R2 Eksempeloppgave 2023

LK20 13 oppgaver 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Eksempeloppgave 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver
1	Bestemte og ubestemte integraler	—
2	Normalvektor og likning til plan	—
3	Trigonometrisk likning med cos og sin	—
4	Aritmetisk rekke og ledd fra sumformel	—
5	Uendelig geometrisk rekke med kjent sum og delsum	—
6	Riemannsumme for sinusfunksjon	—
7	To like integraler med ulike integrasjonskonstanter	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver
1	Periodisk modell for månefaser	—
2	Uendelig geometrisk rekke med trigonometriske ledd	—
3	Heltallige punkter på kuleflate	—
4	Partikkel langs kurve og plan i rommet	—
5	Hanois tårn og matematisk induksjon	—
6	Kule senket i kjegleformet glass	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver

Oppgave 1-1 : Bestemte og ubestemte integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int_0^1 (4x^2+3)\,dx

\int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-2 : Normalvektor og likning til plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{u} = [1, 2, -1]$ og $\vec{v} = [-1, 1, -2]$ er gitt.

Om et plan $\alpha$ får du vite at $\alpha \| \vec{u}$ , $\alpha \| \vec{v}$ og punktet $P(2, 0, 1)$ ligger i $\alpha$ .

Vis at $\vec{n} = [-1, 1, 1]$ er en normalvektor til planet $\alpha$ .

Bestem en likning til planet $\alpha$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan

Oppgave 1-3 : Trigonometrisk likning med cos og sin

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\cos^2 x - 3\sin^2 x = -2 \quad , \quad x \in \left[0, 2\pi\right\rangle

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-4 : Aritmetisk rekke og ledd fra sumformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ har sum $s_n = 3n^2 + 4n$ for $n \in \mathbb{N}$ .

Bestem $a_4$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Rekker

Oppgave 1-5 : Uendelig geometrisk rekke med kjent sum og delsum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \cdots$ konvergerer mot 6.

Summen av de tre første leddene er $\dfrac{38}{9}$ .

Bestem summen av de fire første leddene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Oppgave 1-6 : Riemannsumme for sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin\!\left(x + \frac{\pi}{6}\right)

En elev har skrevet følgende kode:

Kode for Riemannsumme

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.

Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å regne ut?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Integrasjon, Programmering, Trigonometri

Oppgave 1-7 : To like integraler med ulike integrasjonskonstanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk derivasjon til å vise at

\int \frac{1}{(1-x)^2}\,dx = \frac{x}{1-x} + C_1

Bruk variabelskiftet $u = 1-x$ til å vise at

\int \frac{1}{(1-x)^2}\,dx = \frac{1}{1-x} + C_2

Forklar hvordan de to formlene kan begge være sanne samtidig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Integrasjon, Integrasjon ved substitusjon, Derivasjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-1 : Periodisk modell for månefaser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Månefaser

Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt for noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år.

Døgn nr.	1	2	3	4	5	10	15	20
Synlig del	$0{,}25$	$0{,}18$	$0{,}11$	$0{,}06$	$0{,}02$	$0{,}11$	$0{,}57$	$0{,}99$

Døgn nr.	25	30	35	40	45	55	60	65
Synlig del	$0{,}80$	$0{,}32$	$0{,}02$	$0{,}14$	$0{,}64$	$0{,}77$	$0{,}31$	$0{,}01$

Her er $x$ antall døgn etter nyttår.

Lag en periodisk funksjon $f$ som er en god modell for dataene ovenfor.

Vi sier det er fullmåne når den synlige delen av månen er størst mulig.

Hvor lang tid går det mellom hver gang det er fullmåne ifølge modellen $f$ ?

Hvilke døgn var minst halve månen synlig ved midnatt i januar dette året?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjoner, Likninger

Oppgave 2-2 : Uendelig geometrisk rekke med trigonometriske ledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = \cos x + 2\sin x \cos x + 4\sin^2 x \cos x + \cdots

Bestem området i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ hvor rekken konvergerer.

Avgjør for hvilke verdier av $b$ likningen

S(x) = b

har en eller flere løsninger i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Trigonometri

Oppgave 2-3 : Heltallige punkter på kuleflate

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate $K$ har sentrum i origo og radius 3.

Punktet $(-1, 2, 2)$ er et eksempel på et punkt på $K$ som har heltallige koordinater.

Lag et program som finner antall punkt på $K$ som har heltallige koordinater.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Romgeometri, Programmering, Kule

Oppgave 2-4 : Partikkel langs kurve og plan i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til en partikkel er gitt ved

\vec{r}(t) = [\cos t,\; 3\sin t,\; 2-\cos 2t] \quad , \quad t \in [0, 2\pi\rangle

Bestem banefarten til partikkelen når $t = \pi$ .

Et plan $\alpha$ er gitt ved

3x + y + 5z = d \quad , \quad d \in \mathbb{R}

Det finnes fire verdier for $d$ som gjør at posisjonskurven til partikkelen tangerer $\alpha$ . Hver av disse fire verdiene gir oss et punkt på kurven.

Forklar hvorfor $\vec{r}'(t) \perp [3, 1, 5]$ når $t$ svarer til et av de fire punktene.

Bestem koordinatene til disse fire punktene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Romgeometri, Plan, Derivasjon

Oppgave 2-5 : Hanois tårn og matematisk induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Spillet «Hanois tårn» består av tre pinner og en mengde disker med ulik radius som skal tres på pinnene.

Når spillet starter, skal alle diskene være plassert på samme pinne. Ingen av diskene skal ha en større disk liggende oppå seg.

Målet er å flytte alle diskene over på én av de to ledige pinnene. Det er bare lov å flytte én disk av gangen. Diskene som ikke flyttes, må ligge på en pinne. Det er aldri lov å plassere en større disk oppå en mindre disk.

Det minste antallet forflytninger du må gjøre for å flytte $n$ disker kaller vi $F(n)$ .

Bestem $F(3)$ .

Hanois tårn – 3 disker

Det er en rekursiv sammenheng mellom $F(n)$ og $F(n-1)$ .

Bestem den rekursive sammenhengen. Bruk denne til å bestemme $F(10)$ .

Hanois tårn – mange disker

Det finnes også en eksplisitt formel for $F$ .

Undersøk og finn denne formelen.

Bevis formelen ved å bruke induksjon på antall disker $n$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker, Induksjon, Programmering, Algoritme

Oppgave 2-6 : Kule senket i kjegleformet glass

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et glass er formet som en kjegle med høyde $10 \mathrm{~cm}$ . Høyden i kjeglen danner en vinkel på $35\degree$ med sideflaten i kjeglen. Glasset er fullt med vann. En kule med radius $R$ blir senket sakte ned i glasset. Se figuren til høyre.

Kjegleformet glass med kule

Bestem hvor mye vann som vil renne over dersom $R = 7 \mathrm{~cm}$ .

Bestem $R$ slik at mest mulig vann renner ut av glasset.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Volum, Derivasjon, Optimering, Funksjonsdrøfting

Sync på tvers av enheter

R2 Eksempeloppgave 2023

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver

Oppgave 1-1 : Bestemte og ubestemte integraler

Oppgave 1-2 : Normalvektor og likning til plan

Oppgave 1-3 : Trigonometrisk likning med cos og sin

Oppgave 1-4 : Aritmetisk rekke og ledd fra sumformel

Oppgave 1-5 : Uendelig geometrisk rekke med kjent sum og delsum

Oppgave 1-6 : Riemannsumme for sinusfunksjon

Oppgave 1-7 : To like integraler med ulike integrasjonskonstanter

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-1 : Periodisk modell for månefaser

Oppgave 2-2 : Uendelig geometrisk rekke med trigonometriske ledd

Oppgave 2-3 : Heltallige punkter på kuleflate

Oppgave 2-4 : Partikkel langs kurve og plan i rommet

Oppgave 2-5 : Hanois tårn og matematisk induksjon

Oppgave 2-6 : Kule senket i kjegleformet glass

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave