R2 Vår 2022

Oppgave 1-1Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 3 x \cdot \sin x

g (x) = \frac{\sin (2 x)}{\cos x}

Fasit

$f^{'} (x) = 3 \sin x + 3 x \cos x$

$g^{'} (x) = 2 \cos x$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med

u = 3 x, u^{'} = 3, v = \sin x, v^{'} = \cos x

Da får vi

f^{'} (x) = 3 \cdot \sin x + 3 x \cdot \cos x = 3 \sin x + 3 x \cos x

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med

u = \sin (2 x), u^{'} = 2 \cos (2 x), v = \cos x, v^{'} = - \sin x

Da får vi

g^{'} (x) = \frac{2 \cos (2 x) \cdot \cos x - \sin (2 x) \cdot (- \sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{2 \cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x}{\cos^{2} x}

Vi bruker dobbeltvinkelformlene $\cos (2 x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ og $\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ til å forenkle telleren:

2 \cos (2 x) \cos x + \sin (2 x) \sin x = 2 (\cos^{2} x - \sin^{2} x) \cos x + 2 \sin x \cos x \cdot \sin x

= 2 \cos^{3} x - 2 \sin^{2} x \cos x + 2 \sin^{2} x \cos x = 2 \cos^{3} x

Dermed blir

g^{'} (x) = \frac{2 \cos^{3} x}{\cos^{2} x} = 2 \cos x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Bestem integralene med trigonometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (e^{x} - \sin x) d x

\int_{0}^{π / 4} \sin x \cdot \cos x d x

Fasit

$e^{x} + \cos x + C$

$\frac{1}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker standardintegralene $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ og $\int \sin x d x = - \cos x + C$ :

\int (e^{x} - \sin x) d x = e^{x} - (- \cos x) + C = e^{x} + \cos x + C

Vi bruker dobbeltvinkelformelen $\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ , slik at $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin (2 x)$ :

\int_{0}^{π / 4} \sin x \cos x d x = \int_{0}^{π / 4} \frac{1}{2} \sin (2 x) d x = {[- \frac{1}{4} \cos (2 x)]}_{0}^{π / 4}

Setter inn grensene:

= - \frac{1}{4} \cos (\frac{π}{2}) - (- \frac{1}{4} \cos (0)) = - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Trigonometri, Bestemt integral
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Trigonometrisk likning med cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

2 \cos (3 x) = - \sqrt{3}, x \in [0, π]

Fasit

$x = \frac{5 π}{18}, \frac{7 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningen

2 \cos (3 x) = - \sqrt{3} \Rightarrow \cos (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Siden $\cos (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , gir den generelle løsningen av $\cos θ = \cos (\frac{5 π}{6})$ :

3 x = \frac{5 π}{6} + 2 π n eller 3 x = - \frac{5 π}{6} + 2 π n, n \in ℤ

Vi deler med $3$ :

x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} n eller x = - \frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} n

Nå setter vi inn ulike verdier for $n$ og plukker ut løsningene som ligger i $[0, π]$ .

Fra $x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} n$ :

$n = 0$ : $x = \frac{5 π}{18} \approx 0,87$ (i intervallet)
$n = 1$ : $x = \frac{17 π}{18} \approx 2,97$ (i intervallet)

Fra $x = - \frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} n$ :

$n = 1$ : $x = \frac{7 π}{18} \approx 1,22$ (i intervallet)

De øvrige verdiene av $n$ gir løsninger utenfor $[0, π]$ . Dermed er løsningene

x = \frac{5 π}{18}, \frac{7 π}{18}, \frac{17 π}{18}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Differensiallikning med startverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} + 2 y = 4, y (0) = 1

Fasit

$y = 2 - e^{- 2 x}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} + 2 y = 4$ er en lineær førsteordens differensiallikning på formen $y^{'} + a y = b$ , med $a = 2$ og $b = 4$ .

Homogen løsning. Vi løser $y^{'} + 2 y = 0$ , som gir

y_{h} = C \cdot e^{- 2 x}

Partikulær løsning. Siden høyresiden er en konstant, prøver vi en konstant løsning $y_{p} = k$ . Da er $y_{p}^{'} = 0$ , og likningen gir

0 + 2 k = 4 \Rightarrow k = 2

Generell løsning.

y = y_{h} + y_{p} = C \cdot e^{- 2 x} + 2

Bestemmer $C$ fra startbetingelsen. Vi setter inn $x = 0$ og $y (0) = 1$ :

1 = C \cdot e^{0} + 2 = C + 2 \Rightarrow C = - 1

Dermed blir løsningen

y = 2 - e^{- 2 x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{1}{x}, x \geq 1

Flatestykket $F$ er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen, linjen $x = 1$ og linjen $x = k$ , der $k > 1$ .

Bestem $k$ slik at arealet av $F$ blir $2$ .

Dersom vi dreier $F$ $360 °$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V$ .

Bestem $V$ når $k = 4$ .

Fasit

$k = e^{2}$

$V = \frac{3 π}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet av flatestykket $F$ er gitt ved integralet av $f$ fra $1$ til $k$ :

\int_{1}^{k} \frac{1}{x} d x = {[\ln x]}_{1}^{k} = \ln k - \ln 1 = \ln k

Vi setter arealet lik $2$ :

\ln k = 2 \Rightarrow k = e^{2}

Volumet av omdreiningslegemet når $F$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen er gitt ved

V = π \int_{1}^{4} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x

Vi finner en antiderivert til $\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}$ :

\int x^{- 2} d x = - x^{- 1} + C = - \frac{1}{x} + C

Setter inn grensene:

V = π {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{4} = π (- \frac{1}{4} - (- \frac{1}{1})) = π (- \frac{1}{4} + 1) = π \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 π}{4}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Plan gjennom tre punkter og avstand til linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ inneholder punktene $A (2, 3, - 7)$ , $B (- 2, 1, - 3)$ og $C (3, 5, - 5)$ .

Begrunn at $2 x - 2 y + z + 9 = 0$ er en likning for planet $α$ .

En linje $ℓ$ er definert av de to punktene $P (3, 1, - 2)$ og $Q (6, 3, - 4)$ .

Vis at linjen er parallell med planet $α$ .

Bestem avstanden fra linjen $ℓ$ til planet $α$ .

Fasit

$2 x - 2 y + z + 9 = 0$ stemmer for $A$ , $B$ og $C$

$\vec{P Q} \cdot \vec{n} = 0 og P \notin α$

$d = \frac{11}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $α$ , står normalvektoren $\vec{n}$ til planet normalt på alle vektorer i planet, for eksempel $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

\vec{A B} = B - A = (- 4, - 2, 4), \vec{A C} = C - A = (1, 2, 2)

Kryssproduktet gir en normalvektor til planet:

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (- 12, 12, - 6) = - 6 \cdot (2, - 2, 1)

Siden $\vec{n}$ er parallell med $(2, - 2, 1)$ , kan vi bruke $(2, - 2, 1)$ som normalvektor for planet $α$ .

Vi setter inn $A$ i likningen $2 x - 2 y + z + d = 0$ for å finne konstantleddet:

2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + (- 7) + d = 0 \Rightarrow d = 9

Vi kontrollerer at $B$ og $C$ også tilfredsstiller likningen $2 x - 2 y + z + 9 = 0$ :

B : 2 (- 2) - 2 (1) + (- 3) + 9 = 0 C : 2 (3) - 2 (5) + (- 5) + 9 = 0

Siden alle tre punktene ligger i planet, og normalvektoren stemmer, er $2 x - 2 y + z + 9 = 0$ en likning for planet $α$ .

Retningsvektoren til linjen $ℓ$ er

\vec{P Q} = Q - P = (3, 2, - 2)

Linjen er parallell med planet dersom retningsvektoren står normalt på planets normalvektor:

\vec{P Q} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (- 2) + (- 2) \cdot 1 = 6 - 4 - 2 = 0

Siden skalarproduktet er null, står $\vec{P Q}$ normalt på $\vec{n}$ , altså er linjen enten parallell med planet eller ligger i planet.

Vi sjekker om $P$ ligger i planet:

2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + (- 2) + 9 = 11 \neq 0

Siden $P$ ikke tilfredsstiller planlikningen, ligger ikke linjen i planet, og linjen er dermed parallell med $α$ .

Siden linjen er parallell med planet, er avstanden fra linjen til planet lik avstanden fra et vilkårlig punkt på linjen, for eksempel $P$ , til planet:

d = \frac{| 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) + 9 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 11 |}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3}

Avstanden fra linjen $ℓ$ til planet $α$ er $d = \frac{11}{3} \approx 3,67$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 2 \cos^{2} x + \sin (2 x), x \in ⟨ - π, π ⟩

Bestem nullpunktene til $f$ .

Vis at vi kan skrive funksjonsuttrykket til $f$ som

f (x) = \sqrt{2} \cdot \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1

Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$x = - \frac{π}{2}, - \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}$

Identitet vist

Toppunkter $(\frac{π}{8}, 1 + \sqrt{2})$ , $(- \frac{7 π}{8}, 1 + \sqrt{2})$ ; bunnpunkter $(- \frac{3 π}{8}, 1 - \sqrt{2})$ , $(\frac{5 π}{8}, 1 - \sqrt{2})$

Skisse, se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $f (x) = 0$ og bruker $\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x$ :

2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x = 0

2 \cos x (\cos x + \sin x) = 0

Dette gir to muligheter.

Første faktor: $\cos x = 0$ , som gir

x = - \frac{π}{2} eller x = \frac{π}{2}

Andre faktor: $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = - 1$ , som gir $x = - \frac{π}{4} + k π$ . I $⟨ - π, π ⟩$ gir dette

x = - \frac{π}{4} eller x = \frac{3 π}{4}

Nullpunktene til $f$ er $x = - \frac{π}{2}, - \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}$ .

Vi bruker dobbeltvinkelformelen $\cos (2 x) = 2 \cos^{2} x - 1$ , som gir $2 \cos^{2} x = 1 + \cos (2 x)$ . Da blir

f (x) = 1 + \cos (2 x) + \sin (2 x)

Vi skriver $\cos (2 x) + \sin (2 x)$ om ved hjelp av addisjonsformelen for sinus:

\sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) = \sqrt{2} [\sin (2 x) \cos \frac{π}{4} + \cos (2 x) \sin \frac{π}{4}]

Siden $\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , blir dette

\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} [\sin (2 x) + \cos (2 x)] = \sin (2 x) + \cos (2 x)

Altså er $\cos (2 x) + \sin (2 x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4})$ , og dermed

f (x) = \sqrt{2} \cdot \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1

Fra uttrykket i b) ser vi at $f$ har toppunkt når $\sin (2 x + \frac{π}{4}) = 1$ , altså når

2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 k π \Rightarrow x = \frac{π}{8} + k π

I $⟨ - π, π ⟩$ gir dette $x = \frac{π}{8}$ og $x = - \frac{7 π}{8}$ , med toppverdi $f (x) = 1 + \sqrt{2}$ .

Tilsvarende har $f$ bunnpunkt når $\sin (2 x + \frac{π}{4}) = - 1$ , altså når

2 x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2} + 2 k π \Rightarrow x = - \frac{3 π}{8} + k π

I $⟨ - π, π ⟩$ gir dette $x = - \frac{3 π}{8}$ og $x = \frac{5 π}{8}$ , med bunnverdi $f (x) = 1 - \sqrt{2}$ .

Toppunkter: $(\frac{π}{8}, 1 + \sqrt{2})$ og $(- \frac{7 π}{8}, 1 + \sqrt{2})$ Bunnpunkter: $(- \frac{3 π}{8}, 1 - \sqrt{2})$ og $(\frac{5 π}{8}, 1 - \sqrt{2})$

Vi bruker resultatene fra a)–c) til å skissere grafen. Siden $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1$ , er $f$ periodisk med periode $π$ , og grafen svinger mellom bunnverdien $1 - \sqrt{2} \approx - 0,41$ og toppverdien $1 + \sqrt{2} \approx 2,41$ .

Skissen tegnes med følgende karakteristiske punkter merket av, i rekkefølge fra venstre mot høyre på intervallet $⟨ - π, π ⟩$ :

Toppunkt ved $x = - \frac{7 π}{8}$ (verdi $1 + \sqrt{2}$ )
Nullpunkt ved $x = - \frac{π}{2}$
Bunnpunkt ved $x = - \frac{3 π}{8}$ (verdi $1 - \sqrt{2}$ )
Nullpunkt ved $x = - \frac{π}{4}$
Toppunkt ved $x = \frac{π}{8}$ (verdi $1 + \sqrt{2}$ )
Nullpunkt ved $x = \frac{π}{2}$
Bunnpunkt ved $x = \frac{5 π}{8}$ (verdi $1 - \sqrt{2}$ )
Nullpunkt ved $x = \frac{3 π}{4}$

Grafen starter altså (nær $x = - π$ ) på vei ned mot et toppunkt ved $x = - \frac{7 π}{8}$ , faller gjennom nullpunktet ved $x = - \frac{π}{2}$ til bunnpunktet ved $x = - \frac{3 π}{8}$ , stiger deretter gjennom nullpunktet ved $x = - \frac{π}{4}$ til toppunktet ved $x = \frac{π}{8}$ , og fortsetter i samme mønster (én hel periode til) resten av intervallet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rekke $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ er $a_{2} = 8$ og $a_{4} = 2$ .

Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Fasit

$s_{6} = 21$

$s_{6} = 31,5$ (for $k = \frac{1}{2}$ ) og $s_{6} = - 10,5$ (for $k = - \frac{1}{2}$ )

LøsningsforslagKI-generert

For en aritmetisk rekke er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ . Vi setter opp to likninger:

a_{2} = a_{1} + d = 8 a_{4} = a_{1} + 3 d = 2

Vi trekker den første likningen fra den andre:

2 d = 2 - 8 = - 6 \Rightarrow d = - 3

Vi setter inn i $a_{1} + d = 8$ :

a_{1} = 8 - d = 8 - (- 3) = 11

Summen av de seks første leddene finner vi med formelen $s_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ :

s_{6} = \frac{6}{2} (2 \cdot 11 + 5 \cdot (- 3)) = 3 \cdot (22 - 15) = 3 \cdot 7 = 21

Summen av de seks første leddene er $s_{6} = 21$ .

For en geometrisk rekke er $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ . Vi setter opp

a_{2} = a_{1} \cdot k = 8 a_{4} = a_{1} \cdot k^{3} = 2

Vi dividerer den andre likningen med den første:

\frac{a_{4}}{a_{2}} = k^{2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = \frac{1}{2} eller k = - \frac{1}{2}

Tilfelle $k = \frac{1}{2}$ : Fra $a_{1} \cdot k = 8$ får vi $a_{1} = \frac{8}{1 / 2} = 16$ . Summeformelen $s_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ gir

s_{6} = 16 \cdot \frac{{(1 / 2)}^{6} - 1}{1 / 2 - 1} = 16 \cdot \frac{- 63 / 64}{- 1 / 2} = 31,5

Tilfelle $k = - \frac{1}{2}$ : Fra $a_{1} \cdot k = 8$ får vi $a_{1} = \frac{8}{- 1 / 2} = - 16$ . Da blir

s_{6} = - 16 \cdot \frac{{(- 1 / 2)}^{6} - 1}{- 1 / 2 - 1} = - 16 \cdot \frac{- 63 / 64}{- 3 / 2} = - 10,5

Summen av de seks første leddene er $s_{6} = 31,5$ for rekken med $k = \frac{1}{2}$ , og $s_{6} = - 10,5$ for rekken med $k = - \frac{1}{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å vise at

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}

der $n \in ℕ$ .

Fasit

Bevist ved induksjon, se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise ved induksjon at påstanden

P (n) : 1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}

er sann for alle $n \in ℕ$ .

Basissteg ( $n = 1$ ):

Venstre side: $1^{2} = 1$

Høyre side: ${(- 1)}^{1 - 1} \cdot \frac{1 \cdot 2}{2} = 1 \cdot 1 = 1$

Siden venstre og høyre side er like, er $P (1)$ sann.

Induksjonssteg:

Vi antar at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - \dots + {(- 1)}^{k + 1} \cdot k^{2} = {(- 1)}^{k - 1} \cdot \frac{k (k + 1)}{2}

Vi skal vise at $P (k + 1)$ da også er sann, altså at

1^{2} - 2^{2} + \dots + {(- 1)}^{k + 1} \cdot k^{2} + {(- 1)}^{k + 2} \cdot {(k + 1)}^{2} = {(- 1)}^{k} \cdot \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

Vi tar utgangspunkt i venstre side og bruker induksjonsantakelsen på de $k$ første leddene:

\underset{= {(- 1)}^{k - 1} \cdot \frac{k (k + 1)}{2} (ind.ant.)}{\underset{⏟}{1^{2} - 2^{2} + \dots + {(- 1)}^{k + 1} \cdot k^{2}}} + {(- 1)}^{k + 2} \cdot {(k + 1)}^{2}

Siden ${(- 1)}^{k + 2} = {(- 1)}^{k}$ og ${(- 1)}^{k - 1} = - {(- 1)}^{k}$ , får vi

- {(- 1)}^{k} \cdot \frac{k (k + 1)}{2} + {(- 1)}^{k} \cdot {(k + 1)}^{2} = {(- 1)}^{k} \cdot (k + 1) [(k + 1) - \frac{k}{2}]

Vi forenkler parentesen:

(k + 1) - \frac{k}{2} = \frac{2 (k + 1) - k}{2} = \frac{k + 2}{2}

Dermed blir uttrykket

{(- 1)}^{k} \cdot (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{2} = {(- 1)}^{(k + 1) - 1} \cdot \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

som er nettopp høyre side av $P (k + 1)$ . Dermed er $P (k + 1)$ sann når $P (k)$ er sann.

Konklusjon:

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ for alle $k \in ℕ$ , er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet.

1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n^{2} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2} for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Bevis, Induksjon, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Maria vil få oversikt over energiforbruket i boligen sin. Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 1,3 \cdot \sin (0,52 x - 2,0) + 2,4, x \in [0, 24]

er en god modell for energiforbruket per time ved tidspunktet $x$ timer etter midnatt i boligen til Maria. Her er energiforbruket målt i kWh.

Kalkulator

Når på døgnet er energiforbruket i boligen størst ifølge modellen?

Kalkulator

Hvor stort er energiforbruket i løpet av et døgn ifølge modellen?

En dag er det strømbrudd hos Maria. På energimåleren ser hun at hun dette døgnet hadde brukt $17 k W h$ før strømbruddet.

Oppsett for hånd

Omtrent når på døgnet fant strømbruddet sted?

Fasit

$kl. 06 : 52 og kl. 18 : 57$

$57,8 kWh$

$ca. kl. 07 : 17$

LøsningsforslagKI-generert

Energiforbruket $f (x) = 1,3 \cdot \sin (0,52 x - 2,0) + 2,4$ er størst når $\sin (0,52 x - 2,0)$ er størst mulig, altså når

\sin (0,52 x - 2,0) = 1

Dette gir

0,52 x - 2,0 = \frac{π}{2} + 2 π n, n \in ℤ

x = \frac{\frac{π}{2} + 2,0}{0,52} + \frac{2 π}{0,52} \cdot n

Løsningen i GeoGebra CAS er vist under (x1, x2).

Løsning i GeoGebra CAS

For $n = 0$ får vi $x_{1} \approx 6,867$ , og for $n = 1$ får vi $x_{2} \approx 18,950$ . Begge ligger i $[0, 24]$ , så det er to tidspunkt i løpet av døgnet der energiforbruket er størst.

Vi regner om til klokkeslett: $0,867 \cdot 60 \approx 52 \min$ og $0,950 \cdot 60 \approx 57 \min$ .

Maksimalt forbruk er $f (x_{1}) = 1,3 \cdot 1 + 2,4 = 3,7 kWh$ per time.

Energiforbruket er størst omtrent kl. 06:52 og kl. 18:57, med et forbruk på $3,7 kWh$ per time.

Det totale energiforbruket i løpet av et døgn er arealet under grafen til $f$ fra $x = 0$ til $x = 24$ , altså det bestemte integralet

\int_{0}^{24} f (x) d x

Vi løser integralet i GeoGebra CAS (Totalt, se utklipp over):

\int_{0}^{24} f (x) d x \approx 57,792

Energiforbruket i boligen i løpet av et døgn er ifølge modellen omtrent $57,8 kWh$ .

Strømbruddet skjer ved tidspunktet $t$ der det akkumulerte energiforbruket fra midnatt til $t$ er lik $17 kWh$ , altså der

\int_{0}^{t} f (x) d x = 17

Vi løser likningen numerisk i GeoGebra CAS med et startpunkt nær $t = 7$ (se utklipp over):

t \approx 7,290

Vi regner om til klokkeslett: $0,290 \cdot 60 \approx 17 \min$ , altså $t \approx 7 timer og 17 m i n$ etter midnatt.

Strømbruddet fant omtrent sted kl. 07:17.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Integrasjon, Bestemt integral
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (0, 7, 5)$ , $B (1, 7, 2)$ , $C (- 2, 2, 0)$ og $D (1, 1, h)$ .

Linjen $ℓ$ går gjennom $A$ og $B$ .
Linjen $m$ går gjennom $C$ og $D$ .

Et plan $α$ er gitt ved likningen

3 x + (h + 9) y + z = 68 + 7 h

Kalkulator

Bestem en eksakt verdi for $h$ slik at linjene skjærer hverandre.

Kalkulator

Vis at linjen $ℓ$ ligger i planet $α$ , og at linjen $m$ er parallell med planet $α$ .

Kalkulator

Bestem $h$ slik at avstanden mellom linjene $ℓ$ og $m$ blir $4$ .

Fasit

$h = - \frac{56}{5}$

Vist i løsningsforslaget.

$h = \frac{4 \sqrt{211} - 136}{9} \lor h = \frac{- 4 \sqrt{211} - 136}{9}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp parameterframstillinger for de to linjene ut fra punktene.

Linjen $ℓ$ går gjennom $A (0,7,5)$ og $B (1,7,2)$ , med retningsvektor $\vec{A B} = (1, 0, - 3)$ :

ℓ : (x, y, z) = (0, 7, 5) + t (1, 0, - 3)

Linjen $m$ går gjennom $C (- 2,2,0)$ og $D (1,1, h)$ , med retningsvektor $\vec{C D} = (3, - 1, h)$ :

m : (x, y, z) = (- 2, 2, 0) + s (3, - 1, h)

Linjene skjærer hverandre dersom det finnes $t$ , $s$ og $h$ som gir samme punkt:

{\begin{matrix} t & = - 2 + 3 s \\ 7 & = 2 - s \\ 5 - 3 t & = s h \end{matrix}

Fra likning 2 får vi $s = - 5$ , og da fra likning 1: $t = - 2 + 3 \cdot (- 5) = - 17$ . Sett inn i CAS (se skjermbilde, linje 1–2) for å løse for $h$ ut fra likning 3:

5 - 3 \cdot (- 17) = - 5 h \Rightarrow 56 = - 5 h

Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri CAS

Dette gir

h = - \frac{56}{5}

Her betrakter vi $h$ som en fri variabel (ikke verdien fra a), siden dette skal gjelde uansett hvilken $h$ som senere velges i c).

$ℓ$ ligger i $α$ : Planet $α$ har normalvektor $\vec{n} = (3, h + 9, 1)$ . For at $ℓ$ skal ligge i $α$ må (1) et punkt på $ℓ$ , f.eks. $A$ , oppfylle planlikningen, og (2) retningsvektoren til $ℓ$ være ortogonal på $\vec{n}$ .

Setter $A (0,7,5)$ inn i planlikningen (CAS, linje 3):

3 \cdot 0 + (h + 9) \cdot 7 + 5 - (68 + 7 h) = 0

Likningen holder for alle verdier av $h$ , så $A$ ligger i $α$ uansett $h$ .

Sjekker at retningsvektoren $\vec{A B} = (1, 0, - 3)$ er ortogonal på $\vec{n}$ (CAS, linje 4):

\vec{A B} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 1 + (h + 9) \cdot 0 + 1 \cdot (- 3) = 0

Også dette holder for alle $h$ . Dermed ligger hele linjen $ℓ$ i planet $α$ , uansett hvilken verdi $h$ har.

$m$ er parallell med $α$ : Sjekker at retningsvektoren $\vec{C D} = (3, - 1, h)$ er ortogonal på $\vec{n}$ (CAS, linje 5):

\vec{C D} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 3 + (- 1) \cdot (h + 9) + 1 \cdot h = 0

Dette holder for alle $h$ , så $\vec{C D} ⟂ \vec{n}$ . Siden $C$ ikke ligger i planet for generelle $h$ (planlikningen for $C (- 2,2,0)$ gir $- 6 + 2 (h + 9) = 12 + 2 h \neq 68 + 7 h$ for de fleste $h$ ), er $m$ parallell med $α$ uten å ligge i det. $Vist$

Siden $ℓ$ ligger i $α$ og $m$ er parallell med $α$ , er avstanden mellom de to linjene lik avstanden fra et hvilket som helst punkt på $m$ (f.eks. $C$ ) til planet $α$ . Punkt-plan-avstandsformelen gir

d = \frac{| 3 \cdot (- 2) + (h + 9) \cdot 2 + 1 \cdot 0 - (68 + 7 h) |}{\sqrt{3^{2} + {(h + 9)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 5 h - 56 |}{\sqrt{10 + {(h + 9)}^{2}}}

Vi krever $d = 4$ :

{(5 h + 56)}^{2} = 16 (10 + {(h + 9)}^{2})

Løses i CAS (skjermbilde, linje 6):

h = \frac{4 \sqrt{211} - 136}{9} \lor h = \frac{- 4 \sqrt{211} - 136}{9}

h = \frac{4 \sqrt{211} - 136}{9} \approx - 8,66 \lor h = \frac{- 4 \sqrt{211} - 136}{9} \approx - 21,57

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Differensiallikning for medisinmengde i blod

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En pasient får intravenøs behandling med en medisin.

La $M (t)$ være mengden virkestoff fra medisinen som pasienten har i blodet ved tidspunktet $t$ timer etter at behandlingen startet. Kroppen bryter ned virkestoffet med en fart som til enhver tid er proporsjonal med mengden virkestoff som er i blodet.

Pasienten får tilført $5 m g$ av virkestoffet per time.

For hånd

Forklar at $M (t)$ må tilfredsstille differensiallikningen

M^{'} (t) = - k \cdot M (t) + 5, M (0) = 0

$24$ timer etter at behandlingen startet, hadde pasienten $80 m g$ av virkestoffet i blodet.

Oppsett for hånd

Bestem et uttrykk for $M (t)$ .

Etter at pasienten har fått intravenøs behandling i $24$ timer, blir det bestemt at pasienten skal få mer medisin per time.

Kalkulator

Hvor mye virkestoff må pasienten få hver time dersom mengden virkestoff i blodet skal være $150 m g$ ett døgn senere?

Fasit

Se løsningsforslag.

$M (t) = \frac{5}{k} (1 - e^{- k t}), k \approx 0,0364$

$a \approx 7,3 m g / t i m e$

LøsningsforslagKI-generert

Nedbrytningen av virkestoffet skjer med en fart som til enhver tid er proporsjonal med mengden virkestoff $M (t)$ som er i blodet. Det betyr at nedbrytningsfarten kan skrives som $k \cdot M (t)$ , der $k > 0$ er en konstant. Siden nedbrytning gjør at mengden virkestoff avtar, bidrar dette med leddet $- k \cdot M (t)$ til den momentane endringsraten $M^{'} (t)$ .

Samtidig blir pasienten tilført virkestoff med en konstant rate på $5 mg$ per time. Dette bidrar med leddet $+ 5$ til $M^{'} (t)$ .

Den totale endringsraten er summen av tilførsel og nedbrytning, altså

M^{'} (t) = - k \cdot M (t) + 5

Ved tidspunktet $t = 0$ (start av behandlingen) har pasienten ikke fått noe virkestoff ennå, så $M (0) = 0$ .

Vi løser differensiallikningen

M^{'} (t) + k \cdot M (t) = 5

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning. Vi bruker integrerende faktor $e^{k t}$ :

{(M (t) \cdot e^{k t})}^{'} = 5 \cdot e^{k t}

Integrerer på begge sider:

M (t) \cdot e^{k t} = \frac{5}{k} e^{k t} + C

M (t) = \frac{5}{k} + C \cdot e^{- k t}

Vi bruker $M (0) = 0$ til å bestemme $C$ :

0 = \frac{5}{k} + C \Rightarrow C = - \frac{5}{k}

Dette gir

M (t) = \frac{5}{k} (1 - e^{- k t})

For å bestemme $k$ bruker vi opplysningen $M (24) = 80$ :

\frac{5}{k} (1 - e^{- 24 k}) = 80

Dette er en transcendent likning som ikke kan løses eksakt for hånd, så vi løser den grafisk/numerisk i GeoGebra ved å finne nullpunktet til $f (x) = \frac{5}{x} (1 - e^{- 24 x}) - 80$ .

Nullpunkt gir verdien av k

Vi finner $k \approx 0,0364$ . Dermed er

M (t) = \frac{5}{0,0364} (1 - e^{- 0,0364 t}) \approx 137,3 (1 - e^{- 0,0364 t})

Etter $24$ timer endres tilførselsraten til en ny, ukjent verdi $a$ mg per time. Pasienten har da $M (24) = 80 mg$ i blodet, og dette blir det nye startpunktet. Med samme resonnement som i a) får vi differensiallikningen

M^{'} (t) = - k \cdot M (t) + a

Med samme fremgangsmåte som i b), men med $t$ regnet fra det nye starttidspunktet (la $s = t - 24$ og $M (24) = 80$ ), blir løsningen

M (s) = \frac{a}{k} + (80 - \frac{a}{k}) e^{- k s}

Ett døgn senere (altså $s = 24$ , som tilsvarer $t = 48$ ) skal $M = 150$ :

\frac{a}{k} + (80 - \frac{a}{k}) e^{- 24 k} = 150

Vi setter inn $k \approx 0,0364$ og løser numerisk i GeoGebra ved å finne nullpunktet til $h (x) = \frac{x}{k} (1 - e^{- 24 k}) + 80 e^{- 24 k} - 150$ .

Nullpunkt gir verdien av a

Vi finner $a \approx 7,289$ .

Svar: Pasienten må få omtrent $a \approx 7,3 mg$ virkestoff per time for at mengden i blodet skal være $150 mg$ ett døgn senere.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Vis at

\frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

En rekke er gitt ved

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n (n + 2)}

For hånd

Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at

s_{5} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7})

For hånd

Bruk blant annet det du gjorde i oppgave a), til å begrunne at

s_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

For hånd

Forklar at

s_{n} > \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{{(k + 1)}^{2}}

Bruk dette til å begrunne at den uendelige rekken nedenfor konvergerer.

\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \dots

Fasit

Vist algebraisk, se løsningsforslag.

$s_{5} = \frac{25}{42}$

Vist ved teleskopering, se løsningsforslag.

Rekken $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ konvergerer.

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut høyresiden og viser at den blir lik venstresiden. Vi setter de to brøkene $\frac{1}{k}$ og $\frac{1}{k + 2}$ på felles nevner $k (k + 2)$ :

\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}) = \frac{1}{2} (\frac{k + 2}{k (k + 2)} - \frac{k}{k (k + 2)}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(k + 2) - k}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{k (k + 2)} = \frac{1}{k (k + 2)}

Dermed er $\frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ , som skulle vises.

Kontrollert i GeoGebra CAS ved å forenkle differansen mellom venstre- og høyresiden, som gir $0$ (se linje 1 i utklippet under).

Fra a) vet vi at $\frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ for alle $k$ . Vi bruker dette på hvert ledd i $s_{5}$ :

s_{5} = \sum_{k = 1}^{5} \frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{5} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

= \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})]

Leddene $- \frac{1}{3}$ og $\frac{1}{3}$ , $- \frac{1}{4}$ og $\frac{1}{4}$ , samt $- \frac{1}{5}$ og $\frac{1}{5}$ kansellerer parvis (teleskopering). Igjen står bare de to første positive leddene og de to siste negative leddene:

s_{5} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{7})

som skulle vises. Regner vi ut uttrykket får vi $s_{5} = \frac{25}{42}$ , som stemmer med Sum(1/(k(k+2)), k, 1, 5) i GeoGebra CAS (linje 2 i utklippet).

Vi generaliserer fremgangsmåten fra b) til vilkårlig $n$ . Fra a):

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}) = \frac{1}{2} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 2})

I det andre summetegnet setter vi $j = k + 2$ , slik at $j$ løper fra $3$ til $n + 2$ :

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 2} = \sum_{j = 3}^{n + 2} \frac{1}{j}

Da blir differansen

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{j = 3}^{n + 2} \frac{1}{j} = (1 + \frac{1}{2} + \sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k}) - (\sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2})

Leddene $\sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k}$ kansellerer, og vi står igjen med

s_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

som skulle vises. Kontrollert i GeoGebra CAS: Sum(1/(k(k+2)), k, 1, n) gir samme uttrykk (linje 3), og differansen mot formelen over forenkles til $0$ (linje 4 i utklippet).

For $k \geq 1$ har vi

k (k + 2) = k^{2} + 2 k < k^{2} + 2 k + 1 = {(k + 1)}^{2}

Siden $k (k + 2)$ og ${(k + 1)}^{2}$ begge er positive, og $k (k + 2) < {(k + 1)}^{2}$ , følger det at

\frac{1}{k (k + 2)} > \frac{1}{{(k + 1)}^{2}}

for hver $k$ . Summerer vi denne ulikheten for $k = 1, \dots, n$ , får vi

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 2)} > \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{{(k + 1)}^{2}} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}

som skulle vises.

Konvergens av $\sum \frac{1}{n^{2}}$ : Fra c) er $s_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ . Siden $\frac{1}{n + 1} \to 0$ og $\frac{1}{n + 2} \to 0$ når $n \to \infty$ , gjelder

\lim_{n \to \infty} s_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}

(bekreftet med Grenseverdi(...) i GeoGebra CAS, linje 5 i utklippet). Siden alle ledd i $s_{n}$ er positive, er $s_{n}$ en voksende følge, og en voksende følge som konvergerer mot $\frac{3}{4}$ må ligge under grenseverdien for alle $n$ : $s_{n} < \frac{3}{4}$ .

La $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{{(k + 1)}^{2}} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ være partialsummene av rekken $\sum_{m = 2}^{\infty} \frac{1}{m^{2}}$ . Fra ulikheten over er $T_{n} < s_{n} < \frac{3}{4}$ for alle $n$ . Følgen $T_{n}$ er også voksende (vi legger til positive ledd), og siden den er begrenset ovenfra av $\frac{3}{4}$ , må $T_{n}$ konvergere når $n \to \infty$ (en voksende, oppad begrenset følge konvergerer).

Dermed konvergerer $\sum_{m = 2}^{\infty} \frac{1}{m^{2}}$ , og siden $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \sum_{m = 2}^{\infty} \frac{1}{m^{2}}$ bare skiller seg fra denne med ett ledd, konvergerer også

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} konvergerer

CAS-verifisering av teleskoprekken

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Uendelig rekke, Konvergens, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Bestem integralene med trigonometri

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Trigonometrisk likning med cosinus

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Differensiallikning med startverdi

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Plan gjennom tre punkter og avstand til linje

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Differensiallikning for medisinmengde i blod

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Oppgave 1-2·Bestem integralene med trigonometri

Oppgave 1-3·Trigonometrisk likning med cosinus

Oppgave 1-4·Differensiallikning med startverdi

Oppgave 1-5·Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Oppgave 1-6·Plan gjennom tre punkter og avstand til linje

Oppgave 1-7·Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter

Oppgave 1-8·Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4

Oppgave 1-9·Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd

Oppgave 2-2·Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Oppgave 2-3·Differensiallikning for medisinmengde i blod

Oppgave 2-4·Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon med produktregel og kvotientregel

Oppgave 1-2Bestem integralene med trigonometri

Oppgave 1-3Trigonometrisk likning med cosinus

Oppgave 1-4Differensiallikning med startverdi

Oppgave 1-5Areal og omdreiningslegeme for 1 over x

Oppgave 1-6Plan gjennom tre punkter og avstand til linje

Oppgave 1-7Trigonometrisk funksjon nullpunkter og toppunkter

Oppgave 1-8Aritmetisk og geometrisk rekke med a2 og a4

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for vekselvis rekke av kvadrater

Oppgave 2-1Energiforbruk med sinusmodell og strømbrudd

Oppgave 2-2Skjæring mellom linjer og avstand med romgeometri

Oppgave 2-3Differensiallikning for medisinmengde i blod

Oppgave 2-4Teleskoprekke og konvergens av uendelig rekke