R2 Vår 2013

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2013 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Deriver tre funksjoner med trig og eksponential	—
2	Integral med variabelskifte og delbrøkoppspalting	—
3	Kryss- og prikkprodukt for trekant ABC	—
4	Separabel differensiallikning y' lik 6xy	—
5	Aritmetisk rekke med odde tall	—
6	Skisse av graf fra informasjon om f og f	—
7	Induksjonsbevis for sum av geometrisk rekke	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Differensiallikning for medisinmengde i kropp	—
2	Dempet sinusfunksjon topp-bunnpunkter og areal	—
3	Pyramide OABCD i romkoordinatsystem	—
4	Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing	—
5	Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal	—
6	Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med trig og eksponential

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3\cos x

g(x) = 6\sin(\pi x) + 7

h(x) = 3e^{2x} \cdot \sin(3x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Integral med variabelskifte og delbrøkoppspalting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralet $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 - 4}\,dx$ ved å bruke

variabelskifte

delbrøkoppspalting

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon ved substitusjon, Delvis integrasjon, Rasjonale funksjoner

Oppgave 1-3 : Kryss- og prikkprodukt for trekant ABC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(1, -1, 0)$ , $B(3, 1, 1)$ og $C(0, 0, 0)$ er gitt.

Bestem $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ . Bruk resultatet til å bestemme arealet av $\triangle ABC$ .

Bestem $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ . Bruk blant annet dette resultatet til å bestemme arealet av $\triangle ABC$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Romgeometri

Oppgave 1-4 : Separabel differensiallikning y' lik 6xy

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' = 6xy \qquad \text{når } y(0) = 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-5 : Aritmetisk rekke med odde tall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

S_n = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + a_n

Bestem $a_{16}$ og $S_{16}$ .

Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å finne et uttrykk for $a_n$ og $S_n$ .

Bestem hvor mange ledd rekken minst må ha for at $S_n > 400$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Tallfølger

Oppgave 1-6 : Skisse av graf fra informasjon om f og f

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Følgende informasjon er gitt om en kontinuerlig funksjon $f$ :

$f(x) > 0$ for alle $x \in \mathbb{R}$
$f'(x) < 0$ for $x \in \langle\leftarrow, -2\rangle \cup \langle 2, \rightarrow\rangle$
$f'(x) = 0$ for $x = -2$ og for $x = 2$
$f''(x) = 0$ for $x = 1$ og for $x = 3$

Lag en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Funksjonsdrøfting, Graf

Oppgave 1-7 : Induksjonsbevis for sum av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n) \colon \quad a + ak + ak^2 + ak^3 + \ldots + ak^{n-1} = a \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} \,, \qquad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Geometrisk rekke, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Differensiallikning for medisinmengde i kropp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En pasient får 8 mL av en medisin hver time. Den totale mengden medisin i kroppen $t$ timer etter at medisineringen startet, er $y(t)$ mL. I løpet av en time skiller kroppen ut 5 % av den totale medisinmengden.

Forklar at

y' = 8 - 0{,}05 \cdot y

Vis at $y(t) = 160 - 160e^{-0{,}05t}$ når $y(0) = 0$ .

Bestem $\lim_{t \to \infty} y(t)$ . Kommenter svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Grenseverdi

Oppgave 2-2 : Dempet sinusfunksjon topp-bunnpunkter og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 12e^{-0{,}5x} \cdot \sin(0{,}5x) \,, \qquad x \in \left[0,\, 4\pi\right]

Tegn grafen til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem arealet som er begrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Bestemt integral, Trigonometri, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-3 : Pyramide OABCD i romkoordinatsystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skissen nedenfor viser en pyramide $OABCD$ som er plassert i et romkoordinatsystem.

Hjørnene i pyramiden er $O(0, 0, 0)$ , $A(3, 0, 0)$ , $B(3, 3, 0)$ , $C(0, 3, 0)$ og $D(0, 0, 4)$ .

Pyramide OABCD i romkoordinatsystem

Bestem ved regning arealet av sideflaten $ABD$ i pyramiden.

Sideflaten $ABD$ ligger i et plan $\alpha$ .

Vis ved regning at plan $\alpha$ har likningen

4x + 3z - 12 = 0

Bestem avstanden fra punktet $O$ til plan $\alpha$ .

Bestem ved regning vinkelen mellom de to planene som sideflatene $ABD$ og $BCD$ ligger i.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan

Oppgave 2-4 : Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser en sirkelsektor $OBC$ der $C$ ligger i første kvadrant. Buen $\widehat{BC}$ er en del av sirkelen med likning $x^2 + y^2 = 9$ . Punktet $A$ har koordinatene $(2, 0)$ og $\angle OAC = 90°$ .

Sirkelsektor OBC med flatestykker F1 og F2

Vis at koordinatene til $C$ er $(2, \sqrt{5})$ . Bestem likningen for den rette linjen gjennom $O$ og $C$ .

Når flatestykket $F_1$ ( $\triangle OAC$ ) dreies $360°$ om $x$ -aksen, får vi en kjegle. Bestem volumet av denne kjeglen ved hjelp av integralregning.

Når flatestykket $F_2$ dreies $360°$ om $x$ -aksen, får vi et kulesegment. Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralregning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Omdreiingslegeme, Volum, Integrasjon, Vektorer

Oppgave 2-5 : Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren er et rektangel med sider $x$ og $y$ innskrevet i en sirkel. Sirkelen har diameteren $D$ . $\angle v$ er vinkelen mellom $x$ og $D$ .

Rektangel med sider x og y innskrevet i sirkel med diameter D

Forklar at omkretsen $O$ til rektangelet kan skrives som

O(v) = 2D\cos v + 2D\sin v

Bestem også et funksjonsuttrykk for arealet $A(v)$ av rektangelet.

Bruk $O'(v)$ og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er et kvadrat.

Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren $D$ .

Bruk $A'(v)$ og vis at det rektangelet som har størst areal, også er et kvadrat.

Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren $D$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Trigonometri, Derivasjon

Oppgave 2-6 : Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sierpiński-trekanten, som har sitt navn etter den polske matematikeren Wacław Franciszek Sierpiński (1882–1969), lages slik:

Vi starter med en likesidet, svart trekant som har areal $A$ . Se figur 1.
Midtpunktet på hver av sidene i trekanten er hjørnene i en ny hvit, likesidet trekant. Denne hvite trekanten fjerner vi. Vi står da igjen med tre likesidede, svarte trekanter. Se figur 2.
Vi gjentar denne prosessen med hver av de svarte trekantene. Se figurene 3–5. Vi tenker oss at prosessen blir utført uendelig mange ganger. Den «gjennomhullede» figuren vi da står igjen med, kalles Sierpiński-trekanten.

Sierpiński-trekanten, figur 1–5

Summen av arealene som fjernes (de hvite trekantene), er gitt ved rekken

A \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} + \frac{27}{256} + \ldots\right)

Bestem summen av rekken ovenfor. Hva forteller svaret ditt om arealet av Sierpiński-trekanten?

Sidene i trekanten i figur 1 er lik $a$ .

Forklar at omkretsen av de svarte trekantene i figurene 2–5 ovenfor er henholdsvis

3 \cdot \frac{3}{2} \cdot a \,, \quad 3 \cdot \frac{9}{4} \cdot a \,, \quad 3 \cdot \frac{27}{8} \cdot a \quad \text{og} \quad 3 \cdot \frac{81}{16} \cdot a

Vi gjør prosessen som forklart i trinn 2 ovenfor $n$ ganger. Forklar at omkretsen av de svarte trekantene da er lik $3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot a$ .

Forklar at $3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^n \cdot a \to \infty$ når $n \to \infty$ .

Hva forteller dette om omkretsen til Sierpiński-trekanten?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Argumentasjon

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2013

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Deriver tre funksjoner med trig og eksponential

Oppgave 1-2 : Integral med variabelskifte og delbrøkoppspalting

Oppgave 1-3 : Kryss- og prikkprodukt for trekant ABC

Oppgave 1-4 : Separabel differensiallikning y' lik 6xy

Oppgave 1-5 : Aritmetisk rekke med odde tall

Oppgave 1-6 : Skisse av graf fra informasjon om f og f

Oppgave 1-7 : Induksjonsbevis for sum av geometrisk rekke

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Differensiallikning for medisinmengde i kropp

Oppgave 2-2 : Dempet sinusfunksjon topp-bunnpunkter og areal

Oppgave 2-3 : Pyramide OABCD i romkoordinatsystem

Oppgave 2-4 : Sirkelsektor kjegle og kulesegment ved omdreiing

Oppgave 2-5 : Rektangel innskrevet i sirkel optimering av omkrets og areal

Oppgave 2-6 : Sierpiński-trekanten og geometrisk rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave