R2 Høst 2022

LK06 11 oppgaver 54 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2022 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av sammensatte funksjoner R2 H22	—
2	Ubestemt og bestemt integral	—
3	Separabel differensiallikning og verifisering av løsning	—
4	Aritmetisk rekke med to ukjente	—
5	Trigonometrisk funksjon fra graf og likning	—
6	Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel	—
7	Olines integrasjonsoppgave med feil konstantledd	—
8	Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 3 oppgaver · 18 poeng
2	Differensiallikning for antall ansatte i bedrift	—
3	Geometrisk rekke med halvkvadrat-figur	—
4	Omdreiingslegeme som krukke med kjegle inni	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sammensatte funksjoner R2 H22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^3 + \sin(\pi x)

g(x) = \ln(2 + \cos x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri, Logaritmer

Oppgave 1-2 : Ubestemt og bestemt integral

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int \left(\cos\left(\frac{x}{2}\right) - e^{-x} + 1\right) dx

\int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \sin^2 x \, dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Separabel differensiallikning og verifisering av løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' = \frac{2x^2}{y}, \quad y(0) = 3

Avgjør om $y = 2\sin(3x) + x$ er en løsning av differensiallikningen

y'' + 9y = 9x

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Trigonometri

Oppgave 1-4 : Aritmetisk rekke med to ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt en aritmetisk rekke $s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ .

Bestem $s_{100}$ dersom $a_3 = 8$ og $a_{23} = 68$ .

Bestem $s_{20}$ dersom $a_2 = a_1 + 4$ og $s_{10} = 240$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker

Oppgave 1-5 : Trigonometrisk funksjon fra graf og likning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren ser du grafen til en trigonometrisk funksjon.

Graf av trigonometrisk funksjon

Bestem et eksakt funksjonsuttrykk på formen $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$ som passer med grafen.

Løs likningen

\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0, \quad x \in [0, 3\pi]

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-6 : Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved

x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z = 11

Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten i punktet $P(6, -4, 3)$ .

Den rette linja gjennom $P$ og $S$ skjærer kuleflaten i et annet punkt $Q$ .

Et plan $\beta$ , som er parallelt med $\alpha$ , skjærer kuleflaten langs en sirkel. Avstanden fra $\beta$ til $Q$ er 3.

Vis at punktet $S(2, -1, 3)$ er sentrum til kuleflaten. Bestem radiusen til kuleflaten.

Bestem en likning for $\alpha$ .

Bestem koordinatene til $Q$ .

Bestem radiusen til skjæringssirkelen mellom $\beta$ og kuleflaten.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer

Oppgave 1-7 : Olines integrasjonsoppgave med feil konstantledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Oline har løst en integrasjonsoppgave

\int_1^a f(x) \, dx, \quad a \ge 1

og fått svaret $a^3 - \ln a + 3a - 3$ .

Forklar hvordan vi kan se at Olines svar ikke kan være riktig.

Bestem $f(x)$ dersom du får vite at det kun er konstantleddet $(-3)$ som er feil.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-8 : Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Linjestykke OP fra origo til punkt P

Et linjestykke $OP$ går fra origo til punktet $P$ som vist på figuren ovenfor. Punktet $(2, 3)$ ligger på linjestykket. Dreier vi dette linjestykket om $x$ -aksen, får vi et omdreiingslegeme med volum $V$ .

Volumet $V$ av en kjegle med radius $r$ og høyde $h$ er gitt ved

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Kjegle med høyde h og radius r

Bestem $h$ slik at $V$ blir $48\pi$ .

Bruk et omdreiingslegeme til å bevise formelen for volumet av en kjegle.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiingslegeme, Integrasjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-2 : Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bedrift er det i dag 158 ansatte. For å lage en modell for antall ansatte i bedriften har de satt opp følgende differensiallikning:

A' = 0{,}1 \cdot A - 1

Her er $A(t)$ antall ansatte om $t$ år.

Bedriften sier at de med denne utviklingen kommer til å bli mer enn 400 ansatte i løpet av 10 år.

Hvilke antagelser har ledelsen brukt for å sette opp differensiallikningen?

Avgjør om dette kan stemme.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Oppgave 2-3 : Geometrisk rekke med halvkvadrat-figur

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Halvkvadrat-figur med sidelengder

Figuren ovenfor består av halve kvadrater som vender opp og ned annenhver gang. Lengdene til sidene i et halvkvadrat er alltid $\dfrac{3}{4}$ av lengdene til sidene i det forrige halvkvadratet.

Anta at vi starter med et halvkvadrat der sidelengdene til sammen er 24.

Anta nå at vi starter med et halvkvadrat med ukjente sidelengder.

Vi skal nå se på arealene til halvkvadratene i figuren vi startet med. Det vil si at arealet til det første halvkvadratet er 72.

Halvkvadrat-figur med arealer markert

Bestem den samlede summen av sidelengdene til de fire første halvkvadratene.

Hvor mange halvkvadrate må vi minst ha for at den samlede summen av sidelengdene til halvkvadratene skal bli mer enn 90?

Hva må sidelengdene i det første halvkvadratet være for at den samlede summen av sidelengdene til de 20 første halvkvadratene skal bli 120?

Hva blir summen av alle arealene når vi tar med uendelig mange halvkvadrate?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Oppgave 2-4 : Omdreiingslegeme som krukke med kjegle inni

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2 \cdot \sin\!\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + 5, \quad x \in [0, 2\pi]

Når grafen til $f$ dreies 360 grader om $x$ -aksen, får vi et omdreiingslegeme $M$ .

En krukke har samme form og størrelse som $M$ . Enheten langs aksene er gitt i desimeter.

En kjegle skal plasseres i krukken slik at spissen til kjeglen treffer bunnen av krukken. Kjeglen skal ha samme høyde som krukken.

Krukke som omdreiingslegeme

Bestem volumet av $M$ .

Avgjør om kjeglen får plass i krukken dersom radiusen til kjeglen er $5 \text{ dm}$ .

Bestem den største radiusen kjeglen kan ha for å få plass i krukken.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Omdreiingslegeme, Trigonometri, Integrasjon

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2022

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sammensatte funksjoner R2 H22

Oppgave 1-2 : Ubestemt og bestemt integral

Oppgave 1-3 : Separabel differensiallikning og verifisering av løsning

Oppgave 1-4 : Aritmetisk rekke med to ukjente

Oppgave 1-5 : Trigonometrisk funksjon fra graf og likning

Oppgave 1-6 : Kuleflate sentrum radius plan og skjæringssirkel

Oppgave 1-7 : Olines integrasjonsoppgave med feil konstantledd

Oppgave 1-8 : Omdreiingslegeme og bevis for kjeglevolum

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-2 : Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Oppgave 2-3 : Geometrisk rekke med halvkvadrat-figur

Oppgave 2-4 : Omdreiingslegeme som krukke med kjegle inni

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave