S1 Vår 2013

Svar: $\underline{\underline{x=10}}$

Vi deler begge sider med $2$.

Vi bruker abc-formelen med $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Svar: $\underline{\underline{x=2\text{ eller }x=-3}}$

Vi bruker at $a^0=1$ og ${(ab)}^2=a^2{b}^2$ i telleren.

Vi forkorter $b^2$, og bruker ${\displaystyle \frac{x^m}{x^n}}=x^{m-n}$ for potensene med samme grunntall.

Svar: $\underline{\underline{2a^3}}$

Vi bruker regelen $\lg p-\lg q+\lg r=\lg \left({\displaystyle \frac{p\cdot r}{q}}\right)$.

Vi forenkler telleren $a^2{b}^2\cdot a{b}^2=a^3{b}^4$, og deler på $a^3$, ganger så med $b^2$.

Vi bruker regelen $\lg (x^n)=n\lg x$.

Svar: $\underline{\underline{6\lg b}}$

Vi skriver om $f$ ved polynomdivisjon for å finne asymptotene.

Nevneren $x-3=0$ når $x=3$, så $x=3$ er en vertikal asymptote (funksjonen er ikke definert der).

Når $x$ blir svært stor (eller svært negativ), går ${\displaystyle \frac{8}{x-3}}$ mot $0$, så $f(x)$ nærmer seg $3$. Dermed er $y=3$ en horisontal asymptote.

Gjennomsnittlig veksthastighet fra $x=4$ til $x=7$ er gitt ved

Vi regner ut funksjonsverdiene.

Dermed blir gjennomsnittlig veksthastighet

Svar: $\underline{\underline{-2}}$

De ni første radene av Pascals talltrekant (rad $0$ til rad $8$) er:

Rad 0:                       1
Rad 1:                     1   1
Rad 2:                   1   2   1
Rad 3:                 1   3   3   1
Rad 4:               1   4   6   4   1
Rad 5:             1   5  10  10   5   1
Rad 6:           1   6  15  20  15   6   1
Rad 7:         1   7  21  35  35  21   7   1
Rad 8:       1   8  28  56  70  56  28   8   1

Hvert tall er summen av de to tallene rett over i raden over (bortsett fra $1$-tallene ytterst).

Tallet i rad $n$, plass $k$ (regnet fra $0$) i Pascals talltrekant er binomialkoeffisienten $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)$. Vi leser av trekanten fra a):

Gruppen har $3$ gutter og $5$ jenter, totalt $8$ elever. Vi skal velge en komité på $3$ ved loddtrekning, og bruker hypergeometrisk fordeling med $D=\text{gutter}$, $m=3$, $n=8$, $r=3$, $k=1$:

Komiteen velges blant $8$ elever, og kan settes sammen på $28$ ulike måter. Vi leter etter $k$ slik at $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{k}\right)=28$. Fra Pascals talltrekant (rad 8) ser vi at $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{2}\right)=28$ og $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{6}\right)=28$ (symmetrien $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)$). Komiteen kan derfor bestå av $2$ eller $6$ elever.

Vi deriverer ledd for ledd:

Vi finner først nullpunktene til $f^{\prime }(x)$:

Dette gir $x=-3$ eller $x=2$. Vi kan faktorisere $f^{\prime }(x)=2(x+3)(x-2)$, som er et parabelformet uttrykk som åpner oppover. Fortegnslinjen blir da:

Siden $f^{\prime }(x)>0$ når $f$ vokser og $f^{\prime }(x)<0$ når $f$ avtar, stiger grafen til $f$ for $x<-3$ og $x>2$, og synker for $-3<x<2$.

La $X$ være antall epler av god kvalitet blant de 70 plukkede eplene. $X$ er binomisk fordelt med $n=70$ og $p=\mathrm{0,8}$, siden hvert eple uavhengig av de andre har $80\%$ sjanse for å holde god nok kvalitet.

Sannsynligheten for at akkurat 60 av 70 epler kan selges, er gitt ved formelen for binomisk sannsynlighet

Beregning i GeoGebra CAS (se Pa i utklippet) gir

Sannsynligheten for at minst 60 av eplene kan selges, er summen av sannsynlighetene for $X=60,61,\dots ,70$:

Beregning i GeoGebra CAS (se Pb i utklippet) gir

Kassen inneholder $180$ epler totalt, $80$ av sort A og $100$ av sort B. Når kunden trekker ut $20$ epler tilfeldig uten tilbakelegging, er antall epler av sort A hypergeometrisk fordelt.

Sannsynligheten for å få akkurat $10$ epler av sort A (og dermed automatisk $10$ av sort B) er

Beregning i GeoGebra CAS (se Pc i utklippet) gir

Vi legger punktene $(0,1013)$, $(\mathrm{1,10},900)$, $(\mathrm{2,10},800)$, $(\mathrm{4,20},600)$ og $(\mathrm{6,00},500)$ inn i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjon (FitExp) for å finne en funksjon på formen $p(x)=a\cdot b^x$.

Regresjonen gir modellen

der $x$ er høyden over havet i kilometer og $p(x)$ er lufttrykket i hPa.

Titicacasjøen ligger $x=\mathrm{3,8}\mathrm{km}$ over havet. Vi setter dette inn i modellen (punktet $F$ i utklippet over):

Lufttrykket ved Titicacasjøen er altså omtrent $\underline{\underline{645\mathrm{hPa}}}$.

Vi skal løse likningen $p(x)=700$. Grafisk finner vi skjæringspunktet mellom $p$ og linja $y=700$ (punktet $\text{Skjaering}$ i utklippet over), som gir $x\approx \mathrm{3,117}$.

Algebraisk løses likningen ved å bruke logaritmer:

Vi er altså omtrent $\underline{\underline{\mathrm{3,12}\mathrm{km}}}$ over havet når lufttrykket er $700\mathrm{hPa}$.

Grafen til $f(x)=x^4-4x^2$ for $x\in ⟨-\mathrm{2,5},\mathrm{2,5}⟩$ er tegnet i GeoGebra, se figuren under (oppgave d og e er lagt inn i samme figur).

Skjæringspunkter med $x$-aksen finner vi ved å løse $f(x)=0$:

Dette gir $x=0$ (dobbel rot), $x=2$ og $x=-2$. Grafen skjærer altså $x$-aksen i punktene $(-\mathrm{2,0})$, $(\mathrm{0,0})$ og $(\mathrm{2,0})$.

Skjæringspunkt med $y$-aksen finner vi ved å sette $x=0$:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(\mathrm{0,0})$ — samme punkt som den dobbelte roten.

Svar: $\underline{\underline{(-\mathrm{2,0}),(\mathrm{0,0}),(\mathrm{2,0})}}$

Vi deriverer $f$:

Vi finner nullpunktene til $f^{\prime }(x)$:

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ved å teste verdier i hvert intervall:

Grafen til $f$ stiger på $⟨-\sqrt{2},0⟩$ og $⟨\sqrt{2},\infty ⟩$, og synker på $⟨-\infty ,-\sqrt{2}⟩$ og $⟨0,\sqrt{2}⟩$.

Ved $x=-\sqrt{2}$ og $x=\sqrt{2}$ går $f$ fra synkende til stigende, så dette er bunnpunkter. Ved $x=0$ går $f$ fra stigende til synkende, så dette er et toppunkt.

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Svar: Bunnpunkter $\underline{\underline{(-\sqrt{2},-4)}}$ og $\underline{\underline{(\sqrt{2},-4)}}$, toppunkt $\underline{\underline{(\mathrm{0,0})}}$.

Grafen til $g(x)=a{x}^2$ skal gå gjennom bunnpunktene $(-\sqrt{2},-4)$ og $(\sqrt{2},-4)$ til $f$. Vi setter inn punktet $(\sqrt{2},-4)$ i uttrykket for $g$:

(Punktet $(-\sqrt{2},-4)$ gir samme likning siden ${(-\sqrt{2})}^2={(\sqrt{2})}^2=2$.)

Svar: $\underline{\underline{a=-2}}$

Grafen til $g(x)=-2x^2$ er tegnet sammen med grafen til $f$ i figuren under. Parabelen går som forventet gjennom de to bunnpunktene $(-\sqrt{2},-4)$ og $(\sqrt{2},-4)$.

Bedriften kan ikke produsere negative mengder fôr, så $x\ge 0$ og $y\ge 0$.

For hvert tonn Godlaks ($x$ tonn) brukes $300\mathrm{kg}=\mathrm{0,3}$ tonn av stoff A, og for hvert tonn Gladlaks ($y$ tonn) brukes $600\mathrm{kg}=\mathrm{0,6}$ tonn av stoff A. Totalt forbruk av stoff A er da $\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}y$ tonn, og dette kan høyst være $20$ tonn siden bedriften bare får kjøpt inntil $20$ tonn A per uke:

Tilsvarende brukes $700\mathrm{kg}=\mathrm{0,7}$ tonn stoff B per tonn Godlaks og $400\mathrm{kg}=\mathrm{0,4}$ tonn stoff B per tonn Gladlaks. Totalt forbruk av stoff B er $\mathrm{0,7}x+\mathrm{0,4}y$ tonn, som høyst kan være $18$ tonn:

Bedriften kan produsere høyst $35$ tonn fôr totalt per uke, altså

Området som $x$ og $y$ må tilhøre er markert i figuren under. Det er skjæringen mellom alle de fem ulikhetene — et femkantet område med hjørner i $A(0,0)$, $B(\mathrm{25,71},0)$, $D(\mathrm{13,33},\mathrm{21,67})$, $E(\mathrm{3,33},\mathrm{31,67})$ og $G(0,\mathrm{33,33})$.

Salgsinntekten er en lineær funksjon av $x$ og $y$:

Siden $I$ er en lineær funksjon, vil den størst mulige verdien i et avgrenset flerkantet område alltid oppnås i et av hjørnene i området. Vi setter derfor inn koordinatene til hvert hjørne fra figuren i a):

Størst salgsinntekt oppnås i hjørnet $E$, som er skjæringspunktet mellom linjene $\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,6}y=20$ og $x+y=35$. Setter vi de to likningene sammen, finner vi $x={\displaystyle \frac{10}{3}}\approx \mathrm{3,33}$ og $y={\displaystyle \frac{95}{3}}\approx \mathrm{31,67}$.

Salgsinntekten blir da

Bedriften bør produsere $\underline{\underline{x\approx \mathrm{3,33}\mathrm{tonn}}}$ Godlaks og $\underline{\underline{y\approx \mathrm{31,67}\mathrm{tonn}}}$ Gladlaks per uke. Da blir salgsinntekten størst mulig, $\underline{\underline{I\approx 285833\mathrm{kr}}}$ per uke.

De samlede kostnadene skal ikke overstige $200$, altså $f(x)\le 200$:

Siden $x$ må være et helt antall enheter, kan bedriften høyst produsere $\underline{\underline{x=120}}$ enheter. (Kontroll: $f(120)=55+\mathrm{0,01}\cdot {120}^2=199\le 200$, mens $f(121)=\mathrm{201,41}>200$.)

Overskuddet $O(x)$ er salgsinntekt minus kostnad:

Bedriften får overskudd når $O(x)>0$. Vi løser først $O(x)=0$ i CAS (se utklipp), som gir $x=50$ og $x=110$. Siden parabelen vender grenene nedover, er $O(x)>0$ mellom nullpunktene:

For å finne den produksjonsmengden som gir størst overskudd, deriverer vi og setter $O^{\prime }(x)=0$:

Dette stemmer med CAS-utklippet over. Siden $O^{\prime }(x)$ går fra positiv til negativ ved $x=80$, er dette et toppunkt (maksimum). Overskuddet der er

Grafen til $O$ viser sammenhengen:

Bedriften får altså overskudd for produksjonsmengder mellom $\underline{\underline{50}}$ og $\underline{\underline{110}}$ enheter, og størst overskudd oppnås ved $\underline{\underline{x=80}}$ enheter, med et overskudd på $\underline{\underline{9}}$.

Linja $h(x)=p\cdot x$ er inntekten når prisen per enhet er $p$. Balanse betyr at kostnad og inntekt er like, altså at $f(x)=h(x)$ har (minst) én løsning.

Jo lavere $p$ er, jo slakere blir linja $h$, og jo vanskeligere er det for $h$ å nå opp til $f$. Er $p$ stor nok, skjærer $h$ kurven $f$ i to punkter — da er det et helt intervall av produksjonsmengder som gir overskudd (som i b)). Senkes prisen gradvis, nærmer de to skjæringspunktene seg hverandre, helt til de faller sammen i ett punkt $T$ der linja tangerer kurven. Dette er den laveste prisen der balanse fortsatt er mulig — senkes prisen ytterligere, ligger $h$ helt under $f$, og det finnes ingen produksjonsmengde som gir balanse (bedriften taper alltid penger). Derfor kan vi bestemme minsteprisen ved å finne tangeringspunktet $T$ mellom $h$ og $f$.

I tangeringspunktet $T=(a,f(a))$ har $f$ og $h$ samme funksjonsverdi og samme stigningstall — ellers ville linja krysset kurven i stedet for å tangere den. Siden $h$ er en rett linje gjennom origo med stigningstall $p$, må stigningstallet til $f$ i $T$ også være $p$:

Vi har $f^{\prime }(x)=\mathrm{0,02}x$, så $p=\mathrm{0,02}a$, altså $a=50p$. I tillegg må $f(a)=h(a)$ (samme funksjonsverdi):

Setter vi inn $p=\mathrm{0,02}a$:

Dette stemmer med CAS-utklippet i b) (linje 9–10), der $a≔10\sqrt{55}$ og $f^{\prime }(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{55}}{5}}\approx \mathrm{1,48}$, i samsvar med den oppgitte prisen $p\approx \mathrm{1,48}$.

Det produseres og selges altså $\underline{\underline{a=10\sqrt{55}\approx 74\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ når prisen er lavest mulig.

Likningen $\mathrm{0,01}{x}^2-px+55=0$ har bare én løsning når diskriminanten er null:

(vi forkaster den negative løsningen siden prisen må være positiv). Dette bekreftes av CAS-utklippet i b) (linje 8).

Dette er den minste prisen som gir balanse fordi diskriminanten avgjør hvor mange løsninger likningen $f(x)=h(x)$ har:

• For $p<\sqrt{\mathrm{2,2}}$ er $D<0$: ingen løsning, linja $h$ ligger hele tiden under $f$, og bedriften kan aldri oppnå balanse.
• For $p=\sqrt{\mathrm{2,2}}$ er $D=0$: nøyaktig én løsning — dette er tangeringspunktet $T$, og balanse er så vidt mulig.
• For $p>\sqrt{\mathrm{2,2}}$ er $D>0$: to løsninger, og det finnes et helt intervall av produksjonsmengder som gir overskudd (som i b)).

Derfor er $\underline{\underline{p=\sqrt{\mathrm{2,2}}\approx \mathrm{1,48}}}$ den minste prisen som gir balanse.