R2 Vår 2012

LK06 8 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 8 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 3 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon integrasjon differensiallikning og geometrisk rekke	—
2	Skalarprodukt og kryssprodukt med to vektorer	—
3	Funksjonsdrøfting av xe^x og induksjon	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 36 poeng
4	Automatisk strømbryter og trigonometrisk modell	—
5	Optimal synsvinkel til bilde på vegg	—
6	Fritidsbåt bremset av vann og differensiallikning	—
7	Trappeformet søylefigur og riemannsummer	—
8	Parallelle plan tangent til kule og parameterframstilling	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon integrasjon differensiallikning og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3\sin(2x)

g(x) = x^2 \cdot \sin x

k(x) = 5\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12} \cdot x - 2\right) + 7

Bestem integralet

\int x \cdot e^{2x}\,\mathrm{d}x

Vis at

\int_{3}^{7} \frac{2x}{x^2 - 4}\,\mathrm{d}x = 2\ln 3

Løs differensiallikningen

y' - 2y = 3 \qquad \text{når} \quad y(0) = 8

Gitt rekken

1 + e^{-x} + e^{-2x} + \cdots \qquad , \quad x > 0

Forklar at rekken er geometrisk, og at den konvergerer.

Vis at summen er gitt ved

S(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 13
Temaer: Derivasjon, Delvis integrasjon, Differensiallikning, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Oppgave 1-2 : Skalarprodukt og kryssprodukt med to vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [3,\ {-1},\ 2]$ og $\vec{b} = [6,\ 4,\ 2]$

Regn ut

\vec{a} \cdot \vec{b}

\vec{a} \times \vec{b}

(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Romgeometri

Oppgave 1-3 : Funksjonsdrøfting av xe^x og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt funksjonen

f(x) = x \cdot e^x

Bestem $f'(x)$ og $f''(x)$

Bestem koordinatene til bunnpunkt og vendepunkt på grafen til $f$ .

Det blir påstått at den $n$ -te deriverte er gitt ved

f^{(n)}(x) = (x + n) \cdot e^x

Bevis formelen for den $n$ -te deriverte ved induksjon.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Induksjon, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4 : Automatisk strømbryter og trigonometrisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utelys ved hus om kvelden

En automatisk strømbryter for utelys skal programmeres. Lyset skal slås på når det begynner å mørkne. En modell for dette tidspunktet er gitt ved

f(t) = 19 - 4\cos\!\left(\frac{\pi}{180} \cdot t\right)

der $f(t)$ er tidspunktet målt i timer etter midnatt og $t$ er antall dager regnet fra nyttår. I denne modellen forutsettes det at alle måneder har 30 dager.

Når begynner det å mørkne 25. mars, ifølge modellen?

Tegn grafen til $f$ . Bestem likevektslinjen, amplituden og perioden til $f$ .

Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lyset slås på?

Bestem når på året lyset slås på klokken 18.00.

Bestem når på året dagslyset varer lengst ifølge modellen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-5 : Optimal synsvinkel til bilde på vegg

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Synsvinkel til bilde på vegg med geometrisk skisse

Et bilde har høyde $CD = 3{,}0\ \mathrm{m}$ . Bildet henger på en vegg slik at undersiden av bildet er $1{,}0\ \mathrm{m}$ over øyenivå hos personen i $A$ (se skissen). Avstanden fra veggen til personen er $AB = x$ .

På skissen er $\angle DAC = \alpha$ , $\angle DAB = u$ og $\angle CAB = v$ . Vi setter $f(x) = \tan(\alpha) = \tan(u - v)$

Bruk formlene for $\sin(u - v)$ og $\cos(u - v)$ til å vise at

\tan(u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}

Bruk a) til å vise at

f(x) = \frac{3x}{x^2 + 4}

Vi ønsker å bestemme avstanden $x$ slik at synsvinkelen $\alpha$ blir størst mulig.

Bestem største verdi for $f(x)$ og tilhørende verdi for $x$ .

Bestem den største synsvinkelen $\alpha$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Trigonometri, Optimering, Derivasjon, Bevis

Oppgave 2-6 : Fritidsbåt bremset av vann og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fritidsbåt kjører fort på sjøen

En rask fritidsbåt kjører med farten $25\ \mathrm{m/s}$ da motoren plutselig stanser. Båten bremses ned i vannet, og $x$ sekunder etter motorstansen er farten $y\ \mathrm{m/s}$ , og akselerasjonen er $y'\ \mathrm{m/s}^2$ .

I denne situasjonen gjelder differensiallikningen

y' = k \cdot y^2 \qquad , \quad k < 0

Med det samme motoren stanser, er akselerasjonen $-12\ \mathrm{m/s}^2$ . Bestem konstanten $k$ .

Vis at den generelle løsningen av differensiallikningen er

y = \frac{1}{0{,}02x + C}

der $C$ er en konstant.

Bestem konstanten $C$ og farten til båten $3\ \mathrm{s}$ etter motorstansen.

Strekningen båten forflytter seg, er $s(x)$ meter etter motorstansen. Da gjelder:

s' = y

Bestem hvor langt båten forflytter seg i løpet av de tre første sekundene etter motorstansen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Integrasjon, Modellering

Oppgave 2-7 : Trappeformet søylefigur og riemannsummer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En figur består av $n$ søyler med kvadratiske ruter med side $\dfrac{1}{n}$ . Den første søylen inneholder én rute, den andre to ruter, og så videre. Søyle nummer $n$ inneholder $n$ ruter.

Figuren nedenfor er tegnet for $n = 5$

Trappeformet søylefigur med n=5 søyler

Bestem arealet av figuren ovenfor.

Forklar at det samlede arealet av $n$ søyler er

S_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + n \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2

Vis at summen av rekken kan skrives $S_n = \dfrac{n+1}{2n}$

Bruk rekken til å bestemme $S_5$ . Kommenter svaret.

Vis at $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2}$

Bruk også et geometrisk resonnement til å begrunne at svaret er riktig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Rekker, Grenseverdi, Bevis, Argumentasjon

Oppgave 2-8 : Parallelle plan tangent til kule og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem er det gitt et punkt $P(5,\ {-1},\ 4)$ og et plan

\alpha:\ 2x - 2y + z + 2 = 0

Punktene $A(0,\ 0,\ 4)$ , $B(2,\ 0,\ 0)$ og $C(1,\ 1,\ 4)$ ligger i et annet plan $\beta$ .

Bestem likningen til $\beta$ , og forklar at $\alpha \parallel \beta$

Regn ut avstanden mellom planene $\alpha$ og $\beta$ .

Planene $\alpha$ og $\beta$ er begge tangentplan til en kule. Sentrum $S$ i kula og de to tangeringspunktene $D$ og $E$ ligger på en rett linje $l$ gjennom punktet $P$ . Se figurene nedenfor.

Kule tangent til to parallelle plan med linje gjennom tangentpunkter

Sett opp en parameterframstilling for $l$ .

Bestem koordinatene til $D$ og $E$ .

Bestem likningen til kula.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Romgeometri, Plan, Kule, Vektorer, Parameterframstilling

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2012

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon integrasjon differensiallikning og geometrisk rekke

Oppgave 1-2 : Skalarprodukt og kryssprodukt med to vektorer

Oppgave 1-3 : Funksjonsdrøfting av xe^x og induksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4 : Automatisk strømbryter og trigonometrisk modell

Oppgave 2-5 : Optimal synsvinkel til bilde på vegg

Oppgave 2-6 : Fritidsbåt bremset av vann og differensiallikning

Oppgave 2-7 : Trappeformet søylefigur og riemannsummer

Oppgave 2-8 : Parallelle plan tangent til kule og parameterframstilling

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave