S1 Høst 2020

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Høst 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Løs tre likninger med eksponent og logaritme	—
2	Forenkling av potens- og rasjonaluttrykk	—
3	Andregradsulikhet ved fortegnsskjema	—
4	Gull- og sølvmedaljer med likningssystem	—
5	Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge	—
6	Rasjonal funksjon med asymptoter	—
7	Lineær optimering av uttrykk i område	—
8	Kubisk funksjon med parallelle tangenter	—
9	Sylinder av rektangel med maksimalt volum	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 3 oppgaver · 24 poeng
1	Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling	—
2	Eksponentiell regresjon for avskoging	—
3	Lineær optimering med marsipanproduksjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Løs tre likninger med eksponent og logaritme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene:

2(3x + 2) = 2x(x + 2) + 4

3^x \cdot 3^2 = \frac{1}{3^5}

\lg(3x - 2) = 2\lg x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Likninger, Eksponentiallikning, Logaritmelikning

Oppgave 1-2 : Forenkling av potens- og rasjonaluttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig:

\frac{4a^3(a^{-2}b^3)^2}{(2^{-1})^{-2}\,ab^4}

\frac{1}{x - 1} - \frac{2x}{x^2 - 1} + 1

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Potensregler, Rasjonale uttrykk, Faktorisering

Oppgave 1-3 : Andregradsulikhet ved fortegnsskjema

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten:

x^2 - 3x + 2 \leq 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Ulikheter, Andregradsulikhet

Oppgave 1-4 : Gull- og sølvmedaljer med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I vinter-OL tok Norge til sammen 16 gull- og sølvmedaljer. En gullmedalje gir 7 olympiske poeng, og en sølvmedalje gir 5 olympiske poeng. Norge fikk til sammen 102 olympiske poeng for sine gull- og sølvmedaljer.

Bruk disse opplysningene til å bestemme hvor mange gullmedaljer Norge tok i vinter-OL i 2014.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Modellering

Oppgave 1-5 : Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tore og Mia diskuterer hvem som skal ta oppvasken. De legger 2 røde og 2 blå kuler i en krukke og skal trekke 2 kuler tilfeldig (uten tilbakelegging) fra krukken. Mia foreslår at hun må ta oppvasken dersom de 2 kulene har lik farge, mens Tore må ta oppvasken dersom de 2 kulene har ulik farge.

Bestem sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget.

Tore mener at dette er urettferdig. Han foreslår at de skal legge flere røde kuler i krukken.

Hvor mange røde kuler må det minst ligge i krukken dersom sannsynligheten for at de to kulene har ulik farge, er mindre enn 50 %?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 1-6 : Rasjonal funksjon med asymptoter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax + b}{x + c}

der $a$ , $b$ og $c$ er tre tall.

Figuren under viser grafen til $f$ sammen med asymptotene til grafen.

Graf til f med vertikal og horisontal asymptote

Bestem tallene $a$ , $b$ og $c$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning

Oppgave 1-7 : Lineær optimering av uttrykk i område

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et område $M$ er bestemt av ulikhetene

\begin{aligned} -2x + 5y &\leq 8 \\ 2x + y &\geq 4 \\ 2x - y &\leq 8 \end{aligned}

Skraver området $M$ i et koordinatsystem.

Bestem alle verdiene uttrykket $-2x + 3y$ kan få dersom $(x, y)$ skal ligge i $M$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter

Oppgave 1-8 : Kubisk funksjon med parallelle tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $\left[\dfrac{3}{2}, 2\right]$ .

Bestem $g'(2)$ .

Grafen til $g$ har to tangenter med stigningstall lik $g'(2)$ . Disse to tangentene tangerer grafen i henholdsvis punkt $A$ og punkt $B$ .

Bestem koordinatene $A$ og $B$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Vekstfart, Tangent

Oppgave 1-9 : Sylinder av rektangel med maksimalt volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rektangel har en omkrets på 96 cm. Sett sidene i rektangelet til å være $x$ cm og $y$ cm. Rektangelet skal formes til en sylinder med høyde $y$ cm, slik figuren under viser.

Sylinder formet av et rektangel med sider x og y

Forklar at $y = 48 - x$

Vis at volumet av sylinderen kan uttrykkes som

V(x) = \frac{1}{4\pi}(48x^2 - x^3)

Bestem $x$ slik at volumet av sylinderen blir størst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Derivasjon, Geometri

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Agnete planlegger en 14 dagers ferietur til sørkysten av Gran Canaria. Der er det i gjennomsnitt 300 soldager i året.

Hun har gjort noen beregninger og funnet ut at sannsynligheten for at alle de 14 dagene blir soldager, er $6{,}4\,\%$ .

Forklar hvordan hun kan ha kommet fram til dette resultatet. Hvilke forutsetninger ligger til grunn for beregningene?

En familie vurderer å reise på en 14 dagers tur til sørkysten av Gran Canaria hvert år de neste 8 årene.

Bestem sannsynligheten for at de opplever bare soldager på minst 2 av disse 8 framtidige feriereisene. Vi forutsetter at antall soldager i året ikke endrer seg i løpet av disse åtte årene.

Ole planlegger en 4 ukers ferietur til et annet sted i verden. Et reisebyrå oppgir at sannsynligheten for minst 22 soldager på dette feriestedet i løpet av en tilfeldig fireukersperiode er minst 90 %.

Hvor mange soldager i året må det minst være i gjennomsnitt på dette stedet for at påstanden fra reisebyrået skal være sann?

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-2 : Eksponentiell regresjon for avskoging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor stor avskogingen i Amazonas har vært i noen gitte år.

År	2012	2014	2016	2019
Avskoging ( $\text{km}^2$ )	4571	5012	7893	9762

Bruk regresjon til å bestemme en eksponentiell modell $g$ for avskogingen i Amazonas $x$ år etter 2011.

Det er laget en annen modell $f$ for avskogingen i Amazonas (målt i $\text{km}^2$ ) som har gyldighet fra år 2020. Modellen er

f(x) = 2450 \cdot x^{0{,}68}, \quad x \geq 9

Her er $x$ antall år etter 2011.

Tegn grafen til $f$ for $x \in [9, 39]$ .

I hvilket år vil avskogingen per år for første gang være mer enn dobbelt så stor som avskogingen var i 2016, ifølge modellen $f$ ?

Bestem $f'(10)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Myndighetene vil redusere vekstfarten i avskogingen med 3 % fra 2021 til 2022.

Gjør beregninger, og vurder om modellen $f$ stemmer med dette.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Potensfunksjon, Derivasjon

Oppgave 2-3 : Lineær optimering med marsipanproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Marsipan inneholder melis, mandler og eggehvite. Et konditori lager to typer marsipanpølser, type A og type B. Begge veier 500 gram.

Type A inneholder 50 % melis, 45 % mandler og 5 % eggehvite. Type B inneholder 20 % melis, 70 % mandler og 10 % eggehvite.

Konditoriet har hver dag tilgang på

60 kg melis
88,2 kg mandler
12 kg eggehvite

La $x$ og $y$ være antall marsipanpølser konditoriet produserer hver dag av henholdsvis type A og type B.

Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene

\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ 2{,}5x + y &\leq 600 \\ 2{,}25x + 3{,}5y &\leq 882 \\ x + 2y &\leq 480 \end{aligned}

Skraver området som er avgrenset av ulikhetene i oppgave a).

Konditoriet har en fortjeneste på 20 kroner per marsipanpølse av type A og 15 kroner per marsipanpølse av type B.

Hvor mange enheter av hver type må konditoriet hver dag produsere for å maksimere fortjenesten sin? Hva blir fortjenesten da?

En uke har konditoriet høyt sykefravær. Denne uken klarer de bare å produsere til sammen 250 marsipanpølser per dag.

Hva er den største fortjenesten de kan få per dag denne uken?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering

Sync på tvers av enheter

S1 Høst 2020

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Løs tre likninger med eksponent og logaritme

Oppgave 1-2 : Forenkling av potens- og rasjonaluttrykk

Oppgave 1-3 : Andregradsulikhet ved fortegnsskjema

Oppgave 1-4 : Gull- og sølvmedaljer med likningssystem

Oppgave 1-5 : Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge

Oppgave 1-6 : Rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave 1-7 : Lineær optimering av uttrykk i område

Oppgave 1-8 : Kubisk funksjon med parallelle tangenter

Oppgave 1-9 : Sylinder av rektangel med maksimalt volum

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling

Oppgave 2-2 : Eksponentiell regresjon for avskoging

Oppgave 2-3 : Lineær optimering med marsipanproduksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave