R2 Høst 2013

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2013 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av trigonometriske funksjoner	—
2	Bestem integraler med eksponentialfunksjon	—
3	Vektorer og volum av tetraeder	—
4	Geometrisk rekke og konvergensområde	—
5	Populasjonsvekst med differensiallikning	—
6	Vendepunkter og vendetangenter	—
7	Induksjonsbevis for sum av brøker	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Trapes innskrevet i halvsirkel med optimering	—
2	Trigonometrisk funksjon med nullpunkter og periode	—
3	Fondsvekst med differensiallikning	—
4	Rekke for ln2 og tilnærming	—
5	Integraler og omdreiningslegeme med cosinus	—
6	Linje og plan i rommet med normalvektor	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 5x\cos x

g(x) = \dfrac{\sin(2x)}{x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestem integraler med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_0^1 2e^{2x}\,dx

\int 2x \cdot e^x\,dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Integrasjon, Eksponentialfunksjon, Delvis integrasjon

Oppgave 1-3 : Vektorer og volum av tetraeder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(2,0,0)$ , $B(0,3,0)$ , $C(0,0,4)$ og $O(0,0,0)$ .

Tetraeder ABCO

Bestem $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Bestem volumet av tetraeder $ABCO$ .

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$ .

Vis at likningen til planet $\alpha$ kan skrives

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Bevis

Oppgave 1-4 : Geometrisk rekke og konvergensområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

1 + e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} + \ldots

Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av den uendelige rekken.

En geometrisk rekke er gitt ved

1 + e^{-x} + e^{-2x} + e^{-3x} + \ldots

Bestem konvergensområdet og summen av rekken.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Oppgave 1-5 : Populasjonsvekst med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Antall individer i en populasjon etter $t$ timer kan beskrives av funksjonen $N(t)$ . Vi antar at

N'(t) = 4t + 3 \quad \text{og} \quad N(0) = 800

Bestem antall individer i populasjonen etter 10 h.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Oppgave 1-6 : Vendepunkter og vendetangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{2}x \,, \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Bestem likningen for eventuelle vendetangenter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-7 : Induksjonsbevis for sum av brøker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P(n): \quad \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{n}{n+1} \,, \qquad n \in \mathbb{N}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Trapes innskrevet i halvsirkel med optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trapes ABCD innskrevet i halvsirkel med radius 1

Figuren ovenfor viser et trapes $ABCD$ som er innskrevet i en halvsirkel med radius 1.

Forklar at arealet $F$ av trapeset er gitt ved

F(v) = (1 + \cos v)\sin v

Hvilke verdier kan $v$ ha?

Bestem $\angle v$ ved regning slik at arealet av trapeset blir størst mulig. Bestem arealet av det største trapeset.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Trigonometri, Derivasjon

Oppgave 2-2 : Trigonometrisk funksjon med nullpunkter og periode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \sin(\pi x) + \sin(2\pi x) \,, \quad x \in \left[0,\, 6\right]

Tegn grafen til $f$ .

Bruk grafen til å vise at $f$ er en periodisk funksjon, og bestem perioden til $f$ .

Vis at

f(x) = \sin(\pi x)(1 + 2\cos(\pi x))

Bruk uttrykket i oppgave c) til å bestemme nullpunktene til $f$ ved regning når $x \in [0,\, 2]$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Trigonometri, Funksjoner, Bevis, Nullpunkter

Oppgave 2-3 : Fondsvekst med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi lar $K$ være kapitalen i et fond $t$ år etter første innskudd. Hvert år setter vi inn 20 000 kroner i fondet. Avkastningen i fondet er 8 % per år.

Kapitalen i fondet vokser slik differensiallikningen nedenfor viser

K'(t) = 0{,}08 \cdot K(t) + 20000

Løs differensiallikningen. Finn et uttrykk for $K(t)$ når $K(0) = 20\,000$ .

Bestem størrelsen på kapitalen etter 20 år.

Hvor lang tid vil det gå før fondet øker med 35 000 kroner per år ifølge modellen ovenfor?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Rekke for ln2 og tilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig, geometrisk rekke er gitt ved

S(x) = 1 + x + x^2 + \ldots

Når $x \in \langle -1,\, 1 \rangle$ , er $S(x) = \dfrac{1}{1-x}$

Det kan vises at $\displaystyle\int 1\,dx + \int x\,dx + \int x^2\,dx + \ldots = \int \frac{1}{1-x}\,dx$

Forklar at

x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \ldots = -\ln(1-x) + C

Begrunn at $C = 0$ .

Sett inn $x = \dfrac{1}{2}$ og vis at

\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^4} + \ldots = \ln 2

Det generelle leddet i rekken ovenfor er $a_n = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{2^n}$ .

Det kan vises at de åtte første desimalene i $\ln 2$ er $0{,}69314718$ .

Dersom vi summerer de $n$ første leddene $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ i rekken i oppgave b), får vi en tilnærmingsverdi for $\ln 2$ .

Hvor mange ledd må vi minst ta med for at vi skal få 6 korrekte desimaler?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Uendelig rekke, Integrasjon, Konvergens, Logaritmer

Oppgave 2-5 : Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = \cos x

g(x) = 1 - k^2 \cdot x^2\,, \quad k > 0

Skisser av grafene til f og g med arealene A₁ og A₂

Skisser av grafene til $f$ og $g$ er tegnet ovenfor.

Bestem nullpunktene til $g$ uttrykt ved $k$ .

Bestem $k$ slik at arealene $A_1$ og $A_2$ på figurene ovenfor er like store.

Bruk formelen $\cos(u+v) = \cos u\cos v - \sin u\sin v$ til å vise at

\cos^2(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \tag{*}

Når vi dreier flatestykket med arealet $A_1$ 360° om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme med volum $V_1$ .

Bruk formelen $(*)$ i oppgave c) til å bestemme et eksakt uttrykk for $V_1$ ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Integrasjon, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis, Bestemt integral

Oppgave 2-6 : Linje og plan i rommet med normalvektor

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje i planet skjærer koordinataksene i $A(a,\, 0)$ og $B(0,\, b)$ . Se skissen nedenfor.

Linje som skjærer koordinataksene i A og B

Vis at likningen til linjen kan skrives

y = -\frac{b}{a}x + b

Vis at dette også kan skrives

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Et plan $\alpha$ i rommet skjærer koordinataksene i $A(a,\, 0,\, 0)$ , $B(0,\, b,\, 0)$ og $C(0,\, 0,\, c)$ .

Plan som skjærer koordinataksene i A, B og C

Vis at normalvektoren til planet $\alpha$ er

\vec{n} = \left[bc,\; ac,\; ab\right]

Vis at likningen til $\alpha$ kan skrives

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Planet $\beta$ skjærer $x$ -aksen i $D(5,\, 0,\, 0)$ og $y$ -aksen i $E(0,\, 4,\, 0)$ . Planet er parallelt med $z$ -aksen.

Forklar hvordan vi kan bruke resultatet i oppgave d) til å bestemme likningen for planet $\beta$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Bevis, Plan

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2013

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1-2 : Bestem integraler med eksponentialfunksjon

Oppgave 1-3 : Vektorer og volum av tetraeder

Oppgave 1-4 : Geometrisk rekke og konvergensområde

Oppgave 1-5 : Populasjonsvekst med differensiallikning

Oppgave 1-6 : Vendepunkter og vendetangenter

Oppgave 1-7 : Induksjonsbevis for sum av brøker

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Trapes innskrevet i halvsirkel med optimering

Oppgave 2-2 : Trigonometrisk funksjon med nullpunkter og periode

Oppgave 2-3 : Fondsvekst med differensiallikning

Oppgave 2-4 : Rekke for ln2 og tilnærming

Oppgave 2-5 : Integraler og omdreiningslegeme med cosinus

Oppgave 2-6 : Linje og plan i rommet med normalvektor

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave