R2 Vår 2022

LK06 12 oppgaver 54 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2022 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 30 poeng
1	Derivasjon med produktregel og kvotientregel	—
2	Bestem integralene med trigonometri	—
3	Trigonometrisk likning med cosinus	—
4	Differensiallikning med startverdi	—
5	Areal og omdreiningslegeme for 1 over x	—
7	Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter	—
8	Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4	—
9	Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd	—
2	Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri	—
3	Differensiallikning for medisinmengde i blod	—
4	Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3x \cdot \sin x

g(x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integralene med trigonometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (e^x - \sin x)\, dx

\int_0^{\pi/4} \sin x \cdot \cos x\, dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Trigonometri, Bestemt integral

Oppgave 1-3 : Trigonometrisk likning med cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

2\cos(3x) = -\sqrt{3} \quad , \quad x \in [0, \pi]

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-4 : Differensiallikning med startverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' + 2y = 4 \quad , \quad y(0) = 1

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-5 : Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{x} \quad , \quad x \geq 1

Flatestykket $F$ er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen, linjen $x = 1$ og linjen $x = k$ , der $k > 1$ .

Bestem $k$ slik at arealet av $F$ blir $2$ .

Dersom vi dreier $F$ $360\degree$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V$ .

Bestem $V$ når $k = 4$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme

Oppgave 1-7 : Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 2\cos^2 x + \sin(2x) \quad , \quad x \in \langle -\pi, \pi \rangle

Bestem nullpunktene til $f$ .

Vis at vi kan skrive funksjonsuttrykket til $f$ som

f(x) = \sqrt{2} \cdot \sin\!\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1

Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bevis

Oppgave 1-8 : Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ er $a_2 = 8$ og $a_4 = 2$ .

Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å vise at

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots + (-1)^{n+1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}

der $n \in \mathbb{N}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Bevis, Induksjon, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria vil få oversikt over energiforbruket i boligen sin. Funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 1{,}3 \cdot \sin(0{,}52x - 2{,}0) + 2{,}4 \quad , \quad x \in [0, 24]

er en god modell for energiforbruket per time ved tidspunktet $x$ timer etter midnatt i boligen til Maria. Her er energiforbruket målt i kWh.

Når på døgnet er energiforbruket i boligen størst ifølge modellen?

Hvor stort er energiforbruket i løpet av et døgn ifølge modellen?

En dag er det strømbrudd hos Maria. På energimåleren ser hun at hun dette døgnet hadde brukt $17 \mathrm{~kWh}$ før strømbruddet.

Omtrent når på døgnet fant strømbruddet sted?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Integrasjon, Bestemt integral

Oppgave 2-2 : Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(0, 7, 5)$ , $B(1, 7, 2)$ , $C(-2, 2, 0)$ og $D(1, 1, h)$ .

Linjen $\ell$ går gjennom $A$ og $B$ .
Linjen $m$ går gjennom $C$ og $D$ .

Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen

3x + (h+9)y + z = 68 + 7h

Bestem en eksakt verdi for $h$ slik at linjene skjærer hverandre.

Vis at linjen $\ell$ ligger i planet $\alpha$ , og at linjen $m$ er parallell med planet $\alpha$ .

Bestem $h$ slik at avstanden mellom linjene $\ell$ og $m$ blir $4$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Bevis

Oppgave 2-3 : Differensiallikning for medisinmengde i blod

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En pasient får intravenøs behandling med en medisin.

La $M(t)$ være mengden virkestoff fra medisinen som pasienten har i blodet ved tidspunktet $t$ timer etter at behandlingen startet. Kroppen bryter ned virkestoffet med en fart som til enhver tid er proporsjonal med mengden virkestoff som er i blodet.

Pasienten får tilført $5 \mathrm{~mg}$ av virkestoffet per time.

Forklar at $M(t)$ må tilfredsstille differensiallikningen

M'(t) = -k \cdot M(t) + 5 \quad , \quad M(0) = 0

$24$ timer etter at behandlingen startet, hadde pasienten $80 \mathrm{~mg}$ av virkestoffet i blodet.

Bestem et uttrykk for $M(t)$ .

Etter at pasienten har fått intravenøs behandling i $24$ timer, blir det bestemt at pasienten skal få mer medisin per time.

Hvor mye virkestoff må pasienten få hver time dersom mengden virkestoff i blodet skal være $150 \mathrm{~mg}$ ett døgn senere?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Oppgave 2-4 : Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at

\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)

En rekke er gitt ved

s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}

Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at

s_5 = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right)

Bruk blant annet det du gjorde i oppgave a), til å begrunne at

s_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)

Forklar at

s_n > \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^2}

Bruk dette til å begrunne at den uendelige rekken nedenfor konvergerer.

\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} + \cdots

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Uendelig rekke, Konvergens, Bevis

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2022

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Oppgave 1-2 : Bestem integralene med trigonometri

Oppgave 1-3 : Trigonometrisk likning med cosinus

Oppgave 1-4 : Differensiallikning med startverdi

Oppgave 1-5 : Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Oppgave 1-7 : Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter

Oppgave 1-8 : Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd

Oppgave 2-2 : Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Oppgave 2-3 : Differensiallikning for medisinmengde i blod

Oppgave 2-4 : Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave