R2 Vår 2020

LK06 13 oppgaver 62 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk	—
2	Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon	—
3	Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke	—
4	Drøfting og skisse av sinusfunksjon	—
5	Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter	—
6	Konvergensområde for rekke med ln x	—
7	Tangentretninger til integralkurver	—
8	Kuleflate som tangerer to plan	—
9	Induksjonsbevis for rekursiv følge	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 26 poeng
1	Trigonometrisk regresjon for energiforbruk	—
2	Radioaktiv masse og differensiallikning	—
3	Papir på tørkerull som aritmetisk rekke	—
4	Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f(x) = x \cdot \sin x

g(x) = \dfrac{\cos x^2}{x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene:

\int x^2 + 3 + e^{2x}\,dx

\int 6x \cdot \sin\left(x^2\right)\,dx

\int_1^e x \cdot \ln x\,dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Integrasjon ved substitusjon, Delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en aritmetisk rekke er $a_1 = 3$ , og summen av de 5 første leddene er 55.

Hva blir summen av de 10 første leddene?

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \cdots

Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Konvergens

Oppgave 1-4 : Drøfting og skisse av sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin(\pi x + \pi) - 1, \quad x \in \langle -1, 3 \rangle

Bestem koordinatene til toppunkta og botnpunkta på grafen til $f$ .

Bestem skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og hver av koordinataksene.

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-5 : Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A(-1, 3, 2)$ , $B(2, 2, 1)$ , $C(0, 1, 0)$ og $T(5, 3, 8)$ .

Bestem $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ . Vis at $\vec{AB} \times \vec{AC} = [0, 5, -5]$ .

Bestem volumet av pyramiden $ABCT$ .

Bestem likningen for planet som inneholder punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan

Oppgave 1-6 : Konvergensområde for rekke med ln x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

2 + \ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \cdots

Bestem konvergensområdet til rekka.

Bestem $x$ slik at summen av rekka blir 4.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens

Oppgave 1-7 : Tangentretninger til integralkurver

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Differensiallikningen $2x \cdot y' - 3y = 0$ har integralkurver som gjennom punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ på figuren nedenfor. I hvert av punkta er det markert en tangentretning.

Fire punkter A, B, C, D med markerte tangentretninger i et koordinatsystem

Vurder for hvert av de fire punktene om den markerte tangentretningen samsvarer med retninga til tangenten til integralkurver som går gjennom punktet. Begrunn svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-8 : Kuleflate som tangerer to plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To plan $\alpha$ og $\beta$ er gitt ved

\begin{aligned} \alpha &: -2x + 2y - z = 21 \\ \beta &: -7x + 4y - 4z = 56 \end{aligned}

En kuleflate tangerer $\alpha$ i punktet $P(-3, 7, -1)$ og $\beta$ i punktet $Q(-4, 5, -2)$ .

Bestem en likning for kuleflata.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Plan, Kule, Romgeometri

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis for rekursiv følge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En følge er gitt ved $a_1 = 2$ og $a_n = a_{n-1} + n$ .

Bruk induksjon til å vise at $a_n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}$ for alle $n \in \mathbb{N}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Tallfølger

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1 : Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket («strømforbruket») for en bolig måned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh.

Måned	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Energiforbruk (kWh)	1540	1480	1320	1050	800	750	660	730	940	1170	1300	1520

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

For en annen bolig er funksjonen $f$ gitt ved

f(t) = 1300 + 730 \cdot \sin(0{,}52 \cdot t + 1{,}07)

en god modell for energiforbruket per måned i 2019. Her er $f(1)$ forbruket i januar, $f(2)$ forbruket i februar og så videre.

Når økte forbruket raskest, ifølge modellen $f$ ?

Bestem $\displaystyle\int_0^{12} f(t)\,dt$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Energiprisen varierer også med tida på året. Funksjonen $p$ gitt ved

p(t) = 0{,}85 + 0{,}17 \cdot \sin(0{,}52 \cdot t + 1{,}07)

er en god modell for energiprisen i kroner per kWh. Her er $p(1)$ den gjennomsnittlige energiprisen i januar, $p(2)$ den gjennomsnittlige prisen i februar og så videre.

Bestem den årlige energikostnaden til boligen dersom vi legger modellene $f$ og $p$ til grunn.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Trigonometri, Bestemt integral

Oppgave 2-2 : Radioaktiv masse og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved radioaktiv stråling minker massen til et radioaktivt stoff med en vekstfart som til enhver tid er proporsjonal med massen som er igjen av det radioaktive stoffet.

La $M(t)$ være massen til det radioaktive stoffet $t$ timer etter et gitt tidspunkt.

Begrunn at differensiallikningen $M' = k \cdot M$ beskriver situasjonen. Forklar hvorfor $k < 0$ .

Ved tida $t = 0$ timer var massen til det radioaktive stoffet 100 mg. Ved $t = 6$ timer var massen til det radioaktive stoffet 97 mg.

Bestem funksjonsuttrykket $M(t)$ .

Hvor lang tid vil det ta før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg?

Dette radioaktive stoffet vurderes ikke helsefarlig dersom massen minker med mindre enn $0{,}2$ mg per time.

Hvor lang tid går det før dette stoffet ikke lenger vurderes som helsefarlig?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjoner

Oppgave 2-3 : Papir på tørkerull som aritmetisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det innerste papirlaget på en tørkerull har diameter $d = 5{,}00 \mathrm{~cm}$ . Papiret er $0{,}015 \mathrm{~cm}$ tykt.

Tørkerull der den innerste hulldiameteren er merket d og den ytre diameteren er merket D

Lengden på papiret på den innerste runden på rullen er da $\pi \cdot 5{,}00 \mathrm{~cm}$ . Den neste runden har diameter $(5{,}00 + 2 \cdot 0{,}015) \mathrm{~cm} = 5{,}03 \mathrm{~cm}$ . Lengden på papiret i denne runden er derfor $\pi \cdot 5{,}03 \mathrm{~cm}$ .

Diameteren på rullen øker med $0{,}03 \mathrm{~cm}$ for hver ny runde med papir.

Hvor mange meter papir er det igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før han er tom?

Hvor mange meter papir er det på tørkerullen når diameteren $D$ er $20{,}00 \mathrm{~cm}$ ?

Hva er diameteren $D$ når det er 500 meter papir igjen på tørkerullen?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Aritmetisk rekke, Rekker

Oppgave 2-4 : Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A(-1, -1, 2)$ , $B(3, 4, -1)$ , $C(5, 3, 1)$ og $D(5, 6, 4)$ .

Planet $\alpha$ går gjennom $A$ , $B$ og $C$ .
Linja $\ell$ går gjennom $A$ og $D$ .

En kuleflate har radius 8 og sentrum $S$ , som ligger på $\ell$ . Kuleflata tangerer $\alpha$ .

Bestem de mulige koordinatene til $S$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Plan, Kule, Romgeometri

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2020

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk

Oppgave 1-2 : Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

Oppgave 1-4 : Drøfting og skisse av sinusfunksjon

Oppgave 1-5 : Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Oppgave 1-6 : Konvergensområde for rekke med ln x

Oppgave 1-7 : Tangentretninger til integralkurver

Oppgave 1-8 : Kuleflate som tangerer to plan

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis for rekursiv følge

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1 : Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Oppgave 2-2 : Radioaktiv masse og differensiallikning

Oppgave 2-3 : Papir på tørkerull som aritmetisk rekke

Oppgave 2-4 : Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave