R2 Høst 2020

LK06 10 oppgaver 47 poeng 5 timer

0 av 10 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 30 poeng
1	Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H20	—
2	Integrasjon med delvis integrasjon og partialbrøk	—
3	Trigonometriske likninger på intervall R2 H20	—
5	Trigonometrisk funksjon med toppunkt	—
6	Andregradsdifferensiallikning med startbetingelser	—
7	Uendelig geometrisk rekke med cosinus	—
8	Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 3 oppgaver · 17 poeng
1	Gassutslipp med aritmetisk og geometrisk rekke	—
3	Kuleflate tangerer plan	—
4	Stettglass og omdreiningslegeme	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \sin(2x) + \pi

g(x) = x \cdot \cos^2 x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Integrasjon med delvis integrasjon og partialbrøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int\!\left(\cos x + \frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x

\int x \cdot e^{2x}\,\mathrm{d}x

\int \frac{2x-2}{x^2 - 2x - 3}\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Trigonometri

Oppgave 1-3 : Trigonometriske likninger på intervall R2 H20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$ , $x \in \left[0, 2\pi\right]$

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1$ , $x \in \left[0, 2\pi\right]$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-5 : Trigonometrisk funksjon med toppunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = a \cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{2}x - b\right) + 2, \quad a > 0 \text{ og } b \in [0, 2\pi).

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3{,}5)$ .

Bestem $a$ og $b$ .

Tegn en skisse som viser to perioder av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjoner

Oppgave 1-6 : Andregradsdifferensiallikning med startbetingelser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En differensiallikning er gitt ved

y'' - 2y' + y = 0

Vis at $y = A \cdot e^x + B \cdot x \cdot e^x$ er den generelle løsningen av differensiallikningen.

Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y(0) = 3$ og $y'(0) = 5$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-7 : Uendelig geometrisk rekke med cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = 1 + \frac{3}{2}\cos x + \frac{9}{4}\cos^2 x + \cdots

Avgjør om rekken konvergerer for $x = \dfrac{\pi}{6}$ , og for $x = \dfrac{\pi}{3}$ .

Bestem summen av rekken i det eller de tilfellene i oppgave a) der rekken konvergerer.

For hvilke verdier av $r$ har likningen $S(x) = r$ løsning?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Trigonometri

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n)\colon \quad \sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}, \quad n \in \mathbb{N}

Husk å skrive forklarende kommentarer til beviset ditt.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 17 poeng

Oppgave 2-1 : Gassutslipp med aritmetisk og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift slipper årlig ut 5000 kg av en gass. De får pålegg fra myndighetene om at de i løpet av 10 år må halvere de årlige utslippene. Bedriften vurderer to modeller for hvordan de kan gjennomføre dette.

Modell 1 De reduserer forbruket med et fast antall kg hvert år, slik at de det første året slipper ut 5000 kg, mens de det tiende året slipper ut 2500 kg.

Modell 2 De reduserer forbruket med en fast årlig prosent, slik at de det første året slipper ut 5000 kg, mens de det tiende året slipper ut 2500 kg.

Hvor mye slipper bedriften til sammen ut i løpet av disse 10 årene dersom de velger modell 1?

Hvor mye slipper bedriften til sammen ut i løpet av disse 10 årene dersom de velger modell 2?

En annen bedrift slipper også årlig ut 5000 kg av denne gassen. De får beskjed av myndighetene om at de må redusere utslippet. Fra og med i år og så lenge bedriften eksisterer, får de ikke slippe ut mer enn til sammen 50 000 kg.

Bedriften bestemmer seg for at de hvert år fremover vil redusere utslippet med en fast prosent $p$ .

Bestem den laveste verdien for $p$ som gjør at de overholder myndighetenes krav.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Modellering, Uendelig rekke, Konvergens

Oppgave 2-3 : Kuleflate tangerer plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen

\alpha \colon \quad 2x - 3y + 7z = 5

En kuleflate har sentrum i $S(8, 5, 0)$ og tangerer planet $\alpha$ .

Bestem radiusen til kuleflaten.

Et plan $\beta$ går gjennom punktene $A(1, 2, -5)$ , $B(5, -2, 1)$ og $C(t, 1, 4)$ . En kuleflate har sentrum i $T(7, 6, -3)$ og radius $r = 2$ .

Bestem eksakte verdier for $t$ slik at planet $\beta$ tangerer kuleflaten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Romgeometri, Vektorer

Oppgave 2-4 : Stettglass og omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Innsideflaten av en type stettglass framkommer når funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = -0{,}3 \cdot \sin(1{,}9x - 4{,}1) + 0{,}25, \quad x \in [0, 1{,}5]

roteres $360\degree$ grader om $x$ -aksen. Her er $x$ målt i dm.

Stettglass innside

Hvor mye vann er det plass til i glasset om det fylles helt opp?

Stettglasset er laget av 3 mm tykt glass. Dersom funksjonen $g$ gitt ved

g(x) = f(x) + 0{,}03

roteres $360\degree$ om $x$ -aksen, får vi en tilnærming av ytterflaten til glasset.

Stettglass utside

Bestem volumet til materialet som stettglasset (uten stett) er laget av.

Bruk svaret i b) til å bestemme en tilnærmet verdi for overflatearealet til utsiden av stettglasset (uten stett).

I en matematikkbok finner vi denne setningen:

Anta at en funksjon $f$ er kontinuerlig og deriverbar i et intervall $[a, b]$ , og $f(x) \geq 0$ for alle $x \in [a, b]$ . Overflatearealet til omdreiningslegemet vi får når vi roterer grafen til $f$ om $x$ -aksen mellom $x = a$ og $x = b$ , er da gitt ved formelen

O = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x

Bruk setningen til å bestemme overflatearealet av utsiden av stettglasset (uten stett).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Bestemt integral, Modellering

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2020

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H20

Oppgave 1-2 : Integrasjon med delvis integrasjon og partialbrøk

Oppgave 1-3 : Trigonometriske likninger på intervall R2 H20

Oppgave 1-5 : Trigonometrisk funksjon med toppunkt

Oppgave 1-6 : Andregradsdifferensiallikning med startbetingelser

Oppgave 1-7 : Uendelig geometrisk rekke med cosinus

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 17 poeng

Oppgave 2-1 : Gassutslipp med aritmetisk og geometrisk rekke

Oppgave 2-3 : Kuleflate tangerer plan

Oppgave 2-4 : Stettglass og omdreiningslegeme

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave