R2 Vår 2014

LK06 12 oppgaver 55 poeng 5 timer

0 av 12 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2014 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 19 poeng
1	Derivasjon av sinus og eksponentialfunksjon	—
2	Integrasjon ved substitusjon og delvis integrasjon	—
3	Vendepunkt for eksponentialfunksjon	—
4	Konvergensområde og likninger for geometrisk rekke	—
6	Sinusfunksjon med toppunkt og bunnpunkt	—
7	Differensiallikning med initialverdi	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Pyramide med tre punkter i rommet	—
2	Kuleflate med sentrum og tangentplan	—
3	Newtons avkjølingslov og drapsoppklaring	—
4	Uendelig rekke og induksjon	—
5	Rektangel innskrevet i sirkel	—
6	Gabriels horn og omdreiningslegeme	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 19 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sinus og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \sin(3x)

g(x) = e^{2x} \cdot \cos x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Integrasjon ved substitusjon og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int 2x \cdot \sin(x^2) \, dx

\int_1^e x \cdot \ln x \, dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon ved substitusjon, Delvis integrasjon, Bestemt integral

Oppgave 1-3 : Vendepunkt for eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = e^{2x} - 4e^x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-4 : Konvergensområde og likninger for geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

s(x) = 1 + (1-x) + (1-x)^2 + (1-x)^3 + \ldots

Bestem konvergensområdet til rekken.

Løs likningene $s(x) = 3$ og $s(x) = \dfrac{1}{3}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke, Likninger

Oppgave 1-6 : Sinusfunksjon med toppunkt og bunnpunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = a\sin(cx + \varphi) + d

Grafen til funksjonen har et toppunkt i $(0,\, 7)$ . Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunktet er $(2,\, 3)$ .

Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives

f(x) = 2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) + 5

Lag en skisse av grafen til $f$ for $x \in \left[0,\, 12\right]$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjoner, Graf

Oppgave 1-7 : Differensiallikning med initialverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' - 3y = 2 \qquad \text{når} \quad y(0) = \frac{1}{3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Pyramide med tre punkter i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(4,\, 3,\, 1)$ , $B(2,\, 2,\, 0)$ og $C(1,\, 2,\, -2)$ er gitt.

En setning i geometrien sier:

Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.

Bruk denne setningen til å vise at punktene $A$ , $B$ og $C$ bestemmer et plan $\alpha$ entydig.

Bestem en likning til planet $\alpha$ .

Et punkt $T$ har koordinatene $(2,\, 5,\, 4t + 1)$ .

Bestem $t$ slik at volumet av pyramiden $ABCT$ blir 3.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum

Oppgave 2-2 : Kuleflate med sentrum og tangentplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved likningen

x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 6z + 2 = 0

Vis at punktet $P(2,\, 3,\, 5)$ ligger på kuleflaten.

Bestem sentrum og radius til kulen.

Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet $P$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kule, Romgeometri, Plan

Oppgave 2-3 : Newtons avkjølingslov og drapsoppklaring

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

CSI: Crime Scene Investigation

I en kriminalserie på TV ble et drapsoffer funnet kl. 11.00. Kroppstemperaturen ble da målt til $30\ ^\circ\text{C}$ . Rommet der den drepte ble funnet, hadde hatt en konstant temperatur på $22\ ^\circ\text{C}$ siden mordet skjedde.

Vi lar kroppstemperaturen være $y(t)$ grader Celsius $t$ timer etter at den døde ble funnet.

Ifølge Newtons avkjølingslov er temperaturendringen per time proporsjonal med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen. Forklar at dette gir differensiallikningen

y' = -k(y - 22) \qquad \text{der} \quad k > 0

Forklar at $y(0) = 30$ , og løs differensiallikningen ved regning.

En time etter at den døde ble funnet, ble kroppstemperaturen målt til $28\ ^\circ\text{C}$ . Bruk dette til å bestemme konstanten $k$ .

Vi antar at drapsofferet hadde en kroppstemperatur på $37\ ^\circ\text{C}$ like etter at døden inntraff.

Bruk $y(t)$ til å anslå når drapet ble utført.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Uendelig rekke og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig rekke er gitt ved

1 + x + x^2 + x^3 + \ldots

Vis at $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \dfrac{1}{1-x}$ , når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$

Det kan vises at

\bigl(1\bigr)' + \bigl(x\bigr)' + \bigl(x^2\bigr)' + \bigl(x^3\bigr)' + \ldots = \left(\frac{1}{1-x}\right)', \quad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle

Vis at

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots = \frac{1}{(1-x)^2} \, , \quad \text{når } x \in \langle -1,\, 1 \rangle

Bruk resultatet i oppgave b) til å vise at

1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots = 4

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n)\colon \quad 1 + \frac{2}{2^1} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^{n-1}} = 4 - \frac{n+2}{2^{n-1}} \quad , \quad n \in \mathbb{N}

Bruk det du har funnet ovenfor til å bestemme $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2^{n-1}}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Uendelig rekke, Induksjon, Bevis, Grenseverdi, Konvergens

Oppgave 2-5 : Rektangel innskrevet i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rektangel $ABCD$ er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i $O$ og radius 10. Vi setter $\angle COD = v$ , der $0 < v < \pi$ . Se figuren nedenfor.

Rektangel ABCD innskrevet i sirkel med sentrum O og radius 10

Vis ved regning at arealet $F$ av sirkelsektoren $COD$ er

F(v) = 50v

Vis ved regning at arealet $T$ av det fargelagte området på figuren kan skrives som

T(v) = 50(v + 3\sin v)

Bestem $v$ grafisk slik at $T$ blir størst mulig. Bestem $T_{\text{maks}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Optimering, Geometri, Integrasjon

Oppgave 2-6 : Gabriels horn og omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 nedenfor viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{1}{x} \quad , \quad x \in \left[1,\, a\right]

Vi dreier grafen til $f$ $360°$ om $x$ -aksen. Vi får da fram et omdreiningslegeme som vist på figur 2.

Graf av f(x)=1/x og tilhørende omdreiningslegeme (Gabriels horn)

Bestem volumet $V(a)$ av omdreiningslegemet.

Bestem $\displaystyle\int_1^a f(x)\,dx$ . Omdreiningslegemet har overflateareal $O(a)$ . Forklar at $O(a) > \displaystyle\int_1^a f(x)\,dx$ .

Vi lar $a \to \infty$ . Det omdreiningslegemet vi da får, kalles Gabriels horn.

Bestem $\displaystyle\lim_{a \to \infty} O(a)$ og $\displaystyle\lim_{a \to \infty} V(a)$ dersom grenseverdiene eksisterer. Kommenter svarene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Omdreiningslegeme, Bestemt integral, Grenseverdi, Volum, Konvergens

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2014

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 19 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sinus og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Integrasjon ved substitusjon og delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Vendepunkt for eksponentialfunksjon

Oppgave 1-4 : Konvergensområde og likninger for geometrisk rekke

Oppgave 1-6 : Sinusfunksjon med toppunkt og bunnpunkt

Oppgave 1-7 : Differensiallikning med initialverdi

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Pyramide med tre punkter i rommet

Oppgave 2-2 : Kuleflate med sentrum og tangentplan

Oppgave 2-3 : Newtons avkjølingslov og drapsoppklaring

Oppgave 2-4 : Uendelig rekke og induksjon

Oppgave 2-5 : Rektangel innskrevet i sirkel

Oppgave 2-6 : Gabriels horn og omdreiningslegeme

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave