R2 Høst 2017

LK06 11 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2017 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver funksjonene R2 H17	—
2	Bestem integralene R2 H17	—
3	Trigonometriske likninger R2 H17	—
4	Sinusfunksjon med toppunkt og areal	—
5	Vektorer plan og pyramidevolum	—
6	Differensiallikning R2 H17	—
7	Aritmetisk rekke og induksjonsbevis R2 H17	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Pælemaskin og geometrisk rekke	—
2	Linje kuleflate og tangentplan	—
3	Ørretbestand og differensiallikning	—
4	Omdreiningslegeme av sirkelsegment R2 H17	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2\sin 3x

g(x) = \dfrac{\sin x}{x}

h(x) = x \cos x^2

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^3 - 3x + 2)\,\mathrm{d}x

\int x\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x

\int x\sqrt{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Bestemt integral, Delvis integrasjon, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-3 : Trigonometriske likninger R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs de trigonometriske likningene

2\sin(2x) - 1 = 0 \quad,\quad x \in \left[0,\ 2\pi\right]

2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0 \quad,\quad x \in \left[0,\ 2\pi\right]

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-4 : Sinusfunksjon med toppunkt og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin\left(\pi x - \frac{\pi}{2}\right) + 3 \quad,\quad x \in \left\langle -1,\ 5\right\rangle

Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = 0$ og $x = 4$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bestemt integral, Graf

Oppgave 1-5 : Vektorer plan og pyramidevolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(1,\ 0,\ 3)$ , $B(3,\ 2,\ -1)$ og $C(0,\ 4,\ 4)$ .

Bestem $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ og $\vec{AB} \times \vec{AC}$ .

Vis at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$ gitt ved likningen

9x + y + 5z = 24

En linje $\ell$ står normalt på planet $\alpha$ og går gjennom punktet $T(11,\ 7,\ 5)$ .

Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$ . Bestem skjæringspunktet mellom linjen $\ell$ og planet $\alpha$ .

Bestem volumet av pyramiden $ABCT$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Plan, Parameterframstilling, Romgeometri

Oppgave 1-6 : Differensiallikning R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y'' - 9y' - 10y = 0

når $y(0) = 4$ og $y'(0) = 7$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-7 : Aritmetisk rekke og induksjonsbevis R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk tallfølge $a_n$ er definert ved at $a_n = 3n - 2$ .

La $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ .

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å vise at

s_n = \frac{3n^2 - n}{2} \quad,\quad n \in \mathbb{N}

Bruk induksjon til å bevise formelen for $s_n$ som er gitt i oppgave a).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Induksjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Pælemaskin og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et firma skal sette opp en stolpe. Det gjør de ved å slå stolpen ned i jorda med en pælemaskin.

Det første slaget slår stolpen $12 \mathrm{~cm}$ ned i jorda. De neste slagene fører stolpen videre nedover, men stadig kortere for hver gang. Det viser seg at lengden som stolpen blir slått ned i jorda, blir redusert med $6{,}0\ \%$ for hvert slag.

Hvor mange slag må de minst slå for å få stolpen mer enn $1{,}0$ meter ned i jorda?

Kan firmaet klare å slå stolpen så mye som $2{,}2$ meter ned i jorda med denne pælemaskinen?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Modellering, Uendelig rekke

Oppgave 2-2 : Linje kuleflate og tangentplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(7,\ 12,\ 12)$ og $B(1,\ -6,\ -12)$ .

Bestem en parameterframstilling for linjen $\ell$ .

En kuleflate $K$ har sentrum i origo og radius $5$ .

Bestem skjæringspunktene mellom linjen $\ell$ og kuleflaten $K$ .

Et plan $\alpha$ er gitt ved

\alpha:\ 4x - 3y + 7 = 0

Det er to plan som er parallelle med $\alpha$ , og som samtidig tangerer kuleflaten $K$ .

Bestem likningen for hvert av disse planene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Parameterframstilling, Kule, Plan, Romgeometri

Oppgave 2-3 : Ørretbestand og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestanden av ørret i et bestemt fiskevann avtar med $3{,}0\ \%$ per år. Vi går ut fra at det er $10\,000$ ørreter i vannet ved starten av 2018.

Forklar at differensiallikningen gitt ved

y' = -0{,}03y \quad,\quad y(0) = 10\,000

kan brukes til å bestemme ørretbestanden $y(t)$ i vannet $t$ år etter starten av 2018.

Løs differensiallikningen. Hvor mange ørreter vil det være i vannet i 2028?

Den lokale fiskeforeningen ønsker å sette ut et fast antall ørreter i vannet hvert år i ti år framover. Utsettingen starter tidlig i 2018 og skjer kontinuerlig over tiårsperioden. Målet er at det ved starten av 2027 skal være $15\,000$ ørreter i vannet.

Sett opp og grunngi en differensiallikning som kan brukes til å bestemme hvor mange ørreter de må sette ut hvert år for å nå målet.

Hvor mange ørreter må de sette ut hvert år for å nå målet?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Omdreiningslegeme av sirkelsegment R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \sqrt{2^2 - x^2} \quad,\quad x \in [-2,\ 2]

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ . Tegn også inn linjen gitt ved $g(x) = f(1)$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$ .

Bruk CAS til å bestemme arealet av sirkelsegmentet avgrenset av grafene til $f$ og $g$ .

Vi dreier dette sirkelsegmentet $360\degree$ om $x$ -aksen.

Bruk CAS til å bestemme volumet av omdreiningslegemet vi da får.

Funksjonen $F$ er gitt ved

F(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \quad,\quad x \in [-r,\ r] \quad,\quad r > 1

Linjen gitt ved $G(x) = F(1)$ skjærer grafen til $F$ i punktene $(-1,\ F(-1))$ og $(1,\ F(1))$ . Området mellom grafene til $F$ og $G$ er et sirkelsegment. Vi roterer dette sirkelsegmentet $360\degree$ om $x$ -aksen.

Vis ved hjelp av CAS at volumet av omdreiningslegemet vi da får, er uavhengig av $r$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Omdreiningslegeme, Bestemt integral, Cas, Graf

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2017

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 H17

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 H17

Oppgave 1-3 : Trigonometriske likninger R2 H17

Oppgave 1-4 : Sinusfunksjon med toppunkt og areal

Oppgave 1-5 : Vektorer plan og pyramidevolum

Oppgave 1-6 : Differensiallikning R2 H17

Oppgave 1-7 : Aritmetisk rekke og induksjonsbevis R2 H17

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Pælemaskin og geometrisk rekke

Oppgave 2-2 : Linje kuleflate og tangentplan

Oppgave 2-3 : Ørretbestand og differensiallikning

Oppgave 2-4 : Omdreiningslegeme av sirkelsegment R2 H17

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave