R2 Vår 2021

Oppgave 1-1Derivasjon med kjerneregel og produktregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = \cos (2 x + 1)

g (x) = \cos (2 x) \cdot \sin x

Fasit

$f^{'} (x) = - 2 \sin (2 x + 1)$

$g^{'} (x) = \cos (2 x) \cos x - 2 \sin (2 x) \sin x$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker kjerneregelen på $f (x) = \cos (2 x + 1)$ . Den ytre funksjonen er $\cos (u)$ med derivert $- \sin (u)$ , og den indre funksjonen er $u = 2 x + 1$ med derivert $u^{'} = 2$ .

f^{'} (x) = - \sin (2 x + 1) \cdot 2 = - 2 \sin (2 x + 1)

Funksjonen $g (x) = \cos (2 x) \cdot \sin x$ er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = \cos (2 x)$ og $v = \sin x$ .

Vi deriverer $u = \cos (2 x)$ med kjerneregelen: $u^{'} = - \sin (2 x) \cdot 2 = - 2 \sin (2 x)$ .

Vi deriverer $v = \sin x$ : $v^{'} = \cos x$ .

g^{'} (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot \sin x + \cos (2 x) \cdot \cos x

g^{'} (x) = \cos (2 x) \cos x - 2 \sin (2 x) \sin x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^{2} + 2 x + \frac{1}{3 x}) d x

\int x \cdot \ln x d x

\int_{0}^{π / 2} {(\sin x + 1)}^{2} \cdot \cos x d x

Fasit

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{1}{3} \ln | x | + C$

$\frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C$

$\frac{7}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd.

\int (x^{2} + 2 x + \frac{1}{3 x}) d x = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{1}{3} \ln | x | + C

Vi bruker delvis integrasjon, $\int u \cdot v^{'} d x = u v - \int u^{'} \cdot v d x$ , med $u = \ln x$ og $v^{'} = x$ .

Da er $u^{'} = \frac{1}{x}$ og $v = \frac{x^{2}}{2}$ .

\int x \cdot \ln x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} d x

= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C

Vi bruker substitusjon med $u = \sin x + 1$ , som gir $\frac{d u}{d x} = \cos x$ , altså $d u = \cos x d x$ .

Vi bytter også grensene: når $x = 0$ er $u = \sin 0 + 1 = 1$ , og når $x = \frac{π}{2}$ er $u = \sin \frac{π}{2} + 1 = 2$ .

\int_{0}^{π / 2} {(\sin x + 1)}^{2} \cdot \cos x d x = \int_{1}^{2} u^{2} d u = {[\frac{u^{3}}{3}]}_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} - x

Et flatestykke $F$ er avgrenset av grafen til $f$ og x-aksen.

Bestem arealet av flatestykket $F$ .

Vi dreier flatestykket $360 °$ om x-aksen og får et omdreiningslegeme med volum $V$ .

Bestem $V$ .

Fasit

$A = \frac{1}{6}$

$V = \frac{π}{30}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner nullpunktene til $f (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ : $x = 0$ og $x = 1$ . Mellom nullpunktene ligger grafen under x-aksen, siden parabelen har positiv koeffisient foran $x^{2}$ og åpner oppover.

Arealet finner vi ved å ta absoluttverdien av det bestemte integralet fra $0$ til $1$ .

A = - \int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x = - {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} = - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = - (- \frac{1}{6}) = \frac{1}{6}

Arealet av flatestykket $F$ er $𝑨 = \frac{1}{6}$ .

Vi bruker formelen for volum av omdreiningslegeme om x-aksen.

V = π \int_{0}^{1} {(x^{2} - x)}^{2} d x = π \int_{0}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) d x

V = π {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{1} = π (\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3})

Med fellesnevner $30$ : $\frac{6}{30} - \frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{1}{30}$ .

V = \frac{π}{30}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$2 \sin (2 x - π) = \sqrt{3}$ , $x \in [0, 2 π]$

$2 \cos^{2} x + \cos x - 1 = 0$ , $x \in [0, 2 π]$

Fasit

$x = \frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{3}, \frac{11 π}{6}$

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\sin (2 x - π) = \sin (2 x) \cos π - \cos (2 x) \sin π = - \sin (2 x)$ , siden $\cos π = - 1$ og $\sin π = 0$ .

Likningen blir da

2 \cdot (- \sin (2 x)) = \sqrt{3} \Rightarrow \sin (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

Siden $x \in [0, 2 π]$ , er $2 x \in [0, 4 π]$ . Vi løser $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $θ \in [0, 4 π]$ .

Grunnløsningene i $[0, 2 π]$ er $θ = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}$ og $θ = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}$ . Legger vi til $2 π$ på hver, får vi løsningene i $[2 π, 4 π]$ : $θ = \frac{10 π}{3}$ og $θ = \frac{11 π}{3}$ .

θ = \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{10 π}{3}, \frac{11 π}{3}

Siden $x = \frac{θ}{2}$ , får vi

x = \frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{3}, \frac{11 π}{6}

Vi setter $t = \cos x$ og får andregradslikningen

2 t^{2} + t - 1 = 0

Med $a b c$ -formelen:

t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{- 1 \pm 3}{4}

Dette gir $t = \frac{1}{2}$ eller $t = - 1$ .

For $\cos x = \frac{1}{2}$ på $[0, 2 π]$ : $x = \frac{π}{3}$ eller $x = \frac{5 π}{3}$ .

For $\cos x = - 1$ på $[0, 2 π]$ : $x = π$ .

x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk rekke $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ har sum $s_{n} = 3 n^{2} + 4 n$ for $n \in ℕ$ .

Bruk dette til å bestemme $a_{3}$ .

Fasit

$a_{3} = 19$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker sammenhengen $a_{n} = s_{n} - s_{n - 1}$ , som følger av at $s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$ og $s_{n - 1} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}$ .

For $a_{3}$ trenger vi $s_{3}$ og $s_{2}$ .

s_{3} = 3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 = 27 + 12 = 39

s_{2} = 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20

a_{3} = s_{3} - s_{2} = 39 - 20 = 19

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + \dots$ konvergerer mot 6.

Summen av de tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bruk dette til å bestemme $b_{4}$ .

Fasit

$b_{4} = \frac{16}{27}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken konvergerer, så $| k | < 1$ . Summen til uendelig er gitt ved

s = \frac{b_{1}}{1 - k}

Vi vet at $s = 6$ , altså

b_{1} = 6 (1 - k)

Summen av de tre første leddene er

s_{3} = \frac{b_{1} (1 - k^{3})}{1 - k} = \frac{b_{1}}{1 - k} \cdot (1 - k^{3}) = s \cdot (1 - k^{3})

Setter inn $s = 6$ og $s_{3} = \frac{38}{9}$ :

6 (1 - k^{3}) = \frac{38}{9}

1 - k^{3} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

k^{3} = \frac{8}{27} \Rightarrow k = \frac{2}{3}

Setter $k = \frac{2}{3}$ inn i uttrykket for $b_{1}$ :

b_{1} = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Nå kan vi finne $b_{4} = b_{1} \cdot k^{3}$ :

b_{4} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Separabel differensiallikning og tangentlikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt differensiallikningen

y^{'} = 2 x \cdot y^{2}

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

En av integralkurvene går gjennom punktet $(2, 1)$ .

Bestem likningen for tangenten til løsningskurven i dette punktet.

Fasit

$y = \frac{- 1}{x^{2} + C}$

$y = 4 x - 7$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} = 2 x \cdot y^{2}$ er separabel. Vi skiller variablene:

\frac{1}{y^{2}} d y = 2 x d x

Integrerer på begge sider:

\int y^{- 2} d y = \int 2 x d x

- \frac{1}{y} = x^{2} + C

Løser med hensyn på $y$ :

y = \frac{- 1}{x^{2} + C}

Løsningskurven går gjennom $(2, 1)$ , så vi setter inn $x = 2$ og $y = 1$ for å bestemme $C$ :

1 = \frac{- 1}{4 + C}

4 + C = - 1 \Rightarrow C = - 5

Løsningen blir da

y = \frac{- 1}{x^{2} - 5} = \frac{1}{5 - x^{2}}

Stigningstallet til tangenten er $y^{'} (2)$ . Vi bruker differensiallikningen direkte:

y^{'} (2) = 2 \cdot 2 \cdot y {(2)}^{2} = 4 \cdot 1^{2} = 4

Tangentlikningen i punktet $(2, 1)$ blir da

y - 1 = 4 (x - 2)

y = 4 x - 7

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt differensiallikningen

y^{''} + b \cdot y^{'} + c \cdot y = 0

Her er $b$ og $c$ to reelle tall.

Bestem $b$ og $c$ når du får vite at den generelle løsningen til differensiallikningen er

y (x) = e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x))

Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y (0) = 2$ og $y^{'} (0) = 6$ .

Fasit

$b = 2, c = 5$

$A = 2, B = 4$

LøsningsforslagKI-generert

Den karakteristiske likningen til $y^{''} + b \cdot y^{'} + c \cdot y = 0$ er

r^{2} + b \cdot r + c = 0

Når diskriminanten er negativ, har den komplekse røtter på formen

r = - \frac{b}{2} \pm i \sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}}

og den generelle løsningen er da

y (x) = e^{- \frac{b}{2} x} (A \cos (\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}} x) + B \sin (\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}} x))

Sammenligner med den oppgitte løsningen $y (x) = e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x))$ :

- \frac{b}{2} = - 1 \Rightarrow b = 2

\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}} = 2 \Rightarrow c - 1 = 4 \Rightarrow c = 5

Vi bruker $y (0) = 2$ . Siden $\cos (0) = 1$ og $\sin (0) = 0$ :

y (0) = e^{0} (A \cdot 1 + B \cdot 0) = A

A = 2

Deriverer $y (x) = e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x))$ med produktregelen:

y^{'} (x) = - e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x)) + e^{- x} (- 2 A \sin (2 x) + 2 B \cos (2 x))

Setter inn $x = 0$ :

y^{'} (0) = - A + 2 B

Bruker $y^{'} (0) = 6$ og $A = 2$ :

- 2 + 2 B = 6

2 B = 8 \Rightarrow B = 4

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Plan gjennom tre punkter og vinkel med koordinatakser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ inneholder punktene $A (1, 1, 3)$ , $B (1, 2, 1)$ og $C (- 1, 3, 2)$ .

Bestem en likning for planet $α$ .

Bestem skjæringspunktene mellom planet $α$ og hver av de tre koordinataksene.

Avgjør hvilken av de tre koordinataksene som danner minst vinkel med planet $α$ .

Fasit

$3 x + 4 y + 2 z = 13$

$(\frac{13}{3}, 0, 0)$ , $(0, \frac{13}{4}, 0)$ , $(0, 0, \frac{13}{2})$

$z -aksen$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner to vektorer i planet:

\vec{A B} = B - A = (0, 1, - 2)

\vec{A C} = C - A = (- 2, 2, - 1)

Normalvektoren til planet er kryssproduktet av disse:

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & - 2 \\ - 2 & 2 & - 1 \end{matrix} |

\vec{n} = (1 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 2, - (0 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot (- 2)), 0 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2)) = (3, 4, 2)

Planlikningen får formen $3 x + 4 y + 2 z = d$ . Setter inn punktet $A (1, 1, 3)$ :

3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 3 + 4 + 6 = 13

α : 3 x + 4 y + 2 z = 13

Skjæring med $x$ -aksen: setter $y = z = 0$ :

3 x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}

Punkt: $(\frac{13}{3}, 0, 0)$

Skjæring med $y$ -aksen: setter $x = z = 0$ :

4 y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{4}

Punkt: $(0, \frac{13}{4}, 0)$

Skjæring med $z$ -aksen: setter $x = y = 0$ :

2 z = 13 \Rightarrow z = \frac{13}{2}

Punkt: $(0, 0, \frac{13}{2})$

Vinkelen $θ$ mellom en akse med retningsvektor $\vec{e}$ og planet med normalvektor $\vec{n}$ er gitt ved

\sin θ = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{e} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{e} |}

Vi har $\vec{n} = (3, 4, 2)$ og $| \vec{n} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}$ .

For $x$ -aksen, ${\vec{e}}_{x} = (1,0,0)$ :

\sin θ_{x} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0,557 \Rightarrow θ_{x} \approx 33,9 °

For $y$ -aksen, ${\vec{e}}_{y} = (0,1,0)$ :

\sin θ_{y} = \frac{4}{\sqrt{29}} \approx 0,743 \Rightarrow θ_{y} \approx 47,9 °

For $z$ -aksen, ${\vec{e}}_{z} = (0,0,1)$ :

\sin θ_{z} = \frac{2}{\sqrt{29}} \approx 0,371 \Rightarrow θ_{z} \approx 21,8 °

Minst $\sin θ$ gir minst vinkel. Siden $θ_{z} < θ_{x} < θ_{y}$ , er det

z -aksen som danner minst vinkel med planet α

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kroner på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent.

Kalkulator

Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?

Kalkulator

Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd, til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?

For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kroner i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kroner.

Oppsett for hånd

Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?

Fasit

$K_{40} \approx 42 013,20 kr$

$n = 48 innskudd, altså 4 år$

$månedlig rentefot \approx 0,90 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning

Innskuddene på $1000$ kroner settes inn hver måned med en fast månedlig rentefot på $0,25 %$ , altså vekstfaktor $k = 1,0025$ . Rett etter innskudd nummer 40 har det første innskuddet fått rente i 39 måneder, det andre i 38 måneder, og så videre, mens det 40. innskuddet akkurat er satt inn og ikke har fått rente ennå. Beløpet på kontoen er dermed summen av en geometrisk rekke:

K_{40} = \sum_{i = 0}^{39} 1000 \cdot {1,0025}^{i}

Fra CAS (linje 1) er

K_{40} \approx 42 013,20 kr

Rett etter innskudd nummer 40 var det $K_{40} \approx 42 013,20 kr$ på kontoen.

Beløpet rett etter innskudd nummer $n$ er gitt ved summen av den geometriske rekken

K_{n} = 1000 \cdot \frac{{1,0025}^{n} - 1}{1,0025 - 1}

Vi løser likningen $K_{n} = 50 000$ med CAS (linje 2) og finner

n \approx 47,17

Siden $n$ må være et helt tall (antall innskudd), og beløpet skal være mer enn $50 000$ kroner, må vi runde opp til $n = 48$ . CAS (linje 3) bekrefter at

K_{48} \approx 50 931,21 kr > 50 000 kr

mens $K_{47} \approx 49 806,69 kr$ , som ikke er nok. Det trengs altså 48 innskudd, det vil si 48 måneder, fra sparingen startet.

Det gikk $48 måneder, altså 4 år$ før det var mer enn $50 000$ kroner på kontoen.

Ivar setter også inn $1000$ kroner hver måned i 40 måneder, men med en ukjent, fast månedlig rentefot $r$ (vekstfaktor $k = 1 + r$ ). Beløpet rett etter innskudd nummer 40 følger samme formel som i a):

1000 \cdot \frac{k^{40} - 1}{k - 1} = 47 900

Vi løser likningen med CAS (linje 4) og finner

k \approx 1,00901

Den månedlige rentefoten er dermed

r = k - 1 \approx 0,00901 = 0,901 % \approx 0,90 %

Den månedlige rentefoten måtte ha vært omtrent $0,90 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Rente, Sparing
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \cos (2 x) - 2 \cos x + 2

Kalkulator

Tegn grafen i et koordinatsystem. Bestem perioden til $f$ .

Vi kan skrive $f (x)$ på formen $f (x) = a \cos^{2} x + b \cos x + c$ .

For hånd

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

$p = 2 π$

$a = 2, b = - 2, c = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f (x) = \cos (2 x) - 2 \cos x + 2$ i GeoGebra.

Graf til f

Grafen viser at mønsteret gjentar seg med et mellomrom på $2 π$ langs $x$ -aksen — bølgetoppene ligger ved $x \approx - 3,14$ og $x \approx 3,14$ , altså en avstand på $2 π$ .

Vi kan også begrunne dette algebraisk. Leddet $\cos (2 x)$ har periode $π$ , mens leddet $- 2 \cos x$ har periode $2 π$ . Perioden til summen må være et felles multiplum av disse, og siden $f (x + π) \neq f (x)$ generelt (for eksempel er $f (0) = 1$ mens $f (π) = 1 - 2 \cdot (- 1) + 2 = 5$ ), er $π$ ikke en periode. Perioden til $f$ er derfor

p = 2 π

Vi bruker dobbeltvinkelformelen $\cos (2 x) = 2 \cos^{2} x - 1$ og setter dette inn i uttrykket for $f (x)$ .

f (x) = \cos (2 x) - 2 \cos x + 2

f (x) = 2 \cos^{2} x - 1 - 2 \cos x + 2

f (x) = 2 \cos^{2} x - 2 \cos x + 1

Sammenlikner vi dette med $f (x) = a \cos^{2} x + b \cos x + c$ , ser vi at

a = 2, b = - 2, c = 1

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Plan med parameter, pyramidevolum og kuleflate

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ er gitt ved likningen

α : x + y + t \cdot z = 4, t \neq 0

La $A$ være skjæringspunktet mellom $α$ og x-aksen, $B$ skjæringspunktet mellom $α$ og y-aksen og $C$ skjæringspunktet mellom $α$ og z-aksen.

Kalkulator

Bestem koordinatene til $A$ , $B$ og $C$ uttrykt ved $t$ .

En pyramide er avgrenset av planet $α$ , $x y$ -planet, $x z$ -planet og $y z$ -planet.

Kalkulator

Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden blir 10.

En kuleflate $K$ har sentrum i $S (- 1, 2, 1)$ og radius $r = 2$ .

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $t$ slik at planet $α$ tangerer kuleflaten $K$ .

Fasit

$A (4,0,0), B (0,4,0), C (0,0, \frac{4}{t})$

$t = \frac{16}{15} eller t = - \frac{16}{15}$

$t = - 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} eller t = - 1 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Planet er gitt ved

α : x + y + t \cdot z = 4

$A$ er skjæringspunktet med $x$ -aksen, altså der $y = z = 0$ :

x = 4 \Rightarrow A (4, 0, 0)

$B$ er skjæringspunktet med $y$ -aksen, altså der $x = z = 0$ :

y = 4 \Rightarrow B (0, 4, 0)

$C$ er skjæringspunktet med $z$ -aksen, altså der $x = y = 0$ :

t \cdot z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{t} \Rightarrow C (0, 0, \frac{4}{t})

Pyramiden er avgrenset av planet $α$ og de tre koordinatplanene, med toppunkt i origo $O$ og grunnflate-hjørner i $A$ , $B$ og $C$ . Siden $O A$ , $O B$ og $O C$ ligger langs hver sin koordinatakse, står de parvis normalt på hverandre, og volumet av tetraederet er

V (t) = \frac{1}{6} \cdot | O A | \cdot | O B | \cdot | O C | = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 4 \cdot | \frac{4}{t} | = \frac{32}{3 | t |}

Vi må ta med absoluttverdien fordi $t$ kan være negativ ( $t \neq 0$ er eneste krav) — da ligger $C$ på den negative $z$ -aksen, men lengden $| O C |$ og dermed volumet er uansett positivt.

Vi bruker CAS til å løse likningen $\frac{32}{3 t} = 10$ (den positive løsningen, $t > 0$ ):

Løsning i GeoGebra CAS

Av linje 1 ser vi at $t = \frac{16}{15}$ . Siden $V (t) = \frac{32}{3 | t |}$ er symmetrisk om $t = 0$ , gir også $t = - \frac{16}{15}$ samme volum:

V (- \frac{16}{15}) = \frac{32}{3 \cdot | - \frac{16}{15} |} = \frac{32}{3 \cdot \frac{16}{15}} = 10

Altså er

t = \frac{16}{15} eller t = - \frac{16}{15}

Kuleflaten $K$ har sentrum $S (- 1, 2, 1)$ og radius $r = 2$ . Planet $α$ kan skrives på normalform $x + y + t z - 4 = 0$ , med normalvektor $\vec{n} = (1, 1, t)$ .

Avstanden fra $S$ til planet er

d (S, α) = \frac{| (- 1) + 2 + t \cdot 1 - 4 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + t^{2}}} = \frac{| t - 3 |}{\sqrt{t^{2} + 2}}

Planet $α$ tangerer kuleflaten $K$ når avstanden fra sentrum til planet er lik radien, altså når $d (S, α) = 2$ . Vi løser likningen i CAS (se linje 2 i skjermbildet ovenfor):

\frac{| t - 3 |}{\sqrt{t^{2} + 2}} = 2 \Rightarrow t = - 1 + \frac{2 \sqrt{3}}{3} eller t = - 1 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Plan, Volum, Kule
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Differensiallikning for bensintank med lekkasje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sverre har en gammel bil. Når han kjører med jevn fart, bruker motoren $0,70$ liter bensin per mil. Bilen har dessverre en liten lekkasje i bensintanken. Dette gjør at når han kjører med jevn fart, vil antall liter bensin som lekker ut av tanken per mil, være proporsjonal med antall liter bensin på tanken. Proporsjonalitetskonstanten er $0,01$ .

Sverre skal på langtur og fyller opp tanken. Den rommer 60 liter. La $V (x)$ være antall liter bensin han har igjen på tanken etter at han har kjørt $x$ mil med jevn fart.

For hånd

Begrunn at differensiallikningen

V^{'} = - 0,70 - 0,01 \cdot V, V (0) = 60

kan brukes til å bestemme et uttrykk for $V (x)$ .

For hånd

Løs differensiallikningen.

Kalkulator

Hvor mye bensin er det på tanken etter at han har kjørt 40 mil?

Kalkulator

Hvor langt kan han maksimalt kjøre før tanken er tom? Hvor mye bensin har da forsvunnet på grunn av lekkasjen?

Neste gang Sverre skal på langtur, tenker han at det kan være lurt å fylle tanken opp til bare 30 liter og så på nytt fylle opp til 30 liter etter 20 mil.

Kalkulator

Hvor mye bensin vil han bruke dersom han kjører 40 mil?

Fasit

Se begrunnelse i løsningsforslaget.

$V (x) = 130 \cdot e^{- 0,01 x} - 70$

$V (40) \approx 17,14 liter$

$x \approx 61,90 mil, lekkasjetap \approx 16,67 liter$

$\approx 36,25 liter$

LøsningsforslagKI-generert

Endringen i mengde bensin per mil, $V^{'} (x)$ , består av to bidrag:

Kjøreforbruk: motoren bruker $0,70$ liter per mil uansett hvor mye bensin som er igjen på tanken. Dette gir bidraget $- 0,70$ (negativt, siden mengden bensin minker).
Lekkasje: lekkasjen per mil er proporsjonal med mengden bensin $V$ som er på tanken, med proporsjonalitetskonstant $0,01$ . Dette gir bidraget $- 0,01 \cdot V$ (negativt av samme grunn).

Til sammen gir dette

V^{'} (x) = - 0,70 - 0,01 \cdot V (x)

Siden tanken er full ( $60$ liter) idet han starter kjøreturen ( $x = 0$ ), er startbetingelsen $V (0) = 60$ .

Vi løser differensiallikningen ved separasjon av de variable. Siden $- 0,70 - 0,01 V = - 0,01 (V + 70)$ , kan vi skrive

\frac{d V}{d x} = - 0,01 (V + 70)

\frac{1}{V + 70} d V = - 0,01 d x

Integrasjon på begge sider (bekreftet i GeoGebra CAS, se skjermbilde linje 1–2):

\int \frac{1}{V + 70} d V = \int - 0,01 d x

\ln | V + 70 | = - 0,01 x + C

V + 70 = A \cdot e^{- 0,01 x}, A = e^{C}

V (x) = A \cdot e^{- 0,01 x} - 70

Startbetingelsen $V (0) = 60$ gir $A - 70 = 60$ , altså $A = 130$ . Dermed

V (x) = 130 \cdot e^{- 0,01 x} - 70

I GeoGebra CAS (skjermbildet, linje 3–4) er dette uttrykket definert og satt inn i differensiallikningen; forenklingen viser at $V^{'} (x) + 0,70 + 0,01 \cdot V (x) = 0$ (faktoren $\ln (e) - 1 = 0$ ), som bekrefter at løsningen stemmer.

CAS-utregning for bensintank med lekkasje

Vi setter $x = 40$ inn i uttrykket for $V (x)$ (CAS, skjermbildet linje 5):

V (40) = 130 \cdot e^{- 0,01 \cdot 40} - 70 = 130 \cdot e^{- 0,4} - 70 \approx 17,14

Etter $40$ mil er det altså igjen

V (40) \approx 17,14 liter

bensin på tanken.

Tanken er tom når $V (x) = 0$ . I CAS (skjermbildet, linje 6) løses dette til

x = \frac{100 \ln (13) - 100 \ln (7)}{\ln (e)} = 100 \cdot \ln (\frac{13}{7}) \approx 61,90

Han kan altså maksimalt kjøre

x \approx 61,90 mil

før tanken er tom.

Siden hele tanken ( $60$ liter) er brukt opp når han har kjørt denne strekningen, kan vi finne hvor mye som har gått med til rent kjøreforbruk:

0,70 \cdot 61,90 \approx 43,33 liter

Resten av bensinen har forsvunnet på grunn av lekkasjen:

60 - 43,33 \approx 16,67 liter

Altså har

ca. 16,67 liter

bensin lekket ut av tanken.

Med den nye strategien fyller Sverre først $30$ liter, kjører $20$ mil, fyller opp til $30$ liter igjen, og kjører videre $20$ mil (totalt $40$ mil).

Løsningen av differensiallikningen har samme form som i b), men med ny startbetingelse $W (0) = 30$ : $A = 30 + 70 = 100$ , altså (CAS, skjermbildet linje 7)

W (x) = 100 \cdot e^{- 0,01 x} - 70

Fordi startbetingelsen er den samme ( $30$ liter) på begge $20$ -mils-strekningene, blir bensinnivået etter hver strekning likt (CAS, skjermbildet linje 8):

W (20) = 100 \cdot e^{- 0,2} - 70 \approx 11,87

Første strekning: bruker $30 - W (20) \approx 18,13$ liter, og fyller på like mye ved $20$ -mils-punktet for å komme tilbake til $30$ liter.
Andre strekning: bruker igjen $30 - W (20) \approx 18,13$ liter, og ender med $W (20) \approx 11,87$ liter igjen på tanken.

Totalt bensinforbruk over de $40$ milene (CAS, skjermbildet linje 9):

2 \cdot (30 - W (20)) = 60 - 2 \cdot W (20) \approx 36,25

Med denne fyllingsstrategien bruker Sverre altså

\approx 36,25 liter

bensin på de $40$ milene — mindre enn med full tank ( $60 - V (40) \approx 42,86$ liter), siden lekkasjen er mindre når nivået i tanken holdes lavere.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon med kjerneregel og produktregel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Separabel differensiallikning og tangentlikning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Plan gjennom tre punkter og vinkel med koordinatakser

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Plan med parameter, pyramidevolum og kuleflate

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Differensiallikning for bensintank med lekkasje

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon med kjerneregel og produktregel

Oppgave 1-2·Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Oppgave 1-3·Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Oppgave 1-4·Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel

Oppgave 1-5·Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel

Oppgave 1-6·Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-7·Separabel differensiallikning og tangentlikning

Oppgave 1-8·Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Oppgave 1-9·Plan gjennom tre punkter og vinkel med koordinatakser

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot

Oppgave 2-2·Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform

Oppgave 2-3·Plan med parameter, pyramidevolum og kuleflate

Oppgave 2-4·Differensiallikning for bensintank med lekkasje

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon med kjerneregel og produktregel

Oppgave 1-2Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Oppgave 1-3Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Oppgave 1-4Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel

Oppgave 1-5Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel

Oppgave 1-6Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-7Separabel differensiallikning og tangentlikning

Oppgave 1-8Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Oppgave 1-9Plan gjennom tre punkter og vinkel med koordinatakser

Oppgave 2-1Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot

Oppgave 2-2Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform

Oppgave 2-3Plan med parameter, pyramidevolum og kuleflate

Oppgave 2-4Differensiallikning for bensintank med lekkasje