Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at

\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)

En rekke er gitt ved

s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}

Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at

s_5 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right)

Bruk blant annet det du gjorde i oppgave a), til å begrunne at

s_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)

Forklar at

s_n > \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^2}

Bruk dette til å begrunne at den uendelige rekken nedenfor konvergerer.

\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \cdots

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter