En pasient får intravenøs behandling med en medisin.

La $M(t)$ være mengden virkestoff fra medisinen som pasienten har i blodet ved tidspunktet $t$ timer etter at behandlingen startet. Kroppen bryter ned virkestoffet med en fart som til enhver tid er proporsjonal med mengden virkestoff som er i blodet.

Pasienten får tilført $5 \mathrm{~mg}$ av virkestoffet per time.

a)

Forklar at $M(t)$ må tilfredsstille differensiallikningen

$$M'(t) = -k \cdot M(t) + 5 \quad , \quad M(0) = 0$$

$24$ timer etter at behandlingen startet, hadde pasienten $80 \mathrm{~mg}$ av virkestoffet i blodet.

b)

Bestem et uttrykk for $M(t)$.

Etter at pasienten har fått intravenøs behandling i $24$ timer, blir det bestemt at pasienten skal få mer medisin per time.

c)

Hvor mye virkestoff må pasienten få hver time dersom mengden virkestoff i blodet skal være $150 \mathrm{~mg}$ ett døgn senere?