S1 Høst 2014

LK06 15 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 15 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Høst 2014 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 24 poeng
1	Andregrads- og logaritmelikning S1 H14	—
2	Kvadratsetning for 995 ganger 995	—
3	Lineært og kvadratisk likningssystem S1 H14	—
4	Forenkle logaritmeuttrykk med lg	—
5	Funksjonsdrøfting og nullpunkt for tredjegradsfunksjon S1 H14	—
6	Koder med bokstavene A B C D	—
7	Enhetskostnad og overskudd for bedrift S1 H14	—
8	Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Momentan og gjennomsnittlig vekstfart for andregradsfunksjon	—
2	Per sparer med fast rente og nytt innskudd	—
3	Bussrute med stoppesteder og billettkontroll	—
4	Vanntank som kjegle med potensfunksjon og regresjon	—
5	To biler kjører mot hverandre og møtes	—
6	Pakke med pakkebånd og størst mulig volum	—
7	Kjøttkakeproduksjon med lineær optimering	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning S1 H14

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

2x - 10 = x(x - 5)

\lg\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + 3 = 5

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Andregradslikninger, Logaritmer

Oppgave 1-2 : Kvadratsetning for 995 ganger 995

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet $995 \cdot 995$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Kvadratsetninger, Potenser

Oppgave 1-3 : Lineært og kvadratisk likningssystem S1 H14

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

\begin{bmatrix} 2x = y - 4 \\ 4x^2 + 3y = 12 \end{bmatrix}

Løs likningssystemet.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Andregradslikninger

Oppgave 1-4 : Forenkle logaritmeuttrykk med lg

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\lg\!\left(\dfrac{a^2}{b}\right) + \lg(a^2b^2) - \lg\!\left(\dfrac{b}{a}\right)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting og nullpunkt for tredjegradsfunksjon S1 H14

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = -\dfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 2 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem $f'(x)$ .

Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Regn ut $f(3)$ . Forklar ved hjelp av det du fant i oppgave b), at $f$ bare har ett nullpunkt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-6 : Koder med bokstavene A B C D

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Med bokstavene A, B, C og D skal vi lage en kode på tre bokstaver.

Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom vi tillater at én bokstav kan brukes flere ganger?

Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver bokstav kan brukes bare én gang?

Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk

Oppgave 1-7 : Enhetskostnad og overskudd for bedrift S1 H14

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer $x$ enheter av en vare. Enhetskostnaden $E(x)$ kroner per produsert enhet er gitt ved

E(x) = 4x + 1200 + \dfrac{20000}{x} \quad , \quad x > 0

Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 200 enheter av varen? Hva blir da den samlede produksjonskostnaden?

Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 2000 kroner per enhet.

Forklar at bedriftens overskudd $O$ når det produseres $x$ enheter, er gitt ved

O(x) = -4x^2 + 800x - 20000

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon

Oppgave 1-8 : Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 3x^2 - 1$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Momentan og gjennomsnittlig vekstfart for andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 + 3x - 5 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(2, f(2))$ og den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $\left[1, 3\right]$ .

Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(a, f(a))$ og den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $\left[a-1, a+1\right]$ . Tallet $a$ er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Vekstfart

Oppgave 2-2 : Per sparer med fast rente og nytt innskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For nøyaktig tre år siden satte Per inn 10 000 kroner på en sparekonto. Kontoen har en fast årlig rente på 4,0 %.

Hvor mye penger har Per på sparekontoen i dag?

Hvor mange år vil det gå fra han satte inn pengene, til han har 25 000 kroner på kontoen, dersom han lar pengene bli stående på kontoen?

Per bestemmer seg for å sette inn mer penger på kontoen.

Hvor mye penger må han sette inn på sparekontoen i dag for at det til sammen skal stå 25 000 kroner på kontoen om sju år?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Geometrisk vekst, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-3 : Bussrute med stoppesteder og billettkontroll

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en bussrute er det 10 stoppesteder i tillegg til endeholdeplassen. Dersom bussen kjører ruten uten å stoppe, tar turen 20 min. For hver gang bussen stopper, går det ett minutt ekstra.

Sannsynligheten for at bussen må stoppe på et vilkårlig stoppested, er $0{,}40$ .

Bestem sannsynligheten for at bussturen tar nøyaktig 23 min.

Bestem sannsynligheten for at bussturen tar mindre enn 25 min.

En dag er det billettkontroll. I bussen er det 30 passasjerer. Fire av dem har ikke billett. Fem vilkårlig valgte passasjerer blir kontrollert.

Bestem sannsynligheten for at minst én av de fire uten billett blir kontrollert.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 2-4 : Vanntank som kjegle med potensfunksjon og regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10,0 m høy. En pumpe fyller $18 \mathrm{~m^3}$ vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen nedenfor viser vannstanden i tanken ved ulike tidspunkt.

Kjegleformet vanntank

Tid i timer	1	2	4	6	8	10
Vannstand i meter	3,3	4,2	5,2	6,0	6,6	7,1

Sett punktene fra tabellen inn i et koordinatsystem med tiden langs $x$ -aksen og vannstanden langs $y$ -aksen. Lag en potensfunksjon som passer med tallene fra tabellen.

Bestem hvor mange timer det går før tanken er full. Hvor mye vann er det da i tanken?

Det skal bygges en ny tank med samme form, men høyere. Den nye tanken skal romme $1000 \mathrm{~m^3}$ .

Hvor lang tid tar det for pumpen å fylle den nye tanken? Hvor høy blir den nye tanken?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Optimering

Oppgave 2-5 : To biler kjører mot hverandre og møtes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avstanden mellom byene A og B er 200 km.

En bil starter i A og kjører mot B med farten $60 \mathrm{~km/h}$ .
Vi setter i gang en klokke idet bilen i A starter.
En annen bil starter i B 20 min senere og kjører mot A med farten $40 \mathrm{~km/h}$ .
La $t$ være tiden klokken viser, målt i timer.

Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes.

\begin{bmatrix} s = 60 \cdot t \\ s = 200 - 40\!\left(t - \dfrac{1}{3}\right) \end{bmatrix}

Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes.

Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene.

Bestem hvilken fart bilen hans må ha for at dette skal skje.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Likningssystem, Lineære funksjoner

Oppgave 2-6 : Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal lage en pakke med form som et rett prisme. Pakken har bredde lik $y$ cm, lengde lik $x$ cm og høyde lik $x$ cm. Vi vil sikre pakken med svart pakkebånd. Se figuren nedenfor.

Rektangulær pakke med pakkebånd og mål x og y

Vi ser at lengden av pakkebåndet er $8x + 4y$ . Vi vil lage pakken slik at den har størst mulig volum når vi bruker akkurat 900 cm med pakkebånd.

Vis at volumet $V(x)$ av pakken kan skrives som

V(x) = -2x^3 + 225x^2

Bestem $x$ og $y$ slik at volumet av pakken blir størst mulig. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon

Oppgave 2-7 : Kjøttkakeproduksjon med lineær optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene.

Kjøttkaketype	Kjøttdeig	Mel
A	0,40 kg	0,60 kg
B	0,80 kg	0,20 kg

Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg mel.

La $x$ være antall kilogram kjøttkaker av type A og $y$ antall kilogram kjøttkaker av type B som lages en uke.

Forklar at $x$ og $y$ må oppfylle ulikhetene nedenfor.

x \geq 0

y \geq 0

0{,}60x + 0{,}20y \leq 800

0{,}40x + 0{,}80y \leq 1000

Ulikhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem.

Prisen på kjøttkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram.

Anta at butikken får solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig?

En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen.

Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uken for at salgsinntektene skal bli størst mulig?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter

Sync på tvers av enheter

S1 Høst 2014

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning S1 H14

Oppgave 1-2 : Kvadratsetning for 995 ganger 995

Oppgave 1-3 : Lineært og kvadratisk likningssystem S1 H14

Oppgave 1-4 : Forenkle logaritmeuttrykk med lg

Oppgave 1-5 : Funksjonsdrøfting og nullpunkt for tredjegradsfunksjon S1 H14

Oppgave 1-6 : Koder med bokstavene A B C D

Oppgave 1-7 : Enhetskostnad og overskudd for bedrift S1 H14

Oppgave 1-8 : Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Momentan og gjennomsnittlig vekstfart for andregradsfunksjon

Oppgave 2-2 : Per sparer med fast rente og nytt innskudd

Oppgave 2-3 : Bussrute med stoppesteder og billettkontroll

Oppgave 2-4 : Vanntank som kjegle med potensfunksjon og regresjon

Oppgave 2-5 : To biler kjører mot hverandre og møtes

Oppgave 2-6 : Pakke med pakkebånd og størst mulig volum

Oppgave 2-7 : Kjøttkakeproduksjon med lineær optimering

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave