R2 Vår 2015

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R2 V15	—
2	Tre integraler med partialbrøk og delvis integrasjon	—
3	Vis integrasjonsformel og løs differensiallikning	—
4	Geometrisk rekke med parameter og konvergensområde	—
5	Kryssprodukt areal og plan med bevegelig partikkel	—
6	Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis	—
7	Funksjonsdrøfting av trigonometrisk funksjon og grafgjenkjenning	—
8	Cos-addisjonsformel og forenkling av cos4x minus sin4x	—
9	Trigonometrisk likning sinx pluss cosx lik 1	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei	—
2	Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum	—
3	Pariserhjul London Eye med cosinus og vendepunkter	—
4	Tangenter til andregradsfunksjon og like arealer med CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R2 V15

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = -3\cos x

g(x) = \sin^2 x

h(x) = x^3 \cdot e^{-x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Tre integraler med partialbrøk og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int_1^{2} (x^2 + 2x - 3)\, dx

\int \frac{3x}{x^2 - x - 2}\, dx

\int x \cdot \ln x\, dx

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Vis integrasjonsformel og løs differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk en integrasjonsmetode til å vise at $\displaystyle\int x \cdot e^{x^2}\, dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

Løs differensiallikningen

y' + 2xy = 4x \qquad,\quad y(0) = 8

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon ved substitusjon, Differensiallikning, Bevis

Oppgave 1-4 : Geometrisk rekke med parameter og konvergensområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{2}{x^3} + \ldots \qquad,\quad x \neq 0

Bestem konvergensområdet til rekken.

Bestem $x$ slik at $S(x) = 4$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke

Oppgave 1-5 : Kryssprodukt areal og plan med bevegelig partikkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(3, 0, 0)$ , $B(0, 4, 0)$ og $C(0, 0, 1)$ er gitt.

Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ . Bestem arealet av $\triangle ABC$ .

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i et plan $\alpha$ . Bestem likningen for planet $\alpha$ .

En partikkel starter i origo $O(0, 0, 0)$ . Etter tiden $t$ er partikkelen i et punkt $P$ gitt ved

\overrightarrow{OP} = \left[t,\ \frac{t^2}{3},\ -\frac{t}{4}\right] \qquad,\quad t \geq 0

Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet $\alpha$ ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer $\alpha$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan

Oppgave 1-6 : Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En tallfølge $\{a_n\}$ er gitt ved at $a_1 = -1$ og $a_{n+1} = a_n + n - 1$

Bruk induksjon til å bevise at $\displaystyle a_n = \frac{n(n-3)}{2}$ , $\quad n \in \mathbb{N}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Tallfølger, Induksjon, Bevis

Oppgave 1-7 : Funksjonsdrøfting av trigonometrisk funksjon og grafgjenkjenning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 3 - 3\cos(1 - x^2) \qquad,\quad x \in \left\langle -\frac{\pi}{2},\, \frac{\pi}{2} \right\rangle

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.

Bruk $f'(x)$ til å bestemme $x$ -verdien til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .

Nedenfor er det tegnet tre grafer. Én av dem er grafen til $f$ . Avgjør hvilken. Begrunn svaret.

Tre grafer — én er grafen til f

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Derivasjon

Oppgave 1-8 : Cos-addisjonsformel og forenkling av cos4x minus sin4x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En trigonometrisk formel er gitt ved

\cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v

Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for $\cos(2x)$ .

Skriv uttrykket $\cos^4 x - \sin^4 x$ så enkelt som mulig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Eksakte verdier

Oppgave 1-9 : Trigonometrisk likning sinx pluss cosx lik 1

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\sin x + \cos x = 1 \qquad,\quad x \in [0,\, 2\pi]

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Roger planlegger en sykkeltur. Han regner med å kunne starte med farten $26 \mathrm{~km/h}$ . Etter hvert vil farten avta etter formelen

v(t) = 26 - 0{,}08 \cdot s(t)

$v(t)$ og $s(t)$ er begge funksjoner som er avhengige av tiden $t$ målt i timer
$v(t)$ er farten målt i kilometer per time
$s(t)$ er den tilbakelagte veilengden målt i kilometer

Bestem farten etter 125 km.

Formelen ovenfor kan vi skrive som differensiallikningen

s'(t) = 26 - 0{,}08 \cdot s(t)

Bestem $s(t)$ når $s(0) = 0$ .

Hvor langt sykler Roger den første timen? Hvor lang tid bruker han på 125 km?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Oppgave 2-2 : Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hjørnene i en pyramide $ABCP$ er $A(0,0,0)$ , $B(1,0,-1)$ , $C(1,1,0)$ og $P(t,\, 2t+1,\, t^2+2)$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem et uttrykk for volumet $V(t)$ av pyramiden.

Bestem koordinatene til $P$ slik at $V(t) = \dfrac{7}{2}$ .

Bestem koordinatene til $P$ slik at volumet $V(t)$ blir minst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Optimering, Volum

Oppgave 2-3 : Pariserhjul London Eye med cosinus og vendepunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

London Eye pariserhjul

London Eye er et pariserhjul med diameter lik 135 m. En runde tar 30 min. Passasjerene går ombord i pariserhjulet fra en plattform som ligger 2 m over bakkenivå.

Etter $t$ min fra ombordstigning er en passasjer $h(t)$ m over bakkenivå. Det kan vises at

h(t) = -67{,}5\cos\!\left(\frac{\pi}{15}\,t\right) + 69{,}5

Bruk graftegner til å tegne grafen til $h$ for $t \in [0,\, 30]$ . Bestem grafisk når passasjeren er 50 m over bakkenivå.

Bestem vendepunktene på grafen til $h$ . Forklar hvilken praktisk informasjon verdiene av $h'(7{,}5)$ og $h'(22{,}5)$ gir.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting, Graf

Oppgave 2-4 : Tangenter til andregradsfunksjon og like arealer med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 + ax + b \qquad,\quad D_f = \mathbb{R}

Tangentene i punktene $Q(s,\, f(s))$ og $R(t,\, f(t))$ skjærer hverandre i et punkt $P$ .

Se skisse 1.

Skisse 1 — to tangenter til parabel skjærer i P

Vis at likningene for de to tangentene er

g(x) = (a + 2s)x + b - s^2 \qquad \text{og} \qquad h(x) = (a + 2t)x + b - t^2

Bruk CAS til å vise at $x$ -koordinaten til punktet $P$ er gitt ved $x_P = \dfrac{s + t}{2}$

Den vertikale linjen $x = x_P$ deler området mellom grafen og tangentene i to områder.

Se skisse 2.

Skisse 2 — to arealer mellom parabel og tangenter delt av x = xP

Bruk CAS til å vise at arealene av de to områdene er like store for alle verdier av $a$ og $b$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Cas, Integrasjon, Bevis

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R2 V15

Oppgave 1-2 : Tre integraler med partialbrøk og delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Vis integrasjonsformel og løs differensiallikning

Oppgave 1-4 : Geometrisk rekke med parameter og konvergensområde

Oppgave 1-5 : Kryssprodukt areal og plan med bevegelig partikkel

Oppgave 1-6 : Tallfølge med rekursiv formel og induksjonsbevis

Oppgave 1-7 : Funksjonsdrøfting av trigonometrisk funksjon og grafgjenkjenning

Oppgave 1-8 : Cos-addisjonsformel og forenkling av cos4x minus sin4x

Oppgave 1-9 : Trigonometrisk likning sinx pluss cosx lik 1

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Sykkeltur med differensiallikning og tilbakelagt vei

Oppgave 2-2 : Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Oppgave 2-3 : Pariserhjul London Eye med cosinus og vendepunkter

Oppgave 2-4 : Tangenter til andregradsfunksjon og like arealer med CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave