S1 Vår 2020

Vi flytter alle ledd over på én side, slik at likningen blir en andregradslikning lik null.

Vi faktoriserer venstre side. Vi trenger to tall som har produkt $-8$ og sum $-2$, det vil si $-4$ og $2$.

Et produkt er null når minst én av faktorene er null.

Vi bruker definisjonen av logaritme: $\lg (3x+4)=1$ betyr at $3x+4={10}^1$.

Vi kontrollerer at svaret er innenfor definisjonsmengden, det vil si at $3x+4>0$. For $x=2$ er $3\cdot 2+4=10>0$, så svaret er gyldig.

Vi forenkler teller og nevner for seg.

I telleren regner vi ut parentesen med potensregelen ${(a{b}^{-1})}^3=a^3{b}^{-3}$:

I nevneren regner vi ut parentesen ${(3a{b}^2)}^3=3^3{a}^3{b}^6=27a^3{b}^6$.

Da får vi

Vi forkorter $a^3$ og forenkler tallbrøken og potensen av $b$:

Vi bruker logaritmeregelen $\lg p+\lg q=\lg (p\cdot q)$ og $\lg p-\lg q=\lg {\displaystyle \frac{p}{q}}$ til å samle alt til én logaritme.

Vi forenkler brøken inni logaritmen:

Da får vi

Per skal velge $3$ bøker blant de $8$ han har, og rekkefølgen har ingenting å si. Antall kombinasjoner er

Per kan legge sammen $\underline{\underline{56}}$ ulike kombinasjoner av bøker i sekken.

Denne dagen skal han ha undervisning i $3$ bestemte fag, men tar med seg $4$ av de $8$ bøkene tilfeldig. Vi skal finne sannsynligheten for at alle de $3$ riktige bøkene er blant de $4$ han tar med.

Antall måter å ta med seg $4$ bøker av $8$ er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)=70$. De gunstige utfallene er der alle $3$ riktige bøker er med (velges på $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right)=1$ måte), og den siste boken er en av de $5$ resterende, «feil» bøkene (velges på $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)=5$ måter):

Sannsynligheten blir dermed

Sannsynligheten for at Per har med seg riktig bok til alle fagene, er $\underline{\underline{\frac{1}{14}\approx \mathrm{0,071}}}$.

Vi skal finne sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til minst $2$ av de $3$ fagene, altså at han har med seg $2$ eller $3$ av de riktige bøkene. Dette er to disjunkte tilfeller:

• Nøyaktig $2$ riktige bøker: $2$ av de $3$ riktige bøkene og $2$ av de $5$ «feil» bøkene: $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)=3\cdot 10=30$.
• Alle $3$ riktige bøker: som i b), $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)=1\cdot 5=5$.

Siden tilfellene utelukker hverandre, adderer vi dem og deler på totalen $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{4}\right)=70$:

Sannsynligheten for at Per har med seg riktig bok til minst $2$ av fagene, er $\underline{\underline{\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}}}$.

Vi deriverer kostnadsfunksjonen $K(x)=\mathrm{0,4}{x}^2+400x+30000$:

Vi setter inn $x=200$:

Tolkning: Når produksjonen er $200$ enheter per dag, øker kostnaden med omtrent $560\mathrm{kr}$ dersom produksjonen økes med én enhet, fra $200$ til $201$ enheter.

Vi setter opp overskuddsfunksjonen ved å trekke kostnaden fra inntekten:

For å finne maksimalt overskudd deriverer vi og setter den deriverte lik null:

Siden $O^{\prime }(x)$ går fra positiv til negativ ved $x=200$ (og andregradsuttrykket har negativ ledende koeffisient), er dette et toppunkt, altså et maksimum.

Vi setter $x=200$ inn i $O(x)$:

Vi skal finne når $O(x)>0$:

Vi multipliserer med $-1$ (og snur ulikhetstegnet):

Vi finner først nullpunktene til $x^2-400x+30000=0$ med abc-formelen:

Siden andregradsuttrykket $x^2-400x+30000$ har positiv ledende koeffisient, er uttrykket negativt mellom nullpunktene.

Tolkning: Bedriften får positivt overskudd når den produserer og selger mellom $100$ og $300$ enheter per dag.

Vi skal løse likningen $g(x)=\mathrm{0,5}$ grafisk. Det betyr at vi tegner inn linja $y=\mathrm{0,5}$ i samme koordinatsystem som grafen til $g$, og leser av $x$-verdien der de to grafene skjærer hverandre.

Linja $y=\mathrm{0,5}$ ligger like under $y=1$, og av grafen ser vi at den skjærer grafen til $g$ i punktet der $x=3$.

Svar: $\underline{\underline{x=3}}$

Vi løser likningen $g(x)=5$ ved regning.

Siden $10={10}^1$, må eksponentene være like:

Svar: $\underline{\underline{x=1}}$

For å anslå $g^{\prime }(2)$ ut fra grafen tegner vi for hånd en tangent til grafen i punktet $(2,g(2))$. Stigningstallet til tangenten er tilnærmet lik den deriverte i punktet.

Vi leser av to punkter på den inntegnede tangenten, for eksempel omtrent $(1,\mathrm{3,4})$ og $(\mathrm{2,9},0)$, og bruker dem til å regne ut stigningstallet:

Svar: $\underline{\underline{g^{\prime }(2)\approx -\mathrm{1,8}}}$

Det fargelagte området er en firkant med hjørner i $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{7,0})$, $(\mathrm{6,4})$ og $(\mathrm{0,7})$.

Området ligger i første kvadrant, så vi må ha

Den øverste kanten går fra $(\mathrm{0,7})$ til $(\mathrm{6,4})$. Stigningstallet er

Linja gjennom $(\mathrm{0,7})$ er da $y=7-\mathrm{0,5}x$, som gir $x+2y=14$. Området ligger under denne linja:

Den høyre kanten går fra $(\mathrm{6,4})$ til $(\mathrm{7,0})$. Stigningstallet er

Linja gjennom $(\mathrm{7,0})$ er da $y=-4(x-7)=-4x+28$, som gir $4x+y=28$. Området ligger under denne linja:

Svar: $\underline{\underline{x\ge 0,y\ge 0,x+2y\le 14,4x+y\le 28}}$

Ved lineær optimering vet vi at maksimum (eller minimum) av en lineær størrelse over et slikt område alltid finnes i et av hjørnene. Vi regner ut $S=x+5y$ i hvert av hjørnene:

Størst verdi får vi i hjørnet $(\mathrm{0,7})$.

Svar: $\underline{\underline{S_{maks}=35}}$

$T=x+a\cdot y$ skal ha størst verdi i $(\mathrm{6,4})$. Da må verdien i $(\mathrm{6,4})$ være minst like stor som verdien i de to nabohjørnene $(\mathrm{0,7})$ og $(\mathrm{7,0})$.

I $(\mathrm{6,4})$: $T=6+4a$

Sammenligning med $(\mathrm{0,7})$: $T=7a$

Sammenligning med $(\mathrm{7,0})$: $T=7$

(Sammenligning med $(\mathrm{0,0})$ gir $6+4a\ge 0$, som holder for alle aktuelle verdier av $a$, og er derfor ikke begrensende.)

Dette stemmer også med at retningen til linjene $x+ay=T$ må ligge mellom stigningstallene til de to kantene som møtes i $(\mathrm{6,4})$, nemlig $-\mathrm{0,5}$ og $-4$.

Svar: $\underline{\underline{a\in [\frac{1}{4},2]}}$

Vi lar $x$ være antall år etter 1988 og setter opp punktene fra tabellen:

Vi legger disse inn i CAS/graftegner og utfører eksponentiell regresjon. Det gir modellen

der $x$ er antall år etter 1988.

Grafene til $g$ og $f$ er tegnet sammen med datapunktene for kvinner (røde punkter) i figuren under.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x)=85$:

Løser vi dette (grafisk eller med CAS), får vi $x\approx \mathrm{50,7}$. Se skjæringspunktet $S$ mellom $f$ og linja $y=85$ i figuren over, som bekrefter $x\approx \mathrm{50,68}$.

Siden $x$ er antall år etter 1988, blir fødselsåret

Modellen gir altså at forventet levealder når 85 år et sted i løpet av 2038. Det første hele fødselsåret der modellen viser en forventet levealder på minst 85 år, er derfor

$\underline{\underline{2039}}$

Ifølge modellen $f$ vil menn født i 2039 ha en forventet levealder på 85 år.

Vi lar $t$ være antall år etter 2015 og setter opp en eksponentiell modell $J(t)=84\cdot b^t$ for japanske menn, der $J(0)=84$ (forventet levealder i 2015).

Vi vet at $J(80)=89$ siden 2095 er 80 år etter 2015:

Vi skal finne $t$ slik at $J(t)=100$:

Løser vi dette med CAS, får vi $t\approx \mathrm{241,2}$.

Siden $t$ er antall år etter 2015, blir fødselsåret

Det første hele fødselsåret der modellen gir en forventet levealder på minst 100 år, er derfor

$\underline{\underline{2257}}$

Ifølge denne eksponentielle modellen vil japanske menn født i 2257 ha en forventet levealder på 100 år.

Antallet flatskjermer som produseres kan ikke være negativt, så $x\ge 0$ og $y\ge 0$.

For hver avdeling kan ikke antall timer brukt overstige antall timer tilgjengelig:

• Avdeling 1 bruker $6$ timer per skjerm av type A og $10$ timer per skjerm av type B, og har $7800$ timer tilgjengelig:

Deler vi begge sider på $2$, får vi $3x+5y\le 3900$.

• Avdeling 2 bruker $2$ timer per skjerm av type A og $6$ timer per skjerm av type B, og har $4200$ timer tilgjengelig:

Deler vi begge sider på $2$, får vi $x+3y\le 2100$.

• Avdeling 3 bruker $4$ timer per skjerm av type A og $4$ timer per skjerm av type B, og har $4400$ timer tilgjengelig:

Deler vi begge sider på $4$, får vi $x+y\le 1100$.

Dette gir nettopp de fem oppgitte ulikhetene.

Vi tegner de tre grenselinjene $3x+5y=3900$, $x+3y=2100$ og $x+y=1100$, sammen med aksene $x=0$ og $y=0$. Området som tilfredsstiller alle fem ulikhetene samtidig, er skravert i figuren under. Hjørnene i området er $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{0,700})$, $(\mathrm{300,600})$, $(\mathrm{800,300})$ og $(\mathrm{1100,0})$.

Fortjenesten er gitt ved

Maksimum av en lineær funksjon over et slikt område oppnås alltid i et hjørne. Vi setter inn hjørnene fra b):

Størst fortjeneste får vi i hjørnet $(800,300)$ (markert med rødt i figuren), altså ved å produsere $800$ flatskjermer av type A og $300$ flatskjermer av type B. Fortjenesten blir da

Vi setter $x=800$ og $y=300$ inn i timeforbruket for hver avdeling:

• Avdeling 1: $6\cdot 800+10\cdot 300=4800+3000=7800$ timer, altså full kapasitet ($7800$ av $7800$).
• Avdeling 2: $2\cdot 800+6\cdot 300=1600+1800=3400$ timer, av $4200$ tilgjengelige timer.
• Avdeling 3: $4\cdot 800+4\cdot 300=3200+1200=4400$ timer, altså full kapasitet ($4400$ av $4400$).

Avdeling 1 og avdeling 3 bruker altså all tilgjengelig tid, mens avdeling 2 har ledig kapasitet. Den ledige kapasiteten til avdeling 2 er

For at antall elbiler blant de 100 bilene skal kunne modelleres som en binomisk fordelt variabel, må vi anta at:

• Hver bil som passerer Danmarks plass er et uavhengig forsøk med bare to mulige utfall: elbil eller ikke elbil.
• Sannsynligheten for at en tilfeldig bil er elbil er den samme, $p=\mathrm{0,125}$, for hver av de 100 bilene.
• Antall forsøk er fast, $n=100$.

I praksis betyr dette at de 100 bilene som kjører forbi Danmarks plass må være representative for hele personbilparken i Hordaland (samme elbilandel som fylket for øvrig), og at hvorvidt én bil er elbil ikke påvirkes av hvilke biler som kjører like før eller etter.

La $X$ være antall elbiler blant de 100 bilene. Da er $X$ binomisk fordelt med $n=100$ og $p=\mathrm{0,125}$.

Vi skal finne

Fra CAS-utregningen (linje 1) er $P_b\approx \mathrm{0,26479}$.

Sannsynligheten for at minst 15 av de 100 bilene er elbiler er dermed

La $X$ nå være antall elbiler blant $n$ biler, der $X$ er binomisk fordelt med parametere $n$ og $p=\mathrm{0,125}$. Vi skal finne det minste $n$ slik at

Vi prøver oss frem i CAS med økende verdier av $n$ (se linje 2 og 3 i skjermbildet ovenfor):

• For $n=203$: $P(X\ge 20)\approx \mathrm{0,897}$, som er mindre enn $\mathrm{0,90}$.
• For $n=204$: $P(X\ge 20)\approx \mathrm{0,90144}$, som er større enn $\mathrm{0,90}$.

Siden sannsynligheten øker med $n$, er $n=204$ det minste antallet biler som oppfyller kravet.

Maria må altså føre statistikk over minst