R2 Høst 2016

LK06 11 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2016 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre trigonometriske funksjoner R2 H16	—
2	Bestem integralene R2 H16	—
3	Linje rotert til omdreiningslegeme R2 H16	—
4	Trigonometrisk funksjon med periode og vendepunkter	—
5	Andre ordens differensiallikning R2 H16	—
6	Brøk av oddetallssummer	—
7	Kuleflate tangentplan og normalt plan	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Befolkningsvekst med differensiallikning	—
2	Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon	—
3	Vinkel mellom to plan og skjæringslinje	—
4	Uendelig geometrisk rekke med sum og tre ledd	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre trigonometriske funksjoner R2 H16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3\cos 2x

g(x) = e^{\sin x}

h(x) = \dfrac{x}{\sin x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 H16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^2 - 3x + 2)\,\mathrm{d}x

\int x\cos x\,\mathrm{d}x

\int 2x\sin x^2\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-3 : Linje rotert til omdreiningslegeme R2 H16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje går gjennom $A(0,\,0)$ og $B(h,\,r)$ der $h$ og $r$ er to positive tall.

Bestem ligningen for linjen, uttrykt ved $h$ og $r$ .

Linjestykket $AB$ roteres $360\degree$ om $x$ -aksen. Vi får da et omdreiningslegeme.

Bestem et uttrykk for volumet til omdreiningslegemet. Hva slags legeme har du regnet ut volumet til?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Lineære funksjoner, Volum

Oppgave 1-4 : Trigonometrisk funksjon med periode og vendepunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 3\sin\!\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 5, \qquad D_f = \langle 0,\,12\rangle

Bestem perioden til $f$ .

Bestem ekstremalverdiene $y_{\min}$ og $y_{\max}$ .

Forklar hvorfor grafen vil ha alle sine vendepunkter på likevektslinjen. Bestem koordinatene til vendepunktene.

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Graf

Oppgave 1-5 : Andre ordens differensiallikning R2 H16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensialligningen

y'' - 4y' - 5y = 0

Vis at $y = e^{rx}$ er en løsning til differensialligningen når $r^2 - 4r - 5 = 0$ .

Bestem den generelle løsningen til differensialligningen.

Bestem den spesielle løsningen som tilfredsstiller betingelsene $y(0) = 6$ og $y'(0) = 0$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-6 : Brøk av oddetallssummer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Brøken $B_n$ er definert ved at telleren er summen av de $n$ første oddetallene, mens nevneren er summen av de $n$ neste oddetallene.

Regn ut $B_2 = \dfrac{1+3}{5+7}$ , $\quad B_3 = \dfrac{1+3+5}{7+9+11}\quad$ og $\quad B_4 = \dfrac{1+3+5+7}{9+11+13+15}$ . Forkort svarene.

Vis at summen av de $n$ første oddetallene kan skrives $S_n = n^2$ .

Forklar at $B_n = \dfrac{S_n}{S_{2n} - S_n}$ . Regn ut denne brøken.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Induksjon, Brøk

Oppgave 1-7 : Kuleflate tangentplan og normalt plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ligningen til en kuleflate er gitt ved

x^2 - 2x + y^2 + 2y + z^2 - 6z = 14

Vis at punktet $A(4,\,3,\,3)$ ligger på kuleflaten.

Vis at kulen har sentrum i $S(1,\,-1,\,3)$ . Bestem radien til kulen.

Bestem ligningen for tangentplanet $\alpha$ til kuleflaten i punktet $A$ .

Et annet plan $\beta$ går gjennom $S$ og $B(1,\,0,\,1)$ og står normalt på $\alpha$ .

Bestem ligningen til $\beta$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Kule, Plan, Romgeometri, Vektorer

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Befolkningsvekst med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved inngangen til 2015 var folketallet i Norge $5\,200\,000$ . I en modell for befolkningsveksten antar vi at

netto innvandring per år vil være $44\,000$
antall som blir født per år, vil være $1{,}1\ \%$ av folketallet
antall som dør per år, vil være $0{,}8\ \%$ av folketallet

Vi lar folketallet være $y(t)$ , der $t$ er antall år etter 2015.

Forklar at vi kan skrive

y' = 0{,}003y + 44000, \qquad y(0) = 5200000

Løs differensialligningen.

Når vil folketallet passere 7 millioner ifølge denne modellen? Hvor stor er vekstfarten i folketallet da?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Vekstfart

Oppgave 2-2 : Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \sqrt{x^2 - x^4}

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

Bruk CAS til å bestemme de eksakte koordinatene til toppunktene på grafen til $f$ .

Bestem det samlede arealet av områdene som er avgrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen.

Grafen til $f$ roteres $360\degree$ om $x$ -aksen.

Bestem volumet av omdreiningslegemet som da framkommer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Omdreiningslegeme, Areal, Cas, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-3 : Vinkel mellom to plan og skjæringslinje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To plan $\alpha$ og $\beta$ er gitt ved

\alpha:\ x - y - 3 = 0

\beta:\ x + pz - 4 = 0, \quad p \in \mathbb{R}

Vis at punktet $(4,\,1,\,0)$ ligger i begge planene.

Bestem $p$ slik at vinkelen mellom $\alpha$ og $\beta$ blir $60\degree$ .

Hvilken verdi for $p$ vil gi den minste vinkelen mellom $\alpha$ og $\beta$ ? Hvor stor er vinkelen da?

De to planene skjærer hverandre langs en linje $\ell$ .

Bestem en parameterframstilling for $\ell$ uttrykt ved $p$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Plan, Vektorer, Romgeometri, Parameterframstilling

Oppgave 2-4 : Uendelig geometrisk rekke med sum og tre ledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om en uendelig geometrisk rekke vet vi at

summen er $8$
summen av de tre første leddene er $7$

Sett opp et ligningssystem som uttrykker opplysningene ovenfor.

Bruk CAS til å bestemme kvotienten $k$ og det første leddet $a_1$ i rekken.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Likningssystem, Cas

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2016

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre trigonometriske funksjoner R2 H16

Oppgave 1-2 : Bestem integralene R2 H16

Oppgave 1-3 : Linje rotert til omdreiningslegeme R2 H16

Oppgave 1-4 : Trigonometrisk funksjon med periode og vendepunkter

Oppgave 1-5 : Andre ordens differensiallikning R2 H16

Oppgave 1-6 : Brøk av oddetallssummer

Oppgave 1-7 : Kuleflate tangentplan og normalt plan

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Befolkningsvekst med differensiallikning

Oppgave 2-2 : Areal og omdreiningslegeme for rotfunksjon

Oppgave 2-3 : Vinkel mellom to plan og skjæringslinje

Oppgave 2-4 : Uendelig geometrisk rekke med sum og tre ledd

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave