R2 Høst 2014

LK06 11 oppgaver 56 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2014 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 20 poeng
1	Derivasjon av cosinus og e-funksjon produktregel	—
2	Ubestemte og bestemte integraler med ln	—
3	Differensiallikning med initialverdi og tangent	—
5	Stykkevis funksjon og akkumulert integral	—
6	Sinusfunksjon bestem parametre fra graf	—
7	Induksjonsbevis for produkt med faktor 1 minus 1 over k	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
1	Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater	—
2	Andre ordens differensiallikning med trigonometrisk løsning	—
3	Pyramide ABCDT koordinater plan og volum	—
4	Optimal skuddvinkel fotballspiller langs linje	—
5	Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av cosinus og e-funksjon produktregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2\cos(3x)

g(x) = 5e^x \cdot \sin(2x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Ubestemte og bestemte integraler med ln

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^3 - 2x)\,dx

\int_1^e x \cdot \ln x\,dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Differensiallikning med initialverdi og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' - 2y = 3 \qquad \text{når} \quad y(0) = \frac{5}{2}

Bestem likningen til tangenten i punktet $\left(0,\, \dfrac{5}{2}\right)$ på grafen til $y$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Oppgave 1-5 : Stykkevis funksjon og akkumulert integral

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Stykkevis lineær funksjon f(x) på intervallet [0,9]

Figuren viser grafen til en funksjon $f(x)$ , der $x \in [0, 9]$ .

La $g(t) = \displaystyle\int_0^t f(x)\,dx$ , der $t \in [0, 9]$

Bestem $g(2)$ . Forklar at den største verdien til $g(t)$ er 10.

Bestem nullpunktet til $g$ . Avgjør hvilke verdier av $t$ som gjør $g(t)$ negativ.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Funksjoner

Oppgave 1-6 : Sinusfunksjon bestem parametre fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Graf av f(x) = A sin(cx + φ₁) + d med markerte topp-, bunn- og skjæringspunkter

Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f(x) = A\sin(cx + \varphi_1) + d$ .

Bestem $A$ , $c$ , $d$ og $\varphi_1$ ved hjelp av grafen og de punktene som er markert på grafen. Skriv opp funksjonsuttrykket til $f(x)$ .

Grafen ovenfor kan også være grafen til $g(x) = A\cos(cx + \varphi_2) + d$ . Skriv opp funksjonsuttrykket til $g(x)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjoner

Oppgave 1-7 : Induksjonsbevis for produkt med faktor 1 minus 1 over k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n): \quad \left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1} \qquad,\quad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har en uendelig geometrisk rekke $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ som er konvergent.

Vis at summen $S$ av rekken kan skrives

S = \frac{a_1^2}{a_1 - a_2}

Figuren nedenfor viser en rettvinklet og likebeint $\triangle ABC$ der katetene har lengde 12. Inne i trekanten har vi en rekke kvadrater (markert med blått på figuren). Det største kvadratet har side 6, det nest største har side 3, slik at sidene til kvadratene blir halvert i det uendelige.

Rettvinklet likebeint trekant ABC med rekke av kvadrater og trekanter inni

Forklar at summen $S$ av arealene til kvadratene kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk formelen i oppgave a) til å bestemme $S$ .

$\triangle ABC$ inneholder også uendelig mange rettvinklede og likebeinte trekanter (markert med grønt på figuren) der sidene også halveres fra gang til gang. Skriv summen av arealene til disse trekantene som en uendelig geometrisk rekke. Bestem denne summen.

Forklar hvordan du kunne ha funnet de to summene i oppgave b) og oppgave c) ved hjelp av et geometrisk resonnement.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens

Oppgave 2-2 : Andre ordens differensiallikning med trigonometrisk løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En differensiallikning er gitt ved

4y'' + 4y' + 5y = 0

Sett opp den karakteristiske likningen, løs denne og bruk løsningen til å bestemme et generelt uttrykk for $y$ .

Finn integrasjonskonstantene når du får vite at $y(0) = 3$ og $y\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 0$ .

Tegn grafen til $y = f(x)$ for $x \in \left[0,\, 3\pi\right\rangle$ .

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ og koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ når $x \in \left[0,\, 3\pi\right\rangle$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Funksjonsdrøfting, Trigonometri

Oppgave 2-3 : Pyramide ABCDT koordinater plan og volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Pyramide ABCDT i tredimensjonalt koordinatsystem med A, B, T og vinkelmål

En pyramide $ABCDT$ er gitt på figuren ovenfor. Pyramiden settes inn i et tredimensjonalt koordinatsystem slik at koordinatene til $A$ , $B$ og $T$ er gitt ved $A(0,0,0)$ , $B(4,0,0)$ og $T(0,0,4)$ . Punktene $C$ og $D$ ligger i $xy$ -planet.

Vi setter $\angle BAD = 135°$ og $AD = 4\sqrt{2}$ . Vis at $D$ har koordinatene $(-4, 4, 0)$ .

Punktet $C$ er slik at $\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Vis at $C$ har koordinatene $(2, 4, 0)$ .

Punktene $B$ , $D$ og $T$ ligger i et plan $\alpha$ .

Vis at likningen for $\alpha$ er $x + 2y + z - 4 = 0$

Volumet av pyramiden $ABDT$ kalles $V_1$ og volumet av pyramiden $CBDT$ kalles $V_2$ .

Bestem forholdet $\dfrac{V_1}{V_2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan, Volum

Oppgave 2-4 : Optimal skuddvinkel fotballspiller langs linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fotballbane med mål og spiller som løper langs linje AB

Et fotballmål har lengde $CD = 7{,}3 \mathrm{~m}$ . En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket $AB$ , slik figuren nedenfor viser. Punktet $B$ ligger $8{,}0 \mathrm{~m}$ fra punktet $C$ . Han vil skyte på mål når $\angle\alpha = \angle DAC$ er størst mulig. $\angle\alpha$ avhenger av lengden $x = AB$ .

Vi setter $\angle DAB = u$ og $\angle CAB = v$ og lar $f(x) = \tan(\alpha) = \tan(u-v)$

Bruk formelen $\tan(u-v) = \dfrac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}$ til å vise at

f(x) = \frac{7{,}3x}{x^2 + 122{,}4}

Bestem den største verdien for $f(x)$ og tilhørende verdi for $x$ .

Vi vet at $\alpha$ har sin største verdi når $\tan\alpha$ har sin største verdi.

Bestem $\alpha_{\text{maks}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Optimering, Derivasjon

Oppgave 2-5 : Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $\alpha$ er gitt ved likningen

2x + y - 2z + 3 = 0

Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet $S(11, 2, -6)$ og som har $\alpha$ som tangentplan.

Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet $\alpha$ .

Et plan $\beta$ er gitt ved

2x + y - 2z = 0

Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel.

Bestem radien i denne sirkelen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2014

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av cosinus og e-funksjon produktregel

Oppgave 1-2 : Ubestemte og bestemte integraler med ln

Oppgave 1-3 : Differensiallikning med initialverdi og tangent

Oppgave 1-5 : Stykkevis funksjon og akkumulert integral

Oppgave 1-6 : Sinusfunksjon bestem parametre fra graf

Oppgave 1-7 : Induksjonsbevis for produkt med faktor 1 minus 1 over k

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Uendelig geometrisk rekke og trekant med kvadrater

Oppgave 2-2 : Andre ordens differensiallikning med trigonometrisk løsning

Oppgave 2-3 : Pyramide ABCDT koordinater plan og volum

Oppgave 2-4 : Optimal skuddvinkel fotballspiller langs linje

Oppgave 2-5 : Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave