R2 Vår 2016

LK06 11 oppgaver 53 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2016 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 29 poeng
1	Deriver funksjonene R2 V16	—
2	Bestem integralene R2 V16	—
3	Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon	—
4	Geometrisk rekke og produkt av røtter	—
5	Drøfting av cosinusfunksjon	—
6	Lineær førsteordens differensiallikning	—
8	Induksjonsbevis for geometrisk sum	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Korteste stige mot husvegg over gjerde	—
2	Daglengde i Bergen	—
3	Areal mellom parabel og korde	—
4	Ryktespredning med logistisk vekst	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 29 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 V16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2\cos 5x

g(x) = e^{-2x}\sin x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 V16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_{1}^{e} \frac{3}{x}\, dx

\int \frac{2}{x^2-1}\, dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-3 : Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \sin x, \quad x \in [0, \pi]

Et flatestykke er avgrenset av $x$ -aksen og grafen til $f$ .

Regn ut arealet av flatestykket.

Vis ved derivasjon at $\displaystyle\int \sin^2 x\, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x \cdot \cos x + C$

Vi roterer flatestykket $360\degree$ om $x$ -aksen.

Regn ut volumet av omdreiningslegemet vi da får.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Areal, Omdreiningslegeme, Bevis

Oppgave 1-4 : Geometrisk rekke og produkt av røtter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rekken $\displaystyle\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{2^n}$ er gitt.

Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av de $n$ første leddene i rekken.

Vi har gitt produktet

P_n(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[8]{x} \cdot \sqrt[16]{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt[2^n]{x}, \quad x > 0

Vis at $P_n(x) = x^{\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)}$

Bestem $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_n(x)$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Geometrisk rekke, Rekker, Konvergens, Potenser

Oppgave 1-5 : Drøfting av cosinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 3\cos 2x, \quad x \in \langle 0, 2\pi \rangle

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ .

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Likninger, Graf

Oppgave 1-6 : Lineær førsteordens differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' - xy = x, \quad y(0) = 1

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for geometrisk sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden $P$ gitt ved

P(n): \quad \frac{k^n - 1}{k - 1} = 1 + k + k^2 + k^3 + \ldots + k^{n-1}, \quad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Korteste stige mot husvegg over gjerde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stige, som kan justeres, skal stå på skrå mot en husvegg og berøre et $2{,}0 \mathrm{~m}$ høyt gjerde. Gjerdet står $1{,}0 \mathrm{~m}$ fra husveggen. La $x$ være vinkelen mellom stigen og bakken. Se skissen nedenfor.

Skisse av stige mot husvegg over et gjerde

Vis at lengden av stigen, målt i meter, er

L(x) = \frac{1}{\cos x} + \frac{2}{\sin x}, \quad \text{der } 0\degree < x < 90\degree

Bestem $x$ slik at lengden av stigen blir kortest mulig. Hvor høyt opp på veggen rekker stigen da?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering

Oppgave 2-2 : Daglengde i Bergen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Daglengden $D$ i Bergen er tilnærmet gitt ved funksjonen

D(t) = 6{,}63\sin(0{,}0172t - 1{,}39) + 12{,}5

Her er $D(t)$ daglengden målt i timer, og $t$ er antall dager fra nyttår.

Bruk uttrykket $D(t)$ til å bestemme den korteste og den lengste daglengden i Bergen.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $D$ for $t \in [0, 365]$ .

Når er daglengden i Bergen 14 timer?

Undersøk på hvilken dato daglengden vokser raskest. Hvor mye øker daglengden per døgn da?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Trigonometri, Modellering, Derivasjon, Graf

Oppgave 2-3 : Areal mellom parabel og korde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2

Punktene $A(a, a^2)$ og $B(b, b^2)$ der $a < b$ , ligger på grafen til $f$ . Se figur 1 nedenfor.

Figur 1: parabel med korde AB og flatestykke T

Grafen til $f$ og linjestykket $AB$ avgrenser et flatestykke med areal $T$ . Bruk CAS til å bestemme $T$ uttrykt ved $a$ og $b$ .

Punktet $C$ på grafen har koordinatene $(c, c^2)$ , der $c = \dfrac{a+b}{2}$ . Se figur 2 nedenfor.

Figur 2: parabel med trekant ACB og areal S

Bruk CAS til å vise at arealet $S$ av $\triangle ACB$ er $S = \dfrac{1}{8}(b-a)^3$ .

Bestem forholdet $\dfrac{T}{S}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Areal, Cas, Andregradsfunksjon

Oppgave 2-4 : Ryktespredning med logistisk vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bygd med $1200$ innbyggere spres et rykte. La $y$ være antall innbyggere som kjenner til ryktet ved tiden $t$ , der $t$ er tiden målt i dager etter at ryktet oppsto.

Vi antar at ryktet spres med en fart som til enhver tid er proporsjonal med produktet av antall innbyggere som kjenner ryktet, og antall innbyggere som ikke kjenner det. Proporsjonalitetskonstanten har verdien $0{,}0006$ .

Ved tiden $t = 0$ var det kun én person som kjente til ryktet.

Sett opp en differensiallikning som beskriver situasjonen ovenfor.

Hvor lang tid tar det før halve bygda kjenner til ryktet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2016

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 29 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver funksjonene R2 V16

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 V16

Oppgave 1-3 : Areal og omdreiningslegeme av sinusfunksjon

Oppgave 1-4 : Geometrisk rekke og produkt av røtter

Oppgave 1-5 : Drøfting av cosinusfunksjon

Oppgave 1-6 : Lineær førsteordens differensiallikning

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for geometrisk sum

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Korteste stige mot husvegg over gjerde

Oppgave 2-2 : Daglengde i Bergen

Oppgave 2-3 : Areal mellom parabel og korde

Oppgave 2-4 : Ryktespredning med logistisk vekst

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave