-0{,}5 \cdot 34{,}56}(1 - 0{,}5 \cdot 34{,}56)\right) \approx 0{,}07 \, \mathrm{l/km}

(Leddet med $e^{-17{,}28}$ er svært nær null og kan neglisjeres.)

Bensinforbruket per time etter en halv time:

f(0{,}5) = b'(x(0{,}5)) \cdot x'(0{,}5) \approx 0{,}07 \cdot 70{,}18 \approx 4{,}91 \, \mathrm{l/h}

Vi omregner til per minutt ved å dele på 60:

f(0{,}5) \approx \frac{4{,}91}{60} \approx 0{,}082 \, \mathrm{l/min}

Bensinforbruket etter en halv times kjøring er omtrent $\underline{\underline{0{,}082 \, \mathrm{l/min}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Modellering, Økonomi

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon rekker og funksjonsdrøfting S2 V12

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2 : Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Oppgave 2-3 : Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen

Oppgave 2-4 : Logistisk vekstmodell for sykdomsspredning

Oppgave 2-5 : PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest

Oppgave 2-6 : Bilkjøring strekning og bensinforbruk

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave