S2 Eksempeloppgave 2008

LK065 oppgaver · 5 timer (2 + 3)

Eksamensoppgavene er utgitt av Utdanningsdirektoratet. Første nedlasting kjører en bot-sjekk i nettleseren (Vercel BotID) — mer i personvernerklæringen.

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 3

g (x) = 2 x e^{3 x}

Finn summen av den uendelige rekka: $9 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + \dots$

Finn summen av de 119 første naturlige tallene.

Ledd nummer $n$ i en rekke er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

Bestem $a_{5}$ og $S_{5}$ .

Vis at $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ . Bestem $S_{999}$ .

Vis at $x = 1$ er en løsning på likningen $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ . Bruk polynomdivisjon til å finne de to andre løsningene.

Løs likningssettet

\begin{matrix} x + y + z & = 1 \\ 3 x - y + 2 z & = 7 \\ 4 x + 3 y - z & = 10 \end{matrix}

En maskin som lager terninger, var feilinnstilt. Terningene fikk to treere og ingen seksere.

$x$	1	2	3	4	5	6
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$

Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.

Regn ut $E (X)$ og $Var (X)$ .

Totalkostnaden i kroner for en vare er gitt ved $K (x) = x^{2} - 2 x + 4$ der $x$ er antall produserte enheter.

Finn et uttrykk for enhetskostnaden og grensekostnaden.

Finn den minste enhetskostnaden.

En regel i økonomien sier at vi finner den laveste verdien for enhetskostnaden der grafen til enhetskostnaden og grafen til grensekostnaden skjærer hverandre.

Vis at denne regelen alltid gjelder.

Fasit

$f^{'} (x) = 12 x^{2} - 10 x + 3$ , $g^{'} (x) = 2 e^{3 x} (1 + 3 x)$

$s = 10$ , $S_{119} = 7140$

$a_{5} = \frac{1}{30}$ , $S_{5} = \frac{5}{6}$ , $S_{999} = \frac{999}{1000}$

$x = 1, x = 3, x = - 2$

$x = \frac{53}{19}, y = - \frac{14}{19}, z = - \frac{20}{19}$

$E (X) = 3$ , $Var (X) = \frac{5}{3}$

$k (x) = x - 2 + \frac{4}{x}$ , $K^{'} (x) = 2 x - 2$ , minste enhetskostnad $k (2) = 2 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker regelen for derivasjon av potensfunksjoner ledd for ledd:

f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 12 x^{2} - 10 x + 3

Her bruker vi produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = 2 x$ og $v = e^{3 x}$ :

g^{'} (x) = 2 \cdot e^{3 x} + 2 x \cdot 3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} (1 + 3 x)

Rekka $9 + 0,9 + 0,09 + \dots$ er en uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 9$ og $k = 0,1$ . Siden $| k | < 1$ finnes summen:

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{9}{1 - 0,1} = \frac{9}{0,9} = 10

De naturlige tallene $1, 2, \dots, 119$ danner en aritmetisk rekke med $a_{1} = 1$ , $a_{119} = 119$ . Summen blir

S_{119} = \frac{a_{1} + a_{119}}{2} \cdot 119 = \frac{1 + 119}{2} \cdot 119 = 60 \cdot 119 = 7140

Leddet er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ .

Vi setter inn $n = 5$ :

a_{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}

Summen av de fem første leddene:

S_{5} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Leddene i summen kansellerer parvis (teleskoperende rekke): hvert negative brøkledd kansellerer det påfølgende positive leddet, slik at alt gjenstår er det aller første og det aller siste leddet:

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}

For $n = 999$ :

S_{999} = 1 - \frac{1}{1000} = \frac{999}{1000}

Vi setter $x = 1$ inn i likningen:

1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0

Siden dette stemmer, er $x = 1$ en løsning, og $(x - 1)$ er en faktor. Polynomdivisjon gir

(x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6) : (x - 1) = x^{2} - x - 6

Andregradsuttrykket faktoriseres videre:

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Likningen kan altså skrives $(x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ , som gir løsningene

x = 1, x = 3, x = - 2

Vi løser likningssettet

\begin{matrix} x + y + z & = 1 \\ 3 x - y + 2 z & = 7 \\ 4 x + 3 y - z & = 10 \end{matrix}

Fra den første likningen får vi $y = 1 - x - z$ . Setter vi dette inn i de to andre:

3 x - (1 - x - z) + 2 z = 7 \Rightarrow 4 x + 3 z = 8 (*)

4 x + 3 (1 - x - z) - z = 10 \Rightarrow x - 4 z = 7 (* *)

Fra $(* *)$ : $x = 7 + 4 z$ . Setter vi dette inn i $(*)$ :

4 (7 + 4 z) + 3 z = 8 \Rightarrow 28 + 19 z = 8 \Rightarrow z = - \frac{20}{19}

Da blir

x = 7 + 4 \cdot (- \frac{20}{19}) = 7 - \frac{80}{19} = \frac{53}{19}

y = 1 - x - z = 1 - \frac{53}{19} + \frac{20}{19} = \frac{19 - 53 + 20}{19} = - \frac{14}{19}

Løsningen er

x = \frac{53}{19}, y = - \frac{14}{19}, z = - \frac{20}{19}

En vanlig terning har $P (X = x) = \frac{1}{6}$ for hver av verdiene $1,2,3,4,5,6$ . Terningen i oppgaven har to sekssider som i stedet viser tallet $3$ , og ingen side viser $6$ . Det betyr at $P (X = 3)$ dobles, mens $P (X = 6) = 0$ :

$x$	1	2	3	4	5	6
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$0$

Forventningsverdien:

E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{2}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot 0 = \frac{1 + 2 + 6 + 4 + 5}{6} = \frac{18}{6} = 3

For variansen bruker vi $Var (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2}$ :

E (X^{2}) = 1^{2} \cdot \frac{1}{6} + 2^{2} \cdot \frac{1}{6} + 3^{2} \cdot \frac{2}{6} + 4^{2} \cdot \frac{1}{6} + 5^{2} \cdot \frac{1}{6} + 6^{2} \cdot 0 = \frac{1 + 4 + 18 + 16 + 25}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}

Var (X) = \frac{32}{3} - 3^{2} = \frac{32}{3} - \frac{27}{3} = \frac{5}{3}

Enhetskostnaden er totalkostnaden delt på antall enheter:

k (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x} = x - 2 + \frac{4}{x}

Grensekostnaden er den deriverte av totalkostnaden:

K^{'} (x) = 2 x - 2

Vi deriverer enhetskostnaden og setter lik null for å finne minimum:

k^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2 (x > 0)

Siden $k^{''} (x) = \frac{8}{x^{3}} > 0$ for $x > 0$ , er dette et minimum. Minste enhetskostnad:

k (2) = 2 - 2 + \frac{4}{2} = 2 kr

Enhetskostnaden er $k (x) = \frac{K (x)}{x}$ . Vi deriverer med brøkregelen:

k^{'} (x) = \frac{K^{'} (x) \cdot x - K (x)}{x^{2}}

I minimumspunktet er $k^{'} (x) = 0$ , altså

K^{'} (x) \cdot x - K (x) = 0 \Rightarrow K^{'} (x) = \frac{K (x)}{x} = k (x)

Dette betyr at grensekostnaden $K^{'} (x)$ er lik enhetskostnaden $k (x)$ nettopp i minimumspunktet til $k (x)$ — altså der grafene til $k (x)$ og $K^{'} (x)$ skjærer hverandre. Dette gjelder generelt for enhver kostnadsfunksjon der enhetskostnaden har et minimum, og stemmer med vårt eksempel: $k (2) = 2$ og $K^{'} (2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Rekker, Polynomdivisjon, Likningssystem, Forventningsverdi, Kostnadsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-2Stipendordninger og nåverdi av rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har lagt opp en langsiktig plan for å rekruttere kvalifisert arbeidskraft i framtida. Bedriften lover en stipendordning under skolegang og studier. De ferdigutdannete studentene må forplikte seg til å arbeide i bedriften i 5 år.

En elev/student kan velge mellom å få stipendet

utbetalt 48 000 kr hvert år i 10 år. Første utbetaling om 1 år.
utbetalt 105 000 kr kontant i dag. Deretter 45 000 kr hvert år i 5 år, første utbetaling om 1 år.
utbetalt 60 000 kr hvert år i 10 år. Første utbetaling om 5 år.

Kalkulator

Hvilken stipendordning er mest lønnsom for eleven/studenten når renten er 5 % per år? Bruk det du kan om rekker i begrunnelsen din.

Kalkulator

Ville konklusjonen blitt annerledes hvis renten hadde vært 8 % per år?

Fasit

Ordning 3 er mest lønnsom ( $P V_{3} \approx 381 161 kr$ )

Ja — ved $8 %$ rente blir ordning 1 mest lønnsom ( $P V_{1} \approx 322 084 kr$ )

LøsningsforslagKI-generert

For å sammenligne de tre stipendordningene regner vi ut nåverdien (verdien i dag) av alle utbetalingene i hver ordning, og sammenligner disse. Vi neddiskonterer hver utbetaling med rentefaktoren $1,05$ (5 % rente), siden en utbetaling om $i$ år har nåverdi $\frac{K}{{1,05}^{i}}$ .

Ordning 1: $48 000$ kr hvert år i 10 år, første utbetaling om 1 år. Dette er en geometrisk rekke med kvotient $k = \frac{1}{1,05}$ :

P V_{1} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{48 000}{{1,05}^{i}}

Ordning 2: $105 000$ kr i dag, deretter $45 000$ kr hvert år i 5 år, første utbetaling om 1 år:

P V_{2} = 105 000 + \sum_{i = 1}^{5} \frac{45 000}{{1,05}^{i}}

Ordning 3: $60 000$ kr hvert år i 10 år, men første utbetaling er om 5 år (utbetalinger for $i = 5, 6, \dots, 14$ ):

P V_{3} = \sum_{i = 5}^{14} \frac{60 000}{{1,05}^{i}}

Vi beregner de tre summene i CAS.

Nåverdi av de tre stipendordningene ved 5 % og 8 % rente

Fra utklippet:

P V_{1} \approx 370 643 kr, P V_{2} \approx 299 826 kr, P V_{3} \approx 381 161 kr

Ordning 3 har høyest nåverdi og er dermed mest lønnsom for eleven/studenten ved 5 % rente, selv om utbetalingene starter senere. Grunnen er at den totale utbetalte summen ( $600 000$ kr) er klart høyere enn i de andre ordningene ( $480 000$ kr og $330 000$ kr), og dette veier opp for at pengene kommer noe senere.

P V_{3} \approx 381 161 kr er størst — ordning 3 er mest lønnsom

Vi gjentar beregningen med rentefaktor $1,08$ (8 % rente) i stedet for $1,05$ , se samme utklipp:

P V_{1} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{48 000}{{1,08}^{i}} \approx 322 084 kr

P V_{2} = 105 000 + \sum_{i = 1}^{5} \frac{45 000}{{1,08}^{i}} \approx 284 672 kr

P V_{3} = \sum_{i = 5}^{14} \frac{60 000}{{1,08}^{i}} \approx 295 927 kr

Nå er $P V_{1}$ størst. Konklusjonen endres: når renten øker fra 5 % til 8 %, blir ordning 1 mest lønnsom i stedet for ordning 3. Dette skjer fordi ordning 3 har utbetalinger som ligger lengst fram i tid (fra år 5 til år 14), og disse blir kraftigst diskontert ned når renten øker. Ordning 1 sine utbetalinger kommer tidligere (år 1–10), og rammes derfor mindre av renteøkningen.

P V_{1} \approx 322 084 kr er størst — konklusjonen endres til fordel for ordning 1

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Annuitetslån
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3-IDrøfting av eksponentialfunksjon og antiderivert

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt funksjonen

f (x) = 10 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x} x \in [0, 10]

Kalkulator

Vis at $f^{'} (x) = 10 \cdot (x - 2) \cdot e^{- x}$ . Tegn et fortegnskjema for $f^{'} (x)$ og bruk det til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Kalkulator

Finn $f^{''} (x)$ . Tegn et fortegnskjema for $f^{''} (x)$ og bruk det til å finne eventuelle vendepunkt på grafen til $f$ .

Kalkulator

Tegn en skisse av grafen til $f$ .

Kalkulator

Finn det samlede arealet som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = 0$ og $x = 10$ .

Funksjonen $f$ er en derivert til funksjonen $g$ .

Kalkulator

Bruk grafen til $f$ til å bestemme hvor grafen til $g$ stiger og hvor den synker. Finn $x$ -verdiene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 10 (x - 2) e^{- x}$ , bunnpunkt $(2, - 10 e^{- 2})$ , intet toppunkt i det indre av intervallet

$f^{''} (x) = 10 (3 - x) e^{- x}$ , vendepunkt $(3, - 20 e^{- 3})$

Se graf

$A = \frac{20}{e} - \frac{100}{e^{10}} \approx 7,35$

$g$ stiger på $⟨ 0, 1 ⟩$ og synker på $⟨ 1, 10 ⟩$ ; toppunkt for $g$ ved $x = 1$ , vendepunkt for $g$ ved $x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 10 (1 - x) e^{- x}$ med produktregelen, med $u = 10 (1 - x)$ , $u^{'} = - 10$ , $v = e^{- x}$ , $v^{'} = - e^{- x}$ :

f^{'} (x) = - 10 \cdot e^{- x} + 10 (1 - x) \cdot (- e^{- x}) = - 10 e^{- x} [1 + (1 - x)] = - 10 e^{- x} (2 - x) = 10 (x - 2) e^{- x}

Siden $e^{- x} > 0$ for alle $x$ , bestemmes fortegnet til $f^{'} (x)$ av faktoren $(x - 2)$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f$ er altså avtagende på $⟨ 0, 2 ⟩$ og voksende på $⟨ 2, 10 ⟩$ . Dette gir et bunnpunkt der $f^{'}$ skifter fra negativt til positivt, altså ved $x = 2$ :

f (2) = 10 (1 - 2) e^{- 2} = - 10 e^{- 2} \approx - 1,35

Bunnpunkt: $(2, - 10 e^{- 2}) \approx (2, - 1,35)$ . Siden $f^{'}$ ikke skifter fra positivt til negativt noe sted i det indre av $[0,10]$ , har $f$ intet toppunkt der. (Den største funksjonsverdien på intervallet er i venstre endepunkt, $f (0) = 10$ , men dette regnes ikke som et toppunkt siden $f^{'} (0) \neq 0$ .)

Vi deriverer $f^{'} (x) = 10 (x - 2) e^{- x}$ på samme måte:

f^{''} (x) = 10 \cdot e^{- x} + 10 (x - 2) \cdot (- e^{- x}) = 10 e^{- x} [1 - (x - 2)] = 10 e^{- x} (3 - x) = 10 (3 - x) e^{- x}

Fortegnet bestemmes av $(3 - x)$ :

Fortegnslinje for f''(x)

$f^{''}$ skifter fortegn ved $x = 3$ , så grafen har et vendepunkt der:

f (3) = 10 (1 - 3) e^{- 3} = - 20 e^{- 3} \approx - 1,00

Vendepunkt: $(3, - 20 e^{- 3}) \approx (3, - 1,00)$ .

Dette stemmer med CAS-utregningen av $f^{'}$ , $f^{''}$ og vendepunktet:

Vi bruker at $f$ er avtagende på $⟨ 0,2 ⟩$ med bunnpunkt $(2, - 10 e^{- 2})$ , deretter voksende med vendepunkt $(3, - 20 e^{- 3})$ og flater ut mot $x$ -aksen når $x$ øker. Grafen krysser $x$ -aksen i $x = 1$ (der $1 - x = 0$ ), er positiv for $x < 1$ og negativ for $x > 1$ :

Siden $f (x) = 10 (1 - x) e^{- x}$ har nullpunkt i $x = 1$ , er $f (x) > 0$ på $[0,1]$ og $f (x) < 0$ på $[1,10]$ . Det samlede arealet blir dermed

A = \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{10} f (x) d x

CAS gir de to integralene:

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{10}{e} \int_{1}^{10} f (x) d x = - 10 (\frac{e^{9} - 10}{e^{10}}) = \frac{10}{e} - \frac{100}{e^{10}}

Dette gir

A = \frac{10}{e} - (\frac{10}{e} - \frac{100}{e^{10}}) = \frac{20}{e} - \frac{100}{e^{10}} \approx 7,35

Det samlede arealet er $A \approx 7,35$ arealenheter.

Siden $f = g^{'}$ , forteller fortegnet til $f$ oss om $g$ er voksende eller avtagende:

$f (x) > 0$ for $x \in ⟨ 0,1 ⟩$ $\Rightarrow$ $g$ er voksende på $⟨ 0,1 ⟩$ .
$f (x) < 0$ for $x \in ⟨ 1,10 ⟩$ $\Rightarrow$ $g$ er avtagende på $⟨ 1,10 ⟩$ .

Siden $g^{'} = f$ skifter fortegn fra positivt til negativt i $x = 1$ , har $g$ et toppunkt ved $x = 1$ .

Vendepunkt for $g$ finner vi der $g^{''} = f^{'}$ skifter fortegn, altså der grafen til $f$ selv har bunn- eller toppunkt. Fra a) vet vi at $f^{'}$ skifter fortegn (fra negativt til positivt) i $x = 2$ . Da skifter $g^{''}$ fortegn fra negativt til positivt der, og $g$ har et vendepunkt ved $x = 2$ .

Det finnes ikke noe bunnpunkt for $g$ i det indre av intervallet, siden $f$ ikke skifter fortegn fra negativt til positivt noe annet sted enn i endepunktet.

Oppsummering: $g$ vokser på $⟨ 0,1 ⟩$ , avtar på $⟨ 1,10 ⟩$ , har toppunkt ved $x = 1$ og vendepunkt ved $x = 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Bestemt integral
Egen side: Åpne oppgave 2-3-I for seg selv

Oppgave 2-3-IIPersonbiler per 1000 innbyggere modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge data fra Statistisk årbok kan antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i Norge i perioden 1985 – 2005 uttrykkes ved funksjonen

f (x) = 506,8 - \frac{4,725 \cdot 10^{4}}{{1,513}^{x} + 525,7} x \in [0, 20]

der $x$ er antall år etter 1985.

I 1991 var det 4 500 000 innbyggere i Norge.

Kalkulator

Hvor mange registrerte personbiler var det i Norge i 1991?

Krever PC

Tegn en skisse av grafen til $f^{'}$ .

For hånd

Bruk grafen til $f^{'}$ til å finne interessante egenskaper for $f$ .

Kalkulator

Når øker antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere med 6 per år?

Gjennomsnittet til funksjonen $f$ i intervallet $[a, b]$ er $\frac{1}{b - a} \cdot A$ , der $A$ er arealet avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = a$ og $x = b$ .

Oppsett for hånd

Finn gjennomsnittlig antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i perioden 1985 – 2005.

Fasit

$\approx 1 885 000 personbiler$

Se skisse i løsningsforslaget.

$f$ er økende i hele perioden, med sterkest vekst omkring år 2000.

$x \approx 11,8 og x \approx 18,4$ (dvs. i 1997 og i 2003)

$\approx 440 personbiler per 1000 innbyggere$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 6$ (1991 er $6$ år etter 1985) inn i modellen:

f (6) = 506,8 - \frac{4,725 \cdot 10^{4}}{{1,513}^{6} + 525,7} \approx 418,9

Se linje 2 i CAS-utklippet.

CAS-utregning

Dette betyr at det i 1991 var omtrent $418,9$ personbiler per $1000$ innbyggere. Siden Norge hadde $4 500 000$ innbyggere, altså $4500$ tusen, blir antall registrerte personbiler

Antall = 418,9 \cdot 4500 \approx 1 885 000

Det var altså omtrent $1 885 000$ registrerte personbiler i Norge i 1991.

Vi lar $g (x) = f^{'} (x)$ og tegner grafen til $g$ på $[0, 20]$ i GeoGebra:

Graf til f'

Grafen viser at $g (x) = f^{'} (x)$ er positiv i hele intervallet, stiger fra en verdi nær $0$ ved $x = 0$ til et toppunkt (markert i grått) ved $x \approx 15,1$ der $f^{'} (x) \approx 9,3$ , og deretter avtar mot $x = 20$ . Den røde stiplede linja er $y = 6$ , med skjæringspunkter (grønne) ved $x \approx 11,8$ og $x \approx 18,4$ (brukes i d)).

Siden $f^{'} (x) > 0$ for alle $x \in [0, 20]$ , er $f$ voksende i hele perioden 1985–2005 — antall personbiler per 1000 innbyggere gikk altså aldri ned.

Grafen til $f^{'}$ viser videre at veksten ikke er jevn:

For $x \in ⟨ 0, 15,1 ⟩$ er $f^{'}$ økende, som betyr at $f$ er konveks (vekstfarten øker) — bilholdet vokser stadig raskere.
Ved $x \approx 15,1$ (år $\approx 2000$ ) har $f^{'}$ sitt toppunkt, med $f^{'} (15,1) \approx 9,3$ . Dette er også vendepunktet til $f$ — punktet der veksten er raskest, med omtrent $9,3$ flere personbiler per 1000 innbyggere per år.
For $x \in ⟨ 15,1, 20 ⟩$ er $f^{'}$ avtakende, som betyr at $f$ er konkav (vekstfarten avtar) — bilholdet fortsetter å øke, men stadig saktere.

Dette stemmer med en typisk logistisk vekstmodell: en S-formet kurve som starter med lav vekst, tar av og vokser raskt rundt vendepunktet, og flater deretter ut mot en øvre grense.

Vi skal finne $x$ slik at $f^{'} (x) = 6$ . Fra grafen i b) ser vi at den horisontale linja $y = 6$ skjærer $f^{'}$ i to punkter, siden $f^{'}$ først øker og så avtar med et toppunkt på $f^{'} (15,1) \approx 9,3 > 6$ .

Løser $f^{'} (x) = 6$ i CAS (linje 4 i utklippet under):

CAS-utregning

Dette gir

x \approx 11,8 eller x \approx 18,4

Siden $x$ er antall år etter 1985, svarer dette til $i løpet av 1997 og i løpet av 2003$ . Det stemmer med grafen i c): veksten passerer $6$ personbiler per 1000 innbyggere per år på vei opp mot toppen i 2000, og igjen på vei ned mot 2005.

Gjennomsnittlig funksjonsverdi til $f$ på $[0, 20]$ er

Gjennomsnitt = \frac{1}{20 - 0} \int_{0}^{20} f (x) d x

Regner det bestemte integralet i CAS (linje 5 og 6 i utklippet):

CAS-utregning

\int_{0}^{20} f (x) d x \approx 8802,9 \Rightarrow Gjennomsnitt = \frac{8802,9}{20} \approx 440,1

I perioden 1985–2005 var det i gjennomsnitt omtrent $440$ registrerte personbiler per 1000 innbyggere i Norge.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral
Egen side: Åpne oppgave 2-3-II for seg selv

Oppgave 2-4Levetid for motor med hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Levetiden til en spesiell motor antas å være normalfordelt med en forventningsverdi på 10 år og et standardavvik på 2 år.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at

motoren fungerer mindre enn 8 år

motoren fungerer mellom 8 og 11 år

Motorer som blir defekte før garantitiden går ut, blir erstattet av produsenten. Firmaet som produserer motorene, ønsker ikke å erstatte mer enn 3 % av de motorene som blir defekte.

Kalkulator

Hvor lang garantitid bør de da tilby?

I firmaet er de usikre på om forventet levetid er så lang som 10 år. De registrerer levetiden i antall år på 10 tilfeldig valgte motorer:

8,3 9,2 7,3 10,1 9,5 8,7 8,4 10,0 9,1 9,4

De antar fortsatt at levetiden til motoren er normalfordelt med standardavvik på 2 år.

Kalkulator

Still opp en nullhypotese $H_{0}$ og en alternativ hypotese $H_{1}$ for denne problemstillingen.

Kalkulator

Velg et signifikansnivå på 5 % og undersøk om firmaet må forkaste hypotesen $H_{0}$ .

Fasit

$P (X < 8) \approx 0,1587$ , $P (8 < X < 11) \approx 0,5328$

$t \approx 6,2 år$

$H_{0} : μ = 10, H_{1} : μ < 10$

$H_{0} beholdes$ ( $Z \approx - 1,58 > - 1,64$ )

LøsningsforslagKI-generert

Levetiden $X$ til motoren er normalfordelt med $μ = 10$ og $σ = 2$ .

Vi skal finne

1) P (X < 8) 2) P (8 < X < 11)

Vi standardiserer med $Z = \frac{X - μ}{σ}$ .

$z = \frac{8 - 10}{2} = - 1$ , og fra normalfordelingstabellen (eller GeoGebra) er

P (X < 8) = P (Z < - 1) \approx 0,1587

$z_{1} = \frac{8 - 10}{2} = - 1$ og $z_{2} = \frac{11 - 10}{2} = 0,5$ , som gir

P (8 < X < 11) = P (- 1 < Z < 0,5) \approx 0,5328

Se skjermbildet under (linje 1 og 2), der GeoGebra CAS bekrefter begge sannsynlighetene med kommandoene FordelingNormal(10, 2, 8) og FordelingNormal(10, 2, 11) - FordelingNormal(10, 2, 8).

GeoGebra CAS-utregning

Firmaet ønsker at høyst $3 %$ av motorene skal bli defekte før garantitiden $t$ er ute, altså at

P (X < t) = 0,03

Dette betyr at $t$ er den $3$ -prosentilen i normalfordelingen med $μ = 10$ og $σ = 2$ . Fra GeoGebra CAS (linje 3, InversNormalfordeling(10, 2, 0.03)) får vi

t \approx 6,238

Firmaet bør altså tilby en garantitid på omtrent $6,2 år$ (eventuelt avrundet ned til $6$ år, siden en litt kortere garantitid gir en enda lavere andel defekte enn $3 %$ ).

Firmaet er usikre på om forventet levetid fortsatt er $10$ år, eller om den kan ha blitt kortere. Vi setter derfor opp en ensidig test:

H_{0} : μ = 10 H_{1} : μ < 10

Vi tester på signifikansnivå $α = 0,05$ . Utvalget på $n = 10$ motorer har gjennomsnitt

\overline{x} = \frac{8,3 + 9,2 + 7,3 + 10,1 + 9,5 + 8,7 + 8,4 + 10,0 + 9,1 + 9,4}{10} = 9,0

(se linje 4 i skjermbildet). Under $H_{0}$ er $\overline{X}$ tilnærmet normalfordelt med $E (\overline{X}) = 10$ og $SD (\overline{X}) = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$ . Vi standardiserer:

Z = \frac{\overline{x} - μ}{σ / \sqrt{n}} = \frac{9 - 10}{2 / \sqrt{10}} \approx - 1,581

Dette bekreftes i linje 5 i skjermbildet. Ved signifikansnivå $5 %$ og ensidig test (venstre hale) er den kritiske grensen (linje 6)

z_{kritisk} = - 1,645

Siden $Z \approx - 1,581 > - 1,645$ , ligger ikke testobservatoren i forkastningsområdet.

Konklusjon: Firmaet kan ikke forkaste $H_{0}$ på $5 %$ -nivå. Utvalgsresultatet er ikke sterkt nok til å konkludere med at forventet levetid er kortere enn $10$ år, selv om gjennomsnittet i utvalget ligger under $10$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

S2 Eksempeloppgave 2008

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-2Stipendordninger og nåverdi av rekker

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3-IDrøfting av eksponentialfunksjon og antiderivert

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3-IIPersonbiler per 1000 innbyggere modell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Levetid for motor med hypotesetest

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1·Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-2·Stipendordninger og nåverdi av rekker

Oppgave 2-3-I·Drøfting av eksponentialfunksjon og antiderivert

Oppgave 2-3-II·Personbiler per 1000 innbyggere modell

Oppgave 2-4·Levetid for motor med hypotesetest

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Oppgave 2-2Stipendordninger og nåverdi av rekker

Oppgave 2-3-IDrøfting av eksponentialfunksjon og antiderivert

Oppgave 2-3-IIPersonbiler per 1000 innbyggere modell

Oppgave 2-4Levetid for motor med hypotesetest