S1 Vår 2010

Oppgave 1-1Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt polynomfunksjonen $f (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ .

Regn ut $f (1)$ og $f^{'} (1)$ .

Bruk 1) til å beskrive hvordan grafen til $f$ ser ut i et lite område rundt punktet som har førstekoordinat $x = 1$ .

Skriv så enkelt som mulig:

{(a - b)}^{2} + (a + b) (a - b)

\frac{a^{2} \cdot {(a \cdot b^{2})}^{2}}{{(a^{2})}^{3} \cdot b^{3}}

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (\frac{1}{a \cdot b})

Løs likningene:

3 \cdot 10^{3 x} = 3000

2 \lg x - \lg (\frac{1}{x}) = 6

Løs ulikheten

- 3 (x + 1) (x - 2) > 0

Fasit

$f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 4$ . Grafen er stigende og ganske bratt nær $x = 1$ .

1) $2 a^{2} - 2 a b$ 2) $\frac{b}{a^{2}}$ 3) $\lg a$

1) $x = 1$ 2) $x = 100$

$- 1 < x < 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f (x) = 2 x^{3} - x^{2}$ , som gir $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x$ .

f (1) = 2 \cdot 1^{3} - 1^{2} = 2 - 1 = 1

f^{'} (1) = 6 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4

Siden $f^{'} (1) = 4 > 0$ , er $f$ voksende i $x = 1$ . Grafen går altså gjennom punktet $(1, 1)$ og stiger ganske bratt der, med stigningstall $4$ .

Vi bruker kvadratsetningen og konjugatsetningen:

{(a - b)}^{2} + (a + b) (a - b) = (a^{2} - 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - b^{2}) = 2 a^{2} - 2 a b

Vi forenkler teller og nevner hver for seg ved hjelp av potensreglene:

\frac{a^{2} \cdot {(a \cdot b^{2})}^{2}}{{(a^{2})}^{3} \cdot b^{3}} = \frac{a^{2} \cdot a^{2} b^{4}}{a^{6} b^{3}} = \frac{a^{4} b^{4}}{a^{6} b^{3}} = a^{4 - 6} \cdot b^{4 - 3} = a^{- 2} \cdot b = \frac{b}{a^{2}}

Vi bruker logaritmesetningen $\lg (p) + \lg (q) = \lg (p \cdot q)$ :

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (\frac{1}{a \cdot b}) = \lg (a^{2} \cdot b \cdot \frac{1}{a \cdot b}) = \lg (a)

3 \cdot 10^{3 x} = 3000

Vi deler begge sider med $3$ :

10^{3 x} = 1000 = 10^{3}

Siden grunntallene er like, må eksponentene være like:

3 x = 3 \Rightarrow x = 1

2 \lg x - \lg (\frac{1}{x}) = 6

Vi bruker regelen $\lg (\frac{1}{x}) = - \lg x$ :

2 \lg x - (- \lg x) = 6 \Rightarrow 2 \lg x + \lg x = 6 \Rightarrow 3 \lg x = 6

\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^{2} = 100

- 3 (x + 1) (x - 2) > 0

Vi deler begge sider med $- 3$ . Siden vi deler med et negativt tall, snur ulikhetstegnet:

(x + 1) (x - 2) < 0

Nullpunktene til uttrykket er $x = - 1$ og $x = 2$ . Vi lager et fortegnsskjema for $(x + 1)$ og $(x - 2)$ :

Fortegnslinje for (x+1)(x-2)

Produktet er negativt når $- 1 < x < 2$ . Dette er løsningen av ulikheten:

- 1 < x < 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Polynomfunksjoner, Potenser, Logaritmer, Likninger, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den deriverte til en funksjon $f$ er gitt ved $f^{'} (x) = x^{2} - 2 x$ .

Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f^{'} (x)$

Tegn grafen til $f^{'}$ og bruk grafen til $f^{'}$ til å bestemme hvor grafen til $f$ vokser, og hvor den avtar.

Fasit

$f^{'} (- 1) = 3$ , $f^{'} (0) = 0$ , $f^{'} (1) = - 1$ , $f^{'} (2) = 0$ , $f^{'} (3) = 3$

$f$ vokser for $x < 0$ og for $x > 2$ , og avtar for $0 < x < 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn hver $x$ -verdi i $f^{'} (x) = x^{2} - 2 x$ :

f^{'} (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1) = 1 + 2 = 3

f^{'} (0) = 0^{2} - 2 \cdot 0 = 0

f^{'} (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = - 1

f^{'} (2) = 2^{2} - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0

f^{'} (3) = 3^{2} - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3

Dette gir tabellen:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f^{'} (x)$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$

Grafen til $f^{'}$ er en oppoverbuet parabel med nullpunkter i $x = 0$ og $x = 2$ (siden $f^{'} (x) = x^{2} - 2 x = x (x - 2)$ ), og med bunnpunkt mellom disse, i $x = 1$ der $f^{'} (1) = - 1$ :

Skisse av grafen til f'

Vi ser fra tabellen og skissen at:

For $x < 0$ er $f^{'} (x) > 0$ , altså er $f$ voksende.
For $0 < x < 2$ er $f^{'} (x) < 0$ , altså er $f$ avtagende.
For $x > 2$ er $f^{'} (x) > 0$ , altså er $f$ voksende igjen.

Konklusjon:

f vokser for x < 0 og x > 2, og avtar for 0 < x < 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per og Kari leker med terninger, kuler og stavformete klosser. To ganger klarer de å balansere en skålvekt. Den første gangen ligger det to terninger og én kule i den ene skåla og åtte staver i den andre. Den andre gangen ligger det én terning i den ene skåla og én kule og én stav i den andre. Se figurene under.

Figur 1 og Figur 2: Balanserte skålvekter

La $x$ være vekten til én terning, la $y$ være vekten til én kule, og la $z$ være vekten til én stav.

Skriv opp en likning som passer til figur 1, og en likning som passer til figur 2.

Den tredje gangen legger de én terning i den ene skåla og bare staver i den andre skåla. Se figur 3.

Figur 3: Én terning mot ukjent antall staver

Hvor mange staver må de nå legge i skåla for å balansere vekten?

Fasit

$2 x + y = 8 z$ og $x = y + z$

$3 staver$

LøsningsforslagKI-generert

På figur 1 ligger to terninger og én kule i den ene skåla, mens åtte staver ligger i den andre. Siden vekta er i balanse, er den totale vekten lik på begge sider:

2 x + y = 8 z

På figur 2 ligger én terning i den ene skåla, mens én kule og én stav ligger i den andre. Vekta er i balanse også her:

x = y + z

Vi skal finne hvor mange staver, $n$ , som balanserer én terning, altså løse $x = n \cdot z$ .

Fra likning 2 har vi

y = x - z

Vi setter dette inn i likning 1:

2 x + (x - z) = 8 z

3 x - z = 8 z

3 x = 9 z

x = 3 z

Én terning veier altså like mye som $3$ staver. De må derfor legge $3 staver$ i skåla for å balansere vekten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 2-4Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har utviklet en medisin til behandling av en sykdom. Bedriften anslår at 80 % av pasientene som bruker medisinen, blir friske. Vi bruker dette anslaget i utregningene nedenfor.

20 tilfeldig utvalgte pasienter får medisinen.

For hånd

Skriv opp en formel for sannsynligheten for at akkurat $x$ av de 20 pasientene blir friske.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at akkurat 15 av pasientene blir friske.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at minst 15 av pasientene blir friske.

Oppsett for hånd

Bestem $x$ slik at sannsynligheten for at minst $x$ pasienter blir friske, er større enn 0,9.

Fasit

$P (X = x) = (\binom{20}{x}) \cdot {0,8}^{x} \cdot {0,2}^{20 - x}$

$P (X = 15) \approx 0,1746$

$P (X \geq 15) \approx 0,8042$

$x = 14$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antall av de 20 pasientene som blir friske. Siden hver pasient uavhengig av de andre blir frisk med sannsynlighet $0,8$ , er $X$ binomisk fordelt med $n = 20$ og $p = 0,8$ .

Sannsynligheten for at akkurat $x$ av de 20 pasientene blir friske, er gitt ved

P (X = x) = (\binom{20}{x}) \cdot {0,8}^{x} \cdot {0,2}^{20 - x}

der $0,8$ er sannsynligheten for å bli frisk og $0,2$ er sannsynligheten for å ikke bli frisk.

Vi setter $x = 15$ inn i formelen fra a) og bruker GeoGebra CAS til å beregne sannsynligheten:

P (X = 15) = (\binom{20}{15}) \cdot {0,8}^{15} \cdot {0,2}^{5} \approx 0,1746

GeoGebra CAS-utregning av P(X=15), P(X≥15), P(X≥14) og P(X≥13)

Sannsynligheten for at akkurat 15 av pasientene blir friske, er om lag $17,46 %$ .

At minst 15 av pasientene blir friske, betyr at $X \geq 15$ . Fra utklippet over (linje 2) er

P (X \geq 15) = 1 - P (X \leq 14) \approx 0,8042

Sannsynligheten for at minst 15 av pasientene blir friske, er om lag $80,42 %$ .

Vi skal finne den minste verdien av $x$ slik at $P (X \geq x) > 0,9$ . Fra utklippet over ser vi

P (X \geq 15) \approx 0,8042 P (X \geq 14) \approx 0,9133 P (X \geq 13) \approx 0,9679

Siden $P (X \geq 14) \approx 0,9133 > 0,9$ , mens $P (X \geq 15) \approx 0,8042 < 0,9$ , er $x = 14$ den minste verdien som oppfyller kravet:

x = 14

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter av en vare er gitt ved

K (x) = 0,2 x^{2} + 200 x

I (x) = - 0,3 x^{2} + 400 x

Vi antar at produksjonen er mindre enn 500 enheter. Både kostnaden og inntekten oppgis i kroner.

Kalkulator

Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer og selger 300 enheter. Hvor stort blir overskuddet?

Kalkulator

Bestem et uttrykk for overskuddsfunksjonen $P$ . Løs likningen $P (x) = 0$ .

Kalkulator

Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd. Hvor stort er det største overskuddet?

Fasit

$K (300) = 78 000 kr, I (300) = 93 000 kr, overskudd = 15 000 kr$

$P (x) = - 0,5 x^{2} + 200 x, x = 0 eller x = 400$

$x = 200 enheter gir maksimalt overskudd på 20 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 300$ inn i uttrykkene for kostnad og inntekt.

K (300) = 0,2 \cdot 300^{2} + 200 \cdot 300 = 18 000 + 60 000 = 78 000 kr

I (300) = - 0,3 \cdot 300^{2} + 400 \cdot 300 = - 27 000 + 120 000 = 93 000 kr

Overskuddet er inntekt minus kostnad.

I (300) - K (300) = 93 000 - 78 000 = 15 000 kr

Bedriften får et overskudd på $15 000 kr$ når den produserer og selger 300 enheter.

Overskuddsfunksjonen $P$ er inntekt minus kostnad.

P (x) = I (x) - K (x) = (- 0,3 x^{2} + 400 x) - (0,2 x^{2} + 200 x) = - 0,5 x^{2} + 200 x

Vi løser $P (x) = 0$ ved å faktorisere ut $x$ .

- 0,5 x^{2} + 200 x = 0

x (- 0,5 x + 200) = 0

x = 0 eller - 0,5 x + 200 = 0 \Rightarrow x = 400

Løsningen av $P (x) = 0$ er kontrollert med GeoGebra CAS (linje 4 i utklippet under).

CAS-utregning

Overskuddet er altså null når bedriften produserer $x = 0$ eller $x = 400$ enheter. Det betyr at bedriften går med overskudd for produksjon mellom $0$ og $400$ enheter.

For å finne den produksjonen som gir størst overskudd, deriverer vi $P$ og setter den deriverte lik null.

P^{'} (x) = - x + 200

P^{'} (x) = 0 \Rightarrow - x + 200 = 0 \Rightarrow x = 200

Siden $P$ er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, er dette et toppunkt (maksimum). Det stemmer med linje 5 og 6 i CAS-utklippet over.

Vi finner størrelsen på det maksimale overskuddet ved å sette $x = 200$ inn i $P (x)$ (linje 7 i utklippet over).

P (200) = - 0,5 \cdot 200^{2} + 200 \cdot 200 = - 20 000 + 40 000 = 20 000 kr

Bedriften oppnår størst overskudd når den produserer og selger $200$ enheter, og det maksimale overskuddet er da $20 000 kr$ .

$Grafen til overskuddsfunksjonen P(x) med nullpunkter i x=0 og x=400, og toppunkt i (200, 20\,000)$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Lineær optimering for vannprøveanalyse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor følger et sett med ulikheter:

x > 0

y > \frac{2}{x} + 2

2 y - 16 < - 4 x

For hånd

Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene.

Vi studerer følgende situasjon:

Et laboratorium skal analysere vannprøver. Det har kapasitet til å utføre inntil 570 slike analyser. En uerfaren assistent og en erfaren tekniker deler på arbeidet. Assistenten analyserer 4 prøver per time, og teknikeren analyserer 6 prøver per time. Det kan brukes inntil 120 timer på analysene. Teknikeren kan ikke bruke mer enn 70 timer på analysen av disse vannprøvene.

For hånd

Bestem et sett med ulikheter som beskriver betingelsene i teksten over.

Kalkulator

Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene i b).

Assistenten lønnes med 100 kroner per time, og teknikeren lønnes med 175 kroner per time. De får i oppdrag å analysere 570 vannprøver. Ellers gjelder de samme betingelsene som i spørsmål b).

Kalkulator

Hvor mange timer må assistenten arbeide, og hvor mange timer må teknikeren arbeide for at de to til sammen skal tjene mest mulig?

Fasit

Se figur i løsningsforslaget.

$4 x + 6 y \leq 570$ , $x + y \leq 120$ , $y \leq 70$ , $x \geq 0$ , $y \geq 0$

Se figur i løsningsforslaget.

$x = 37,5 timer (assistent), y = 70 timer (tekniker)$ , samlet lønn $16 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal skravere området som oppfyller alle tre ulikhetene samtidig:

x > 0, y > \frac{2}{x} + 2, 2 y - 16 < - 4 x

Den siste ulikheten kan skrives om til $y < 8 - 2 x$ ved å løse med hensyn på $y$ .

Grensekurvene er hyperbelen $y = \frac{2}{x} + 2$ og den rette linja $y = 8 - 2 x$ . De skjærer hverandre der

\frac{2}{x} + 2 = 8 - 2 x \Rightarrow 2 x^{2} - 6 x + 2 = 0 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 1 = 0

som gir $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ , altså $x \approx 0,38$ og $x \approx 2,62$ .

Området avgrenset av ulikhetene er dermed «lens-formen» mellom hyperbelen (nedre grense) og linja (øvre grense), for $x$ mellom disse to skjæringspunktene. Vi tegner dette i GeoGebra:

Skravert område for ulikhetene i innledningen

Det mørkeblå området (der begge ulikhetene $y > \frac{2}{x} + 2$ og $y < 8 - 2 x$ er oppfylt, med $x > 0$ ) er løsningsområdet.

Vi lar

x = antall timer assistenten arbeider, y = antall timer teknikeren arbeider

Assistenten analyserer $4$ prøver per time, teknikeren $6$ prøver per time. Laboratoriet har kapasitet til inntil $570$ analyser, så

4 x + 6 y \leq 570

Det kan brukes inntil $120$ timer totalt på analysene:

x + y \leq 120

Teknikeren kan ikke bruke mer enn $70$ timer:

y \leq 70

I tillegg må antall timer være ikke-negativt:

x \geq 0, y \geq 0

Vi tegner de fem ulikhetene fra b) i samme koordinatsystem og skraverer fellesområdet (der alle betingelsene er oppfylt samtidig):

Skravert løsningsområde for ulikhetene i b)

Det mørkeblå området er et femkantet område med hjørner i $(0,0)$ , $(120,0)$ , $(75,45)$ , $(37,5, 70)$ og $(0,70)$ .

Nå skal laboratoriet analysere nøyaktig $570$ vannprøver — ikke bare inntil $570$ . Siden kapasiteten uansett er maks $570$ , betyr dette at ulikheten $4 x + 6 y \leq 570$ fra b) blir til en likhet:

4 x + 6 y = 570 \Leftrightarrow 2 x + 3 y = 285

De andre betingelsene fra b) gjelder fortsatt: $x + y \leq 120$ , $y \leq 70$ , $x \geq 0$ , $y \geq 0$ .

Samlet lønn (i kroner) er

L (x, y) = 100 x + 175 y

Siden $2 x + 3 y = 285$ , kan vi løse ut $x$ :

x = \frac{285 - 3 y}{2}

Setter vi dette inn i lønnsuttrykket:

L (y) = 100 \cdot \frac{285 - 3 y}{2} + 175 y = 50 (285 - 3 y) + 175 y = 14 250 - 150 y + 175 y = 14 250 + 25 y

$L (y)$ er en voksende funksjon av $y$ . For å tjene mest mulig skal derfor $y$ være så stor som mulig.

Vi finner hvilke verdier av $y$ som er tillatt langs linja $2 x + 3 y = 285$ , gitt de øvrige betingelsene:

Betingelsen $y \leq 70$ setter en direkte øvre grense.
Betingelsen $x + y \leq 120$ gir, ved innsetting av $x = \frac{285 - 3 y}{2}$ :

\frac{285 - 3 y}{2} + y \leq 120 \Rightarrow 285 - 3 y + 2 y \leq 240 \Rightarrow - y \leq - 45 \Rightarrow y \geq 45

Betingelsen $x \geq 0$ gir $y \leq 95$ , som er svakere enn $y \leq 70$ .

Dermed må $45 \leq y \leq 70$ , og $L (y)$ er størst når $y = 70$ (dette er nettopp hjørnet $(37,5, 70)$ i figuren fra c), der linja $2 x + 3 y = 285$ møter grensa $y = 70$ ).

Da er

x = \frac{285 - 3 \cdot 70}{2} = \frac{75}{2} = 37,5

Vi sjekker at $x + y = 37,5 + 70 = 107,5 \leq 120$ , så betingelsen er oppfylt.

Maksimal lønn blir

L = 14 250 + 25 \cdot 70 = 14 250 + 1 750 = 16 000

Assistenten må arbeide $37,5 timer$ , og teknikeren må arbeide $70 timer$ , for at de til sammen skal tjene mest mulig — totalt $16 000 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7-IKonsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Ved en kjemisk reaksjon i en sur løsning endrer konsentrasjonen av et stoff seg med tida. Konsentrasjonen, målt i millimol per liter, etter $t$ sekunder er gitt ved

f (t) = 3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,0007 t}

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ når $t \leq 3600$ .

Kalkulator

Bestem ved regning hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er 2 millimol per liter.

Kalkulator

Bestem ved regning den gjennomsnittlige veksthastigheten de 10 første minuttene.

Kalkulator

Finn en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når $t = 600$ .

Kalkulator

Vi lar den sure løsningen stå i mange timer. Bruk modellen til å avgjøre hvilken konsentrasjon vi da kan vente oss.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$t \approx 682 s \approx 11,4 m i n$

$\approx 0,0031 m m o l / (L \cdot s)$

$\approx 0,0018 m m o l / (L \cdot s)$

$f (t) \to 3 m m o l / L$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til

f (t) = 3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,0007 t}, 0 \leq t \leq 3600

Graf av f(t)

Grafen starter i $(0, 0)$ , øker og flater ut mot den vannrette linja $y = 3$ , som er en asymptote for $f$ .

Vi setter $f (t) = 2$ og løser med hensyn på $t$ .

3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,0007 t} = 2

3,00 \cdot 10^{- 0,0007 t} = 1

10^{- 0,0007 t} = \frac{1}{3}

Vi tar $\log$ på begge sider.

- 0,0007 t = \log (\frac{1}{3}) = - \log 3

t = \frac{\log 3}{0,0007} \approx \frac{0,4771}{0,0007} \approx 681,6 s

Dette tilsvarer $681,6 / 60 \approx 11,4$ minutter.

$t \approx 682 s \approx 11,4 m i n$

Den gjennomsnittlige veksthastigheten de 10 første minuttene ( $t$ fra $0$ til $600$ sekunder) er stigningstallet til sekanten gjennom $(0, f (0))$ og $(600, f (600))$ .

Vi har $f (0) = 0$ , og

f (600) = 3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,0007 \cdot 600} = 3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,42} \approx 3,00 - 3,00 \cdot 0,3802 \approx 1,8594

Den gjennomsnittlige veksthastigheten blir da

\frac{f (600) - f (0)}{600} = \frac{1,8594 - 0}{600} \approx 0,0031 m m o l / (L \cdot s)

$\approx 0,0031 m m o l / (L \cdot s)$

Vi finner en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten ved $t = 600$ ved å bruke stigningstallet til sekanten gjennom to punkter nær $t = 600$ , for eksempel $t = 590$ og $t = 610$ .

f (590) = 3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,0007 \cdot 590} \approx 1,8410

f (610) = 3,00 - 3,00 \cdot 10^{- 0,0007 \cdot 610} \approx 1,8778

\frac{f (610) - f (590)}{610 - 590} = \frac{1,8778 - 1,8410}{20} \approx 0,0018 m m o l / (L \cdot s)

$\approx 0,0018 m m o l / (L \cdot s)$

Når $t$ blir svært stor, går eksponenten $- 0,0007 t$ mot $- \infty$ , og dermed går $10^{- 0,0007 t}$ mot $0$ . Dette gir

f (t) \to 3,00 - 3,00 \cdot 0 = 3,00

Dette stemmer med den vannrette asymptoten $y = 3$ vi ser på grafen i a). Modellen tilsier altså at konsentrasjonen etter mange timer nærmer seg $3$ millimol per liter, og aldri overstiger denne verdien.

$f (t) \to 3 m m o l / L$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 2-7-I for seg selv

Oppgave 2-7-IIPrisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Prisindeks er et mål for pris. Tabellen viser hvordan prisindeksen for leiligheter i Stavanger varierte i perioden fra 1. kvartal 2008 til 2. kvartal 2009. Ett år deles inn i fire kvartaler som hvert er på tre måneder.

Tidspunkt	1. kvartal 2008	2. kvartal 2008	3. kvartal 2008	4. kvartal 2008	1. kvartal 2009	2. kvartal 2009
$x$	0	1	2	3	4	5
Prisindeks	100	99,2	96,5	89,7	93,3	97,9

Vi lar $x$ være antall kvartaler etter 1. kvartal i 2008.

Krever PC

Bruk digitalt verktøy og finn en 4. gradsfunksjon $f$ som passer best mulig med dataene i tabellen.

Krever PC

Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem sammen med punktene som er gitt i tabellen. Bruk $x$ -verdier fra 0 til 8 og $y$ -verdier fra 80 til 120. Hvordan syns du funksjonen passer?

Oppsett for hånd

Bruk derivasjon til å bestemme når prisen på leiligheter vil nå sitt høyeste nivå, ut fra funksjonen i a). Hvilken prisindeks gir funksjonen da?

Krever PC

Vis at det også finnes en 3. gradsfunksjon $g$ som gir en god tilnærming til dataene i tabellen over.

Hvilke tall gir de to funksjonene $f$ og $g$ for prisindeksen på leiligheter i 2. kvartal 2010?

Fasit

$f (x) \approx - 0,15 x^{4} + 2,037 x^{3} - 7,703 x^{2} + 5,982 x + 99,839$

God tilpasning for $x$ mellom $0$ og $5$ ; upålitelig utenfor datagrunnlaget

$Høyest i 3. kvartal 2009 (x \approx 6,4), prisindeks \approx 105$

$g (x) \approx 0,537 x^{3} - 3,096 x^{2} + 1,697 x + 100,096$ ; $f (9) \approx 30,6$ og $g (9) \approx 256,1$ — svært ulike og lite pålitelige prognoser

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall kvartaler etter 1. kvartal 2008, slik oppgaven angir, og punktene fra tabellen er

(0, 100), (1, 99,2), (2, 96,5), (3, 89,7), (4, 93,3), (5, 97,9)

Vi bruker regresjon i GeoGebra (FitPoly med grad 4 på de seks punktene) til å finne en 4.-gradsfunksjon som passer best mulig med dataene:

f (x) \approx - 0,15 x^{4} + 2,037 x^{3} - 7,703 x^{2} + 5,982 x + 99,839

$f (x) \approx - 0,15 x^{4} + 2,037 x^{3} - 7,703 x^{2} + 5,982 x + 99,839$

Grafen til $f$ er tegnet sammen med datapunktene, med $x$ fra $0$ til $8$ og $y$ fra $80$ til $120$ (blå kurve). Kurven til $g$ fra d) er også tatt med (grønn kurve), til sammenligning.

Regresjonskurver for prisindeksen, med datapunkter og global maksimum markert

Vi ser at $f$ passer svært godt med punktene i tabellen for $x$ mellom $0$ og $5$ — kurven går tett inntil alle de seks datapunktene (røde). Utenfor dette området, altså for $x > 5$ , vet vi ingenting om hvordan prisindeksen faktisk har utviklet seg, og en 4.-gradsfunksjon kan svinge mye. Modellen bør derfor brukes med forsiktighet utenfor det opprinnelige datagrunnlaget.

For å finne når prisen er høyest, bruker vi at prisindeksen har sitt høyeste nivå der $f^{'} (x) = 0$ og $f$ går fra økende til avtagende (dvs. et toppunkt).

Vi deriverer $f$ digitalt og løser $f^{'} (x) = 0$ i intervallet $⟨ 0, 8 ⟩$ (det området grafen er tegnet for i b)). Dette gir tre ekstremalpunkter for $f$ : et lite toppunkt ved $x \approx 0,47$ , et bunnpunkt ved $x \approx 3,28$ , og et toppunkt ved

x \approx 6,44, f (6,44) \approx 104,97

Dette siste toppunktet er markert med oransje i figuren over, og er det høyeste funksjonsverdien tar i intervallet — verdien er høyere enn både $f (0) \approx 99,84$ og verdien i det første, lille toppunktet ( $\approx 101,15$ ), og $f$ avtar igjen etter $x \approx 6,44$ (for eksempel er $f (8) \approx 82,9$ ).

Siden $x = 6$ tilsvarer 3. kvartal 2009, betyr $x \approx 6,44$ at prisindeksen ifølge modellen når sitt høyeste nivå i løpet av 3. kvartal 2009.

$Prisindeksen er høyest for x \approx 6,4 (i 3. kvartal 2009), med en prisindeks på ca. 105$

1)

Vi bruker regresjon på nytt, nå med en 3.-gradsfunksjon (FitPoly med grad 3) på de samme seks punktene:

g (x) \approx 0,537 x^{3} - 3,096 x^{2} + 1,697 x + 100,096

Den grønne kurven i figuren over viser $g$ . Vi ser at også $g$ ligger tett inntil alle datapunktene for $x$ mellom $0$ og $5$ , på samme måte som $f$ . Dette viser at en 3.-gradsfunksjon også gir en god tilnærming til dataene i tabellen.

2)

kvartal 2010 tilsvarer $x = 9$ (siden $x = 5$ er 2. kvartal 2009, og det er fire kvartaler i et år). Vi setter $x = 9$ inn i begge funksjonene:

f (9) \approx 30,6 g (9) \approx 256,1

Funksjonene gir svært forskjellige svar, og begge tallene er urealistiske som prisindekser (den ene er urimelig lav, den andre urimelig høy). Dette illustrerer at $f$ og $g$ bare er gode tilnærminger innenfor det området vi har data for ( $x$ fra $0$ til $5$ ). Å bruke dem til å beregne prisindeksen for $x = 9$ er en ekstrapolering langt utenfor datagrunnlaget, og resultatet kan derfor ikke stoles på.

$f (9) \approx 30,6 og g (9) \approx 256,1 — svært ulike og upålitelige prognoser$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Regresjon, Derivasjon, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 2-7-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver

Oppgave 1-1Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-4Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Lineær optimering for vannprøveanalyse

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IKonsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IIPrisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver

Oppgave 1-1·Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Oppgave 1-2·Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10

Oppgave 1-3·Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-4·Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske

Oppgave 2-5·Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Oppgave 2-6·Lineær optimering for vannprøveanalyse

Oppgave 2-7-I·Konsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon

Oppgave 2-7-II·Prisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse

Temaer

Oppgave 1-1Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Oppgave 1-2Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10

Oppgave 1-3Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem

Oppgave 2-4Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske

Oppgave 2-5Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Oppgave 2-6Lineær optimering for vannprøveanalyse

Oppgave 2-7-IKonsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon

Oppgave 2-7-IIPrisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse