R2 Eksempeloppgave 2015

LK06 19 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 19 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Eksempeloppgave 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 13 oppgaver · 36 poeng
1	Deriver tre funksjoner med kjedel og kvotient	—
2	Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon	—
3	Differensiallikning separabel første ordens	—
4	Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf	—
5	Uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient og konvergens	—
6	Funksjonsdrøfting fjerdegradsfunksjon topp bunn infleksjon	—
7	Trigonometrisk likning produktform sinus cosinus	—
8	Bevis derivasjonsregel potens ved induksjon	—
9	Kuleflate sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode	—
10	Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2	—
11	Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet	—
12	Vinkel mellom vektorer og likning for plan	—
13	Trigonometrisk likning eksakte løsninger cos og sin	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner	—
2	Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme	—
3	Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling	—
4	Innskrevne kvadrater geometrisk rekke og spiralareal	—
5	Svømmebasseng løpe og svømme optimal rute optimering	—
6	Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 13 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med kjedel og kvotient

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^2 \sin x

g(x) = e^{\cos(2x)}

h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2x - 2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon

Oppgave 1-2 : Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int x e^x \, \mathrm{d}x

\int 4x e^{x^2} \, \mathrm{d}x

\int \dfrac{3x}{x^2 - x - 2} \, \mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon, Integrasjon ved substitusjon

Oppgave 1-3 : Differensiallikning separabel første ordens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem den generelle løsningen for differensiallikningen

y' + 2xy = 4x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-4 : Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = -xe^{-x^2} \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Nedenfor ser du grafen til $f$ og grafen til den deriverte funksjonen $f'$ .

Graf av f og f'

Avgjør om påstandene A, B og C nedenfor er sanne. Begrunn svarene dine.

A: $\quad f(x) > 0 \iff x \in \left\langle \leftarrow,\, -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right]$

B: $\quad f''(x) = 0 \iff x = -\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \;\vee\; x = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

C: $\quad f'(x) > 0 \impliedby f''(x) < 0$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graf

Oppgave 1-5 : Uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient og konvergens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27} + \ldots

Bestem konvergensområdet for rekken.

Bestem summen $s(x)$ av rekken.

Vis at $s(x) \neq \dfrac{1}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Uendelig rekke, Konvergens, Geometrisk rekke

Oppgave 1-6 : Funksjonsdrøfting fjerdegradsfunksjon topp bunn infleksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^4 - 2x^2 + 2 \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle infleksjonspunkter til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon

Oppgave 1-7 : Trigonometrisk likning produktform sinus cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\left(\sin x - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 \,, \quad x \in \left[0^{\circ},\, 360^{\circ}\right\rangle

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger, Eksakte verdier

Oppgave 1-8 : Bevis derivasjonsregel potens ved induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^n \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Bruk induksjon og derivasjonsregel for produkt til å bevise påstanden

P(n): \quad f'(x) = nx^{n-1} \,, \quad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis, Derivasjon

Oppgave 1-9 : Kuleflate sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen for en kuleflate er gitt ved

x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 8z - 4 = 0

Bestem ved regning sentrum og radius i kulen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Kule, Romgeometri

Oppgave 1-10 : Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = 2x^3 - x^2 - 5x \,, \quad D_f = \mathbb{R}

g(x) = -x^2 + 3x \,, \quad D_g = \mathbb{R}

Grafene til $f$ og $g$ skjærer hverandre i tre punkter.

Grafene avgrenser to områder, med arealer $A_1$ og $A_2$ .

Arealer A1 og A2 mellom grafene til f og g

Vis ved regning at $A_1 = A_2$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Bestemt integral, Integrasjon

Oppgave 1-11 : Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \,, \quad D_f = [-r,\, r]

Graf av f som halvsirkel

Grafen til $f$ dreies $360°$ om $x$ -aksen.

Regn ut volumet av omdreiingslegemet som da framkommer. Hva oppdager du?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Omdreiingslegeme, Volum, Integrasjon

Oppgave 1-12 : Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{u} = [1, 2, -1]$ og $\vec{v} = [-1, 1, -2]$ er gitt.

Et plan $\beta$ går gjennom punktet $P(2, 0, 1)$ . Videre er $\beta \parallel \vec{u}$ og $\beta \parallel \vec{v}$ .

Bestem $\angle(\vec{u}, \vec{v})$ .

Vis at $\vec{n} = [-1, 1, 1]$ er en normalvektor til planet $\beta$ .

Bestem likningen til planet $\beta$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Plan, Romgeometri

Oppgave 1-13 : Trigonometrisk likning eksakte løsninger cos og sin

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem alle eksakte løsninger til likningen

\cos^2 x - 3\sin^2 x = -2 \,, \quad x \in \left[0,\, 2\pi\right\rangle

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger, Eksakte verdier

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Månefaser

Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt på noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år.

Døgn nr. ( $x$ )	1	2	3	4	5	6	10	15	20	21
Synlig del	0,25	0,18	0,11	0,06	0,02	0,00	0,11	0,57	0,99	1,00

Døgn nr. ( $x$ )	25	30	35	40	45	50	55	60	65	66
Synlig del	0,80	0,32	0,02	0,14	0,64	1,00	0,77	0,31	0,01	0,00

Lag en sinus-funksjon $f$ som gir en god modell for dataene ovenfor.

Bestem perioden, amplituden og likevektslinjen.

Bruk graftegner til å bestemme i hvilke døgn det er halvmåne i denne perioden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Modellering, Trigonometri, Graf

Oppgave 2-2 : Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje går gjennom punktene $A(0, R)$ og $B(h, r)$ . Se figur 1. En rett, avkortet kjegle framkommer ved å rotere linjestykket $AB$ 360° om $x$ -aksen. Se figur 2.

Figur 1 og 2: Linjestykke og avkortet kjegle

Vis at linjen gjennom $A$ og $B$ har likningen $y = \dfrac{r - R}{h} \cdot x + R$

Bruk CAS til å vise at volumet $V$ av den rett avkortede kjegle er

V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)

Forklar kort hvilket omdreiingslegeme vi får dersom $r = 0$ og dersom $r = R$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiingslegeme, Volum, Cas, Integrasjon

Oppgave 2-3 : Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hvis en person blir liggende i vann med temperatur på $0\,\mathrm{°C}$ , kan endringen i kroppstemperaturen $K\,\mathrm{°C}$ under visse betingelser beskrives med følgende differensiallikning

K'(t) = -0{,}012K(t)

der $t$ er målt i minutter.

En person faller i vannet, og vi antar at kroppstemperaturen synker etter modellen ovenfor.

Bestem hvor lang tid det tar for kroppstemperaturen å synke fra $37\,\mathrm{°C}$ til $25\,\mathrm{°C}$ ( $25\,\mathrm{°C}$ er antatt grense for å overleve).

Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 20 min etter at personen faller i vannet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Innskrevne kvadrater geometrisk rekke og spiralareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et kvadrat med side 1 er det innskrevet et annet kvadrat med hjørner midt på sidene i det første kvadratet. I det andre kvadratet er det innskrevet et tredje kvadrat med hjørner midt på sidene i det andre kvadratet. Slik fortsetter det i en uendelig prosess. Se figur 1 nedenfor.

Vi lar $A_1, A_2, A_3, \ldots$ være en følge av arealer av rettvinklede trekanter. Disse danner en blå «spiral». Se figur 2 nedenfor.

Figur 1: Innskrevne kvadrater Figur 2: Blå spiralareal

Vis at arealene $A_1, A_2, A_3, \ldots$ danner en uendelig, geometrisk og konvergent tallfølge.

Bestem summen av rekken $A_1 + A_2 + A_3 + \ldots$ på to måter:

ved hjelp av relevante formler
ved et geometrisk resonnement.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Bevis

Oppgave 2-5 : Svømmebasseng løpe og svømme optimal rute optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Thomas står i et punkt $A$ på kanten av et sirkelformet svømmebasseng med diameter $AB = 40\,\mathrm{m}$ . Thomas vil komme seg raskest mulig over til punkt $B$ .

Thomas kan løpe med farten $2k\,\mathrm{m/s}$ og svømme med farten $k\,\mathrm{m/s}$ .

Et punkt $C$ på bassengkanten er gitt ved at $\angle AOC = \theta$ der $\theta \in [0, \pi]$ . I punktet $A$ er $\theta = 0$ .

I punktet $B$ er $\theta = \pi$ . $\angle BOM = \dfrac{\pi - \theta}{2}$ der $M$ er midtpunktet på $BC$ . Se skissen nedenfor.

Skisse av svømmebasseng med punktene A, B, C, M og O

Vis at tiden som Thomas bruker for å løpe fra $A$ til $C$ og deretter svømme fra $C$ til $B$ kan beskrives av funksjonen $T$ gitt ved

T(\theta) = \frac{10\theta}{k} + \frac{40\sin\!\left(\dfrac{\pi - \theta}{2}\right)}{k} \,, \quad D_T = [0, \pi],\; k \in \mathbb{R}^+

Bruk blant annet $T'(\theta)$ til å avgjøre hvordan Thomas på raskest mulig måte kan komme seg fra $A$ til $B$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Modellering, Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 2-6 : Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = ax^2 + bx + c \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Et område er avgrenset av grafen til $f$ og en rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og den rette linjen har $x$ -koordinater $p$ og $q$ . Se skissen nedenfor.

Areal mellom andregradsfunksjon og sekant

Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til $f$ og den rette linjen bare er avhengig av differansen $p - q$ og $a$ (eller differansen $q - p$ og $a$ ).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Cas, Argumentasjon

Sync på tvers av enheter

R2 Eksempeloppgave 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 13 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med kjedel og kvotient

Oppgave 1-2 : Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Oppgave 1-3 : Differensiallikning separabel første ordens

Oppgave 1-4 : Avgjør påstander om f og f primderiverte fra graf

Oppgave 1-5 : Uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient og konvergens

Oppgave 1-6 : Funksjonsdrøfting fjerdegradsfunksjon topp bunn infleksjon

Oppgave 1-7 : Trigonometrisk likning produktform sinus cosinus

Oppgave 1-8 : Bevis derivasjonsregel potens ved induksjon

Oppgave 1-9 : Kuleflate sentrum og radius ved fullstendige kvadraters metode

Oppgave 1-10 : Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Oppgave 1-11 : Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Oppgave 1-12 : Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Oppgave 1-13 : Trigonometrisk likning eksakte løsninger cos og sin

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Oppgave 2-2 : Avkortet kjegle volum ved CAS og omdreiingslegeme

Oppgave 2-3 : Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Oppgave 2-4 : Innskrevne kvadrater geometrisk rekke og spiralareal

Oppgave 2-5 : Svømmebasseng løpe og svømme optimal rute optimering

Oppgave 2-6 : Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave