S2 Høst 2009

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S2 Høst 2009 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, rekke og polynomulikhet	—
2	Spesiell terning og sannsynlighetsfordeling	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Geometrisk rekke og medisin i kroppen	—
4	Produksjon med kostnad og inntekt for to varer	—
4	Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad	—
5	Hypotesetest for partis framgang	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, rekke og polynomulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f(x) = x^3 \cdot \ln x

g(x) = 3e^{2x} + e^{x^2}

Vi har en aritmetisk rekke der $a_3 = 8$ og $a_8 = 23$ . Bestem $a_1$ , $d$ og $S_{50}$ .

Løs likningen $\dfrac{6}{x^2 - 3x} + \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{2}{x-3}$

Vis at $x = -1$ er et nullpunkt til funksjonen $f(x) = 2x^3 - 10x^2 + 6x + 18$ . Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $f(x)$ .

Løs ulikheten $f(x) \geq 0$

Løs likningssettet

\begin{aligned} x + y - z &= 0 \\ 2x + y - z &= 2 \\ 4x + y - 2z &= 1 \end{aligned}

Vi har funksjonen $f(x) = x^3 - 3x + 6$

Finn $f'(x)$ . Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Aritmetisk rekke, Polynomdivisjon, Ulikheter

Oppgave 1-2 : Spesiell terning og sannsynlighetsfordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en spesiell terning er det én sekser, to treere og tre toere.

Du kaster terningen én gang. La $X$ være antall øyne som terningen viser.

Gi sannsynlighetsfordelingen til $X$ ved å skrive av og fylle ut tabellen nedenfor.

$x$	2	3	6
$P(X = x)$	$\frac{1}{2}$

Regn ut $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

Du kaster terningen to ganger. La $Y$ være summen av antall øyne som terningen viser.

Bestem sannsynlighetsfordelingen til $Y$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Geometrisk rekke og medisin i kroppen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det $n$ -te leddet i en rekke er gitt ved

a_n = \frac{2^{n-1}}{3^n}

Skriv de fire første leddene i rekken. Vis at rekken er geometrisk, og finn kvotienten $k$ .

Bestem ved regning hvor mange ledd du minst må ta med i rekken for at $S_n > 0{,}999$ .

Avgjør om rekken konvergerer. Finn eventuelt summen.

En pasient som er kronisk syk, tar hver dag en tablett som inneholder $0{,}33 \mathrm{~mg}$ av en bestemt medisin. Kroppen bryter ned $33{,}3 \%$ av denne medisinen på ett døgn. Hvis pasienten har mer enn $1{,}5 \mathrm{~mg}$ av denne medisinen lagret i kroppen, kan det gi alvorlige bivirkninger.

Ville du ha anbefalt denne medisinbehandlingen for pasienten? Begrunn svaret ditt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Modellering

Oppgave 2-4 : Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En bedrift produserer $x$ enheter av en vare $A$ . Alle de $x$ enhetene blir solgt. Kostnaden i kroner ved produksjonen er gitt ved funksjonen

K_A(x) = 0{,}3x^2 + 20x + 1000 \, , \qquad x \leq 150

Inntekten i kroner av salget er gitt ved funksjonen

I_A(x) = 200x - x^2 \, , \qquad x \leq 150

Tegn grafene til $K_A$ og $I_A$ i samme koordinatsystem. Bruk grafene til å finne hvor mange enheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst. Forklar framgangsmåten din.

Finn ved regning uttrykkene for grensekostnaden og grenseinntekten. Bestem ved regning den produksjonen som gir størst overskudd.

For en annen vare $B$ varierer etterspørselen bare med prisen $p$ kroner per enhet. Etterspørselen er antall enheter som selges.

Funksjonen

e(p) = 1000 - 17p \quad \text{der} \quad p \leq 50

er en god modell for etterspørselen.

Bedriften innretter produksjonen slik at det produseres like mange enheter som det selges.

Finn et uttrykk for inntekten $I_B$ som funksjon av $p$ . Bestem den prisen som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten med denne prisen?

Kostnadene i kroner ved produksjonen er gitt ved

K_B(x) = 800 - 10x + 0{,}04x^2

der $x$ er antall produserte enheter.

Bestem et uttrykk for kostnaden $K_B$ som funksjon av $p$ .

Hvilken pris gir størst overskudd? Hvor stort er det maksimale overskuddet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Etterspørsel

Oppgave 2-4 : Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy.

Kostnaden i kroner ved å produsere $x$ enheter av en vare per dag er gitt ved funksjonen

K(x) = 2000 \cdot e^{\frac{x}{400}} \, , \qquad x \leq 500

Enhetskostnaden $E(x)$ er gjennomsnittskostnaden per enhet, det vil si $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$ .

Tegn grafen til $K$ . Forklar at enhetskostnaden når det produseres 150 enheter, er lik stigningstallet til linjen som går gjennom origo og punktet $(150, K(150))$ .

Tegn en rett linje gjennom origo og et vilkårlig punkt $P$ på grafen til $K$ . Bestem, ved å flytte punktet $P$ langs grafen, den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad.

Finn grensekostnaden. Hva blir grensekostnaden når produksjonen er 300 enheter? Forklar hva dette svaret forteller oss.

Finn grafisk når enhetskostnaden er lik grensekostnaden.

Inntekten ved salg av $x$ enheter av varen per dag er gitt ved funksjonen

I(x) = 50x - 0{,}05x^2

Det selges like mange enheter som det produseres.

Bestem overskuddet når enhetskostnaden er lik grensekostnaden. Kommenter svaret ditt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Eksponentialfunksjon, Optimering

Oppgave 2-5 : Hypotesetest for partis framgang

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Denne oppgaven teller som tre delspørsmål.

Et meningsmålingsinstitutt gjennomfører en spørreundersøkelse for et bestemt politisk parti. I undersøkelsen blir $1500$ tilfeldig valgte personer spurt om de ville ha stemt på partiet dersom det var valg.

I undersøkelsen svarer $321$ personer at de ville ha stemt på partiet. Ved forrige valg stemte $19{,}8 \%$ av velgerne på partiet.

Bruk det du har lært i statistikk, til å vurdere om partiet har hatt framgang siden forrige valg. Begrunn resonnementet ditt med beregninger.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Normalfordeling

Sync på tvers av enheter

S2 Høst 2009

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, rekke og polynomulikhet

Oppgave 1-2 : Spesiell terning og sannsynlighetsfordeling

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Geometrisk rekke og medisin i kroppen

Oppgave 2-4 : Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Oppgave 2-4 : Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Oppgave 2-5 : Hypotesetest for partis framgang

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave