S2 Vår 2011

Vi deriverer de tre funksjonene.

1) $f(x)=2x^3-5x+3$ deriveres ledd for ledd med potensregelen:

2) Vi skriver om $g(x)={\displaystyle \frac{3}{x^3}}=3x^{-3}$ og deriverer med potensregelen:

3) $h(x)=x^2\cdot \ln x$ deriveres med produktregelen ${(uv)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

I en aritmetisk tallfølge gjelder $a_n=a_1+(n-1)d$. Vi setter opp to likninger:

Trekker den første fra den andre:

Setter $d=2$ inn i den første likningen:

Nå kan vi finne $a_{15}$:

Vi utfører polynomdivisjon av $x^3-3x^2-13x+15$ med $(x+3)$:

Resten er $0$, så $(x+3)$ er en faktor. Brøken forkortes:

Vi identifiserer de første leddene i rekken:

Første ledd: $a_1=7$. Kvotienten mellom to påfølgende ledd:

Siden $|k|={\displaystyle \frac{2}{9}}<1$ konvergerer rekken. Summen av en uendelig geometrisk rekke er:

Vi skriver $8=2^3$ og får:

Siden eksponentfunksjonen er en-til-en, må eksponentene være like:

Vi faktoriserer: $(x-3)(x+1)=0$, som gir

1) Forventningsverdien beregnes som $\text{E}(X)=\sum x\cdot P(X=x)$:

2) Vi bruker $\text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-{[\text{E}(X)]}^2$. Først beregner vi $\text{E}(X^2)$:

Variansen blir da:

Dette viser at $\text{Var}(X)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

La $x_1$, $x_2$ og $x_3$ være verdien i kroner til henholdsvis mynt av type 1, 2 og 3. Vi setter opp likningsystemet:

Vi bruker eliminasjon. Multipliserer likning (1) med $2$ og likning (2) med $3$, trekker fra:

Multipliserer likning (1) med $2$ og likning (3) med $3$, trekker fra:

Fra likning (4): $x_3={\displaystyle \frac{15+5x_2}{2}}$. Setter inn i likning (5):

Multipliserer med $2$:

Setter $x_2=5$ inn i likning (4):

Setter $x_2=5$ og $x_3=20$ inn i likning (2):

Mynt av type 1 er verdt $10\mathrm{kr}$, mynt av type 2 er verdt $5\mathrm{kr}$ og mynt av type 3 er verdt $20\mathrm{kr}$.

Vi setter inn $n=1,2,\dots ,10$ i formelen $a_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$:

De ti første trekanttallene er $1,3,6,10,15,21,28,36,45,55$.

Vi beregner $a_{14}$ og $a_{15}$:

Summen er:

Dette er et kvadrattall.

Vi beregner $a_{20}$ og $a_{21}$:

Summen er:

Dette er også et kvadrattall. Påstanden ser ut til å stemme for begge disse parene.

Vi skal vise at $a_n+a_{n+1}$ alltid er et kvadrattall. Vi setter inn formelen for trekanttall:

Legger dem sammen:

Vi faktoriserer ut $(n+1)$ i telleren:

Vi har vist at

for alle naturlige tall $n$. Siden ${(n+1)}^2$ er et perfekt kvadrat, er summen av to nabotrekanttall alltid et kvadrattall.

Overskuddet til bedriften er differansen mellom inntekt og kostnad:

Overskuddet er størst der $O^{\prime }(x)=0$. Vi deriverer:

Overskuddet er altså størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Intuitivt: så lenge grenseinntekten er større enn grensekostnaden ($I^{\prime }(x)>K^{\prime }(x)$), øker overskuddet ved økt produksjon. Når grensekostnaden overstiger grenseinntekten, synker overskuddet. Optimalt punkt er der de er like.

Totalkostnaden $K(x)$ finner vi ved å multiplisere kostnad per enhet $E(x)$ med antall enheter $x$:

Inntekten $I(x)$ er prisen per enhet (55 kr) multiplisert med antall enheter $x$:

$K(x)=\mathrm{0,15}{x}^2+7x+2000$ og $I(x)=55x$.

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå kurve = $K(x)$, grønn linje = $I(x)$). De røde punktene markerer skjæringspunktene mellom $K$ og $I$.

Fra grafene ser vi at $I(x)>K(x)$ (inntekt større enn kostnad, dvs. overskudd) når $I$-grafen (grønn) ligger over $K$-grafen (blå).

Avlesning fra grafen:

• Skjæringspunkt 1: $x\approx 49$
• Skjæringspunkt 2: $x\approx 271$

Bedriften har overskudd for $x\in ⟨49,271⟩$, dvs. når dagsproduksjonen er mellom ca. 49 og 271 enheter.

Det største vertikale avstanden mellom de to grafene oppstår der stigningstallene er like, og dette ser ut til å skje ved $x\approx 160$. Størst overskudd oppnås ved $x\approx 160$ enheter.

Vi setter $K^{\prime }(x)=I^{\prime }(x)$ (grensekostnad lik grenseinntekt, jf. deloppgave a).

Vi deriverer $K(x)=\mathrm{0,15}{x}^2+7x+2000$:

Vi deriverer $I(x)=55x$:

Setter de lik hverandre:

Vi kan verifisere at dette gir et maksimum ved å merke at $O^{\prime \prime }(x)=-\mathrm{0,3}<0$.

Størst mulig overskudd:

For å maksimere overskuddet må bedriften produsere og selge $\underline{\underline{x=160\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ per dag. Størst mulig overskudd er $\underline{\underline{1840\mathrm{kr}}}$.

Vi lar de tre påfølgende kvadrattallene være $n^2$, ${(n+1)}^2$ og ${(n+2)}^2$.

Vi setter opp likningen:

Vi ekspanderer kvadratene:

Vi løser andregradslikningen med GeoGebra CAS:

CAS gir $n=-12$ eller $n=10$. Siden $n$ må være et positivt heltall (vi vil ha tre positive kvadrattall), er $n=10$.

De tre kvadrattallene er:

Sjekk: $100+121+144=365$ ✓

De tre påfølgende kvadrattallene er $\underline{\underline{100,121\text{ og }144}}$.

Vi lar de to påfølgende kvadrattallene være $n^2$ og ${(n+1)}^2$.

Vi setter opp likningen:

CAS (se skjermbilde over, linje 2) gir $n=-14$ eller $n=13$. Siden $n$ må være positiv, er $n=13$.

De to kvadrattallene er:

Sjekk: $169+196=365$ ✓

De to påfølgende kvadrattallene er $\underline{\underline{169\text{ og }196}}$.

1) Beregn $S_{10}$

Formelen for summen av en geometrisk rekke er

Vi setter inn $a_1=1$, $k={\displaystyle \frac{3}{2}}$ og $n=10$:

GeoGebra CAS bekrefter:

2) Uttrykk for $S_n$

På samme måte gir formelen generelt:

Vi ønsker å finne minste $n$ slik at $S_n>1000000$.

Vi setter opp ulikheten:

Vi tar logaritmen på begge sider:

Siden $n$ må være et heltall, er minste $n$ lik $33$.

Vi kontrollerer:

• $S_{32}=2\cdot {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{32}-2\approx 862878<1000000$
• $S_{33}=2\cdot {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{33}-2\approx 1294318>1000000$

Vi må ta med minst $\underline{\underline{33\text{ ledd}}}$ for at $S_n$ skal overstige $1000000$.

Vi setter $f(x)=0$:

Siden $3^u=3^0$ gir $u=0$, får vi:

Dette gir $x=0$ eller $x^2=3$, altså $x=\pm \sqrt{3}$.

Nullpunktene er $x=-\sqrt{3}$, $x=0$ og $x=\sqrt{3}$.

Grafen til $f$ er tegnet med GeoGebra:

Hvorfor ligger grafen over $y=-1$?

Eksponenten $u=\frac{1}{3}(x^3-3x)$ er et reelt tall for alle $x$. For enhver reell verdi av $u$ gjelder $3^u>0$. Dermed er alltid

Grafen til $f$ ligger derfor alltid strengt over linjen $y=-1$.

Vi bruker kjerneregelen. La $u=\frac{1}{3}(x^3-3x)$, slik at $f(x)=3^u-1$.

Den ytre deriverte av $3^u$ er $\ln 3\cdot 3^u$, og den indre deriverte er:

Ved kjerneregelen:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$. Siden $\ln 3>0$ og $3^{\frac{1}{3}(x^3-3x)}>0$ for alle $x$, er de to siste faktorene alltid positive. Dermed er

Fortegnslinje for $f^{\prime }(x)$:

Grafen vokser for $x<-1$ og $x>1$, og avtar for $-1<x<1$.

Toppunkt ved $x=-1$:

$\underline{\underline{\text{Toppunkt: }(-1,3^{\frac{2}{3}}-1)\approx (-1;\mathrm{1,08})}}$

Bunnpunkt ved $x=1$:

$\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: }(1,3^{-\frac{2}{3}}-1)\approx (1;-\mathrm{0,52})}}$

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne integralet og finne $a$.

Vi prøver $a\approx \mathrm{2,2272}$ og kontrollerer:

$\underline{\underline{a\approx \mathrm{2,23}}}$

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu =\mathrm{79,2}$ og $\sigma =\mathrm{6,4}$.

Vi standardiserer og bruker normalfordelingens kumulatve fordelingsfunksjon $\mathrm{\Phi }$.

1) Andel som veide mellom $\mathrm{75,0}$ og $\mathrm{85,0}\mathrm{kg}$:

Vi beregner z-verdiene for grensene:

Deretter finner vi sannsynligheten med GeoGebra CAS:

$\underline{\underline{\approx \mathrm{56,2}\%}}$ av kundene veide mellom $\mathrm{75,0}$ og $\mathrm{85,0}\mathrm{kg}$.

2) Andel som veide over $\mathrm{100,0}\mathrm{kg}$:

$\underline{\underline{\approx \mathrm{0,058}\%}}$ av kundene veide over $\mathrm{100,0}\mathrm{kg}$.

Vi ønsker å undersøke om trening har ført til at gjennomsnittsvekten har gått ned. Vi formulerer:

Dette er en ensidig hypotesetest (venstre hale), fordi vi undersøker om vekten har gått ned.

Vi gjennomfører en $z$-test med signifikansnivå $\alpha =5\%$.

Gitte opplysninger:

• $n=30$, $\bar{x}=\mathrm{76,0}\mathrm{kg}$, $\sigma =\mathrm{6,4}\mathrm{kg}$ (antatt uendret)
• Under $H_0$ er ${\mu }_0=\mathrm{79,2}$

Teststørrelsen:

Kritisk verdi for ensidig test med $\alpha =5\%$:

Vi beregner $z_{\text{obs}}$ og $z_{\text{krit}}$ i GeoGebra CAS:

Fra utklippet leser vi:

Beslutningsregel: Forkast $H_0$ hvis $z_{\text{obs}}<z_{\text{krit}}$.

Siden $z_{\text{obs}}$ er mer ekstrem enn den kritiske verdien, forkaster vi $H_0$.

Det er statistisk grunnlag på 5 % signifikansnivå for å hevde at $\underline{\underline{\text{gjennomsnittsvekten til kundene har gått ned}}}$ etter treningsperioden.