S1 Vår 2014

LK06 13 oppgaver 58 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Vår 2014 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 22 poeng
1	Andregrads- og logaritmelikning S1 V14	—
2	Logaritmeuttrykk med tre ledd og brøker av a og b	—
3	Kvadratsetning og potensregler med to variable	—
4	Rasjonal funksjon bestem a og b fra skjæringspunkter	—
5	Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet	—
6	Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Varmetap gjennom vegg og vindu likningssystem	—
2	Drøfting av fjerdegradsfunksjon med doble nullpunkter	—
3	Gjerding av rektangel med steinmur optimering	—
4	Lærerutdannede som arbeider som lærere binomisk fordeling	—
5	Fortjeneste per enhet og maksimalt overskudd	—
6	Saft og syltetøy lineær optimering med ressursgrenser	—
7	Logaritmisk likning med to løsninger	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 22 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning S1 V14

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

-x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x

\lg(x + 2) = 2\lg x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Andregradslikning, Logaritmelikning, Likninger

Oppgave 1-2 : Logaritmeuttrykk med tre ledd og brøker av a og b

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

2 \cdot \lg\!\left(\frac{a^2}{b^2}\right) + 3 \cdot \lg\!\left(\frac{b^2}{a}\right) + \lg\!\left(\frac{b}{a}\right)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Algebra

Oppgave 1-3 : Kvadratsetning og potensregler med to variable

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

2(a+b)^2 - 2(a-b)^2

\dfrac{a^{-4} \cdot b^2 \cdot a^3}{(a^2 \cdot b)^{-3} \cdot a^0}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Potenser

Oppgave 1-4 : Rasjonal funksjon bestem a og b fra skjæringspunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax + b}{x - 1} \quad , \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}

Grafen til $f$ skjærer $x$ -aksen i $x = 3$ og $y$ -aksen i $y = 6$ .

Bestem $a$ og $b$ .

Tegn grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Likninger

Oppgave 1-5 : Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren til høyre viser et utsnitt av Pascals talltrekant.

Utsnitt av Pascals talltrekant med ukjente x og y

Bestem $x$ og $y$ .

Nedenfor ser du utregningen $(a+b)^n$ for noen verdier av $n$ .

(a+b)^0 = 1

(a+b)^1 = 1 \cdot a + 1 \cdot b

(a+b)^2 = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ab + 1 \cdot b^2

(a+b)^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 + 1 \cdot b^3

(a+b)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3b + 6 \cdot a^2b^2 + 4 \cdot ab^3 + 1 \cdot b^4

Bruk mønsteret ovenfor til å regne ut $(a+b)^5$ .

Et forsøk er sammensatt av tre uavhengige delforsøk. I hvert delforsøk ser vi om et utfall $A$ inntreffer eller ikke. Sannsynlighetene er $P(A) = a$ og $P(\bar{A}) = b$ . Forsøket kan illustreres i et valgtre. Se figuren.

Valgtre for tre uavhengige delforsøk med utfall A og ikke-A

Vi lar $P(X = k)$ være sannsynligheten for at utfallet $A$ inntreffer $k$ ganger.

Skriv av og fyll ut sannsynlighetstabellen nedenfor.

$k$	3	2	1	0
$P(X = k)$	$a^3$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer $x$ enheter av en vare. Kostnadene $K$ (i kroner) er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 - 10x + 20000

Inntektene $I$ (i kroner) er gitt ved

I(x) = p \cdot x

der $p$ er salgsprisen per enhet for varen.

Vis at overskuddet $O$ er gitt ved

O(x) = -0{,}1x^2 + (10 + p)x - 20000

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom $p = 140$ ?

For en bestemt salgspris $p$ er overskuddet størst når bedriften produserer og selger 2000 enheter. Hva er denne salgsprisen $p$ ?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Varmetap gjennom vegg og vindu likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En arkitekt skal tegne et hus med total yttervegg på $120\ \mathrm{m^2}$ . Ytterveggen består av isolert veggflate og vindu. Tabellen nedenfor viser varmetapet per time gjennom isolert veggflate og gjennom vindu under visse betingelser.

	Areal (m²)	Varmetap (kWh/m²)
Isolert veggflate	$x$	$0{,}009 \cdot x$
Vindu	$y$	$0{,}048 \cdot y$

Bestem det totale varmetapet per time gjennom ytterveggen dersom $20\ \mathrm{m^2}$ er vindu.

Det totale varmetapet gjennom ytterveggen per time skal være $2{,}0\ \mathrm{kWh}$ .

Sett opp et likningssystem som kan brukes til å bestemme hvor mange kvadratmeter veggflate og hvor mange kvadratmeter vindu ytterveggen må ha.

Løs likningssystemet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Modellering

Oppgave 2-2 : Drøfting av fjerdegradsfunksjon med doble nullpunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og $y$ -aksen.

Løs likningen $f(x) = 0$ .

Bruk $f'(x)$ til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Andregradslikning

Oppgave 2-3 : Gjerding av rektangel med steinmur optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bonde skal gjerde inn et rektangelformet område med areal $625\ \mathrm{m^2}$ . Hun skal bruke en 15 m lang steinmur som en del av det inngjerdede området. Til resten av området skal hun bruke et gjerde med lengde $G$ .

Området er skissert på figuren nedenfor. På skissen er sidene i rektangelet kalt $x$ og $y$ .

Skisse av rektangel med 15 m steinmur og gjerdet på de øvrige sidene

Vis at lengden $G$ av gjerdet kan skrives som

G(x) = \dfrac{1250}{x} + 2x - 15 \quad , \quad x > 15

Tegn grafen til $G$ .

Hva er det korteste gjerdet bonden kan bruke? Hva slags rektangel får vi da?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Modellering, Derivasjon, Rasjonale funksjoner

Oppgave 2-4 : Lærerutdannede som arbeider som lærere binomisk fordeling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sommeren 2013 viste en undersøkelse at 3 av 4 som har tatt lærerutdanning, arbeidet som lærer. I en ny undersøkelse blir 20 personer som har tatt lærerutdanning, kontaktet.

Bestem sannsynligheten for at akkurat 15 av disse arbeider som lærer.

Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 arbeider som lærer.

Det blir bestemt at flere personer med lærerutdanning skal kontaktes.

Hvor mange personer må delta i undersøkelsen for at sannsynligheten skal være større enn 95 % for at minst 25 av dem arbeider som lærer?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-5 : Fortjeneste per enhet og maksimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Fortjenesten $F$ per enhet (målt i kroner) er gitt ved

F(x) = -0{,}01x^2 + 0{,}3x + 120

Hvor mange enheter må bedriften produsere for at fortjenesten per enhet skal bli størst mulig?

Forklar at overskuddet $O$ til bedriften per dag er gitt ved

O(x) = x \cdot F(x)

Bestem den produksjonsmengden som gjør overskuddet størst mulig. Hvor stort er overskuddet da?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Optimering, Kostnadsfunksjon

Oppgave 2-6 : Saft og syltetøy lineær optimering med ressursgrenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kari har startet en liten bedrift. Hun lager saft og syltetøy.

For å lage 1 kg saft trenger hun 0,35 kg bringebær og 0,15 kg jordbær
For å lage 1 kg syltetøy trenger hun 0,20 kg bringebær og 0,40 kg jordbær
Hun klarer å lage inntil 900 kg saft og syltetøy til sammen per uke

En uke har hun tilgang på 250 kg bringebær og 300 kg jordbær.

La $x$ være antall kilogram saft og $y$ antall kilogram syltetøy hun lager denne uken.

Sett opp ulikhetene som må være oppfylt i produksjonen.

Marker området som er avgrenset av ulikhetene du fant i oppgave a).

Fortjenesten er 8 kroner per kilogram for saft og 12 kroner per kilogram for syltetøy.

Hvilken produksjonsmengde gir størst fortjeneste, og hva er fortjenesten da?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering

Oppgave 2-7 : Logaritmisk likning med to løsninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på $x$

n \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^n \,, \quad x > 0 \,, \quad n > 0

Vis at denne likningen kan omformes til

\lg\left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = \lg\left(\frac{x}{n}\right)^n

Vis at likningen videre kan skrives

(\lg x - n) \cdot (\lg x - \lg n) = 0

Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme $x$ uttrykt ved $n$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Logaritmer, Likninger, Algebra

Sync på tvers av enheter

S1 Vår 2014

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 22 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning S1 V14

Oppgave 1-2 : Logaritmeuttrykk med tre ledd og brøker av a og b

Oppgave 1-3 : Kvadratsetning og potensregler med to variable

Oppgave 1-4 : Rasjonal funksjon bestem a og b fra skjæringspunkter

Oppgave 1-5 : Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet

Oppgave 1-6 : Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Varmetap gjennom vegg og vindu likningssystem

Oppgave 2-2 : Drøfting av fjerdegradsfunksjon med doble nullpunkter

Oppgave 2-3 : Gjerding av rektangel med steinmur optimering

Oppgave 2-4 : Lærerutdannede som arbeider som lærere binomisk fordeling

Oppgave 2-5 : Fortjeneste per enhet og maksimalt overskudd

Oppgave 2-6 : Saft og syltetøy lineær optimering med ressursgrenser

Oppgave 2-7 : Logaritmisk likning med to løsninger

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave