R2 Høst 2021

LK06 12 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2021 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av trigonometriske funksjoner med kjerneregel	—
2	Bestem tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon	—
3	Separabel differensiallikning med initialverdi	—
4	Integral av derivert fra graf og minste integralverdi	—
5	Nullpunkter og skisse av trigonometrisk funksjon	—
6	Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum	—
7	Uendelig geometrisk rekke med logaritme og konvergensområde	—
8	Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Datatrafikk trigonometrisk regresjon og totalintegral	—
2	Covid-19 smittespredning geometrisk rekke og R-tall	—
3	Kuleflate og linje skjæringspunkter planet og radius	—
4	Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner med kjerneregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \dfrac{1}{6} \cdot \cos(2x)

g(x) = \sin^2(x^2 + 2)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \, dx

\int \frac{x}{x^2 - 9} \, dx

\int_0^{\ln 2} x \cdot e^{2x} \, dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Trigonometri

Oppgave 1-3 : Separabel differensiallikning med initialverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

2y \cdot y' = \cos x

Bestem den løsningen som oppfyller $y(0) = 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Oppgave 1-4 : Integral av derivert fra graf og minste integralverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon $f$ for $x \in [-1, 4]$ .

Grafen til f

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = f'(x) \quad , \quad D_g = [-1, 4]

Bruk grafen til å bestemme $\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x) \, dx$ .

Bestem $a$ og $b$ slik at $\displaystyle\int_a^b g(x) \, dx$ blir minst mulig. Begrunn svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Bestemt integral, Graftolkning, Integrasjon

Oppgave 1-5 : Nullpunkter og skisse av trigonometrisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}x - \pi\right) + 1 \quad , \quad D_f = \langle 0, 10 \rangle

Bestem nullpunktene til $f$ .

Gjør nødvendige beregninger og bruk disse til å skissere grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-6 : Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt tre punkter $A(2, 1, 0)$ , $B(0, 1, -2)$ og $C(-3, 2, 1)$ .

Bestem $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Vis at $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ er parallell med $\vec{n} = [1, 6, -1]$ .

Bestem en likning for planet $\alpha$ som punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i.

Punktet $T(2+t,\, t^2+4,\, 1+t)$ danner sammen med $A$ , $B$ og $C$ pyramiden $ABCT$ .

Bestem volumet av pyramiden når $t = 2$ .

Bestem $t$ slik at volumet blir $\dfrac{26}{3}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Volum

Oppgave 1-7 : Uendelig geometrisk rekke med logaritme og konvergensområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt den uendelige geometriske rekken

S(x) = 2 + \ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \frac{(\ln x)^3}{4} + \cdots

Bestem rekkens konvergensområde.

Bestem $S(e)$ .

Lag en uendelig geometrisk rekke som har konvergensområde $\langle 2, 4 \rangle$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Logaritmer

Oppgave 1-8 : Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

y' + \frac{1}{x} \cdot y = 1

En av løsningene til differensiallikningen har et punkt $P$ på grafen der tangenten i $P$ er gitt ved $y = -x - 6$ .

Bestem koordinatene til $P$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Datatrafikk trigonometrisk regresjon og totalintegral

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser utgående datatrafikk fra et nettselskap for noen utvalgte timer i løpet av et døgn.

Time etter midnatt	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Utgående GB per time	402	251	167	286	310	460	532	711	827	908	789	692

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

Et annet nettselskap mener at funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 820 + 510 \cdot \sin(0{,}26x + 3{,}2) \quad , \quad D_f = [0, 24]

er en god modell for deres utgående datatrafikk per time gjennom et døgn. Her er $x$ antall timer etter midnatt.

Når økte datatrafikken til dette nettselskapet raskest ifølge modellen $f$ ?

Bruk modellen $f$ til å bestemme den totale utgående datatrafikken fra nettselskapet i løpet av et døgn.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Regresjon, Bestemt integral, Modellering

Oppgave 2-2 : Covid-19 smittespredning geometrisk rekke og R-tall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For å kunne forutsi hvordan en pandemi kan utvikle seg, er R-tallet viktig. Dette tallet sier hvor mange personer en smittet person i gjennomsnitt vil smitte videre.

I resten av denne oppgaven tar vi utgangspunkt i sykdommen covid-19. Vi går ut fra at smitteperioden er 1 uke. Dersom $R$ -tallet er $1{,}2$ , så vil 100 personer som har covid-19-smitte, smitte $100 \cdot 1{,}2 = 120$ nye personer i løpet av en uke. Etter én uke vil det være 220 personer som har eller har hatt sykdommen, siden

100 + 100 \cdot 1{,}2 = 100 + 120 = 220

Den neste uken vil de 120 som ble smittet uken før, smitte $120 \cdot 1{,}2 = 100 \cdot 1{,}2^2$ nye personer.

Til en by som ikke har covid-19-smitte, kommer det 20 personer som er smittet. Dette blir ikke oppdaget, så $R$ -tallet holder seg konstant i mange uker.

Forklar at antallet som har eller har hatt covid-19 etter $n$ uker, kan beskrives med den geometriske rekken

20 + 20 \cdot R + 20 \cdot R^2 + \cdots + 20 \cdot R^n

Anta at $R = 1{,}7$ i denne byen.

Hvor mange personer vil det være som har eller har hatt covid-19 i denne byen i løpet av de 8 første ukene?

Det tar 8 uker før myndighetene i byen rekker å sette inn tiltak.

Hva må R-tallet være etter at tiltakene er satt inn, for at det totale antallet som har hatt eller får covid-19-smitte i denne byen, ikke skal overstige 10 000?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Modellering

Oppgave 2-3 : Kuleflate og linje skjæringspunkter planet og radius

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate $K$ har sentrum $S(-1, 3, 4)$ og radius $r$ . En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(-4, 0, 0)$ og $B(2, 0, 8)$ .

Bestem skjæringspunktene mellom kuleflaten og linjen når $r = 5$ .

Bruk CAS til å bestemme den minste verdien av $r$ som gjør at det er skjæringspunkt mellom linjen $\ell$ og kuleflaten $K$ .

Planet $\alpha$ er bestemt av punktet $C(0, 1, 0)$ og de to skjæringspunktene du fant i oppgave a.

Bestem en likning for planet $\alpha$ .

Anta nå at $r \geq 5$ .

Begrunn at likningen for planet $\alpha$ er uavhengig av hvilken radius $r$ vi valgte for kuleflaten $K$ i oppgave a.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Parameterframstilling

Oppgave 2-4 : Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En dieseltank inneholder 400 liter vanlig diesel. Eieren ønsker å bytte ut dieselen med biodiesel. Samtidig som dieselen tappes ut, etterfylles det derfor med en like stor mengde biodiesel. Denne blandes godt med dieselen i tanken. Det som tappes ut, vil derfor bli en blanding av vanlig diesel og biodiesel.

La $B(x)$ være mengden biodiesel på tanken etter at vi har tappet ut $x$ liter.

Forklar at differensiallikningen

B'(x) = 1 - 0{,}0025 \cdot B(x)

kan brukes til å bestemme mengden biodiesel på tanken etter at det er tappet ut $x$ liter.

Hvor mange liter må tappes ut før halvparten av den vanlige dieselen er byttet ut med biodiesel?

En dieseltank inneholder $V$ liter vanlig diesel. Vi lar $m$ være antall liter du må tappe ut og etterfylle med biodiesel for at halvparten av den vanlige dieselen skal bli byttet ut med biodiesel.

Vis at $m = \ln 2 \cdot V$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Bevis

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2021

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner med kjerneregel

Oppgave 1-2 : Bestem tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Separabel differensiallikning med initialverdi

Oppgave 1-4 : Integral av derivert fra graf og minste integralverdi

Oppgave 1-5 : Nullpunkter og skisse av trigonometrisk funksjon

Oppgave 1-6 : Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Oppgave 1-7 : Uendelig geometrisk rekke med logaritme og konvergensområde

Oppgave 1-8 : Differensiallikning med tangent og bestemmelse av punkt

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Datatrafikk trigonometrisk regresjon og totalintegral

Oppgave 2-2 : Covid-19 smittespredning geometrisk rekke og R-tall

Oppgave 2-3 : Kuleflate og linje skjæringspunkter planet og radius

Oppgave 2-4 : Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave