R2 Høst 2015

LK06 14 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 14 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H15	—
2	Integraler med substitusjon og bestemt integral	—
3	Omdreiningslegeme av eksponentialfunksjon	—
4	Areal og derivert fra graf	—
5	Kuleflate på standardform	—
6	Addisjonsteoremer og dobbeltvinkel	—
7	Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter	—
8	Separabel differensiallikning med startverdi	—
9	Induksjonsbevis av kubikksum	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 24 poeng
1	Funksjonsstudie med eksponentiell demping	—
2	Differensiallikning andre orden verifisering	—
3	Nullpunkter og maksimumsverdier i geometrisk rekke	—
4	Kule og linje i rommet	—
5	Andregradsfunksjon areal og trekant	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H15

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 5 \cdot \cos(2x)

g(x) = x \cdot \sin x

h(x) = 5e^{-x} \cdot \sin(2x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Integraler med substitusjon og bestemt integral

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_0^{2} (x^2 - 2x + 1)\,dx

\int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}\,dx

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-3 : Omdreiningslegeme av eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2e^{-\frac{1}{2}x} \quad, \quad x \in [0, \ln 3]

Vi roterer grafen til $f$ $360°$ om $x$ -aksen.

Vis at volumet $V$ av omdreiningslegemet blir $V = \dfrac{8}{3}\pi$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Bestemt integral

Oppgave 1-4 : Areal og derivert fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser grafene til funksjonene $F$ og $f$ .

Det er gitt at $F'(x) = f(x)$

Grafene til F og f med markert flatestykke

Bruk figuren til å bestemme $F'(4)$

Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Graf, Derivasjon

Oppgave 1-5 : Kuleflate på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved likningen

x^2 - 2x + y^2 + 6y + z^2 - 4z - 11 = 0

Vis at punktet $P(4, 1, 2)$ ligger på kuleflaten.

Bestem sentrum og radius til kulen.

Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet $P$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kule, Romgeometri, Vektorer

Oppgave 1-6 : Addisjonsteoremer og dobbeltvinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Følgende formler er gitt:

\sin(u+v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v

\cos(u+v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v

Bruk formlene ovenfor til å uttrykke $\sin(2x)$ og $\cos(2x)$ ved $\sin x$ og $\cos x$ .

Vis at $\sin(3x) = 3\sin x - 4(\sin x)^3$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Eksakte verdier, Bevis

Oppgave 1-7 : Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(1, 2, -2)$ , $B(2, -3, 4)$ og $C(-2, 3, 1)$ er gitt.

Bestem ved regning vektorproduktet $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Forklar at $C$ ikke ligger på linjen gjennom $A$ og $B$ .

Bestem en likning for planet $\alpha$ gjennom $A$ , $B$ og $C$ .

Avgjør om punktet $D(2, 2, 3)$ ligger i $\alpha$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan

Oppgave 1-8 : Separabel differensiallikning med startverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^2 \cdot y' = x \qquad , \qquad y(0) = 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis av kubikksum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n){:} \quad 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \qquad , \quad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Tallfølger, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 5e^{-\frac{x}{3}} \cdot \sin(2x) \quad , \quad x \in [0, \to\rangle

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $x \in [0, 3\pi]$ .

Bestem nullpunktene til $f$ i intervallet $[0, 3\pi]$ .

Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til $f$ i intervallet $\langle 0, 3\pi \rangle$ .

Bestem arealet begrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen mellom $x = 0$ og $x = \dfrac{\pi}{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Trigonometri, Eksponentialfunksjon, Integrasjon, Nullpunkter, Cas

Oppgave 2-2 : Differensiallikning andre orden verifisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at $f(x) = 5e^{\frac{x}{3}} \cdot \sin(2x)$ er en løsning av differensiallikningen

9y'' + 6y' + 37y = 0 \qquad , \qquad y(0) = 0 \text{ og } y'(0) = 10

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon, Trigonometri, Bevis

Oppgave 2-3 : Nullpunkter og maksimumsverdier i geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal i denne oppgaven studere nærmere $f(x)$ som er gitt i oppgave 1 i Del 2.

Vis at nullpunktene til $f$ i oppgave 1 danner en aritmetisk tallfølge $a_1, a_2, a_3, \ldots$ Bestem $a_{20}$ .

Vis at maksimalverdiene til $f$ i oppgave 1 danner en geometrisk tallfølge $b_1, b_2, b_3, \ldots$ Bestem $b_5$ .

Begrunn at den uendelige rekken $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots$ konvergerer. Bestem summen av rekken.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Tallfølger, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Trigonometri

Oppgave 2-4 : Kule og linje i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kule $K$ har sentrum i $S(-1, 0, 1)$ og radius $\sqrt{21}$ .

En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(7, -2, 5)$ og $B(15, -4, 9)$ .

Bestem skjæringspunktene mellom linjen $\ell$ og kulen $K$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kule, Romgeometri, Vektorer, Parameterframstilling

Oppgave 2-5 : Andregradsfunksjon areal og trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = ax^2 + bx + c \qquad , \qquad a < 0 \text{ og } c > 0

Grafen har toppunkt i $R$ . Se skissen nedenfor.

Skisse av andregradsfunksjon med trekant T1 og areal T2

Forklar at grafen til $f$ skjærer $x$ -aksen i punktene

P\!\left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\, 0\right) \quad \text{og} \quad Q\!\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\, 0\right)

der $P$ ligger til venstre for $Q$ .

Bruk CAS til å vise at arealet $T_1$ til $\triangle PQR$ er gitt ved

T_1 = \frac{(b^2 - 4ac) \cdot \sqrt{b^2 - 4ac}}{8a^2}

Bestem arealet $T_2$ mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen.

Bestem forholdet $\dfrac{T_1}{T_2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Funksjoner, Cas, Argumentasjon

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H15

Oppgave 1-2 : Integraler med substitusjon og bestemt integral

Oppgave 1-3 : Omdreiningslegeme av eksponentialfunksjon

Oppgave 1-4 : Areal og derivert fra graf

Oppgave 1-5 : Kuleflate på standardform

Oppgave 1-6 : Addisjonsteoremer og dobbeltvinkel

Oppgave 1-7 : Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Oppgave 1-8 : Separabel differensiallikning med startverdi

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis av kubikksum

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 5 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Oppgave 2-2 : Differensiallikning andre orden verifisering

Oppgave 2-3 : Nullpunkter og maksimumsverdier i geometrisk rekke

Oppgave 2-4 : Kule og linje i rommet

Oppgave 2-5 : Andregradsfunksjon areal og trekant

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave