S1 Vår 2018

Vi flytter alle ledd over på venstre side.

Vi deler begge sider med $2$.

Dette er en andregradslikning, og vi kan faktorisere den direkte siden $1\cdot 2=2$ og $1+2=3$.

Vi deler begge sider med $2$.

Vi bruker definisjonen av logaritmen: $\lg (a)=b\iff a={10}^b$.

Vi sjekker at svaret er gyldig: $x+7=100>0$, så løsningen er innenfor definisjonsområdet.

Vi deler begge sider med $3$.

Vi skriver $4=2^2$ på høyre side, slik at hele høyresiden får samme grunntall.

Siden grunntallene er like, må eksponentene også være like.

Vi bruker kvadratsetningen ${(u-v)}^2=u^2-2uv+v^2$ på det første leddet og multipliserer ut det andre leddet.

Vi bruker logaritmesetningene $\lg (p)+\lg (q)=\lg (pq)$ og $\lg (p)-\lg (q)=\lg \left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)$.

Vi setter alle ledd på samme brøkstrek med fellesnevner $ab$.

Vi forkorter med $b$.

De åtte første radene ($n=0$ til $n=7$) i Pascals talltrekant er:

Hvert tall i trekanten er summen av de to tallene rett over. Tallene i rad $n$ svarer til binomialkoeffisientene $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{1}\right),\dots ,\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n}\right)$.

Vi har til sammen $3+4=7$ kuler, og trekker $3$ av dem uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon der $D$ er de blå kulene: $m=4$ blå, $n-m=3$ røde, $n=7$ totalt, og $r=3$ trekkes.

Sannsynligheten for å trekke $3$ blå kuler (altså $k=3$ av de blå):

Vi finner binomialkoeffisientene fra Pascals trekant i a): $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{4}{3}\right)=4$, $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{0}\right)=1$ og $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{3}\right)=35$.

Hendelsen «både røde og blå kuler blant de tre» er komplementet til hendelsen «alle tre kulene har samme farge», altså «alle tre blå» eller «alle tre røde».

Vi har allerede funnet $P(\text{3 blå})={\displaystyle \frac{4}{35}}$ fra b). Vi finner tilsvarende $P(\text{3 røde})$ med $m=3$ røde kuler:

Sannsynligheten for at alle tre kulene har samme farge er dermed

Sannsynligheten for både røde og blå kuler er komplementet av dette.

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og vi finner asymptotene ved å se på nevner og telleledd av høyest grad.

Vertikal asymptote: Nevneren er null når $x+2=0$, altså $x=-2$. Siden telleren ikke er null for $x=-2$, har grafen en vertikal asymptote

Horisontal asymptote: Både teller og nevner har grad $1$. Da går $f(x)$ mot forholdet mellom koeffisientene foran $x$ når $x\to \pm \infty$:

Så grafen har en horisontal asymptote $y=2$.

Noen ekstra punkter til skissen:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(0,-\frac{1}{2})$ og $x$-aksen i $(\frac{1}{2},0)$, og nærmer seg de to asymptotene $x=-2$ (rødt, stiplet) og $y=2$ (rødt, stiplet) uten å krysse dem inntil grafen bøyer av mot uendelig.

Vi skal løse likningen $f(x)=x-2$, altså

Vi multipliserer begge sider med $(x+2)$:

Dette er en andregradslikning som vi kan faktorisere. Vi leter etter to tall som ganger gir $-3$ og summert gir $-2$: tallene er $-3$ og $1$.

Begge løsningene er forskjellige fra $-2$, så begge er gyldige. Vi kontrollerer:

Dette er nettopp skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og linjen $y=x-2$ som vises i figuren over.

Vi deriverer ledd for ledd:

Topp- og bunnpunkt er der $g^{\prime }(x)=0$:

Vi deler alle ledd på $6$:

Vi leter etter to tall som ganger gir $-2$ og summert gir $1$: tallene er $2$ og $-1$.

Vi finner funksjonsverdiene:

Siden $g$ er en tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient, er det første kritiske punktet (minste $x$-verdi) et toppunkt og det andre et bunnpunkt. Det stemmer med at $g^{\prime }$ går fra positiv til negativ i $x=-2$, og fra negativ til positiv i $x=1$.

Toppunkt: $(-2,20)$. Bunnpunkt: $(1,-7)$.

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[\mathrm{0,2}]$ er

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Da blir gjennomsnittlig vekstfart

Momentan vekstfart er $g^{\prime }(x)$. Vi setter denne lik $24$:

Vi deler alle ledd på $6$:

Vi leter etter to tall som ganger gir $-6$ og summert gir $1$: tallene er $3$ og $-2$.

Vi finner funksjonsverdiene:

Punktene på grafen der den momentane vekstfarten er $24$, er $(-3,9)$ og $(2,4)$.

Fortegnslinjen viser at $f^{\prime }(x)=0$ for $x=-2$ og $x=1$, og linjestilen på fortegnslinjen viser fortegnet til $f^{\prime }(x)$ mellom nullpunktene: samme linjestil (heltrukket) på begge sider av $x=-2$ betyr at $f^{\prime }(x)$ ikke skifter fortegn der, mens overgangen til stiplet linje ved $x=1$ betyr at $f^{\prime }(x)$ skifter fortegn der.

Det gir at $f^{\prime }(x)$ er positiv på hele intervallet $x<1$ (uten fortegnsskifte i $x=-2$), og negativ for $x>1$.

Siden $f^{\prime }(x)>0$ når grafen til $f$ stiger, og $f^{\prime }(x)<0$ når grafen synker, får vi:

• $f$ stiger for $x<1$ (med et flatt punkt, et terrassepunkt, i $x=-2$ — der flater grafen ut uten å skifte fra stigende til synkende)
• $f$ synker for $x>1$

Siden $f^{\prime }(x)$ skifter fortegn fra pluss til minus i $x=1$, har grafen til $f$ et toppunkt i $x=1$. I $x=-2$ skifter ikke $f^{\prime }(x)$ fortegn, så der er det ikke noe ekstremalpunkt, kun et terrassepunkt.

En mulig graf stiger fra venstre, flater ut (uten å skifte retning) i $x=-2$, fortsetter å stige fram til $x=1$ der den har et toppunkt, og synker for $x>1$:

For at $X$ skal kunne modelleres som binomisk fordelt, må følgende forutsetninger være oppfylt:

• Antall solgte billetter, $n$, må være fast for hver flyavgang.
• Hver passasjer har samme sannsynlighet, $p=\mathrm{0,94}$, for å møte til avgang.
• Passasjerene må møte (eller utebli) uavhengig av hverandre — for eksempel må vi anta at det ikke er familier eller reisefølger som avbestiller samlet, noe som ville gjort utfallene avhengige.
• Det er bare to mulige utfall for hver passasjer: at vedkommende møter til avgang, eller ikke møter.

Sannsynligheten for at en passasjer med billett møter til avgang er

Det er solgt $122$ billetter, så $X$ er binomisk fordelt med $n=122$ og $p=\mathrm{0,94}$. Alle som møter får plass dersom høyst $116$ av de $122$ møter, altså ønsker vi $P(X\le 116)$.

Vi bruker CAS til å beregne den kumulative binomiske sannsynligheten:

Sannsynligheten for at alle som møter får plass, er om lag $\underline{\underline{\mathrm{74,7}\%}}$.

Vi lar nå $n$ være antall solgte billetter, med $X$ binomisk fordelt med parametere $n$ og $p=\mathrm{0,94}$. Flyselskapet krever

Vi prøver oss fram med CAS for ulike verdier av $n$ rundt grensen:

(se samme skjermbilde som over, linje 2 og 3)

Med $n=119$ er kravet oppfylt ($\mathrm{0,97641}\ge \mathrm{0,95}$), men med $n=120$ er sannsynligheten falt under kravet ($\mathrm{0,93396}<\mathrm{0,95}$).

Flyselskapet kan maksimalt selge $\underline{\underline{119\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ og fortsatt oppfylle kravet om at minst $95\%$ skal få plass.

Frode bruker $10$ minutter på en kasse av type A og $30$ minutter på en kasse av type B. I løpet av en uke kan Frode jobbe $15$ timer, altså $15\cdot 60=900$ minutter. Tiden Frode bruker på å lage $x$ kasser av type A og $y$ kasser av type B er dermed

Denne tiden kan ikke overstige $900$ minutter, så

Peter bruker $20$ minutter på en kasse av type A og $30$ minutter på en kasse av type B. Peter kan jobbe $20$ timer i uken, altså $20\cdot 60=1200$ minutter. Da må

I tillegg må antall kasser være ikke-negativt, altså $x\ge 0$ og $y\ge 0$. Dette gir nettopp de fire ulikhetene i oppgaveteksten.

Vi finner hjørnene i området ved å se på hvor grenselinjene $x+3y=90$ og $2x+3y=120$ skjærer aksene og hverandre. Løser vi likningssettet

finner vi skjæringspunktet $(30,20)$. Sammen med origo og skjæringene med aksene gir dette hjørnene

Området er trekanten (firkanten) med disse hjørnene, avgrenset av $x$-aksen, $y$-aksen og de to linjene:

Fortjenesten er

I et lineært optimeringsproblem vil den optimale løsningen alltid ligge i et av hjørnene i det tillatte området. Vi setter derfor inn hjørnene fra b) i uttrykket for $F$:

Størst fortjeneste får de i hjørnet $(30,20)$, altså ved å produsere $30$ kasser av type A og $20$ kasser av type B.

Svar: De bør produsere $\underline{\underline{30\text{ kasser av type A og }20\text{ kasser av type B}}}$, noe som gir en fortjeneste på $\underline{\underline{4800\mathrm{kr}}}$.

Nå kan Frode jobbe $15+3=18$ timer, altså $18\cdot 60=1080$ minutter. Ulikheten for Frode blir dermed

Ulikheten for Peter er uendret: $2x+3y\le 120$.

Vi finner det nye skjæringspunktet ved å løse

som gir $(12,32)$. De nye hjørnene i det tillatte området er

Vi setter inn de nye hjørnene i $F(x,y)=60x+150y$:

Størst fortjeneste får de nå i hjørnet $(12,32)$.

Svar: Denne uken bør de produsere $\underline{\underline{12\text{ kasser av type A og }32\text{ kasser av type B}}}$, noe som gir en fortjeneste på $\underline{\underline{5520\mathrm{kr}}}$.

Vi legger inn punktene fra tabellen, $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{2,38})$, $(\mathrm{4,93})$, $(\mathrm{6,135})$ og $(\mathrm{8,169})$, i graftegneren og utfører tredjegradsregresjon. Punktene (røde) og regresjonskurven $g$ (blå) er vist i figuren under.

Graftegneren gir

Modellen $g$ passer godt til de fem oppgitte målingene.

Vi tegner grafen til

Grafen til $f$ er vist som den blå kurven i figuren under (se felles figur for b, c og d).

Lønn per montert pumpe er $9\cdot f(x)$, mens timelønn gir $190x$ kroner. Det lønner seg med akkordlønn (per pumpe) når

I graftegneren legger vi inn $h(x)=9f(x)$ og linja $190x$, og finner skjæringspunktene mellom dem.

I figuren ser vi at kurvene $h$ og $190x$ skjærer hverandre i $x=0$ (trivielt, ingen jobbet tid gir ingen lønn), og i tillegg i

Mellom disse to skjæringspunktene ligger den grønne kurven $h$ over den røde linja $190x$, altså er $9f(x)>190x$. Det betyr at det lønner seg med betaling per pumpe når

Arne må altså jobbe mer enn omtrent $\mathrm{2,3}$ timer, men mindre enn omtrent $\mathrm{8,4}$ timer, for at akkordlønn skal lønne seg.

Vi ser på differansen mellom de to lønnsformene,

Dette er den oransje kurven $D$ i figuren over. I graftegneren finner vi ekstremalpunktene til $D$ på intervallet $[0,9]$. $D$ har et lokalt maksimum for

Vi sjekker at dette faktisk er størst mulig differanse på hele intervallet: $D(0)=0$ og $D(9)\approx -79$, som begge er mindre enn $D(\mathrm{6,11})$.

Differansen mellom lønn per pumpe og lønn per time er altså størst, om lag $126\mathrm{kr}$, når Arne jobber i underkant av $x\approx \mathrm{6,1}$ timer på en dag.