S1 Høst 2013 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 3 x^{2} - 3 x + 1, D_{f} = ℝ

Bestem $f^{'} (2)$ .

Fasit

$f^{'} (2) = 9$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 3 x^{2} - 3 x + 1$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 6 x - 3

Setter inn $x = 2$ :

f^{'} (2) = 6 \cdot 2 - 3 = 12 - 3 = 9

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

x (x + 5) - 10 = 4

10^{3 x} - 100000 = 0

Fasit

$x = - 7 eller x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ganger ut parentesen og flytter alt over på én side:

x (x + 5) - 10 = 4

x^{2} + 5 x - 10 - 4 = 0

x^{2} + 5 x - 14 = 0

Vi faktoriserer. Vi trenger to tall som ganger seg til $- 14$ og legger seg sammen til $5$ : dette er $7$ og $- 2$ .

(x + 7) (x - 2) = 0

Dette gir

x = - 7 eller x = 2

Vi flytter $100000$ over på høyre side:

10^{3 x} = 100000

Siden $100000 = 10^{5}$ , får vi

10^{3 x} = 10^{5}

Når grunntallene er like, må eksponentene være like:

3 x = 5

x = \frac{5}{3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Andregradslikninger, Logaritmer, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssettet ved regning

[\begin{matrix} y = x^{2} + 2 \\ y + x^{2} = 4 \end{matrix}]

Løs likningssettet ved regning.

Fasit

$(x, y) = (1, 3) eller (x, y) = (- 1, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har likningssystemet

y = x^{2} + 2 (1)

y + x^{2} = 4 (2)

Vi setter uttrykket for $y$ fra (1) inn i (2):

x^{2} + 2 + x^{2} = 4

2 x^{2} = 2

x^{2} = 1

x = 1 eller x = - 1

Vi setter hver av verdiene inn i (1) for å finne $y$ :

y = 1^{2} + 2 = 3

y = {(- 1)}^{2} + 2 = 3

Løsningene er

(x, y) = (1, 3) eller (x, y) = (- 1, 3)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var $v_{0}$ , og akselerasjonen er konstant lik $a$ . Etter tida $t$ er farten $v$ blitt $v = v_{0} + a t$ .

Bestem en formel for $t$ uttrykt ved $v$ , $v_{0}$ og $a$ .

Hvor lang tid tar det før farten $v$ er blitt 25 når akselerasjonen $a = 3$ og startfarten $v_{0} = 1$ ?

Fasit

$t = \frac{v - v_{0}}{a}$

$t = 8 s$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tar utgangspunkt i formelen

v = v_{0} + a t

og løser for $t$ . Vi flytter $v_{0}$ over på venstre side:

v - v_{0} = a t

Vi deler begge sider på $a$ :

t = \frac{v - v_{0}}{a}

Vi setter inn $v = 25$ , $v_{0} = 1$ og $a = 3$ i formelen fra a):

t = \frac{25 - 1}{3} = \frac{24}{3} = 8

Det tar altså

t = 8 s

før farten er blitt 25.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likninger, Formler
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{9^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{3}}{{(3 a b^{2})}^{2}}

Vis at

\lg (\frac{a^{2}}{b^{2}}) + \lg (\frac{b^{2}}{a}) + \lg (a + b) = \lg (a^{2} + a b)

Fasit

$\frac{9}{b}$

Se utledning.

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg. I telleren er $9^{2} = 81$ . I nevneren bruker vi at ${(3 a b^{2})}^{2} = 3^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{4} = 9 a^{2} b^{4}$ :

\frac{9^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{3}}{{(3 a b^{2})}^{2}} = \frac{81 a^{2} b^{3}}{9 a^{2} b^{4}}

Vi forkorter $81 / 9 = 9$ , $a^{2} / a^{2} = 1$ og $b^{3} / b^{4} = 1 / b$ :

= \frac{9}{b}

\frac{9^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{3}}{{(3 a b^{2})}^{2}} = \frac{9}{b}

Vi bruker logaritmesetningene $\lg (p) + \lg (q) = \lg (p \cdot q)$ for å slå sammen venstre side til én logaritme:

\lg (\frac{a^{2}}{b^{2}}) + \lg (\frac{b^{2}}{a}) + \lg (a + b) = \lg (\frac{a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{a} \cdot (a + b))

Inne i logaritmen forkorter vi $b^{2}$ og én faktor $a$ :

\frac{a^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{a} \cdot (a + b) = \frac{a^{2}}{a} \cdot (a + b) = a (a + b) = a^{2} + a b

Dermed er

\lg (\frac{a^{2}}{b^{2}}) + \lg (\frac{b^{2}}{a}) + \lg (a + b) = \lg (a^{2} + a b)

som er det vi skulle vise. $■$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Potenser, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

x^{2} + 2 x \geq x + 6

Fasit

$x \leq - 3 eller x \geq 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi flytter alle ledd over på venstre side:

x^{2} + 2 x \geq x + 6

x^{2} + x - 6 \geq 0

Vi faktoriserer venstre side. Vi trenger to tall som har produkt $- 6$ og sum $1$ : det er $3$ og $- 2$ .

(x + 3) (x - 2) \geq 0

Vi setter opp et fortegnsskjema for de to faktorene. Faktoren $(x + 3)$ er null for $x = - 3$ , og faktoren $(x - 2)$ er null for $x = 2$ .

Uttrykket $(x + 3) (x - 2)$ er et positivt tall ganger et positivt tall (eller negativt ganger negativt) utenfor nullpunktene, og negativt mellom dem. Siden vi skal ha produktet $\geq 0$ , gjelder ulikheten for $x \leq - 3$ eller $x \geq 2$ (nullpunktene er inkludert siden ulikheten ikke er streng).

$x \leq - 3 eller x \geq 2$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Korrekt grafisk løsning godtas som fullgod.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Ulikheter, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser et utsnitt av tre påfølgende rader av Pascals talltrekant.

Utsnitt av Pascals talltrekant med ukjente x og y

Bruk figuren til å bestemme $x$ og $y$ ved å sette opp og løse et likningssystem.

Fasit

$x = 35, y = 56$

LøsningsforslagKI-generert

I Pascals talltrekant er hvert tall lik summen av de to tallene som står rett over det i raden ovenfor. Vi bruker dette to ganger.

Tallet $y$ i den midterste raden står rett under $21$ og $x$ i den øverste raden, så

y = 21 + x (1)

Tallet $126$ i den nederste raden står rett under $y$ og $2 x$ i den midterste raden, så

y + 2 x = 126 (2)

Vi setter (1) inn i (2):

(21 + x) + 2 x = 126

21 + 3 x = 126

3 x = 105

x = 35

Dette setter vi inn i (1):

y = 21 + 35 = 56

$x = 35, y = 56$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Andre løsningsmetoder kan gis noe uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Pascals trekant, Likningssystem, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2}, D_{f} = ℝ

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bruk $f^{'} (x)$ til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$x = 0 og x = 3$

Toppunkt $(0, 0)$ , bunnpunkt $(2, - 8)$

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $f (x) = 0$ og faktoriserer:

2 x^{3} - 6 x^{2} = 0

2 x^{2} (x - 3) = 0

Dette gir $2 x^{2} = 0$ eller $x - 3 = 0$ , altså

x = 0 og x = 3

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x

Vi finner nullpunktene til $f^{'}$ :

6 x^{2} - 12 x = 0

6 x (x - 2) = 0

Dette gir $x = 0$ eller $x = 2$ .

For å avgjøre om dette er topp- eller bunnpunkter, bruker vi $f^{''} (x) = 12 x - 12$ .

$f^{''} (0) = 12 \cdot 0 - 12 = - 12 < 0$ , så $x = 0$ gir et toppunkt.
$f^{''} (2) = 12 \cdot 2 - 12 = 12 > 0$ , så $x = 2$ gir et bunnpunkt.

Vi finner funksjonsverdiene:

f (0) = 2 \cdot 0^{3} - 6 \cdot 0^{2} = 0

f (2) = 2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} = 16 - 24 = - 8

Grafen har altså toppunkt $(0, 0)$ og bunnpunkt $(2, - 8)$ .

Vi bruker nullpunktene fra a) og topp-/bunnpunktet fra b) til å skissere grafen.

Skisse av grafen til f

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I en fullgod besvarelse må kandidaten drøfte fortegnet til den deriverte (eller bruke $f^{''} (x)$ ).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til funksjonen $f (x) = \frac{a x + b}{c x - 1}$ er tegnet nedenfor.

Graf til rasjonal funksjon med asymptoter

Bruk figuren til å bestemme verdiene til $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

$a = 2, b = 2, c = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Av grafen leser vi av at den har en vertikal asymptote ved $x = 1$ (stiplet linje). Den vertikale asymptoten finner vi ved å sette nevneren lik null:

c x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{c}

Siden asymptoten er $x = 1$ , må

\frac{1}{c} = 1 \Rightarrow c = 1

Av grafen leser vi videre av at den har en horisontal asymptote ved $y = 2$ (stiplet linje). For store $| x |$ dominerer leddene med høyest grad, så

f (x) = \frac{a x + b}{c x - 1} \to \frac{a}{c} når x \to \pm \infty

Siden $c = 1$ , må $a = 2$ .

Til slutt leser vi av et punkt på grafen for å finne $b$ . Grafen krysser $x$ -aksen ved $x = - 1$ (nullpunktet til telleren), det vil si

a x + b = 0 \Rightarrow a \cdot (- 1) + b = 0 \Rightarrow b = a = 2

Vi kontrollerer: $f (x) = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ gir blant annet $f (3) = \frac{8}{2} = 4$ , $f (5) = \frac{12}{4} = 3$ og $f (9) = \frac{20}{8} = 2,5$ , som alle stemmer med grafen.

$a = 2, b = 2, c = 1$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graf
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2}, D_{f} = ℝ

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x$

LøsningsforslagKI-generert

Definisjonen av den deriverte er

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi setter inn $f (x) = x^{2}$ :

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}

Vi utvider parentesen ${(x + h)}^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ :

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - x^{2}}{h}

Leddene $x^{2}$ og $- x^{2}$ kansellerer:

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h}

Vi forkorter med $h$ (siden $h \neq 0$ i grenseverdien):

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h)

Når $h \to 0$ , går $2 x + h \to 2 x$ . Dermed er

f^{'} (x) = 2 x

som skulle vises.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 2-1Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske ligger 50 lyspærer. Av disse er 7 defekte.

Du velger tilfeldig ut 10 lyspærer fra esken.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at akkurat 2 av lyspærene er defekte.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at du velger ut minst 3 defekte lyspærer.

Fasit

$P (X = 2) \approx 0,296$

$P (X \geq 3) \approx 0,133$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antall defekte lyspærer blant de $10$ som velges ut. Siden pærene velges tilfeldig uten tilbakelegging fra en gruppe med et gitt antall “defekte” og “ikke-defekte”, er $X$ hypergeometrisk fordelt med $N = 50$ (totalt antall pærer), $K = 7$ (antall defekte) og $n = 10$ (antall trukket ut):

P (X = k) = \frac{(\binom{7}{k}) \cdot (\binom{43}{10 - k})}{(\binom{50}{10})}

Sannsynligheten for at akkurat $2$ av de $10$ lyspærene er defekte:

P (X = 2) = \frac{(\binom{7}{2}) \cdot (\binom{43}{8})}{(\binom{50}{10})} \approx 0,2965

GeoGebra CAS-utregning

Sannsynligheten for at akkurat $2$ av lyspærene er defekte er dermed $P (X = 2) \approx 0,296$ , altså om lag $29,6 %$ .

Sannsynligheten for å velge ut minst $3$ defekte lyspærer finner vi enklest ved å bruke komplementet:

P (X \geq 3) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) - P (X = 2)

Fra CAS-utregningen (samme skjermbilde) er

P (X = 0) \approx 0,1867 P (X = 1) \approx 0,3843 P (X = 2) \approx 0,2965

Dette gir

P (X \geq 3) = 1 - 0,1867 - 0,3843 - 0,2965 \approx 0,1326

Sannsynligheten for å velge ut minst $3$ defekte lyspærer er dermed $P (X \geq 3) \approx 0,133$ , altså om lag $13,3 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I en fullgod besvarelse bør kandidaten kommentere at dette er en hypergeometrisk sannsynlighetsmodell.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk produserer lyspærer. Fabrikken garanterer at det er 75 % sannsynlighet for at en lyspære vil lyse i 1000 h (timer).

En kunde kjøper 20 slike lyspærer.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 lyspærer lyser når det er gått 1000 h.

Oppsett for hånd

Bestem sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h.

Kunden ønsker at det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at minst 15 av 20 lyspærer fremdeles lyser når det er gått 1000 h.

Oppsett for hånd

Bestem hvilken sannsynlighet hver lyspære da må ha for å lyse i 1000 h.

Fasit

$P (X = 18) \approx 0,0669$

$P (X \geq 15) \approx 0,6172$

$p \approx 0,8604$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antall av de 20 lyspærene som fremdeles lyser etter 1000 h. Siden hver lyspære uavhengig av de andre har sannsynlighet $0,75$ for å lyse i minst 1000 h, er $X$ binomisk fordelt med $n = 20$ og $p = 0,75$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig 18 av 20 lyspærer lyser:

P (X = 18) = (\binom{20}{18}) \cdot {0,75}^{18} \cdot {0,25}^{2}

Dette regnes ut i GeoGebra CAS (linje 1 i utklippet):

GeoGebra CAS-utregning

Vi får $P (X = 18) \approx 0,0669$ . Det er altså omtrent $6,7 %$ sannsynlighet for at akkurat 18 av 20 lyspærer lyser etter 1000 h.

Vi skal finne sannsynligheten for at minst 15 av 20 lyspærer lyser:

P (X \geq 15) = 1 - P (X \leq 14) = 1 - \sum_{k = 0}^{14} (\binom{20}{k}) \cdot {0,75}^{k} \cdot {0,25}^{20 - k}

Dette er regnet ut i linje 2 i utklippet ovenfor, og vi får $P (X \geq 15) \approx 0,6172$ . Det er altså omtrent $61,7 %$ sannsynlighet for at minst 15 av 20 lyspærer fremdeles lyser etter 1000 h.

Nå er sannsynligheten $p$ for at én lyspære lyser i 1000 h ukjent. Vi skal finne den minste verdien av $p$ som gjør at

P (X \geq 15) = \sum_{k = 15}^{20} (\binom{20}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{20 - k} \geq 0,95

Siden venstresiden er en voksende funksjon av $p$ , finner vi grensen ved å løse likningen $\sum_{k = 15}^{20} (\binom{20}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{20 - k} = 0,95$ (linje 3 i utklippet). CAS gir to løsninger, $p \approx 0,8604$ og $p \approx 1,0879$ . Siden $p$ må være en sannsynlighet mellom $0$ og $1$ , forkaster vi den siste løsningen.

Hver lyspære må altså ha en sannsynlighet på minst $p \approx 0,8604$ , altså omtrent $86,04 %$ , for å lyse i 1000 h, dersom kunden skal være garantert at minst 15 av 20 lyspærer lyser med $95 %$ sannsynlighet eller mer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

I en fullgod besvarelse bør kandidaten kommentere at dette er en binomisk sannsynlighetsmodell.

Oppgaven kan løses ved systematisk prøving og feiling (eller tilsvarende metoder).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt likningen

900 \cdot {1,10}^{x} = 1500 \cdot k^{x}

Bestem $k$ slik at $x = 10$ er en løsning av likningen.

Fasit

$k \approx 1,0452$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 10$ i likningen og løser med hensyn på $k$ :

900 \cdot {1,10}^{10} = 1500 \cdot k^{10}

Løses i GeoGebra CAS:

Løsning av eksponentlikning for k

CAS gir $k = - 1,04522$ eller $k = 1,04522$ . Siden $k$ er en vekstfaktor, må $k > 0$ , og vi forkaster den negative løsningen.

$k \approx 1,0452$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En fullgod besvarelse tar med begge løsningene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Likninger, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 6 - \frac{1}{2} x^{2}, D_{f} = ℝ

Rektangel ABCD innskrevet under parabelgraf

Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel $A B C D$ slik figuren viser. Punktene $A$ og $B$ ligger på x-aksen, og $C$ og $D$ ligger på grafen. Punktet $B$ har førstekoordinaten $x$ , der $x > 0$ .

For hånd

Forklar at arealet $F$ av rektangelet kan skrives som en funksjon av $x$ gitt ved

F (x) = 12 x - x^{3}

Bestem $D_{F}$ .

Oppsett for hånd

Det fins to verdier av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir lik 9. Bestem disse to verdiene.

Kalkulator

Bestem den verdien av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir størst mulig. Hva blir det største arealet?

Kalkulator

Bestem et uttrykk for omkretsen av rektangelet. Bestem den verdien av $x$ som gjør at omkretsen av rektangelet blir størst mulig. Kommenter svaret.

Fasit

$D_{F} = ⟨ 0, 2 \sqrt{3} ⟩$

$x = \frac{\sqrt{21} - 3}{2} \approx 0,79 eller x = 3$

$x = 2, F_{maks} = 16$

$x = 2, O_{maks} = 16$

LøsningsforslagKI-generert

Rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen, siden $f$ er en parabel med toppunkt på $y$ -aksen. Punktet $B$ har førstekoordinat $x$ , der $x > 0$ , og da må $A = (- x, 0)$ , $B = (x, 0)$ , $C = (x, f (x))$ og $D = (- x, f (x))$ .

Bredden av rektangelet er

A B = x - (- x) = 2 x

og høyden er

B C = f (x) = 6 - \frac{1}{2} x^{2}

Arealet blir da

F (x) = 2 x \cdot (6 - \frac{1}{2} x^{2}) = 12 x - x^{3}

som er det som skulle vises.

For at rektangelet skal eksistere, må $x > 0$ (gitt i oppgaveteksten) og høyden $f (x) > 0$ , det vil si

6 - \frac{1}{2} x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 12 \Rightarrow x < 2 \sqrt{3}

Dermed er

D_{F} = ⟨ 0, 2 \sqrt{3} ⟩

Vi løser likningen $F (x) = 9$ , altså $12 x - x^{3} = 9$ , med CAS.

CAS-utregning

Se linje 2 i utklippet: CAS gir tre løsninger,

x = \frac{- \sqrt{21} - 3}{2}, x = \frac{\sqrt{21} - 3}{2}, x = 3

Den første løsningen er negativ og ligger utenfor definisjonsmengden $D_{F} = ⟨ 0, 2 \sqrt{3} ⟩$ , og forkastes. De to andre løsningene ligger begge i $D_{F}$ (siden $2 \sqrt{3} \approx 3,46$ ), så

x = \frac{\sqrt{21} - 3}{2} \approx 0,79 eller x = 3

For å finne arealet som gir størst areal, deriverer vi $F (x) = 12 x - x^{3}$ og setter den deriverte lik null. Se linje 3 og 4 i utklippet:

F^{'} (x) = 12 - 3 x^{2}

F^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 2 eller x = 2

Siden $x > 0$ , forkaster vi $x = - 2$ . Vi har dermed kandidaten $x = 2$ , som ligger i $D_{F}$ . Siden $F^{'} (x) > 0$ for $x < 2$ og $F^{'} (x) < 0$ for $x > 2$ (innenfor $D_{F}$ ), er $x = 2$ et toppunkt for $F$ , altså et maksimum.

Fra linje 5 i utklippet er

F (2) = 16

x = 2 gir størst areal, F_{maks} = 16

Omkretsen av rektangelet er summen av alle fire sidene:

O (x) = 2 \cdot 2 x + 2 \cdot (6 - \frac{1}{2} x^{2}) = 4 x + 12 - x^{2} = - x^{2} + 4 x + 12

Vi deriverer og setter den deriverte lik null. Se linje 7 og 8 i utklippet:

O^{'} (x) = - 2 x + 4

O^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 2

Siden $O^{'} (x) > 0$ for $x < 2$ og $O^{'} (x) < 0$ for $x > 2$ , er $x = 2$ et maksimumspunkt for $O$ . Fra linje 9 i utklippet er

O (2) = 16

x = 2 gir størst omkrets, O_{maks} = 16

Kommentar: Det er verdt å legge merke til at det samme verdien av $x$ , nemlig $x = 2$ , gir både størst areal og størst omkrets. Dette er ikke en generell egenskap ved rektangler innskrevet i en parabel, men en tilfeldighet som følger av de konkrete tallverdiene i akkurat denne funksjonen $f (x) = 6 - \frac{1}{2} x^{2}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Kandidatene må argumentere for at det de finner virkelig er et toppunkt.

En god kommentar er at arealet og omkretsen er størst for samme $x$ -verdi.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Avgjør om implikasjonen nedenfor er riktig.

x^{2} < 4 \Rightarrow x > - 2

For hånd

Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig.

Fasit

$Implikasjonen er riktig$

$Den motsatte implikasjonen er ikke riktig$

LøsningsforslagKI-generert

Vi undersøker om $x^{2} < 4 \Rightarrow x > - 2$ er en riktig implikasjon, altså om alle $x$ som oppfyller $x^{2} < 4$ også oppfyller $x > - 2$ .

Ulikheten $x^{2} < 4$ løses ved å se på når $x^{2} - 4 < 0$ , det vil si $(x - 2) (x + 2) < 0$ . Dette gir

- 2 < x < 2

Alle $x$ i dette intervallet oppfyller $x > - 2$ , siden intervallet ligger helt til høyre for $- 2$ . Dermed er implikasjonen riktig.

Implikasjonen er riktig.

Den motsatte implikasjonen er

x > - 2 \Rightarrow x^{2} < 4

For at denne skal være riktig, må alle $x > - 2$ også oppfylle $x^{2} < 4$ . Vi finner et moteksempel: la $x = 3$ . Da er $x > - 2$ sann, men

x^{2} = 3^{2} = 9 ≮ 4

Altså finnes det en $x$ som oppfyller $x > - 2$ uten å oppfylle $x^{2} < 4$ .

Den motsatte implikasjonen er ikke riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En fullgod argumentasjon kan også være å gi et moteksempel.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logikk, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et bakeri lager $x$ kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har funnet ut at de totale kostnadene $K (x)$ i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av antall kaker, slik tabellen viser.

Antall kaker $x$	0	50	90	150	180	250
Totale kostnader $K (x)$	0	900	1000	1100	1500	4400

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som passer best mulig med tallene i tabellen.

I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen $K$ gitt ved

K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x, x \in [0, 250]

Bakeriet selger alle kakene for 15 kroner per stykk. Inntektsfunksjonen $I$ er da gitt ved

I (x) = 15 x

Krever PC

Tegn grafene til $K$ og $I$ i samme koordinatsystem. Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir underskudd.

Kalkulator

Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres dersom overskuddet skal bli størst mulig. Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser på kakeproduksjonen?

Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen per kake.

Kalkulator

La prisen per kake være $p$ kroner. Bestem den minste verdien $p$ kan ha dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når $p$ har denne verdien?

Fasit

$K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x$

Overskudd for $63 < x < 237$ , underskudd for $0 \leq x < 63$ og $237 < x \leq 250$

$x = 171 kaker gir størst overskudd, ca. 1207 kr$

$p = 7,5 kr, x = 150 k a k e r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger tallene fra tabellen inn i et graftegningsverktøy og utfører kubisk (tredjegrads) regresjon på punktene $(0,0), (50,900), (90,1000), (150,1100), (180,1500), (250,4400)$ .

Regresjonen gir

K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x

som passer godt med de oppgitte kostnadstallene.

Vi tegner grafene til $K (x) = 0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x$ og $I (x) = 15 x$ i samme koordinatsystem for $x \in [0, 250]$ .

Graf av K(x) og I(x) med skjæringspunkter

Grafene viser at $K$ og $I$ skjærer hverandre i $x = 0$ , $x \approx 63,4$ og $x \approx 236,6$ .

Bakeriet går med overskudd ( $I (x) > K (x)$ ) når

63,4 < x < 236,6

og med underskudd ( $K (x) > I (x)$ ) når

0 \leq x < 63,4 eller 236,6 < x \leq 250

Siden antall kaker må være et helt tall, gir dette overskudd for $64 \leq x \leq 236$ kaker.

Overskuddet $O (x)$ er differansen mellom inntekt og kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = 15 x - (0,001 x^{3} - 0,3 x^{2} + 30 x) = - 0,001 x^{3} + 0,3 x^{2} - 15 x

Vi deriverer og setter den deriverte lik null for å finne ekstremalpunktene:

O^{'} (x) = - 0,003 x^{2} + 0,6 x - 15

CAS-utregningen (se bildet) gir

O^{'} (x) = 0 \Rightarrow x \approx 29,29 eller x \approx 170,71

CAS: overskuddsfunksjon, derivert og nullpunkter

Siden $O^{''} (x) = - 0,006 x + 0,6$ er negativ for $x \approx 170,71$ (og positiv for $x \approx 29,29$ ), er $x \approx 170,71$ et maksimumspunkt, mens $x \approx 29,29$ er et lokalt minimum.

Antall kaker må være et helt tall, så bakeriet bør produsere

x = 171 k a k e r

Overskuddet ved dette punktet er $O (170,71) \approx 1207,11 kr$ , altså et maksimalt overskudd på omtrent

1207 kr per dag

La prisen per kake være $p$ kroner. Inntektsfunksjonen blir da $I_{p} (x) = p x$ . Balanse (verken over- eller underskudd) er mulig for en pris $p$ dersom linja $y = p x$ når opp til (eller over) grafen til $K$ for minst én verdi av $x$ – altså dersom

p \geq \frac{K (x)}{x} for en eller annen x > 0

Den minste prisen som gjør balanse mulig, er derfor minsteverdien til gjennomsnittskostnaden

G (x) = \frac{K (x)}{x} = 0,001 x^{2} - 0,3 x + 30

Vi deriverer $G$ og setter $G^{'} (x) = 0$ :

G^{'} (x) = 0,002 x - 0,3 = 0 \Rightarrow x = 150

Se CAS-utregningen på bildet over. Siden $G$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient, er $x = 150$ et minimumspunkt. Minsteverdien er

G (150) = \frac{K (150)}{150} = 7,5

Den minste prisen som gjør balanse mulig, er dermed

p = 7,5 kr

og da bør bakeriet produsere og selge nøyaktig

x = 150 k a k e r

per dag, siden dette er punktet der kostnad og inntekt akkurat går i null ( $K (150) = I_{p} (150) = 1125 kr$ ).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Systematisk prøving og feiling eller grafisk løsning godtas som fullgodt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Silje lager to typer syltetøy.

Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker. Type 2 inneholder 40 % bær og 60 % sukker.

Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy.

Hun har 20 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av.

Kalkulator

Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 20 kg bær og 5 kg sukker?

Kalkulator

Hun kan selge syltetøyet av type 1 for 80 kroner per glass og syltetøyet av type 2 for 40 kroner per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet?

Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten hun kan oppnå.

Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type 2 blir dyrest.

Kalkulator

Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 30 kroner per kilogram. Det skal koste 5 kroner mer per glass å lage syltetøy av type 2 enn av type 1.

Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være.

Fasit

$x = 20 glass type 1, y = 5 glass type 2$

$I = 1800 kr$

$p = 40 k r / k g$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall glass av type 1, og $y$ være antall glass av type 2.

Type 1 inneholder $90 %$ bær og $10 %$ sukker, mens type 2 inneholder $40 %$ bær og $60 %$ sukker. Siden hvert glass rommer $1 kg$ syltetøy, gir bær-mengden og sukker-mengden likningssystemet

{\begin{matrix} 0,9 x + 0,4 y & = 20 \\ 0,1 x + 0,6 y & = 5 \end{matrix}

Vi ganger den andre likningen med $9$ :

0,9 x + 5,4 y = 45

Trekker fra den første likningen:

5 y = 25 \Rightarrow y = 5

Setter $y = 5$ inn i den andre opprinnelige likningen:

0,1 x + 0,6 \cdot 5 = 5 \Rightarrow 0,1 x = 2 \Rightarrow x = 20

Kontroll: $0,9 \cdot 20 + 0,4 \cdot 5 = 18 + 2 = 20 kg$ bær, og $0,1 \cdot 20 + 0,6 \cdot 5 = 2 + 3 = 5 kg$ sukker. Stemmer.

Silje må lage $20 glass av type 1 og 5 glass av type 2$ .

Inntekten når hun lager $20$ glass av type 1 og $5$ glass av type 2 er

I = 80 \cdot 20 + 40 \cdot 5 = 1600 + 200 = 1800 kr

For å vise at dette faktisk er den høyeste inntekten Silje kan oppnå, setter vi opp problemet som et lineært optimeringsproblem. Vi tillater nå at hun ikke nødvendigvis bruker opp all bær og alt sukker, men at hun ikke kan bruke mer enn det hun har:

{\begin{matrix} 0,9 x + 0,4 y \leq 20 & (bær) \\ 0,1 x + 0,6 y \leq 5 & (sukker) \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{matrix}

Målfunksjonen (inntekten) som skal maksimeres er

I = 80 x + 40 y

Det tillatte området er avgrenset av linjene $Baer : 0,9 x + 0,4 y = 20$ og $Sukker : 0,1 x + 0,6 y = 5$ (i tillegg til aksene). Toppunktene i det tillatte området er

(0,0), (22,2, 0), (20, 5), (0, 8,3)

Maksimum av en lineær målfunksjon over et slikt område finnes alltid i et av toppunktene. Vi regner ut inntekten i hvert av dem:

Toppunkt	$I = 80x + 40y$
$(0,0)$	$0 \, \mathrm{kr}$
$(22{,}2, \, 0)$	$\approx 1778 \, \mathrm{kr}$
$(20, \, 5)$	$1800 \, \mathrm{kr}$
$(0, \, 8{,}3)$	$\approx 333 \, \mathrm{kr}$

Toppunkt

$I = 80x + 40y$

$(0,0)$

$0 \, \mathrm{kr}$

$(22{,}2, \, 0)$

$\approx 1778 \, \mathrm{kr}$

$(20, \, 5)$

$1800 \, \mathrm{kr}$

$(0, \, 8{,}3)$

$\approx 333 \, \mathrm{kr}$

Grafen under viser de to begrensningslinjene $Baer$ og $Sukker$ , skjæringspunktet $S = (20, 5)$ , og inntektslinjen $80 x + 40 y = 1800$ som går gjennom $S$ . Det tillatte området ligger under/venstre for begge begrensningslinjene, og inntektslinjen berører dette området nettopp i toppunktet $S$ — flytter vi inntektslinjen lenger ut (høyere inntekt), havner den utenfor det tillatte området.

Graf med begrensningslinjer og optimalt punkt

Tabellen og grafen bekrefter at inntekten er størst i $(20, 5)$ , altså er $I = 1800 kr$ den høyeste inntekten Silje kan oppnå.

Nå koster bær $30 kr$ per kilogram, og vi lar $p$ være prisen per kilogram sukker.

Kostnaden per glass av type 1 (som inneholder $90 %$ bær og $10 %$ sukker) er

K_{1} = 0,9 \cdot 30 + 0,1 \cdot p = 27 + 0,1 p

Kostnaden per glass av type 2 (som inneholder $40 %$ bær og $60 %$ sukker) er

K_{2} = 0,4 \cdot 30 + 0,6 \cdot p = 12 + 0,6 p

Type 2 skal koste $5$ kroner mer per glass enn type 1:

K_{2} = K_{1} + 5

12 + 0,6 p = 27 + 0,1 p + 5

12 + 0,6 p = 32 + 0,1 p

0,5 p = 20

p = 40

Prisen per kilogram sukker må være $p = 40 k r / k g$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Lineær optimering, Likningssystem, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 10 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13

Oppgave 1-2·Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13

Oppgave 1-3·Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13

Oppgave 1-4·Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13

Oppgave 1-5·Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13

Oppgave 1-6·Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13

Oppgave 1-7·Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13

Oppgave 1-8·Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13

Oppgave 1-9·Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13

Oppgave 1-10·Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13

Oppgave 2-2·Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13

Oppgave 2-3·Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13

Oppgave 2-4·Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13

Oppgave 2-5·Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13

Oppgave 2-6·Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Oppgave 2-7·Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13

Temaer

Oppgave 1-1Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13

Oppgave 1-2Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13

Oppgave 1-3Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13

Oppgave 1-4Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13

Oppgave 1-5Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13

Oppgave 1-6Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13

Oppgave 1-7Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13

Oppgave 1-8Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13

Oppgave 1-9Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13

Oppgave 1-10Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13

Oppgave 2-1Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13

Oppgave 2-2Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13

Oppgave 2-3Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13

Oppgave 2-4Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13

Oppgave 2-5Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13

Oppgave 2-6Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13

Oppgave 2-7Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13